Đề cương ôn tập mon toán lớp 12 (20)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 12
NĂM HỌC 2013–2014
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
A. LÝ THUYẾT
I. GIẢI TÍCH
1. Nắm vững sơ đồ khảo sát hàm số.
2. Bất phương trình mũ và logarit
2. Nắm khái niệm nguyên hàm - tính chất nguyên hàm. Thuộc các công thức nguyên hàm
cơ bản. Biết cách tìm nguyên hàm một số các hàm số hữu tỷ.
3. Nắm khái niệm hình thang cong, diện tích hình thang cong - Thuộc định nghĩa tích
phân - Các phương pháp tính tích phân: dùng nguyên hàm cơ bản, đổi biến số, tích phân
từng phần - ứng dụng tích phân tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đồ thị cho
trước, thể tích của vật thể tròn xoay tạo được bởi hình phẳng H quay quanh Ox, Oy.
4. Dạng đại số và lượng giác của số phức. Khái niệm modun, acgumen của số phức. Biểu
diễn số phức trên mặt phẳng phức. Các phép toán với số phức, căn bậc 2, 3 của số phức.
Công thức Moivre và úng dụng tìm lũy thừa bậc n và căn bậc n của số phức.
II. HÌNH HỌC
1. Nắm các khái niệm về tọa độ điểm, tọa độ vec tơ, biểu thức tọa độ của các phép toán
đã biết với vec tơ, khoảng cách giữa 2 điểm. Nắm khái niệm và biểu thức tọa độ của tích
có hướng của 2 véc tơ; ứng dụng của tích có hướng; giải được một số bài toán không gian
ứng dụng vec tơ.
2. Viết được phương trình mặt phẳng dựa vào các dữ kiện cho trước. Đặc biệt: mp qua 3
điểm không thẳng hàng, 1 điểm và đường thẳng không chứa nó, hai đường thẳng cắt
nhau, hai đường thẳng song song.
3. Viết phương trình đường thẳng dựa vào các dữ kiện cho trước. Đặc biệt trường hợp có
liên quan đến các quan hệ song song, vuông góc với đường thẳng hoặc mặt phẳng.
4. Nắm công thức để vận dụng về góc, khoảng cách giữa 2 đthẳng, đường thẳng và mặt
phẳng, 2 mặt phẳng.


5. Viết phương trình mặt cầu dựa vào các dữ kiện cho trước. Vị trí tương đối của cầu với

đthẳng và mặt phẳng.
B. MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO
ĐỀ SỐ 1
Câu 1 Cho hàm số: y = x(3 − x)2 (C) 1, Khảo sát. 2, Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi (C), Ox và các đường thẳng có phương trình x = 2, x = 4 .
Câu 2 Giải bất phương trình
Câu 3 Tìm A, B để với

log x [ log 2 (4 x − 6)] ≤ 1

x ≠ 1 và x ≠ 2 ta

f(x)=

Từ đó tìm họ nguyên hàm của

có:

x+1
A
B
=
+
x − 3x + 2 x − 2 x − 1
2

x +1
.
x − 3x + 2
2

4

1 dx cos 7 0 cos 30 − cos87 0 sin 367 0
=
ln 2 ∫2 x
sin 440 0

Câu 4 Chứng minh rằng:

Câu 5 Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(0; 1; 2); B(2; 3; 1); C(2; 2; -1); S(9; 0; 0)
a/ Viết phương trình mặt phẳng qua A, B, C. CMR: O nằm trong mặt phẳng này.
b/ CMR: OABC là hình chữ nhật. Tính diện tích tứ giác OABC và thể tích chóp
S.OABC.
1
2

Câu 6 Tính tích phân

1

∫(x

2

−

2
2

3
1 − x2

)dx

Câu 7 Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay quanh Oy các hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y = lnx, y = 1 và 2 trục tọa độ
Câu 8 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

z 2 − ( z )2 = 4

Câu 9 Bằng phương pháp toạ độ, giải bài toán sau: Cho hình chóp SABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA= a 3 và vuông góc với đáy a, Tính khoảng cách
từ A đến mp (SBC). b, Tính khoảng cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mp (SBC). c,
Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mp (SAC).
ĐỀ SỐ 2
Câu 1 Cho hai hàm số:

f(x)=

x −1
x +1

và g ( x )

= x2 −

5
x − 1
2

a/ Khảo sát và vẽ trên cùng hệ trục tọa độ hai đồ thị của hai hàm số. Tìm tọa độ
giao điểm của hai đồ thị.
b/ Tính diện tích hình phẳng (H) tạo bởi hai đồ thị vừa vẽ.
Câu 2 Giải bất phương trình

log 2 x <

Câu 3 Tìm họ nguyên hàm của

y=

2( x − 1 )
3

x2 − 1
+ cos 2 x
3
x

3

Câu 4 Chứng minh rằng:
Câu 5 Cho ( P ) :

x 2 − 4x
log 5 −log 2
∫2 x − 4 dx = 3 3 3 .

