Đề cương ôn tập mon toán lớp 12 (10)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 12
NĂM HỌC 2013–2014
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐỀ SỐ 1

Bài 1. Tính các giới hạn sau
1. lim

x →−∞

x 2 − 3x − 5x
.
3x + 5

2. lim
x →1

2 x − 1 − 3 3x − 2
.
x −1

Bài 2.
1. Tìm giá trị tham số a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0
khi x ≤ 0
 x + 2a
 2
f ( x) =  x − 1 + x + 1
khi x > 0.

x


2. Chứng minh rằng phương trình
của tham số m.

(m 2 + m + 1) x 4 + 2x − 2 = 0

có nghiệm với mọi giá trị

Bài 3.
1. Cho hàm số

f ( x ) = (x 2 + 2x) x − 1.

Giải bất phương trình

f '( x) ≥ 0.

3
2
2. Cho hàm số y = f ( x ) = x − 2 x + 1 có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: x + y − 1 = 0.

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và
SC.
1. Chứng minh AC ⊥ SD.
2. Chứng minh MN ⊥ (SBD).
3. Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
4. Tính khoảng cách giữa BC và SD.

ĐỀ SỐ 2

.
Bài 1. Tìm các giới hạn sau
1.

(x
lim

2

+ 2012 ) x + 1 − 2012

x→0

x + 2x
3

2.

;

lim ( x 2 + 2 x − 1 − x ) .

x →+∞

Bài 2.
1. Cho hàm số

 x2 − 3 x −1 −1

khi x ≠ 1,

f ( x) = 
x −1
 −2
khi x = 1.


Xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm

x0 = 1.

2. Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a + 3b + 8c = 0. Chứng minh rằng phương trình
ax 2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; 1].
Bài 3. Cho hàm số

y = f (x) = x 4 − x 2 + 3

1. Giải bất phương trình

có đồ thị (C).

f ′( x) < 0.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:

x + 2 y − 3 = 0.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy,
SA = a 2, AB = a, BC = 2a.

1. Chứng minh tam giác SBC vuông.
2. Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH).
3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
4.
Xác định thiết diện của hình chóp bởi mặt phẳng qua A và vuông góc với
SC. Tính diện tích thiết diện đó.


ĐỀ SỐ 3

Bài 1. Tìm các giới hạn sau
1. lim
x→0

sin 7 x − 1 + 1 + x
sin 5 x

2.

lim ( x − 1)


x →+∞

(

)

x2 + 2x − 3 − x −1  .



Bài 2.
1. Cho hàm số

 x+6 −2

f ( x) =  x + 2
m


Tìm m để hàm số trên liên tục tại
2. Chứng minh rằng phương trình:

khi x ≠ −2,

(m là tham số)

khi x = −2.
x = −2.
tan x −

m
= 1 có
s inx

nghiệm với mọi tham số m.

Bài 3.
1. Cho hàm số

f ( x ) = 2sin x + cos x − tan x.

Giải phương trình

f '( x ) + tan 2 x + 1 = 0.

2. Cho hàm số f ( x) = 2 x3 − 2 x + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 22 x + 2012.
Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
a.
1. Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
2. Chứng minh tam giác SAC vuông.
3. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
4. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).

· D = 600 ,
BA

SA=SB=SD=


ĐỀ SỐ 4

Bài 1.
1. Tìm các giới hạn sau
a)

lim

x 3 + x 2 sin 2 x + x cos3 x − 1

x →−∞

( x + 1)

2

1 − cos x cos 3 x
.
x→0
x2

.

b) lim

Bài 2.
1. Cho hàm số

 x (x − a) khi x ∈ (−∞; 2]

f ( x) =  b
 x − 1 khi x ∈ (2; +∞).

Xác định giá trị các tham số a, b để hàm số có đạo hàm trên R.
2. Chứng minh rằng phương trình
phân biệt với mọi m.
Bài 3. Cho hàm số
1. Tính

f ( x ) = x2 − 2x

x 3 + mx 2 + ( m − 3) x − 1 = 0

(m là tham số), có 3 nghiệm

có đồ thị ( C ) .

f '( x) .

2. Tìm tọa độ của điểm M trên ( C ) , biết tiếp với đồ thị tại M tạo với truc hoành một
góc bằng 600.
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A. AB = AC =
a, góc giữa AB’ và mặt đáy bằng 600. Gọi I là trung điểm của B’C’.
1. Chứng minh (AB’C’)

⊥

(AA’I).

2. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (BCC’B’).
3. Gọi G là trọng tâm tam giác AA’B’. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (AB’C’).
4. ( α ) là mặt phẳng chứa AG và vuông góc với mặt phẳng (AA’I). Xác định thiết diện
của lăng trụ bị cắt bởi ( α ) và tính diện tích thiết diện đó.


ĐỀ SỐ 5

Bài 1. Tìm các giới hạn sau

1 − cos 3x 3 1 + x 2
1. lim
x→0
sin 2 x

2.


lim− ( x 2 − 9 )
x →3


x−4
.
x−3 

Bài 2.
1.

Xét tính liên tục của hàm số y =

2.

Chứng minh rằng phương trình

 πx
khi x ≤ 1
cos
2
f ( x) = 

 x-1
khi x > 1.


x5 − 5 x3 + 4 x − 1 = 0

có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Bài 3.
1. Tìm đạo hàm của các hàm số
a)

b)

y = x x 2 + 1;

2. Cho hàm số

y=

x −1
x +1

y = 1 + 2 tan x .

có đồ thị (C) . Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị ( C ) biết tiếp

tuyến tại M của đồ thị cắt hai trục tọa độ

Ox, Oy

tại A và B sao cho tam giác OAB cân.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều cạnh a ( AB // CD, AB > CD ) .
Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
1. Chứng minh rằng

BD ⊥ SC.

2. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa
3. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng ( SAD ) và ( ABCD ) .

SD

và

AB.