Bai 19 HDGBTTL ung dung tich phan tinh tt khoi tron xoay phan 1 hocmai vn

Khóa học LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương

Tích phân

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
(Phần 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Bài 1. Cho D là một miền phẳng bị giới hạn bởi các đường cong:
1

 y = 1 + x2

2
y = x

2
Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho D quay quanh trục Ox.
Giải:
Cả hai đường cong đã cho đều nằm phía trên Ox nên miền (D) nằm hoàn toàn phía trên Ox
Do đó:
2

2

1
 x2 
 1 
V=π ∫ 
dx

π
−

2
∫   dx
−1  1 + x 
−1  2 
1

2

1

x5 1
 1 
dx
=π ∫
−
π
.

1 + x2 
20 −1
−1 
Đặt x = tant thì:
π
1
4
2
1

1 + cos 2t
π
V = π ∫ cos t 2 dt − π
=π ∫
dt −
10
2
10
1 
π 
π
−
−
4 
4
2 
 cos t 
π

4

=

π2
4

V=

+

π2
4

π

−

π

2 10

+

2π
(đvtt)
5

Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi elip (E):

x2 y 2
+
= 1 quay quanh trục Ox. Tính thể tích vật thể tròn
a 2 b2

xoay được tạo thành.

Giải:
Elip (E):

x2 y 2

b 2
+ 2 = 1 nhận Ox làm trục đối xứng nên phương trình của nửa (E) trên Ox là: y =
a − x2
2
a
b
a

- Nửa (E) cắt Ox tại điểm A’(-a; 0) và (A; 0) nên khi (E) quay quanh Ox, (E) sinh ra vật thể tròn
xoay chính là vật thể tròn xoay do nửa (E) nói trên quay quanh Ox.
Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

-

Tích phân

Áp dụng công thức tính thể tích ta có:
a

∫

V =π

−a

a

b2 2
( a − x 2 ) dx ñ
2
a
0

y 2 dx = 2π ∫


2b 2 x3  a 
2ab 2 
4π ab 2
= π  2b 2 x − 2 .  =  2ab 2 −
π
=
(ñơn vị thể tích)

a 30 
3 
3

Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng S giới hạn bởi các
ñường: y = xe x ; x = 1; y = 0 (0 ≤ x ≤ 1)

Giải:
- Hàm số y = xe x liên tục trên R nên y = xe x liên tục trên [ 0;1]

- Thể tích sinh ra bởi S quay quanh Ox là:
1

1

0

0

V = π ∫ y 2 dx =π ∫ x 2 e 2 x dx (1)
1

Tính: ∫ x 2 e 2 x dx
0

du = 2 xdx
u = x 2

ðặt: 
⇒
1 2x
2x
2x
dv = e dx v = ∫ e dx = e
2

1

Suy ra:

2 2x
∫ x e dx =
0

1

mà

2x
∫ xe dx =
0

1
1 2 2x 1
xe
− ∫ xe2 x dx
0 0
2

1
1 1
1
1 2x 1
1
1
xe
− ∫ e 2 x dx = xe 2 x − e 2 x
0 02
0 4
0

2
2

1
1 1 π
1
Vậy: V = π ∫ y dx =π ∫ x 2 e2 x dx = π  x 2 e 2 x − xe 2 x + e 2 x  = (e2 − 1)
2
4 0 4
2
0
0
1

1

2

Vậy V =

π
4

(e 2 − 1) (ñơn vị thể tích)

Bài 4:
x

 y = sin 2 cos x


y = 0
D:
x = 0

π
x =
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Tích phân

Giải:
π

π
2

2
x
x



V = π ∫  sin cos x  dx = π ∫ sin 2 cos 2 xdx
2
2

0
0
2

π

π

1 − cos x
π 2
=π∫
cos 2 xdx = ∫ ( cos 2 x − cos x cos 2 x ) dx
2
20
0
2

π

π



2
π  2 1 + cos2 x


= ∫
dx − ∫ (1 − sin 2 x ) cos x.dx 

2

 0

2

0



π
 π2

2
π
1
π


2
=  x + s inx  2 −  ∫ cos xdx − ∫ sin xd (s inx) 
4
2
0 20
0





π

ðến ñây các em biến ñổi, thế cận vào.
ðáp số: V =

π2
8

−

π
3

(ñvtt).

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -