Đề cương ôn tập mon toán lớp 12 (4)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I NĂM 2014– 2015
TRƯỜNG THPT PHÚC THỌ
MÔN: TOÁN LỚP 12
Chủ đề 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Các kiến thức cơ bản cần nhớ
1. Ứng dụng đạo hàm cấp một để xét tính đơn điệu của hàm số. Mối liên hệ giữa sự
đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu hàm cấp một của nó.
2. Cực trị của hàm số. Điều kiện đủ để có cực trị. Điểm cực đại, điểm cực tiểu,
điểm cực trị của hàm số. Các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số.
3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số trên một tập hợp số.
4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận
ngang.
5. Khảo sát hàm số. Sự tương giao của hai đồ thị. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số. Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên,
tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).
2. Các dạng toán cần luyện tập
1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm.
2. Tìm điểm cực trị của hàm số.
3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng.
4. Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
5. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)
y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)
y=

ax + b
(ac ≠ 0, ad − bc ≠ 0) ,
cx + d

trong đó a, b, c là các số cho trước.

6. Dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình.
7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
8. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước(như điểm cố định…). Tương
giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng);

1


 MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ 1.
I. Đơn điệu của hàm số.
Cho hs y = f(x) xác định trên K (K ⊂ R)
1) Nếu f’(x)

≥

0 với mọi x ∈ K thì hs đồng biến trên K.

2) Nếu f’(x)

≤

0 với mọi x ∈ K thì hs nghịch biến trên K.

Dấu “=” chỉ xảy ra (với cả 2 trường hợp trên) tại một số hữu hạn điểm x∈ K.
* Nhắc lại kiến thức lớp 10:
Cho tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) và biệt thức ∆ = b2 – 4ac
1)

∆ ≤ 0

g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
a > 0

2)

∆ ≤ 0
g(x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
a < 0

II. Cực trị của hàm số.
1) Điều kiện cần để hs có cực trị:
Nếu hs y = f(x) có đạo hàm và đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0 (ngược lại không
đúng)
2) Điều kiện đủ (gọi là dấu hiệu) để hs có cực trị: (dùng để tìm cực trị của hs)
a) Dấu hiệu I: “đạo hàm đổi dấu khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực trị”
b) Dấu hiệu II:
* Nếu

f '(x 0 ) = 0

f "(x 0 ) > 0

thì hs đạt cực tiểu tại x0

* Nếu

f '(x 0 ) = 0

f "(x 0 ) < 0

thì hs đạt cực đại tại x0

Chú ý: cả 2 điều kiện trên đều là điều kiện 1 chiều!
III. Qui tắc tìm GTLN và GTNN của hs.
1) Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hs trên khoảng, hoặc trên TXĐ
thì ta lập BBT rồi KL.
2) Nếu bài toán yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hs trên đoạn [ a; b] thì ta thực hiện
các bước sau:
Bước 1: Khẳng định trên đoạn [ a; b] , hs đã cho liên tục

2


Bước 2: Tìm các điểm x ∈ [ a; b] mà tại đó đạo hàm không xác định, hoặc là nghiệm
của đạo hàm
Bước 3: Tính giá trị của hs tại các điểm x nói trên bước 2, giá trị của hs tại 2 đầu
mút a, b của [ a; b]
So sánh các giá trị ở bước 3 rồi KL.
Lưu ý khi tìm GTLN và GTNN của hs trên đoạn [ a; b] thì ta có thể lập BBT rồi KL
cũng được
IV. Tìm các đường tiệm cận đứng, ngang của đồ thị hs.
Tìm TXĐ của hs, giả sử hs y = f(x) có TXĐ: D = ( −∞, a ) ∪ ( b, +∞ ) .
Ta tìm các giới hạn của hs khi x tiến tới các “biên” của TXĐ, ở đây ta có 4 “biên”:
−∞; +∞ ; trái a; phải b. Vậy ta tìm cả thảy 4 giới hạn của hs khi
x → −∞, x → +∞, x → a − , x → b + . (lưu ý phải tìm đủ tất cả 4 giới hạn)
y = y 0 thì KL đồ thị hs có 1 đường tiệm cận ngang y = y0 ( x tiến tới vô cùng,
Giả sử xlim
→+∞
y tiến tới số)
y = −∞ thì KL đồ thị hs có 1 đường tiệm cận đứng x = a (x tiến tới số, y tiến

