Đề cương ôn tập mon toán lớp 12 (6)

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HK 2 MƠN TỐN LỚP 12
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG
CHƯƠNG III: GUN HÀM –TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG

NGUN HÀM
A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

2) Các phương pháp tính nguyên hàm:
a) Phương pháp đổi biến số:
Định lí 1:
Nếu

∫ f ( u ) du = F ( u ) + C

và u = u(x) là hàm số và u = u(x) có đạo hàm liên tục thì

∫ f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) .dx = F ( u ( x ) ) + C


Hệ quả:

∫ f ( ax + b ) dx =

1
F ( ax + b ) + C
a

Chú ý: Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới u ( u = u(x)) , thì sau khi tính ngun
hàm ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x) .
b) Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2:

Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫ u ( x ) .v ' ( x ) .dx = u ( x ) .v ( x ) + ∫ u ' ( x ) .v ( x ) .dx
Chú ý: Cơng thức trên cịn viết được dưới dạng:

∫u.dv = u.v −∫v.du


PHẦN 1:

BÀI TẬP MẪU


PHẦN 2:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a, f(x)= x3 + cos x −
c, f(x)=

1
x

2
1
−
+ ex
2
2

x 1+ x

b, f(x)= 5 x 4 − 2 x +
d, f(x)= −

e, f(x)= x 2 3 x 2 − 3e x ( 2 − e −2 x )

1
cos 2 x

3 2
+ + 5sin x
x4 x

f. f(x)=tanx

Bài 2 Tìm nguyên hàm của hàm số:

3x 4 − 2 x3 + 5
f(x)=
x2

(x ≠ 0), biết rằng nguyên hàm này

bằng 2 khi x=1.
Bài 3 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)=sin2xcosx biết rằng nguyên hàm này bằng 0 khi
π

x= 3 .
Bai 4 Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x) = sin x + cos x ,

biết

π 
F  ÷= 1.
4

TÍCH PHÂN

A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
I . ĐỊNH NGHĨA- TÍNH CHẤT
1.Định nghĩa: “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số
F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của
b

hàm số f(x), ký hiệu: ∫ f ( x) dx
a


b

b

Ta còn ký hiệu: F ( x) a = F (b) − F (a ) .Vậy:

∫ f ( x)dx = F ( x)

b
a

= F (b ) − F ( a )

a

2.Tính chất:

II .PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN.
1. Phương pháp đổi biến số:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên
đoạn [α; β] sao cho ϕ(α) = a; ϕ(β) = b và a ≤ ϕ(t) ≤ b với mọi t thuộc [α; β] Khi đó:
b

∫
a

β

f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t )).ϕ ' (t ) dt
α

b

Chú ý Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Để tính

∫ f ( x) dx ta chọn hàm số
a

u = u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục trên [a; b] và u(x) thuộc [α; β]. Ta biến đổi f(x) =
g(u(x)).u’(x). Khi đó ta có:
u (b )

b

∫
a

f ( x) dx

=

∫

u (a )

g (u ) du


2. Phương pháp tính tích phân từng phần:
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì
b

b

a

a

'
b
'
∫ u( x)v ( x) dx = (u( x)v( x)) a − ∫ u ( x)v( x) dx

b

Hay

∫ u dv = uv
a

b

b
a

− ∫ v du

”

a

B. BÀI TẬP
PHẦN I:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 4: Tính các tích phân sau:
1

1. I = ∫ xe x dx ;
0

2

3. K = ∫ e x sin xdx;
1

π

2. J = ∫ 4 x 2 cos xdx;
0

4

4. L = ∫ 4 x ln xdx.
1





PHẦN II:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
A.TĨM TẮT LÝ THUYẾT





B. BÀI TẬP
PHẦN I:

BÀI TẬP MẪU





PHẦN II:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
a. y =x2-2x+2 và y =-x2-x+3
b. y=x3 ;y =2-x2 và x=0
c. y =x2-4x+3 và trục 0x
d. y2 =6x và x2+y2=16
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a.

y = x −1+

ln x
, y = x −1
x

b. y=x3-x2 và
c.

y = 1− 1− x2

y=

và x=e

1
( x − 1)
9

và y=x2

d. y= x3-1 và tiếp tuyến với y=x3-1 tại điểm (-1 ;-2)
Bài 3: Tínhdiện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
a)y=2x-x2 , x+y=2
b)x+y=1 ,x+y= -1 ,x-y=1 ,x-y= -1
c)y=

1
x +1

,y=1/2

Đáp số: a)S=1/6(đvdt);
b)S=2(đvdt)
c)S=

π
2

-1 (đvdt)


THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

B. BÀI TẬP

PHẦN I:

BÀI TẬP MẪU