Đề cương ôn tập mon toán lớp 12 (3)

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HK 1 MƠN TỐN LỚP 12
NĂM HỌC 2014-2015
TRƯỜNG THPT THANH KHÊ
PHẦN I: GIẢI TÍCH
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ℑ1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên K
1) f đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 ∈K mà x12) f nghịch biến(giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 ∈(a,b) mà x1<x2 thì f(x1)>f(x2).
II. Định lý:
1) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.
• Nếu f’(x)>0 ∀x∈I thì hàm số f đồng biến trên I.
• Nếu f’(x)<0 ∀x∈I thì hàm số f nghịch biến trên I.
(Nếu f’(x) =0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng I thì định lý vẫn cịn đúng).
• Nếu f’(x)=0 ∀x∈I thì hàm số f khơng đổi trên I
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Xét chiều biến thiên cửa một hàm số cụ thể
Dạng 2: Chứng minh một hàm số có chứa tham số m đồng biến ( nghịch biến) trên tập
xác định của nó
Dạng 3: Tìm tham số m để một hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên tập xác định của
nó
Dạng 4: Tìm tham số m để một hàm số đồng biến( nghịch biến) trên một khỏang
Dạng 5: Dùng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức


ℑ2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số f xác định D và điểm x0 ∈D .
• Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa

điểm x0 sao cho (a;b) ⊂ D và f(x) < f(x0) ∀x ∈ (a; b) (x ≠ x0).
• Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa
điểm x0 sao cho (a;b) ⊂ D và f(x) > f(x0) ∀x ∈ (a; b) (x ≠ x0).
• f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hay cực trị của hàm số; x 0 được
gọi là điểm cực trị
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
Định lí 1:Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0.
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại x0 thì tiếp tuyến với
đồ thị hàm số tại (x0; f(x0)) song song hay trùng với trục hoành
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:
Định lí 2:
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên các khoảng
(a;x0);(x0;b) khi đó
a) Nếu f’(x) > 0

∀x ∈ ( a; x0 ) và

f’(x) < 0

∀x ∈ ( x0 ; b)

thì hàm số đạt cực đại tại x0

b) Nếu f’(x) < 0

∀x ∈ ( a; x0 ) và

f’(x) > 0

∀x ∈ ( x0 ; b)

thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

Nói một cách vắn tắt:
a) Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x 0 là điểm cực
đại
b) Nếu khi x đi qua x 0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x 0 là điểm cực
đại
QUI TẮC 1 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Tìm f’(x)
2. Tìm các điểm xi ( i= 1,2,3…) tại đó đạo hàm hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng
khơng có đạo hàm
3. Xét dấu f’(x) dựa vào định lí 2 để kết luận


Định lí 3. Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 ; f’(x0) = 0,
f''(xo)  0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0  x0 là điểm cực tiểu.
2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 x0 là điểm cực đại.
QUI TẮC 2 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ
1. Tìm f’(x)
2. Tìm các nghiệm xi ( i= 1,2,3…) của phương trình f’(x)=0
3. Tìm f’’(x) và tính f’’(xi) và dựa vào định lí 3 để kết luận

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm cực trị của một hàm số cụ thể
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số có cực trị

Dạng 3: Tìm tham số m để một hàm số đạt cực trị tại điểm x0 cho trước
Dạng 4: Tìm tham số m để một hàm số đạt cực trị thoả mãn điều kiện cho trước
ℑ3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên D ( D ⊂ R)
a) Nếu

∃x0 ∈ D : f ( x) ≤ f ( x0 ), ∀x ∈ D

Ký hiệu
b) Nếu

thì số M=f(x0) được gọi là GTLN của hàm số f trên D

M = maxf(x)
x∈D

∃x0 ∈ D : f ( x) ≥ f ( x0 ), ∀x ∈ D

thì số M=f(x0) được gọi là GTNN của hàm số f trên D


Ký hiệu

m = min f(x)
x∈D

2) Cách tìm GTLN-GTNN trên D
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên D. Dựa vào BBT để kết luận
( Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị

cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên D)
3) Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số f liên tục trên đoạn [a,b].
+ Tìm các điểm x1,x2, ..., xn thuộc (a;b) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo
hàm
+ Tính f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(a )và f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
M = max f ( x) ; m = min f ( x)
[ a ,b ]

