Bài giảng Hình học 12 chương 2 bài 2: Mặt cầu

Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp
Trường PTTH Cao Lãnh 2
(S)
I
R

(α)

H

r

Tổ Toán
Bài học :

Mặt Cầu


Mặt Cầu

*Thế nào là mặt cầu ?

M

R
I

mặt cầu

S = { M / IM = R; R f 0}

I: tâm mặt cầu
R:bán kính mặt cầu

1.Định nghĩa:


ĐỊNH LÝ 1: trong hệ trục toạ độ
(Oxyz) ,mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán
kính R ,có phương trình là:

Mặt Cầu

1.Định nghĩa:

2
2
2
( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 (1) mặt cầu

y

I: tâm mặt cầu
R:bán kính mặt cầu

M(x;
y;z)R
I(a;b

2.phương trình mặt cầu:

;c)

x

O

z
cm:gọi
M(x;y;z)∈(S) ⇔ IM=R

( x − a) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R
2
2
2
⇔ ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = R 2

⇔

nếu tâm I trùng gốc toạ độ O thì phương
trình mặt cầu (S) có dạng ?

(S ) : x + y + z = R
2

2

S = { M / IM = R; R f 0}

2

2


Mặt Cầu

1.Định nghĩa:

S = { M / IM = R; R f 0}

mặt cầu

I: tâm mặt cầu
R:bán kính mặt cầu

2.phương trình mặt cầu:
ĐỊNH LÝ 1:

trong hệ trục toạ độ
(Oxyz) ,mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) bán
kính R ,có phương trình là:

( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 (1)
2

2

2


ĐỊNH LÝ2: trong hệ trục toạ độ (Oxyz)phương trình:

x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0(2)
2
2
2
a +b +c −d  0
2

2

2

với :
Là phương trình mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) ,bán kính R=
cm: Thật vậy:
2
2
2

a +b +c −d
2

2

2

(2) ⇔ ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) + d − a − b − c = 0
2

2

2

⇔ ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = a + b + c − d
2
2
2
2
Đặt:
a + b + c2 − d = R 2
2
2
2

2

2

2

2

2

(2) ⇔ ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) = R (1)
Là phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R


Vídụ: tìm tâm và bán kính mặt cầu:

(S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y + 6 z + 5 = 0
giải:
cách 1:phương trình mặt cầu đã cho tương đương

( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 + ( z + 3) 2 − 4 − 1 − 9 + 5 = 0

⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 + ( z + 3) 2 = 9 = 32
vậy (S): có tâm I(2;1;-3) , bán kính R=3
cách 2: ta có:

a = 2
• −2a = − 4

• −2b = − 2 ⇔ b = 1
c = −3
• −2c = 6

ta có: a 2 + b 2 + c 2 − d = 2 2 + 12 + ( −3) 2 − 5 = 9  0

⇒ R=3
vậy (S): có tâm I(2;1;-3) , bán kính R=3


3.Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
trong hệ trục toạ độ (Oxyz):
cho mp : (α ) : Ax + By + Cz

+ D=0
2
2

2
(S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2

cho mặt cầu:
gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu (S) trên mp(α) ,thì:
IH là khỏang cách từ I đến mp (α)
•th1:nếu

IH  R :
(S)

I
R

(α)

H

(α)∩(S)=∅ .Khi đó (α) không có điểm chung với mặt cầu (S)


•TH2:

IH = R :

(S)

I
R
(α)

H

(α)∩(S)={H}.Khi đó: (α) gọi là tiếp diện của mặt cầu
•TH3:

IH  R :

(S)
I
R
(α)

(α)∩(S) là một đường tròn tâm H và bán kính
phương trình đường tròn (C) là :

H

r

r = R 2 − IH 2

 Ax + By + Cz + D = 0
(C ) : 
2
2
2
2
(
x

−
a
)
+
(
y
−
b
)
+
(
z
−
c
)
=
R



Ví dụ: xét vị trí tương đối của mặt cầu và mp:

(S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 2 z + 4 z + 5 = 0
(α ) : x + 2 y + z − 1 = 0
giải:
ta có:

ta có:

• −2a = − 6

• −2b = 2
• −2c = 4

a = 3

⇒ b = −1
c = −2


a + b + c − d = 32 + (−1) 2 + (−2) 2 − 5 = 9  0
⇒ R=3
2

2

2

(S) có tâm I(3;-1;-2) ,bán kính R=3

• IH = d ( I ;α ) =

3 − 2 − 2 −1
1+ 4 +1

Suy ra:(α) cắt mặt cầu (S).

=

2
6

 3= R