Giả sử xlim
→a
tới vô cùng)
−

V. Bài toán PT, BPT chứa tham số có ràng buộc điều kiện nghiệm.
Giả sử hs y = f(x) liên tục trên đoạn [ a; b] và
đó:
1) PT f(x) = k có nghiệm thuộc [ a; b]

Min y = m , Max y = M .
[ a;b]

[ a;b]

k là số thực. Khi

⇔m≤k≤M

2) BPT f(x)

≥

k có nghiệm thuộc [ a; b]

3) BPT f(x)

≥

k nghiệm đúng

4) BPT f(x)

≤

k có nghiệm thuộc [ a; b]

5) BPT f(x)

≤

k nghiệm đúng

⇔k≤M

∀x ∈ [ a; b ] ⇔ k ≤ m
⇔k≥m

∀x ∈ [ a; b ] ⇔ k ≥ M

BÀI TẬP
I.

ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN

1. Cho hàm số
định.

y=

3x + 1
1− x

có đồ thị ( C ) .

CMR hàm số đồng biến trên khoảng xác

2. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

3

y = 2x − x2

.


3. CMR hàm số
( 1; 2 ) .

y = 2x − x2

đồng biến trên khoảng ( 0;1) và nghịch biến trên khoảng

4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

y = 2x − x2

.

5. Cho hàm số y=x3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2. Tìm m để hàm số luôn đồng biến.

6. Cho hàm số y=mx3-(2m-1)x2+(m-2)x-2. Tìm m để hàm số luôn đồng biến.
7. Chứng minh rằng với x > 0, ta có:
8. Cho hàm số

II.

x3
< sin x
6

f ( x ) = 2sin x + tan x − 3 x

a. CMR hàm số đồng biến trên
b. CMR

x−

 π
0; 2 ÷

 π
2sin x + tan x > 3 x, ∀x ∈ 0; ÷
 2

CỰC TRỊ

1: Chứng minh hàm số

1
y = x 3 − mx 2 − ( 2m + 3) x + 9

3

luôn có cực trị với mọi giá trị của

tham số m.
2: Xác định tham số m để hàm số
3: Tìm m để hàm số

y = x 3 − 3mx 2 + ( m 2 − 1) x + 2

y = −mx 4 + 2 ( m − 2 ) x 2 + m − 5

đạt cực đại tại điểm

có một cực đại tại

x=

1
.
2

4: Tính giá trị cực trị của hàm số
y = x3 − 2 x 2 x − x + 1 .

5: Tìm m để hàm số

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.

y = ( m + 2 ) x 3 + 3 x 2 + mx − 5

có cực đại, cực tiểu.

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:

y = ( x + 2) 4 − x2

2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y = 3x + 10 − x 2

3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y = x ( 4 − x)

.

.

4. Tìm GTLN và GTNN của hàm số

f ( x ) = x4 − 2x2 + 1

trên đoạn [ 0; 2] .

5. Tìm GTLN và GTNN của hàm số

f ( x ) = x + 2cosx

trên đoạn

4

 π
0; 2  .

x = 2.


f ( x) = x +

6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

9
x

trên đoạn [ 2; 4]
4
x+2

7. Tìm GTLN và GTNN của hàm số

f ( x) = −x +1−

8. Tìm GTLN và GTNN của hàm số

f ( x ) = − x3 + 3x 2 − 4

9. Tìm GTLN và GTNN của hàm số

f ( x) =

2x −1
x −3

trên đoạn [ −1; 2] .
trên đoạn [ 1;3] .

trên đoạn [ 0; 2] .

10. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x.ex trên đoạn [ −1; 2] .
IV. TIỆM CẬN
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
a)

2x −1
y=
x+2

e)

y=

IV.

x +1
x2 + 3

b)

y=

f)

y=

x2 − x − 2

( x − 1)

2

x −5
x2 + 3

x2 + 3x
x2 − 4

c)

y=

d)

g)

x2 − 2 x + 4
y=
x −3

h)

y=

y=

2− x
x − 4x + 3
2

x2 + 5
x−2

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

Bài 1: Cho hàm số

y = x 3 − 3 x − 2 (C )

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
M o ( −2; −4 )

2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại

3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = 24 x + 2008 (d ) .
4. Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
1
y = x − 2008 (d ')

3

5. Viết phương trình tt với (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.
6. Biện luận số nghiệm của phương trình:

x 3 − 3 x + 6m − 3 = 0

7. Biện luận số nghiệm của phương trình:

| x3 − 3x − 2 | = m

Bài 2: Cho hàm số

y=

1 4
5
x − 2 x 2 + (C )
2
2

1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Viết pt tt với đồ thị (C) tại điểm
3. Biện luận số nghiệm của pt:

 5
M  2; ÷
 2

1 4

5−m
x − 2 x2 +
=0
2
2

5

theo m

theo m


Bài 3:1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

y = − x3 + 3x 2 .