[ a ,b ]

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của một hàm số cụ thể
Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN cho một đại lượng theo một đại lượng biến thiên khác:
Thiết lập hàm số cho đại lượng đó, rồi tìm GTLN,GTNN cho hàm số đó
ℑ4. ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Phép tịnh tiến hệ toạ độ và công thức chuyển hệ toạ độ
y

Y

y

Y

Trong mp(Oxy) cho điểm I(x0;y0) . Gọi IXY là hệ toạ độ
mới có gốc làrrI và hai trục IX,IY theo thứ tự có cùng
vectơ đơn vị i, j với hai trục Ox, Oy M là điểm bất kì của
mp, giả sử M(x;y)/(Oxy) và M(X;Y)/(IXY) Tacó:

M
X
X

1

x

 x = X + x0

 y = Y + y0

x

2. Phương trình của đường cong đối với hệ toạ độ
mới:


Giả sử (C) là đồ thị hàm số y = f(x) đối với hệ Oxy . Tịnh tiến hệ trục Oxy theo vec tơ
với I(x0;y0) theo công thức đổi trục

 x = X + x0

 y = Y + y0

uur
OI

ta có phương trình của (C) trong hệ toạ độ

IXY là:
Y = (X+x0) – y0
B. DẠNG BÀI TẬP:
Viết phương trình của đường cong trong hệ tạo độ mới
ℑ5. TIỆM CẬN
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận ngang:
Đường thẳng y=y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x ) nếu
lim f ( x) = y0 hoặc lim f ( x) = y0
x →+∞
x →−∞
2) Tiệm cận đứng: Đường thẳng x=x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y = f (x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x ) = +∞; lim+ f ( x) = +∞

x → x0−

x → x0

lim f ( x ) = −∞; lim+ f ( x) = −∞

x → x0−

x → x0

3) Tiệm cận xiên:
Đuờng thẳng y= ax+b (a ≠ 0) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
y = f (x ) nếu
lim [f ( x) − (ax+b)] = 0

x →+∞

lim [f ( x) − (ax+b)] = 0

hoặc

x →−∞

Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
a = lim

x →∞

f ( x)
x

b= lim[f ( x) − ax] .
x →∞

(Để tìm tiệm cận xiên của hàm số hữu tỉ b2/b1 ta thực hiện phép chia để viết lại
hàm số)


B. DẠNG BÀI TẬP:
Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số


PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :

Các bước khảo sát hàm đa thức

Các bước khảo sát hàm hữu tỷ

1. Tập xác định

1. Tập xác định

2. Sự biến thiên

2. Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực

- Giới hạn, tiệm cận

- Chiều biến thiên, cực trị

- Chiều biến thiên, cực trị

- Bảng biến thiên

- Bảng biến thiên

3. Đồ thị

3. Đồ thị

- Điểm uốn

- Tâm đối xứng

- Điểm đặc biệt

- Giá trị đặc biệt

- Đồ thị

- Đồ thị

Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ khơng cần xét đaọ hàm cấp
hai.Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
a>0
Pt y’ = 0 có
hai nghiệm
phân biệt.

a<0
2

2

O

-2

-2

Pt y’ = 0 có
nghiệm kép

2

2

Pt y’ = 0 vơ
nghiệm

4

2

2

 Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
a>0
Pt y’ = 0
có
ba
nghiệm
phân biệt

