Bài giảng Hình học 12 chương 2 bài 2: Mặt cầu

HÌNH HỌC

12


I. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến
mặt cầu
1.Mặt cầu
Mặt cầu S(O,r) = {M | OM = r}

2. Biểu diễn mặt cầu
Đường kính
O
A

C

B

D

Dây cung


3. Điểm nằm trong và điểm nằm ngoài mặt
cầu. Khối cầu




OA > r: A nằm ngoài mặt cầu.

OA = r: A nằm trên mặt cầu.
OA < r: A nằm trong mặt cầu.

O

A

Khối cầu
Khối cầu tâm O bán kính r là {M | OM ≤ r}

A
A


4. Đường kinh tuyến, vĩ tuyến của mặt cầu


II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O,r) và mặt phẳng (P). Gọi H là
hình chiếu của O trên (P).


O

H
M


O

H
M


O
H
M


II. Giao của mặt cầu và mặt phẳng



Cho mặt cầu S(O,r) mặt phẳng (P). Gọi H là hình
chiếu của O trên (P).
Nếu OH>r: (P) không cắt mặt cầu.




Nếu OH=r: (P) cắt mặt cầu tại một điểm.
 (P): mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện của mặt
cầu.
 H: tiếp điểm.
O

Chú ý
(P) tiếp xúc với S(O,r) tại H ⇔ (P ) ⊥ OH taïi H



Nếu OHđường tròn.
Tâm H, bán kính: r 2 − OH 2

Chú ý
• Khi OH = 0 thì giao tuyến là
đường tròn có bán kính là r, ta
gọi là đường tròn lớn.
• Mặt phẳng qua O gọi là mặt
phẳng kính.

O


Đường tròn lớn

Mặt phẳng kính


III. Giao của mặt cầu với đường thẳng.
Tiếp tuyến của mặt cầu
Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình
chiếu của O trên ∆


O

∆

H


O
∆

H


O
M

N
H

∆


III. Giao của mặt cầu với đường thẳng.
Tiếp tuyến của mặt cầu
Cho mặt cầu S(O,r) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình
chiếu của O trên ∆


Nếu OH>r: ∆ không cắt mặt cầu.



OH=r: ∆ cắt mặt cầu tại một điểm.






∆: tiếp tuyến.
H: tiếp điểm

OH

Nhận xét 1

A


Nhận xét 1

A

Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O,r) có vô số tiếp
tuyến với mặt cầu. Các tiếp tuyến này vuông góc
với bán kính OA tại A và cùng thuộc tiếp diện của
mặt cầu tại A.


Nhận xét 2

A

N

M

O


Nhận xét 2

A

N

M

O

Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu có vô số tiếp
tuyến với mặt cầu. Các tiếp tuyến này tạo thành
một mặt nón đỉnh A. Độ dài từ A đến các tiếp
điểm đều bằng nhau.


IV. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể
tích khối cầu
Cho mặt cầu S(O,r)
 Diện tích mặt cầu

S = 4π .r


Thể tích khối cầu

2

4 3
V = π .r
3


Kiến thức cần nắm





Cách xác định mặt cầu.
Giao của mặt cầu với mặt phẳng.
Giao của mặt cầu với đường thẳng.
Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối
cầu.