2. Dựa vào đồ thị ( C ) , biện luận theo

m

số nghiệm của phương trình:

− x + 3x − m = 0
3

2

Bài 4: Cho hàm số

y = 2 x 3 + 3x 2 − 1 .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình
Bài 5: Cho hàm số

y = −x4 + 2x2 + 3

2 x3 + 3x 2 − 1 = m

có đồ thị ( C )

1. Khảo sát hàm số
2. Dựa vào ( C ) , tìm m để phương trình:
Bài 6: Cho hàm số

y = x4 − 2x2 + 1,

x4 − 2x2 + m = 0

có 4 nghiệm phân biệt.

gọi đồ thị của hàm số là ( C ) .

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) tại điểm cực đại của ( C ) .
Bài 7: Cho hàm số:

y=

1 3
x − 3x
4

có đồ thị ( C )

1. Khảo sát hàm số
2. Cho điểm M ∈ ( C ) có hoành độ là
qua M và là tiếp tuyến của ( C ) .
Bài 8: Cho hàm số

y = x 3 − 3mx 2 + 4m3

x=2 3

. Viết phương trình đường thẳng d đi

có đồ thị ( Cm ) , m là tham số.

1. Khảo sát và vẽ đồ ( C1 ) của hàm số khi m=1.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C1 ) tại điểm có hoành độ

x =1.

Bài 9:
1. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

y = x 3 − 6 x 2 + 9 x.

2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị ( C ) .

3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y = x + m 2 − m đi qua trung điểm
của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị ( C ) .
Bài 11: (ĐH -KA –2002) ( C )

y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m3 − m 2

a-khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C ) khi m =1.
b- Tìm k để pt :
Bài 12: Cho hs : ( C )

− x 3 + 3 x 2 + k 3 − 3k 2 = 0

Có 3 nghiệm phân biệt .

y = − x3 + 3x − 2

6


a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C ) .
b.Viết PTTT ( C) qua A ( -2;0)
x3- 3x+3 + 2m=0

c. Biện luận SNPT :

Bài 13: Cho (C) : y = f(x) = x4- 2x2.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm có hoành độ bằng

2

.

2. Tại điểm có tung độ bằng 3.
3. Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007
1

4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = 24 x − 10 .
Bài 14: Cho hs : ( C )

y=

2x + 4
x +1

a-KS-( C ) .
b-CMR: đthẳng y =2x+m cắt đồ thị ( C ) tại 2 điểm phân biệt A; B với mọi m . Xác
định m để AB ngắn nhất.
Bài 15: - Cho hs : ( C )

y=

x+2
x +1

a-KSHS.
b-Tìm m đth y= mx+m+3 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
c- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục

tung.
d- Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục
hoành.
e- Tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên
Bài 16: Cho HS ( C ) y = x3 - 6x2 +9x-1
a- Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b- (d) qua A(2;1) có hệ số góc m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 17: Cho hàm số

y = x4 − 2 x2 + 1,

gọi đồ thị là (C).

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).

7


Bài 18: Cho hàm số

y=

2x +1
(C )
x +1

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt hệ số góc k = 4.
c. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tt vuông góc với đường phân giác

góc phần tư thứ nhất.
y = 4 x 3 − 6 x 2 + 1 (C )

Bài 19: (ĐH – KB – 2008) Cho hàm số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

b. Viết pttt biết tiếp tuyến đi qua điểm M(-1; -9).
Chủ đề 2 HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
 MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CHỦ ĐỀ 2.
1. Luỹ thừa:
a = 1 (a ≠ 0); a
0

−n

m
1
= n (a ≠ 0); a n = n a m (a>0)
a

* Quy tắc tính:
a .a = a
m

n

m+ n

(a )

m n

;

am
= a m−n ;
an

* Quy tắc so sánh:

( ab )

n

n

=a

mn

an
a
=
 ÷
bn
b

;

;