Pt y’ = 0
có
một
nghiệm

a<0

2

-2

2

-2


 Hàm số y =

ax + b
(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)
cx + d

D = ad – bc > 0

D = ad – bc < 0
4

4

2

2

-2


Phần III: ƠN TẬP CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN

Dạng 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao điểm của hai đường (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương
trình hồnh độ giao điểm của (C1), (C2): f(x) = g(x) (1)
Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x) = g ( x)

 f '( x) = g '( x)

Dạng 2: Dùng đồ thị biện luận phương trình: h(x,m) = 0
Đưa phương trình về dạng:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi
luôn cùng phương với trục Ox.
Tuỳ theo m số giao điểm của (C) và d là số nghiệm pt (1)
Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C1), (C2) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x) = g ( x)

 f '( x) = g '( x)

Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị (C) hàm số y =f(x)
Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0) ( x − x0 ) (*)
 Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*).
Rút gọn ta có kết quả
Bài tốn 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )

 Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ .. ⇒ x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)
 Bước 2: Tìm y0 và thay vào dạng y = k(x – x0) + y0. ta có kết quả
Bài tốn 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ
A(xA;yA)
 Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k:
y – yA = k(x – xA) (1)
 Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:
 f ( x) = k ( x − x A ) + y A

 f '( x) = k (*)

 Bước 3: Giải pt f ( x) =
(1) ta có kết quả.

f '( x )( x − x A ) + y A tìm

x và thay vào (*) tìm k , thay vào

BÀI TẬP
I. ĐƠN ĐIỆU ,CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, TIỆM
CẬN
Bài 1: Tìm khoảng đơn điệu , cực trị hàm số.
a)

y = − x 3 + 3x 2 − 4

c)

y = −x4 +

3 2 1
x −
2
2

b)

y = x3 − x 2 − x + 1

d)

y = x 4 − 10 x 2 + 9

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất hàm số :
a)

y = x(4 − x )

d)

y=

g)

4
y = 2 sin x − sin 3 x
3

x +1

x +1
2

b)

y = ( x + 2) 4 − x 2

trên đoạn [ − 1;2]
trên đoạn

c)

y = x + 2 − x2

e)

[0;π ]

[0,π/2]
i) y = 2 x3 + 3x 2 − 1 trên [-2;-1/2] ; [1,3).

y=

ln 2 x
x

h) y =

trên đoạn
2cos2x+4sinx

[1; e ]
3

trên đoạn


Bài 4: Cho hàm số :

y=

m −1 3
x + mx 2 + (3m − 2) x + 5
3

m là tham số

Tìm m để
a) Hàm số nghịch biến trên R
b) Hàm số đồng biến trên R
c) Hàm số có cực đại ,cực tiểu
d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
II. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
Sự tương giao của hai đường:
Bài 1 Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị:
a) y = x3 + 4x2 + 4x + 1 và y = x + 1

b) y = x3 + 3x2 + 1 và y = 2x + 5

c) y = x3 – 3x và y = x2 + x – 4

d) y = x4 + 4x2 – 3 và y = x2 + 1

Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x 2 + mx + m) cắt trục hòanh tại ba điểm phân
biệt
Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số y =

1 3
x −x+m
3

cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt.

Bài 4: Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y =

2x − 1
x +1

a) Tại hai điểm phân biệt.
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hịanh.
IV. Phương trình tiếp tuyến của đường cong:
Bài 1: Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a) Tại điểm có tung độ bằng -1
b) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5.
c) Vng góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0.
Bài 2: Cho (C) : y =

x−2
x+2

.Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.


b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5.
c) Vng góc với đường thẳng d2: y = -x.
IV. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP:
Bài 1: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(-1; -2)
Bài 2: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x3 – 3x + m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x0 = 1.
Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vng góc với đường
thẳng

y=−

1
x+2
24

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số.
Bài 4: Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 2.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y
= - 9x + 1
c) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 5: Cho hàm số y =

1 3
x − x2 + x +1
3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hòanh.
Bài 6: Cho hàm số y = x3 + x


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài 7: Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 + 1 – m = 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hịanh độ x =

2

Bài 8: Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + 2.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình x4 – 2x2 + m = 0 có bốn nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Bài 9: Cho hàm số y =

x4
3
− 3x 2 +
2
2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4 – 6x2 + 3 – m = 0.
Bài 10: Cho hàm số y = -x4 + 6x2 – 5
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(1 ; 0).
Bài 11: Cho hàm số y =

1 4
x − 2x 2 − 1
4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để phương trình : x4 – 8x2 – 4 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài 12 : Cho hàm số y =

x +1
.
x −1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M0(2 ; 3).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

y = -2x + 1


Bài 13: Cho hàm số y =

2x + 1
.
x +1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có hịanh độ x = -2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
y = -x + 2
Bài 14: Cho hàm số y =

2x
.
1− x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Tìm trên (H) những điểm có tọa độ là các số nguyên.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục tung.
Bài 15: Cho hàm số y =

x −1
.
x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục hịanh.

c) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt (H) tại hai điểm phân biệt.
HÀM SỐ, LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
1. ĐỊNH NGHĨA LŨY THỪA VÀ CĂN.
Số mũ α

Cơ số a

Lũy thừa

α = n∈ N*

a∈R

a α = a n = a.a......a (n

α =0

a≠0

aα = a 0 = 1

α = −n ( n ∈ N * )

a≠0

a α = a −n =

aα

1

an

thừa số )


m
(m ∈ Z , n ∈ N * )
n

a>0

α = lim rn (rn ∈ Q, n ∈ N * )

a>0

α=

α

a =a

m
n

= n a m ( n a = b ⇔ b n = a)

a α = lim a rn

2. TÍNH CHÁT CỦA LŨY THỪA.
* với a > 0, b > 0, ta có

α

β

a .a = a

α +β

;

aα
= a α −β
β
a

α

β

; (a ) = a

a>1:

α .β

α

; (ab) = a .b

aα > a β ⇔ α > β

0
aα > a β ⇔ α < β

3. ĐỊNH NGHĨA LÔGARIT.
* Với số

0 < a ≠ 1, b > 0 .
log a b = α ⇔ a α = b

log b = α
ln b = α

⇔ 10α = b
⇔ eα = b

4. TÍNH CHẤT CỦA LÔGARIT.
*

log a 1 = 0 ; log a a = 1 ; a log a b = b

*

log a (b.c) = log a b + log a c
b
log a   = log a b − log a c
c
log a b α = α . log a b

Đặc biệt:
*

log a

log b c =

1
1
= − log a b ; log a n b = log a b
b
n

log a c
log a b

α

⇒ log a b. log b c = log a c

α

α

aα
a
;   = α
b
b

Đặc biệt :

log a b =

1
log b a

; log aα b =

1
log a b
α

a > 1 : log a b > log a c ⇔ b > c > 0
0 < a < 1 : log a b > log a c ⇔ 0 < b < c

5. GIỚI HẠN.
ex −1
=1 ;
x →0
x

ln(1 + x)
=1
x →0
x

lim

lim

6. BẢNG ĐẠO HÀM.
(e x )' = e x

(e u )' = u '.e u

(a x )' = a x . ln a

(a u )' = u '.a u . ln a

(ln x )' =

1
x

(log a x )' =

(ln u )' =
1
a ln a

( n x )' =

(log a u )' =

x

( x α )' = α .x α −1

u'
u
u'
u. ln a

(u α )' = α .u α −1 u '

(α ≠ 0, x > 0)

1

( n u )' =

n n x n −1

u'
n. n u n −1

7. CÁC DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LƠGARIT.
a)

0 < a ≠1

a f ( x) = a g ( x)

⇔

f ( x) = g ( x )

 f ( x) > 0 hay ( g ( x) > 0)
log a f ( x) = log a g ( x) ⇔ 
 f ( x) = g ( x)

b)

a >1

a f ( x) > a g ( x)

