Đề cương ôn tập môn toán lớp 9 (36)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK II MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2011-2012
TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ
A. LÍ THUYẾT
Câu 1: Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: Các phương pháp giải
Câu 2: Hàm số y = ax2 (a khác 0): Tính chất và đồ thị?
Câu 3: Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn.(Khi hệ số b chẵn và khi hệ số
b lẻ)
Câu 4: Hệ thức Vi-et: Phát biểu và ứng dụng.
Câu 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình: (toán năng suất, chuyển động và quan
hệ số)
Câu 6: Góc ở tâm và góc nội tiếp: Tính nghĩa, số đo, tính chất?
Câu 7: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài
đường tròn: Định nghĩa, số đo, tính chất?.
Câu 8: Liên hệ giữa cung và dây: Phát biểu định lí, vẽ hình, chứng minh.
Câu 9: Cung chứa góc:
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc 900 .
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc α ( 0 < α < 1800)
Câu 10: Tứ giác nội tiếp:
- Định nghĩa, tính chất?
- Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
Câu 11: Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn: Vẽ hình, viết
công thức tính.
B.BÀI TẬP
*Dạng 1: Các bài toán rút gọn căn thức
 2a + a − 1 2a a − a + a  a − a
−
.
÷
÷ 2 a −1
1−a

1−a a



Bài 1: Cho biểu thức:P= 1 + 


a) Rút gọn P

b) Cho P=

6
1+ 6

, tìm giá trị của a?

c) Chứng minh rằng

2

P >3
Bài 2: Cho biểu thức :P=
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P = 2


Bài 3: Cho biểu thức:P= 

a2 + a
a − a +1

−

Bài 4: Cho A=

a

+1

c) Biết a >1 Hãy so sánh P với P
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
 ( a − 1) . (
3 a
3a
1

 a + ab + b

a) Rút gọn P

2a + a

−

a a −b b

+

a− b
:

÷
a− b÷
 2a + 2 ab + 2b

)

b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
 x - x +7
1   x +2
x -2 2 x 
+

÷: 
÷
x -2  x -2
x +2 x - 4 
 x-4

a) Rút gọn A.
Bài 5 : Cho biểu thức:

b) So sánh A với
A=

với x > 0 , x ≠ 4.

1
A

(

 x x -1 x x +1  2 x - 2 x +1

÷:
x -1
 x- x x+ x 

).

a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
*Dạng 2: Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn và áp dụng hệ
thức Vi-et:
Bài 1: Cho phương trình x 2 − 2 ( m + 2 ) x + m + 1 = 0 .
a) Giải phương trình khi m =2
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
c) Gọi x1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của m để :
x1 (1 − 2x 2 ) + x 2 (1 − 2x1 ) = m2

Bài 2: Cho phương trình: x 2 − 2 ( m + 1) x + m2 − 4m + 3 = 0
a) Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn không.
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình . Tính M = x12 + x 22 theo m.
Tìm giá trị nhỏ nhất của M ( nếu có)


Bài 3: Cho phương trình: x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1 ; x 2 với mọi m.
b) Đặt A= 2(x + x ) − 5x x .

b1) Chứng minh rằng:A = 8m2 − 18m + 9
b2) Tìm m sao cho A = 27.
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.
Bài 4: Cho phương trình : x 2 − ( 2m − 3) x + m2 − 3m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 0 < x1 < x 2 < 5
Bài 5: Cho phương trình ( m − 1) x 2 − 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số
a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m ≠ 1
b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng
hai nghiêm của phương trình
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
2
1

2
2

1

2

d) Tìm m để phương trình có nghiệm

x1 ; x 2

thoả mãn hệ thức:

x1 x 2 5
+
+ =0

x 2 x1 2

*Dạng 3: Các bài tập về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn:
(a + 1)x − y = 3
 a.x + y = a

Bài 1: Cho hệ phương trình : 

a) Giải hệ phương rình khi a= - 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện: x + y > 0
Bài 2 : Cho hệ phương trình :

mx - y = 2

 x + my =1

a) Giải hệ phương trình theo tham số m.
b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Bài 3 : Cho hệ phương trình:

(a -1)x + y = a

 x + (a -1)y = 2

có nghiệm duy nhất là (x; y).

a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
b) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.
c) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức

2x - 5y
x+y

nhận giá trị nguyên.