= a n .b n

+ Với a > 1 thì

am > an ⇔ m > n

+ Với 0 < a < 1 thì

am > an ⇔ m < n

2. Căn bậc n
n

a.b = a . b ;
n

n

n

a na
=
b nb

n

ap =

( a)

n

p

3. Hàm số lũy thừa
Hàm số lũy thừa là hs dạng y =

xα ,

với α là số thực tùy ý

* Nếu α nguyên dương thì hàm số xác định với mọi x.
* Nếu α nguyên âm thì hàm số xác định với mọi x ≠ 0
* Nếu α không nguyên thì hàm số xác định với mọi x>0
4. Lôgarit
*

log a b = α ⇔ aα = b

8

m n

a = mn a


*

log a 1 = 0;

log a a = 1;

log a a b = b;

a loga b = b

* Tính chất so sánh:
+ Với a > 0 thì:

log a b > log a c ⇔ b > c

+ Với 0 < a <1 thì:
+

log a b > log a c ⇔ b < c

log a b = log a c ⇔ b = c

* Quy tắc tính:
b
= log a b − log a c
c

log a ( b.c ) = log a b + log a c

log a

log a bα = α log a b

log aα b =

1
log a b
α

log a n b =

1
log a b
n

* Công thức đổi cơ số:
log b c =

log a c
log a b

hay

log a b.log b c = log a c

log a b =

1
log b a

hay

log a b.log b a = 1 ;

* Chú ý:

a logb c = c logb a

Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx
Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx

5. Bảng đạo hàm cần nhớ:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp thường
gặp

( x ) ' = α .x
α

Đạo hàm của hàm số hợp u = u(x)

( u ) ' = α .u

α −1

α

,

α −1

'

1
1

 ÷ =− 2
x
 x

u'
1
 ÷=− 2
u
u

( x)

( u)

( x)
n

'

'

=

=

( sin x )
( cos x )

'

'

.u '

1
2 x

n. n x n −1

( u)

= cos x

( sin u )

= − sin x

( cos u )

1

n

9

'

'

=

=

'

'

u'
2 u
u'

n. n u n −1

= u '.cos u
= −u '.sin u


( tan x )
( cot x )

'

'

=

=−

1
=

cos 2 x

1
sin 2 x

(e )

x '

(a )

x '

1 + tan2x

( tan u )

= - (1 + cot2x)

( cot u )

( log a x )

'

'

=

=

'

u '

(a )

u '

1
x

u'
sin 2 u

= u '.eu

= u '.a u .ln a

( ln u )

1
x.ln a

u'
cos 2 u

=

=−

(e )

= ex

= a x .ln a

( ln x )

'

( log a u )

'

'

=

u'
u

=

u'
u.ln a

BÀI TẬP
1. LUỸ THỪA
Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức

Bài 1:

Tính

a) A =


 

3 5 : 2  : 16 : (5 .2 .3 

 

−7
4

5
3

3
2

1
3

b)

1
5  2
 4

(0, 25) −1 ( ) 2 + 25 ( ) −2 : ( )3  : ( ) −3
4
4  3
 3

c)

C = ( 0,5 )

−4

Bài 2: a) Cho a =
b) cho a =

−1

− 625

0,25

 1
−2 ÷
 4

(2 + 3) −1

1
2

+ 19. ( −3)

và b =

1
2

1
2

( đáp số : A= 15/2 )

−3

(2 − 3) −1 .

và b =

4 + 10 + 2 5

1
4

Tính A= (a +1)-1 + (b + 1)-1

4 − 10 + 2 5

. Tính A= a + b

Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức
Bài 3: Giản ước biểu thức sau

a) A =
d) E =

b) B =

( a − 5) 4
1
1
 12
2
2
x
+
y
(
x
+
y
)

−
1
1
1

 ( x + y) 2 x 2 + y 2


81a 4b2

với b ≤ 0

−2


÷ − x− y
÷
2 xy
÷


với x > 0, y > 0

Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức
Bài 4 chứng minh :

x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2

10

với 1≤ x ≤ 2

c) C =

(a

3

25

)

3

5

(a > 0)


Bài 5 chứng minh :
Bài 6: chứng minh:

a 2 + 3 a 4 b 2 + b 2 − 3 a 2 b 4 = ( 3 a 2 + 3 b 2 )3
3
1
1
 32
1  2
2
2
x
−
a
x
−
a

