Phương pháp ứng dụng vòng tròn lượng giác giải bài tập dao động điều hoà

TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh
Methods applied
"circular trigonometric resolution exercises variation"
PHƯƠNG PHáP ứng dụng vòng tròn lợng giác
giải bài tập dao động điều hoà
Trần Quang Thanh K15-PPGD VậT Lý-ĐH VINH

I. Đặt vắn đề
Trong những năm gần đây theo chủ trơng của Bộ giáo dục và đào tạo đối với
kỳ thi ĐH- CĐ trên toàn quốc thì một số môn thi sẽ chuyển từ hình thức thi tự
luận sang trắc nghiệm, trong đó Vật lý là một môn thi theo hình thức này.
Trong chơng "Dao động cơ học" sách Vật lý 12 THPT với nhiều bài toán có
liên quan đến các đại lợng biến thiên điều hoà bản thân tôi nhận thấy rất nhiều
học sinh khi làm các bài tập dạng này vẫn cha mạnh dạn tiếp cận với phơng
pháp dùng "Đờng tròn lợng giác" để giải bài tập dao động điều hoà. Do một
số hạn chế về kỹ năng kiến thức phơng pháp giải. Vì vậy, để các em làm chủ
đợc phơng pháp này, tôi mạnh dạn " Xây dựng lại" các khái niệm và các mối
liên hệ về "Sự tơng ứng giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà"
vào giải bài tập.
II. Sự tơng quan giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà
Nh chúng ta đ biết: " Một dao động điều hoà có thể đợc coi nh hình
chiếu của một chuyển động tròn đều xuống một đờng thẳng nằm trong mặt
phẳng quỹ đạo"
Vì vậy khi xây dựng mối tơng quan, chúng ta nên chuyển chuyển động tròn
đều sang dao động điều hoà. Vì việc đa vào khái niệm chuyển động tròn đều để
"Vật lý hoá" phơng thức biểu diễn. Thực chất đây là việc giải phơng trình
lợng giác dùng công cụ đờng tròn lợng giác.
1.1. Các công thức giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hoà.
Chuyển động tròn đều:
+) =
+) =

2
T


t

Do vậy :

( : là tốc độ góc , là góc quay trong thời gian t )
2
=
T
t

Dao động điều hoà:
+) Phơng trình dao động : x = A.cos (.t + )
+) Vật chuyển động ra xa vị trí cân bằng thì chuyển động là chậm dần:
a.v < 0 Ed Et và ngợc lại.
+) Khi vật chuyển động tròn đều trên cung phần t thứ (III) và (IV) thì vật dao
động điều hoà đi theo chiều dơng. Còn trên cung phần t thứ (I) và (II) vật đi
ngợc chiều dơng ( Với quy ớc chiều dơng là chiều quay ngợc chiều kim
đồng hồ).
1


TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh

+) Khi vật chuyển động tròn đều đi trên cung phần t thứ (I) và (II) thì vật dao
động điều hoà lại gần VTCB. Còn trên cung (II) và (IV) vật đi ra xa VTCB.

Về năng lợng:
A2
Phơng trình động năng và thế năng:
A1
B2

Ed = E0 .cos (.t + )
với E0 là cơ năng .

2
Et = E0 .sin (.t + )
2

B1

C2

C1

Tại những pha : = (.t + ) đặc biệt
C3

C4
B3

=

=

4


3

+

+ k .

k
2

B
A3
A4 4
3
2
sin = 4
Ed = 3.Et , Xảy ra tại các điểm A1,A2,A3,A4

1
2
cos =

4
1
2
sin = 4
Et = 3.Ed , Xảy ra tại các điểm C1, C2, C3, C4.

cos 2 = 3

4

III. Các cách vẽ vòng tròn lợng giác khi vật đi từ vị trí x1 đến vị trí x2
Thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí x1 đến vị trí x2 đợc tính qua
công thức sau:

tmin =


(*)


Trong đó đợc tính qua cách vẽ vòng tròn L-G với hàm cosin còn =
TH1: Vật đi từ VTCB ( x1=0) đếv vị trí x2 =