⇔

f ( x ) > g ( x)

log a f ( x) > log a g ( x) ⇔

c)

0 < a <1

a f ( x) > a g ( x)

⇔

f ( x) < g ( x)

f ( x) > g ( x) > 0


log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x)

I. LŨY THỪA
* Đơn giản biểu thức.

(

)

5

4
3

a b + ab

1)

3

4)

 1
m2 + 4   m 1
1

. −
− 3
+ 
2 m
 m + 2 m + 2 2  2

x 6 . y 12 −

5

x. y 2

2)

3

4
3

a −1

3)

a+ b
3

4
3

a +a

1
2

a +4 a

.

a +1

1
4

.a + 1

* Tính giá trị của biểu thức.
1)
3)

 1 
+

 125 

81−0,75
2
3

1
27 +  
 16 

−

1

3

 1 
− 
 32 

−

3
5

−

2)

0,001

1
3

−2

− (−2) .64 − 8

−0 , 75

− 25

4)

0,5

(−0,5)

2
3

−4

− 625

0, 25

1
3

−1

 1
− 2 
 4

−1

+ (9 0 ) 2
1
2

+ 19(−3) −3

* Biến đổi đưa về dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
1)

17 5 3
2 .ax
8

2)

3

3)

2)

41−2 3 .161+

a 5 .4 a

8

b 3 .4 b

4)

14
27.3 a
3

4)

(2 )

* Tính .
1)

( )

 3



3

3





3)

3

27
3

2

3 2

* Đơn giản các biểu thức.
1)
3)

a2
(a

2
2

− b2

3

− b 3 )2

+1

 π1 
( a + b ) −  4 .ab 


π

π

2)

(a 2

3

− 1)(a 2
a4

3

3

+a

−a

3

+ a3 3 )

3

π

2

II. LÔGARIT.
* Biết log52 = a và log53 = b . Tính các lơgarit sau theo a và b.

5

8

5

4


1) log527

2) log515

3) log512

4) log530

* Lôgarit theo cơ số 3 của mỗi biểu thức sau , rồi viết dưới dạng tổng hoặc hiệu các
lôgarit.
1)

(

5

3

a b

)

2
3

2)

 a 10

6 5
 b






−0 , 2

3)

4)

9a 4 5 b

b2
27a 7

* Tính giá trị các biểu thức.
1) log915 + log918 – log910
3)

1
log 36 2 − log 1 3

2
6

2)
4)

1
2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 3 45
2
3
3
3

log 1 (log 3 4. log 2 3)
4

* Tính giá trị các biểu thức.
1)

 14 − 12 log9 4
 log7 2
log125 8
 81
.49
+
25





3)

 12 log 7 9−log7 6
− log
72 49
+5


5

4

2)

16

1+ log 4 5

+ 42

1
log 2 3+ 3 log 5 5
2






* Tìm x biết.
1) log6x = 3log62 + 0,5 log625 – 2 log63. 2) log4x =

1
log 4 216 − 2 log 4 10 + 4 log 4 3
3

* Tính.
1)

log(2 + 3 ) 20 + log(2 − 3 ) 20

3)

ln e + ln

1
e

2)

3 log( 2 + 1) + log(5 2 − 7)

4)

ln e −1 + 4 ln(e 2 . e )

* Biết log126 = a , log127 = b. Tính log27 theo a và b.
* Biết log214 = a. Tính log4932 theo a
III. HÀM SỐ MŨ – LƠGARIT – LŨY THỪA.