2 
+
(

ax
)
1
 1
  x − a
2
2
x
−
a

 

2


÷ =1
÷
÷


với 0 < a < x

2. LOGARIT
Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit
Bài 7 Tính logarit của một số
A = log24 B= log1/44

C=

log 5

1
25

D = log279

log 1 3 9

G=

log

 34 
1 
 5 ÷
÷
2 2 8 

H=

E=
I=

log 4 4 8

F=

3

J=

log16 (2 3 2)

K=

log 2 0,5 (4)

3 3
log 1  3 ÷
3 ÷
27 


log a3 a

L=

log

C=

log 2

1
a

(a 2 5 a 3 )

Bài 8 : Tính luỹ thừa của logarit của một số

log 2 3

A=

4

B=

27

E=

82

1

F=

21+log 2 70

I=

(2a )

log 2 10
log

a

1

J=

log 9 3

C=

9

G=

23− 4log8 3

log

3

2

2log 3 5

D=

3
 ÷
2

H=

9log3 2 +3log3 5

2

27 log3 2 −3log3 5

Vấn đề 2: Rút gọn biểu thức
Bài 9: Rút gọn biểu thức
A=

log 3 8log 4 81

B=

log 1 25log 5 9

D=

log 3 6 log8 9 log 6 2

E=

log 3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log8 7

G=

log 5 3
log 625 3

H=

log 2 24 log 2 192
−
log 96 2 log12 2

3

I=

F=
3

c.

1

b. 161+ log 5 + 4 2 log
4

 1 log7 9 −log7 6 − log 3 4 
72  49 2
+5
÷



2 3+ 3log 5 5

d. 36log6 5 + 101− lg2 − 3log9 36

11

log 2 30
log 4 30

log 1 7 + 2 log 9 49 − log 3 27

Bài 10. Tính giá trị của các biểu thức sau :
 14 − 12 log9 4

+ 25log125 8 ÷.49log7 2
a.  81



1
log 25 3 2
5


1

e. 2 log 736 − log 714 − 3log 7 3 21
Vấn đề 3: Chứng minh đẳng thức logarit
Bai 11: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghĩa)
a)

log ax (bx) =

log a b + log a x
1 + log a x

b)

1
1
1
n(n + 1)
+
+ ... +
=
log a1 x log a 2 x
log a. n x 2 log a x

c) cho x, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy
Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2
d) cho 0 < a ≠ 1, x > 0 Chứng minh: log ax .

1
log a2 x = (log a x) 2
2

Từ đó giải phương trình log3x.log9x = 2
e) cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7ab chứng minh:

log 2

a+b 1
= (log 2 a + log 2 b)
3
2

3. HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số
Bài 12: tìm tập xác định của các hàm số sau
a) y =

log 2

3
10 − x

b) y = log3(2 – x)2

c) y =

log 2

1− x
1+ x

Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 13: tính đạo hàm của các hàm số mũ
a) y = x.ex

b) y = x7.ex

c) y = (x – 3)ex

e) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex)
i) y = 32x + 5. e-x +

1
3x

d) y = ex.sin3x

g) y = cos(

j) y= 2xex -1 + 5x.sin2x

ex

2

+ 2 x1

) h) y = 44x – 1

k) y =

x2 −1
4x

Bài 14 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit
a) y = x.lnx

b) y = x2lnx -

x2
2

c) ln(

x + 1 + x2

) d) y = log3(x2- 1)

e) y = ln2(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.loga(x2 + 2x + 3)
4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Phương trình mũ

12


Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 15 : Giải ác phương trình sau
a)

2 x− 4 = 3 4

d)

2x

2

− x +8

b)

2

x2 −6 x −

5
2

c)

= 16 2

e) 52x + 1 – 3. 52x -1 = 110 f)

= 41−3 x

32 x −3 = 9 x

2

+ 3 x −5

x +5
x +17
1
32 x −7 = 128 x −3
4

Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 16 : Giải các phương trình
a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12

e)

5

g)

(

i)

7 x + 2.71− x − 9 = 0

x

− 53−

x

5+ 2 6

b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0
f)

= 20

) (
x

+

5− 2 6

)

x

( 4−

15

) +( 4+
x

= 10 h)32 x +1 − 9.3x + 6 = 0

(TN – 2007)

j)

15

)

x

=2

(TN – 2008)
(TN –2006)