2
T

+A
. Tơng ứng trên vòng tròn vật
2

quét đợc cung MN = nh hình vẽ bên:


Để tính góc trong tam giác OMN ta dùng:
A
MN 2 1

sin =
= = =
ON
A 2
6

A
2

A

. Vậy thay vào công

+A

O
M

N

2


TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh




6 =T

t
=
=
min
thức (*) trên ta có :
2 12
T
TH2: Vật đi từ VT x1 =

+A
2

đến x2 = + A tơng ứng trên vòng tròn vật quét đợc

cung MN = nh hình vẽ bên:


Để tính góc trong tam giác OMH ta dùng:
A
A
OH
1

cos =
= 2 = =
OM A 2
3

O

A
2
H

+A
N

Vậy thay vào công thức
M




3 =T
t
=
=
min
(*) ta có :
2 6
T
TH3: Vật đi từ VTCB 0 đến VT x2 = + A . Tơng ứng
trên vòng tròn vật quét đợc cung MN = =


A



O

2

nh hình bên: vậy thay vào công thức (*) ta có:

+A
N


M



tmin =


T
= 2 =
2 4
N

T
+A
A
TH4: Vật đi từ vị trí x1 =
đến x2 =
2
2

M

+A

A
A O
2

Tơng ứng trên vòng tròn vật quét đợc cung

A
2



MN = = ( Do tam giác OMN đều)
3



vậy thay vào công thức (*) ta có:

tmin =


T
= 3 =
2 6
T
3

TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh

TH5: Vật đi từ vị trí : x1 = + A đến x2 = A
Tơng ứng trên vòng tròn vật quét đợc góc: =
vậy thay vào công thức (*) ta có:

tmin



A



T
= =
=
2 2

+A

O

T

Chú ý: Các công thức trắc nghiệm trên áp dụng tơng tự cho TH vật đi ngợc lại.
T
ví dụ : x1 = A đến x2 = + A thì tmin =

2
IV. Hệ thống phơng pháp giải
Với công cụ này ta có thể áp dụng để giải mọi bài tập xuất hiện phơng trình
lợng giác. ta có thể liệt kê các dạng bài toán thờng gặp trong dao động điều
hoà:
Dạng 1: Tìm thời điểm xảy ra sự kiện và khoảng thời gian giữa hai sự
kiện( thờng gặp trong cơ học và điện từ)
Loại 1: Một vật dao động điều hoà theo phơng trình x = A.cos (.t + ) . Tìm
khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 đến x2?
Phơng pháp :
a) Vẽ đờng tròn lợng giác
b) Xác định toạ độ x1 và x2 trên trục Ox, xác định điểm M1 và M2 trên đờng tròn
( trong đó x1 và x2 lần lợt là hình chiếu của M1 và M2 trên Ox).
c) Xác định góc quét tơng ứng trên vòng tròn khi vật đi từ x1 đến x2, suy ra
thời gian cần tìm : tmin =




Loại 2: Một vật dao động điều hoà theo phơng trình x = A.cos (.t + ) . Kể từ lúc
t=t0 vật đi qua vị trí có li độ x=x1 lần thứ n vào thời điểm nào ?
Phơng pháp :
a) Từ phơng trình x = A.cos (.t + ) tại t = t0 x=x0 suy ra vị trí M0, với v=v1 suy
ra chiều chuyển động. Với x=x1 suy ra vị trí M1.
b) Vẽ đờng tròn lợng giác, xác định điểm M0, M1 trên đờng tròn lợng giác.
n
.T + t1 .
c) Thời điểm cần tìm là : t =
2
( trong đó ta quy ớc gọi n là số chẵn nhỏ hơn n và gần n nhất). Ví dụ : 8 = 7 ;

7 = 6 ; 2 = 0 ; 1 = 0 và t1 là thời gian vật đi qua vị trí đ cho 1 lần hoặc 2 lần mà
ta đ có công thức tính ở loại 1.
4


TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh

Dạng 2: Xác định qu ng đờng mà vật đi đợc giữa hai sự kiện, vận tốc trung
bình trên qu ng đờng xảy ra hai sự kiện ( thờng gặp trong cơ học).
Cụ thể : Xác định qu ng đờng vật dao động điều hoà di chuyển đợc sau thời
điểm t=t0 một khoảng thời gian t.
Phơng pháp :
a) Tại t = t0 M 0 và v = v0 suy ra chiều chuyển động của M.
t
b) Lập tỷ số : = n ( lấy phần nguyên).
T

c) Phân tích thành t = nT + t1
d) Vẽ đờng tròn lợng giác suy ra qu ng đờng vật đi đợc là S = S1 + S2 ( trong
đó S1 là qu ng đờng vật đi đợc trong n.T chu kỳ hay S1=n.4A và S2 là qu ng
đờng vật đi đợc trong thời gian t1 . Để xác định S2 ta xác định góc quét trên
vòng tròn = t1. từ đó suy ra S2 )
Dạng 3: Các sự kiện liên quan đến năng lợng, các thời điểm mà năng lợng
tho m n một điều kiện cho trớc ( Thờng là cơ năng và năng lợng điện từ )
Phơng pháp :
a) Tại t=t0 xác định vị trí của M0
b) Xác định vị trí M1 và góc mà vật quét đợc khi năng lợng tho m n điều
kiện cho trớc.
c) Vẽ vòng tròn lợng giác.
c) Từ đó suy ra thời gian cần tìm.

V. Các bài tập vận dụng
Vớ d loi 1: Vt dao ủng ủiu hũa vi phng trỡnh
. Tớnh:
a) Thi gian vt ủi t VTCB ủn A/2
b) Thi gian vt ủi t biờn ủn A/2 ủn A/2 theo chiu dng.
c) Tớnh vn tc trung bỡnh ca vt trong cõu a
Bi gii
a) Khi vt ủi t v trớ cõn bng ủn A/2, tng ng vi vt chuyn ủng
trờn ủng trũn t A ủn B ủc mt gúc 300 ( =

6

)

5


TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh



tmin =


T
= 6 =
2 12
T

b) Khi vt ủi t v trớ

A/2 ủn A/2, tng ng vi vt chuyn ủng trờn

ủng trũn t A ủn B ủc mt cung OAB = =



3

+


6

=


3



tmin =


T
= 2 =
2 4
T

A

S
6A
c) Vn tc trung bỡnh ca vt: vtb = = 2 =
T
t
T
12



Ví dụ 2: Vật DĐĐH theo phơng trình: x = Acos( .t )(cm) . Tìm thời gian từ
2

lúc vật bắt đầu dao động đến khi vật qua vị trí có li độ x =

A
lần đầu?
2



x = A.cos(0 2 ) = 0
Bài giải: tại t=0 ta thay vào phơng trình trên :
v = . A.sin(0 ) = . A > 0

2

. Nghĩa là vật đang ở VTCB và chuyển động theo chiều dơng của trục toạ độ.
Tại thời điểm t vật qua vị trí có li độ x =

A
lần đầu tơng ứng trên vòng tròn vật
2

quét đợc một góc nh HV.
6


TRầN Quang Thanh -k15-ppdg vật lý -đh Vinh

Vậy kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm vật đi qua VT x =

A
lần đầu mất một
2



khoảng thời gian là : tmin =

6 1
= = (s)
6

Ví dụ 2: Trong 1T dao động, thời gian ngắn nhất để 1 chất điểm dao động điều
hoà với chu kỳ T đi từ VT x = + A đến x =
A.

3T
8

B.

T
12

C.

T
3

A
là:
2

3T
4

D.

M

Bài giải:
Khi vật chuyển động trên đờng thẳng quỹ đạo từ
VT x = + A đến x =



A

+A

O

A
thì tơng ứng trên vòng tròn
2

Vật quét đợc cung AOM = =



2

tmin

+


6

=

2
. Vậy thời gian càn tìm là:
3

2
T

= = 3 = (s)
2 3
T


Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà theo PT: x = 10.cos( .t + )(cm) . Thời gian tính
3

từ lúc vật bắt đầu dao động (t=0) đến khi vật đi đợc qu ng đờng 30(cm) là :
A. 2,4(s)

B. 2/3(s)

C. 4/3 (s)

D. 1,5(S)

Bài giải: Tại t=o ta có:
7