* Tìm tập xác định của các hàm số sau.
1) y =

ex
ex −1

2) y =

e 2 x −1 − 1

 2x − 1




3) y = ln  1 − x


2

2

4) y = log(-x – 2x )

5) y = ln(x -5x + 6)

6) y =

 2 x 2 − 3x + 1 


log 2 
 1 − 3x 

* Tìm các giới hạn.
e3x − 1
x →0
x

1)

lim

2)

5)

lim log 3 x

6)

lim

8)

lim

ln(1 + 3 x)
x →0
sin 2 x

9)

lim

x →9

x →0

e 2 x − e 3x
x →0
5x

ln(4 x + 1)
x

7)

ex −1

lim
x →0

 1

lim x.e x − x 
x →∞



4)

x →5

ln(3 x + 1) − ln(2 x + 1)
x

ln(1 + 2 x)
x →0
tan x

10)

x +1 −1

x →0

lim(2 x − 3 x )

3)

lim

lim

* Tính đạo hàm của các hàm số sau.
2

1) y = (x -2x + 2).e
4) y = 2x -

x

2) y = (sinx – cosx).e
5) y = ln(x2 + 1)

ex

7) y = (1 + lnx)lnx

8) y =

2x

6) y =

x 2 . ln x 2 + 1

3) y =

e x − e−x
e x + e−x

ln x
x

9) y = 3x.log3x

* Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho.
1) y = esinx ;

y’cosx – ysinx – y’’ = 0

2) y = ln(cosx) ;

y’tanx – y’’ – 1 = 0

3) y = ex.cosx ;

2y’ – 2y – y’’ = 0

IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ.
* Giải các phương trình:
1). (0,2)

x-1

=1

5).

(3 − 2 2 )

8).

x− x2 +4

5

2x

(

= 3+ 2 2

= 25

)

2).

1
 
 3

6).

(

9)

x+7

3).

=3

5+2

1
 

2

10) 5x+1 + 6. 5x – 3. 5x-1 = 52

3 x −1

)

x −1

1
. 
2

=

(

5−2

1− 2 x

=2

)

4

x −1
x +1

x 2 −3 x + 2

4).

= 16

7).

3

x 2 −5

x 2 −2

1
 
2

= 9 x +1

= 2 4 −3 x


11) 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9

12) 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1

* Giải các phương trình.
1) 4x + 2x+1 – 8 = 0

2) 4x+1 – 6. 2x+1 + 8 = 0

3) 34x+8 – 4. 32x+5 + 27

4) 31+x + 31-x = 10

5) 5x-1 + 53 – x = 26

6) 9x + 6x = 2. 4x

7) 4x – 2. 52x = 10x

8) 27x + 12x = 2. 8x

(2 + 3 ) + (2 − 3 )
x

9)

x

10)

=2

x

x

 6 + 35  +  6 − 35  = 12

 


11)

x

12)

13) 32x+4 + 45. 6x – 9. 22x+2 = 0

x

 7 − 48  +  7 + 48  = 14

 


(7 + 3 5 ) + (7 − 3 5 )
x

x

= 14.2 x

14) 8x+1 + 8.(0,5)3x + 3. 2x+3 = 125 – 24.(0,5)x

V. PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT.

* Giải các phương trình.
1) log2x(x + 1) = 1

2) log2x + log2(x + 1) = 1

3) log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3
5)

log

5

x. log 25 x

log 5 x

2) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3)

4) log4(x + 3) – log2(2x – 7) + 2 = 0

= log125 2 x

6) log2(2x+1 – 5) = x

* Giải các phương trình.
1) log22(x - 1)2 + log2(x – 1)3 = 7
3)

1 + log 3 x 1 + log 27 x
=

1 + log 9 x 1 + log 81 x

2)

3 log 3 x − log 3 3 x = 3

4) log2x.log4x.log8x.log16x =

2
3

VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT.
* Giải các bất phương trình.
1)
5)

3

2 x +5

>1

9 x < 3 x +1 + 4

x

2) 27 <

1
3

3)

1
 
2

6) 3x – 3-x+2 + 8 > 0

x 2 −5 x + 4

>4

4)

6 2 x +3 < 2 x + 7.33 x −1


7)

log 1 (5 x + 1) < −5

8)

2

log 1 (log 2

10)

3

1 + 2x
)>0
1+ x

log 4

1 + 3x
x −1

9) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5)