*Dạng 4: Các bài tập về hàm số bậc hai và đồ thị hàm số y = ax2 ( a
Bài 1. Cho (P) y = x 2 và đường thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)

≠

0)

1

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số: y = 2 x2
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A 2 ; -2 ) và B 1 ; - 4 )
b) Tìm giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với đồ thị trên .
Bài 3: Cho (P)

y=−

x2
4

và (d): y = x+ m

a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại
điểm có tung độ bằng - 4
Bài 4: Cho (P)

y=

1 2
x và
4

đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm

lượt là -2 và 4
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x ∈  −2; 4  sao cho tam giác
MAB có diện tích lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tương ứng hoành độ x ∈  −2;4  có nghĩa là A(-2; y A ) và B(4; yB
)⇒ tính y A; ; yB )
*Dạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:
Bài 1. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất
mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính
vận tốc mỗi xe ô tô .
Bài 2: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm
theo đúng kế hoạch đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày 20 sản
phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất
bao nhiêu sản phẩm.
Bài 3: Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng.

Lúc sắp khởi hành đoàn xe được giao thêm 14 tấn hàng nữa do đó phải điều thêm 2 xe


cùng loại trên và mỗi xe chở thêm 0,5 tấn hàng. Tính số xe ban đầu biết số xe của đội
không quá 12 xe.
Bài 4: Một ca nô đi xuôi từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một người đi bộ cũng đi từ bến
A dọc theo bờ sôngvề hướng bến B. Sau khi chạy được 24 km, ca nô quay chở lại gặp
người đi bộ tại một địa điểm D cách bến A một khoảng 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi
nước yên lặng, biết vận tốc của người đi bộ và vận tốc của dòng nước đều bằng nhau và
bằng 4 km/h
Bài 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút
sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ . Hỏi
nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?
Bài 6: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá , nhưng đã
vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà
còn vượt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định
Bài 7: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30
Km , người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi ,
nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của
xe đạp tren quãng đường đã đi lúc đầu.
Bài 8: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định .
Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác , tổ thứ hai
làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì sau bao lâu sẽ
hoàn thành công việc.
*Dạng 6: Các bài toán hình học
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ
BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp.
ˆ không đổi.
ˆ + BCD

b) Khi điểm D di động trên trên đường tròn thì BMD
c) DB . DC = DN . AC
Câu 2: Cho đường tròn tâm O. A là một điểm ở ngoài đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến
AM, AN với đường tròn, cát tuyến từ A cắt đường tròn tại B và C ( B nằm giữa A và C )
. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng 5 điểm A, M, I, O, N nằm trên một đường tròn.


b) Một đường thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC lần lượt tại E và F. Chứng
minh tứ giác BENI là tứ giác nội tiếp và E là trung điểm của EF
Câu 3: Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn. Các đường tròn đường kính AB, AC
cắt nhau tại D. Một đường thẳng qua A cắt đường tròn đường kính AB, AC lần lượt tại E
và F.
a) Chứng minh B , C , D thẳng hàng.
b) Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đường tròn.
c) Xác định vị trí của đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất.
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn
đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các
điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn.
c) AC song song với FG.
d) Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy.
Câu 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. M là một điểm trên cung AC
( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC.
a) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh góc AMB = góc HMK.
c) Chứng minh ∆ AMB đồng dạng với ∆ HMK.
Câu 6: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Vẽ các tiếp tuyến
AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn (B và C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của

DE.
a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
b) CMR: HA là tia phân giác của góc BHC.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. CMR: AB2 = AI.AH
d) BH cắt (O) ở K. Chứng minh rằng: AE song song CK.
Câu 7: Cho ba điểm A , B , C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng (d)
vuông góc với AC tại A . Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì .
Tia CM cắt đường thẳng d tại D ; tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt
đường tròn tại điểm thứ hai P.
a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp được


b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?
Câu 8: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là điểm chính giữa của
cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F . Các dây
AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . Chứng minh
rằng:
a) Góc CID bằng góc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp được
c) IK // AB
d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A