2x − y + 2z − 1 = 0 và ( Q ) : x + 6y + 2z + 5 = 0 .

a, CMR: ( P ) ⊥ ( Q ) .
b, Viết phương trình (R) biết (R) qua O và chứa giao tuyến của (P) và (Q).
c, Viết phương trình đường thẳng qua A ( 1; 2; − 3 ) và song song với (P) và (Q).
π
4

Câu 6 Tính tích phân

1 − sin 3 x
∫ sin2 x dx
π
6

Câu 7 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
Câu 8 Giải phương trình sau trong tập hợp C: ( z 2 +3z + 6 )
Câu 9 Đưa số phức sau về dạng lượng giác

z=

2

y = x 2 − 4x + 3

và

y = x+3

+2z ( z 2 +3z + 6 ) − 3z 2 =0 .

1 + cos φ + i sin φ
1 + cos φ − i sin φ

ĐỀ SỐ 3
Câu 1 Cho

y=

x2 + 1
x

(C).

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b/ Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, Ox, x = 1, x = 3.
c/ Tìm thể tích khối tròn xoay do hình phẳng nói trên quay quanh Ox tạo ra.
x

Câu 2 Giải bất phương trình

5 4
1
 ÷ ≤ − x
3 3
3


Câu 3 Tìm họ nguyên hàm của

y = sin 2 xcos6x

8

27
log 8
dx
∫1 3 3 x = 2 8

Câu 4 Chứng minh rằng:

Câu 5 Trong không gian tọa độ Oxyz cho A ( 0;1;1) ; B ( −1;0;2 ) ; C ( 3;1;0 ) .
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với BC.
b/ Xác định giao điểm I của (P) và BC.
c/ Tính khoảng cách từ A đến BC và diện tích ∆ABC.
3

Câu 6 Tính tích phân

∫x

3

x 2 + 1dx

0

Câu 7 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
Câu 8 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết:
Câu 9 Giải phương trình sau trong tập hợp C:

i+z
i+z

x = 1; y = 0; y = xe x

là số thực.

z 4 + 64 = 0

ĐỀ SỐ 4
Câu 1 Cho hàm số

y = 2x 2 − x 4 (C)

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b/ Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox.
c/ Tìm thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng nói trên quay quanh Ox tạo ra.
2
log x ( 125x ).log 25
x <1

Câu 2 Giải bất phương trình

Câu 3 Tìm họ nguyên hàm của

y = sin 4 x-cos 5 x

2

π
4

0

0

Câu 4 Chứng minh rằng: ln 2.∫ 2 x dx = ∫

3dx
cos 2 x

Câu 5 Trong không gian tọa độ Oxyz cho ( P ) :

6x + 3y + 2z − 6 = 0 ;

a, CMR: d ⊥ (P). Tìm tọa độ giao điểm I của d và (P)

và

19

 x = 3 + 6t

11

d:  y = 3 + 3t .

 z = 3 + 2t





b, Gọi A, B, C là giao của (P) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Tìm tọa độ A, B, C
và chứng minh rằng d qua trọng tâm của ∆ABC.
e

Câu 6 Tính tích phân

∫x

3

ln xdx

1

Câu 7 Tìm thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
khi quay quanh Ox: y = 2x − x 2 , y = 0
Câu 8 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết:
Câu 9 Đưa số phức sau về dạng lượng giác

1< z ≤ 2

và phần thực của z không âm

z = −cosα + isinα

ĐỀ SỐ 5
Câu 1 Cho hàm số:

f(x)=

−x + 2
x −1

có đồ thị là (H)

a/ Khảo sát và viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A(2; 0).
b/ Tính diện tích hình phẳng tạo bởi ( H ) , d : y = x − 2 và x = 4.
c/ Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng nói trên tạo ra khi quay quanh trục
Ox.
Câu 2 Giải bất phương trình

( 9 − 4 5 )3x − 1 < ( 9 + 4 5 )−2 x

2

+6 x −3

x

Câu 3 Với mỗi

dt
2
0 1 + 4t

x ∈ R đặt f ( x ) = ∫
e

Câu 4 Chứng minh rằng:

. CMR: f(x) là hàm số lẻ. Tính

f(

3
) ).
2

1

∫ ln xdx = ∫ xe dx
x

1

0

Câu 5 Trong kg Oxy cho d là giao tuyến của ( P ) : 2x + y + 1 = 0
và d' là giao tuyến của ( P’ ) : 3x + y − z + 3 = 0 và ( Q’ ) :

và ( Q ) : x − y + z − 1 = 0

2x − y + 1 = 0.

a, CMR: d và d' cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm I của chúng.
b, Viết phương trình của mặt phẳng (R) chứa d, d'.
c, Tìm thể tích phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng (R) và 3 mặt phẳng tọa độ.