11) log22x + log24x – 4 > 0

NGUYÊN HÀM
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
Tìm ngun hàm của các hàm số.
2

1. f(x) = x – 3x +

5. f(x) =

1
x

2x 4 + 3
x2

2. f(x) =

( x − 1) 2
x

3. f(x) =

6. f(x) = tan 2x

x −1
x2

1

4. f(x) =

7. f(x) = cos 2x

x

−3

2
x

8. f(x) = (tanx –

cotx)2
x

9. f(x) = 2sin3xcos2x

x

x

10. f(x) = e (e – 1)

11. f(x) = e (2 +

e−x
)
cos 2 x

12. f(x) =

2ax + 3x
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
1.

∫

5.

∫ (2 x

9.

∫

13.

x 2 + 1.xdx
2

+ 1) 7 xdx

3x 2
5 + 2x

∫ cos

3

3

dx

x sin 2 xdx

dx

2.

∫ (3 − 2 x)

6.

∫ (x

10.
14.

3

5

+ 5) 4 x 2 dx

4
∫ sin x cos xdx

sin x
dx
5
x

∫ cos

∫

5 − 2 x dx

∫x

x 2 + 1.dx

3.
7.

11.
15.

3

4.
8.

∫

∫x

2

dx
2x −1
x
dx
+5

ln 3 x
∫ x dx

12.

∫ x.e

∫x

x − 1.dx

16.

∫ x ln x

3.

∫ ( x + 2)e

x 2 +1

dx

dx

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
1.

∫ x.sin( x + 1)dx

2.

∫ x cos xdx

3x

dx

4.

∫ ln xdx


5.

∫ (4 x + 1)sin 2 xdx

6.

∫ x ln xdx

7.

∫ 2 x ln(1 + x)dx

8.

∫ ln( x + 2)dx


PHẦN II: HÌNH HỌC
TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO
Hình chóp :
Định nghĩa :

S

A

D
H

Cho đa giác A 1A 2  A n và điểm S nằm ngồi mặt phẳng
chứa đa giác đó . Hình gồm n tam giác và đa giác
A 1A 2  A n là hình chóp S. A 1A 2  A n .
• Tứ diện là hình chóp tam giác .
• Tứ diện đều là hình chóp tam giác có tất cả các cạnh
bằng nhau

C

B

Hình chóp tứ giác S.ABCD .
Hình chóp đều :
S

A
H
B

C

• Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều
và các
cạnh bên bằng nhau .
• Hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác
D đều và
đường cao của nó qua tâm của đáy ( tâm đường trịn

ngoại
tiếp , nội tiếp )

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Khối chóp :
Khối chóp là khối đa diện giới hạn bởi một hình chóp, kể cả hình chóp đó . Ta có
khối chóp
n-giác , khối tứ diện , khối chóp n-giác đều ...
Thể tích khối chóp :
Với B: diện tích đáy
h: chiều cao

1
V = B.h
3


Thể tích khối lăng trụ:

V = B.h

Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Thể tích khối hộp:

V = B.h

Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c

Với a, b, c lần lượt là ba kích thước( chiều dài, chiều rộng, chiều cao) của nó
Một số dạng tốn thường gặp:
- Tính thể tích khối chop
- Dùng cách tính thể tích để giải một số bài tốn hình học( tính khoảng cách từ 1
điểm đén mặt phẳng,…)
- Tính tỉ số thể tích
Mặt nón, hình nón, khối nón:
Diện tích xung quanh hình nón:

S xq = π rl

Với r: bán kính của hình nón
l: độ dài đường sinh của hình nón
Thể tích khối nón:

1
V = B.h
3

Với B là diện tích đáy
h: là chiều cao
Diện tích xung quanh của hình trụ:
Với r bán kính của hình trụ
l: độ dài đường sinh
Thể tích khối trụ:

V = B.h

Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Diện tích mặt cầu:

S = 4π r 2

S xq = 2π rl