Bài giảng Hình học 12 chương 2 bài 2: Mặt cầu

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.83 MB, 25 trang )

§2

1. Định nghĩa:
Tập hợp các điểm trong không gian cách
điểm O cố định một khoảng cách R cho
trước gọi là mặt cầu có tâm là O và bán
kính bằng R.
Kí hiệu là S(O ; R) ={M  OM = R}

M

O
A3

A2

Cho mặt cầu S(O ; R) và một điểm A:
a) Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu.
b) Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu.
c) Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu
d) Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O ; R)
và nằm trong mặt cầu đó được gọi là khối
cầu S(O ; R), hoặc hình cầu S(O ; R).
Khối cầu S(O ; R) = {M  OM =R}.

A1

CABRI

2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

R

O

R

O

H

R

P

M

O
H

P

CABRI

H
P

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng (P), gọi d là khoảng cách từ tâm O tới (P).
 Nếu d > R thì (P) không cắt mặt cầu.

 Nếu d = R thì (P) chỉ cắt mặt cầu tại điểm H duy nhất.
Nếu d < R thì (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mặt phẳng
(P) có tâm là H (hình chiếu của O trên (P)) và có bán kính r = R2 − d 2
?1. Mệnh đề sau có đúng không: Điều kiện cần và đủ để mp (P) tiếp xúc với
mặt cầu S(O;R) tại điểm H là mp(P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H?
Trả lời: Đúng

Bài toán 1. Mặt cầu đi qua mọi đỉnh của một hình đa diện H gọi là mặt cầu ngoại tiếp hình đa
diện H, và hình đa diện H gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

Chứng minh rằng hình chóp nội tiếp mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa
giác nội tiếp đường tròn.
Chứng minh:
(=>) Hình chóp nội tiếp mặt cầu thì các đỉnh
của đáy của nó nằm trên giao tuyến của mặt
cầu với mp đáy nên nó nội tiếp đường tròn.
(<=) Đáy hình chóp nội tiếp đường tròn:
Gọi d là trục của đường tròn ngoại tiếp
đáy hình chóp. Mặt phẳng trung trực của
một cạnh bên cắt d tại điểm O cách đều
tất cả các đỉnh hình chóp - đó là tâm cầu
ngoại tiếp hình chóp.
Cách xác định tâm cầu ngoại tiếp hình chóp:
- Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp đáy.
- Nếu d đồng phẳng với một cạnh bên hình chóp thì dựng trung trực của
cạch bên đó cắt d tại O – đó là tâm cầu.
- Nếu d không đồng phẳng với cạnh bên nào của hình chóp thì dựng trục d’
của một mặt bên và xác định giao điểm của d’ với d – đó là tâm cầu.

?2. Tại sao có thể nói rằng một hình tứ diện bất kì luôn nội tiếp một mặt cầu?
Trả lời:
Vì hình tứ diện bất kì là một hình chóp tam giác có đáy luôn nội tiếp
một đường tròn.
?3. Hình lăng trụ tam giác có cạnh bên không vuông góc với đáy có
thể nội tiếp mặt cầu không ? Vì sao ?

Trả lời:
Hình lăng trụ tam giác có cạnh bên
không vuông góc với đáy không
thể nội tiếp mặt cầu vì hình lăng trụ
đó có mặt bên là hình bình hành
không phải là hình chữ nhật, không
nội tiếp được trong đường tròn.

CABRI

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

(S)

(S)

(C)

(C)
∆

O
H

(S)

R
H

(C)

O

∆

A

O
H

B

Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng ∆ . Gọi d là
khoảng cách từ tâm O tới ∆ . Khi đó :
 Nếu d > R thì ∆ không cắt mặt cầu.
 Nếu d = R thì ∆ cắt mặt cầu tại điểm H duy nhất.
 Nếu d < R thì ∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

CABRI

∆

?4. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

•
•

1) Điều kiện cần và đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu
S(O; R) tại điểm H là ∆ vuông góc với bán kính OH tại điểm H.
2) Có vô số đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại điểm
H, chúng nằm trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại H.

Bài toán 2. Hãy chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của
một tứ diện đều ABCD cho trước.

Hướng dẫn: Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của BC và AD ; O là
trọng tâm tứ diện thì O là trung
điểm của MN, chứng minh O cách
đều các cạnh hình tứ diện.

P

CABRI

Định lí
Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) thì :
a) Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.
b) Độ dài các đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.

c) Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

Hoạt động 6 (để chứng minh định lí)
a) Lấy một mặt phẳng bất kì đi qua AO,
nó cắt mặt cầu S(O; R) theo một
đường tròn và AH là một tiếp tuyến
của đường tròn đó tại H. Chứng minh
rằng AH cũng tiếp xúc với mặt cầu tại
điểm H.
b) Tính độ dài AH theo R và d = OA.
c) Kẻ HI ⊥ OA rồi chứng minh rằng I là
điểm cố định không phụ thuộc vào tiếp
tuyến AH. Từ đó suy ra kết luận c).
CABRI

4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Mặt cầu bán kính R có diện tích là :

S = 4π R

2

Khối cầu bán kính R có thể tích là:

4 3
V = πR
3