1

Câu 6 Tính tích phân

∫x
0

3

1 − xdx


Câu 7 Tìm thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi
2
( C ) : x 2 + ( y − 2 ) = 1 quay quanh Ox
Câu 8 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết:
Câu 9 Giải phương trình sau trên tập hợp C:

z = z = 3 + 4i

3iz 2 – 2z − 4 + i = 0.

ĐỀ SỐ 6
Câu 1 Cho hàm số

y = ( 2 – x2 )

2

có đồ thị (C).

a, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b, Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:
x 4 – 4x 2 – 2m + 4 = 0 .

Câu 2 Giải bất phương trình

log x ( 5x 2 − 8x + 3 ) > 2

Câu 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ) :
đường thẳng x = 2 và x= λ ( λ >2). Tính

λ

y=

x2
,
x −1

đường tiệm cận xiên và 2

để diện tích S = 16 (đvdt)

Câu 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f ( x ) = 2 sinx + sin2x trên

Câu 5 Trong không gian tọa độ cho d là giao tuyến của 2 mặt phẳng

( P) :

x + 2z − 2 = 0,

( Q) :

y −3 =0

và d':

đoạn

 3π 
0; 2 



( P ) và ( Q ) với

x = 2 + t

y = 1−t
 z = 2t


a/ CMR: d và d' không cắt nhau nhưng vuông góc với nhau.
b/ Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d, d'.
0

Câu 6 Tính tích phân

I=

∫

−1

16 x − 2
4x2 − x + 4

Câu 7 Tính giá trị của biểu thức

dx

Q = ( 2 + i 5 )4 + ( 2 − i 5 )4 .

Câu 8 Giải phương trình sau trên tập hợp C:
Câu 9 Trong không gian tọa độ Oxyz cho

2

4z + i
 4z + i 
+6 = 0

÷ −5
z −i
 z −i 

M ( −3; 1; 2 ) và ( P ) : 2x + 3y + z-13 = 0

a, Viết phương trình đường thẳng d qua M vuông góc với mp(P). Tìm tọa độ giao
điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
b, Xét các vị trí tương đối của mp(P) và mặt cầu tâm M bán kính R khi R thay đổi.


c, Viết phương trình mặt cầu tâm M bán kính R = 4. CMR mặt cầu này luôn cắt
mp(P). Tìm tâm và bán kính đường tròn giao tuyến
ĐỀ SỐ 7
Câu 1 Cho hàm số

y = − x 3 + 3x 2 − 1

có đồ thị (C)

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b, Dùng đồ thị (C) , xác định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt
x − 3x + k = 0 .
3

2

Câu 2 Giải bất phương trình

3 3 x − 4 < 92 x − 2

Câu 3 Tìm nguyên hàm F(x ) của hàm số

y=

1
sin 2 x

, biết rằng đồ thị của hàm số F(x) đi

π

qua điểm M( 6 ; 1) .
4
+2
x−2

với

Câu 5 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bằng
tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .

3

Câu 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x+

x >2.

và đường cao h = 1 . Hãy tính diện

Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d :
2x + y − z − 5 = 0

x+2
y
z +3
=
=
1
−2
2

và mặt phẳng (P) :

a, Chứng minh rằng d cắt (P) tại A . Tìm tọa độ điểm A .
b, Viết phương trình đường thẳng

∆

đi qua A , nằm trong (P) và vuông góc với d .

Câu 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

1
y = ln x, x = , x = e
e

và trục hoành

Câu 8 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A ( −2;1;2 ) , B ( 0;4;1) , C ( 5;1; −5 ) , D ( −2;8; −5 )
và đường thẳng d:

x + 5 y + 11 z − 9

=
=
.
3
5
−4

a, Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.
b, Tìm tọa độ giao điểm M, N của (d) với mặt cầu (S).
c, Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M, N
Câu 9 Tính diện tích HP giới hạn bởi ( P ) :
Oy

y = x 2 + 1, tiếp

tuyến của (P) tại M(2;5) và trục