22 x + 2 − 9.2 x + 2 = 0

Dạng 3. Logarit hóạ
Bài 17 Giải các phương trình
a) 2x - 2 = 3

b) 3x + 1 = 5x – 2

d)

e)

2 x−2 = 5x

2

−5 x + 6

5 x.8

x −1
x

c) 3x – 3 =

5x

2

− 7 x +12

f) 52x + 1- 7x + 1 = 52x + 7x

= 500

Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu
Bài 18: giải các phương trình
a) 3x + 4 x = 5x

b) 3x – 12x = 4x

c) 1 + 3x/2 = 2x

Vấn đề 2: Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 19: giải các phương trình
a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46

b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)

c) log4x + log2x + 2log16x = 5

d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0

e) log3x = log9(4x + 5) + ½

f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2

g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)h)

log 3 ( x + 2 ) + log 3 ( x − 2 ) = log 3 5

Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 20: giải phương trình
a)

1
2
+
=1
4 − ln x 2 + ln x

b) logx2 + log2x = 5/2

13

(TN L2 2008)


10 log 2 x + 6 = 9

c) logx + 17 + log9x7 = 0

d) log2x +

e) log1/3x + 5/2 = logx3

f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

g)

log 2

2

x + 3log 2 x + log 1 x = 2

h)

2

lg x2 16 + l o g 2 x 64 = 3

Dạng 3 mũ hóa
Bài 21: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x)

b) log3(3x – 8) = 2 – x

5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ
Bài 22: Giải các bất phương trình
2 x+ 5

a) 16x – 4 ≥ 8
d)

4

x2 − x + 6

>1

b)

1
 ÷
 3

e)

1
2 ÷
2

c)

<9
4 x 2 −15 x + 4

< 23 x − 4

6

9 x ≤ 3 x+ 2

f) 52x + 2 > 3. 5x

Bài 23: Giải các bất phương trình
a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17

b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3

d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x
2log48

c)

1

−1

1

−2

4x > 2x + 3

e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15

f) 4x +1 -16x ≥

g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x
Bài 24: Giải các bất phương trình
a) 3x +1 > 5

b) (1/2) 2x - 3≤ 3

c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - 3 x – 2)

Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit
Bài 25: Giải các bất phương trình
a) log4(x + 7) > log4(1 – x)
c) log2( x2 – 4x – 5) < 4

b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
d) log1/2(log3x) ≥ 0
f) log2x(x2 -5x + 6) < 1

e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3
Bài 26: Giải các bất phương trình
a) log22 + log2x ≤ 0
c) log2 x + log2x 8 ≤ 4

b) log1/3x > logx3 – 5/2
d)

14

1
1
+
>1
1 − log x log x


e)

log x 2.log x 16 2 >

1
log 2 x − 6

f)

log 4 (3x − 1).log 1 (
4

3x − 1 3
)≤
16
4

Bài 27. Giải các bất phương trình
a) log3(x + 2) ≥ 2 – x

b) log5(2x + 1) < 5 – 2x

c) log2( 5 – x) > x + 1

d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ 2

Bài 28:Giải hệ phương trình
1

x +y

= 128
4
 3x −2y −3

=1

5

2

lg x + lg y = 1
 2
2
x + y = 29

3

x +y

= 125
5
 (x −y)2 −1
=1

4

4

 log3 x + log3 y = 1 + log3 2

x + y = 5

5

2 x + 2 y = 12

x + y = 5

6


log 4 x − log2 y = 0
 2
2

x − 5y + 4 = 0

7

2x
y

3 − 2 = 77
 x
y

3 − 2 = 7

8

2
2

lg x + y = 1 + 3lg 2



lg ( x + y ) − lg ( x − y ) = lg3

9

3x + 3 y = 4

x + y = 1

11

 x + y = 11

 log 2 x + log 2 y = 1 + log 2 15

13

4
 −x
−y
3 + 3 =
9


x + y = 3

3x + 3 y = 4
15 
x + y = 1

17

 2 x + 5 x + y = 7
 x −1 x + y
 2 .5 = 5

(

)

10

2

log x (xy) = log y x
 2 log x
y
= 4y + 3

y

12

log( x 2 + y 2 ) = 1 + log 8

log( x + y ) − log( x − y ) = log 3

14

x2 − y2 = 3

log 3 ( x + y ) − log 5 ( x − y ) = 1

16

 x + y = 25

log 2 x − log 2 y = 2

18

3 x .2 y = 972

log 3 ( x − y ) = 2

15


19

3 log x = 4 log y

(4 x) log 4 = (3 y ) log 3

21

 y = 1 + log 2 x
 y
 x = 64

20

log 2 x = log 2 y + log 2 ( xy )
 2
log ( x − y ) + log x. log y = 0

22

9 x 2 − 4 y 2 = 5

log 5 (3 x + 2 y ) − log 3 (3 x − 2 y ) = 1

23

 23 x = 5 y 2 − 4 y
 x
 4 + 2 x +1
=y
 x
 2 +2

24

log 27 xy = 3 log 27 x. log 27 y

x 3 log 3 x

log
=

3

y
4 log 3 y


25

2 x + 5 y +x = 7

 x −1 x + y
=5

2 .5

26 

27

 x 2 − 4 x + y + 2 = 0

 2log 2 ( x − 2 ) − log

log 2 ( 3 y − 1) = x
x
x
2
4 + 2 = 3 y

2

28

y=0

 x 2 + 2 y = 4x − 1

2log 3 ( x − 1) − log

3

( y + 1) = 0

 x − 4 y + 3 = 0
 log 4 x − log 2 y = 0

29

 4 log3 xy = 2 + ( xy) log3 2
 2
 x + y 2 − 3x − 3 y = 12

31

1

log 1 ( y − x ) − log 4 y = 1
 4
 x 2 + y 2 = 25


33

3x.2 y = 972

log 3 ( x − y ) = 2

35

log ( x 2 + y 2 ) = 1 + log8

log ( x + y ) − log ( x − y ) = log 3

37

 x + y = 11

log 2 x + log 2 y = 1 + log 2 15

39

 log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )
 x2 − xy + y 2
= 81
 3

30 

32


 x −1 + 2 − y = 1

2
3

3log 9 ( 9 x ) − log 3 y = 3

34

 x2 + y 2 = 3

log ( x + y ) + log ( x − y ) = 1
1
 3
3

36

 ( x − 1) lg2 + lg 2 x+1 + 1 < lg 7.2 x + 12

 logx ( x + 2 ) > 2

38


log 2−x ( 2 − y ) > 0


log 4−y ( 2x − 2 ) > 0

40

 1 .log 3 x 2 −log 3 y =0
2

 x + y 2−6.y =0


(

CHỦ ĐỀ 3: HÌNH HỌC

16

)

(

)


Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 4(cm),góc giữa cạnh bên
với mặt đáy bằng 600.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD?
Bài 2. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 3(cm),góc giữa mặt bên với
mặt đáy bằng 300.Tính thể tích của khối chóp S.ABC?
Bài 3. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC =b,
0
Cˆ = 600 . Đường chéo BC' tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc 30 .
a.Tính độ dài đoạn thẳng AC'.

b.Tính thể tích khối lăng trụ.

Bài 4.Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Điểm A' cách đều
các điểm A,B,C. Cạnh bên AA' tạo với mặt đáy một góc 600.
a.Tính thể tích khối lăng trụ.
nhật.

b.Chứng minh BCC'B' là hình chữ

c.Tính diện tích xung quanh của lăng trụ.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cận tại B có AB = 3cm, BC
= 4cm, SA = 6cm và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b.Gọi E là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BE = 2EC, F là trung điểm của SE. Tính
thể tích khối chóp S.ABF.
(Đề TNTHPT-2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và D với AD=CD=a, AB=3a . Cạnh SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo
với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a..
(Đề TNTHPT-2012) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
vuông tại B và B A = BC = a. Góc giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC)
bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể tích khối
lăng trụ A.BCA’B’C’. xác định tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp A’ ABC.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy.
Góc giữa SC và đáy bằng 60ο và M là trung điểm của SB.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b) Tính thể tích của khối chóp MBCD
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và

AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN

17


Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và
SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM
VI. KHỐI NÓN- KHỐI TRỤ
Bài 1. Cho hình nón có bán kính đáy bằng R, đường sinh tạo với đáy góc 60º.Tính
diện tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng
Bài 2. Cho hình nón có bán kính đáy bằng r=12 cm, góc ở đỉnh là α = 120º. Tính diện
tích toàn phần của hình nón và thể tích của khối nón tương ứng
Bài 3. Cho khối nón tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính r. Biết thiết
diện qua trục là tam giác đều.tính thể tích khối nón theo r
Bài 4. Thiết diện qua trục của một khối nón là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
a.Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón tương ứng

18