Bai 4 HDGBTTL phuong trinh phan 4

Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

PH

ng

PT – BPT - HPT

NG TRÌNH CH A C N (PH N 4)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
Các bài t p trong tài li u này đ

c biên so n kèm theo bài gi ng Ph

ng trình ch a c n (ph n 4) thu c khóa h c Luy n

thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn.
gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Bài 1: Gi i ph

NG
s d ng hi u qu , b n c n h c tr

c bài

ng trình: (4 x 1) 3 2  8x3  2 x

Gi i

Ph

ng trình  4x3 2  8x3  2x  3 2  8x3
u  2 x
t 
3
3
v  2  8 x

u  v  2uv u  v  2uv (1)
Ta có h :  3 3

3
u
v
2



(u  v)  3uv(u  v)  2 (2)
uv
T (1)  uv 
th vào (2) ta có: 2(u  v)3  3(u  v) 2  4  0  u  v  2  uv  1
2
u  v  2 u  1 
1
2 x  1

 3



x
T 
3
2
uv  1
v  1 
 2  8x  1
1
áp s : x 
2
Bài 2. Gi i ph





ng trình: x 25  x3 x  25  x3  30
3

3

Gi i
t y  35  x3  x3  y3  35
3

Khi đó ph

ng trình chuy n v h ph

ng trình sau:

 xy( x  y)  30
 3
3
 x  y  35
gi i h này ta tìm đ

c ( x; y)  (2;3)  (3;2)

V y nghi m c a ph

ng trình là: x=2, x=3

Bài 3. Gi i ph

ng trình:

2 1  x  4 x 

1
4
2

Gi i
i u ki n: 0  x 

Hocmai.vn – Ngôi tr

2 1

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph




2 1 x  u

t 

4

 xv

0u

ng

PT – BPT - HPT

2  1,0  v  4 2  1

1



v
u
1


4


u
v
2


4
2

Ta đ a v h ph ng trình sau: 
2
u 2  v4  2  1  1  v   v4  2  1


 4 2

Gi i ph

ng trình th

2:

2

1 

(v  1)   v  4   0
2

2

2

2

1 

 (v  1)   v  4 
2

1
 2
1
v
v




4
1
2


 v2  v  1  4  0
2
 v2  1  v  1 L
 
4

2
2

2

t đó tìm ra v r i thay vào tìm nghi m c a ph
Bài 4. Gi i ph

ng trình.

ng trình sau: x  5  x  1  6

Gi i
i u ki n: x  1
t a

x  1, b  5  x  1(a  0, b  0) thì ta đ a v h ph ng trình sau:

2

a  b  5
 (a  b)(a  b  1)  0  a  b  1  0  a  b  1
 2

b
a
5





V y

x  1  1  5  x  1  x  1  5  x x 

Bài 5. Gi i ph

ng trình:

11  17
2

6  2x 6  2x 8


5 x
5 x 3

Gi i
i u ki n: 5  x  5





t u  5  x , v  5  x 0  u, v  10 .

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

PT – BPT - HPT

(u  v)2  10  2uv
u 2  v2  10


Khi đó ta đ c h ph ng trình:  4 4
2 4
8

   2(u  v) 
(u  v) 1   
3

 u v
 uv  3

a 2  10  2b
a 2  10  2b
u  v  a  10


at 
   2  4   2
4
uv  b  0
a 1   
  1
3a
b
  b 3
6a
 2
a 2  10  2b
10
2.
a


0


3a  4



6a
b 
b  6a
3a  4


3a  4
a 2  3a  4   10  3a  4   12a  0


6a
b 
3a  4

3a 3  4a 2  42a  40  0
a  4



6a
b  3
b 
3a  4

u  v  4 u  1, v  3
 

uv  3
v  1, u  3

V i

) 5  x  1  x  4
) 5  x  3  x  4

V y PT đã cho có 2 nghi m x=4, x=-4
Bài 6. Gi i ph

ng trình: 7 4 x2  5 x  1  14 x2  3x  3  17 x  13

*

Gi i

*  7

4  x2  3x  3  17 x  13  14 x2  3x  3  17 x  13

u  13


x


17
u  17 x  13

t: 



2
2
2
v  x  3 x  3  v  0 
v2   u  13   3  u  13   3  u  25u  373






289
 17 
 17 


* tr

thành 7 4v2  u  14v  u

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

PT – BPT - HPT

7 4v2  u  14v  u 1

Ta có h : 
u 2  25u  373
v2 
 2
289


1  49  4v2  u   14v  u 

2

 49u  28uv  u 2
 u  u  28v  49   0
u  0

u  49  28v
u 0 x

13
17

 u  49  28v
Thay vào  2  :

 25  49  28v  373
289
 289v2  784v2  2044v  1549
2

v

 49  28v


2

 495v2  2044v  1549  0


v  1
  1549  
v 
495



 x  1

2
 x  2
x  3x  3  1

   x   746

1549

x2  3x  3 
495


495

2231
 x 
495


Thay các giá tr vào ph

ng trình đ u ta nh n nghi m: x  2, x  

 PT đã cho có 3 nghi m: x 

Bài 7: Gi i ph

746
495

13
746
, x  2, x  
495
17

ng trình: 3 x2  6 x  3 

x 7
3

Gi i :
i u ki n : x  7
Ph

ng trình  ( x  1) 2  2 

Hocmai.vn – Ngôi tr

1 1
( x  1)  2
3 3

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

PT – BPT - HPT

1
 2
u  x  1
u 2 v



3
t: 
ta có h : 
1
( x  1)  2
v2  2  1 ( x  1)
v 
3


3
2
3u  6  v (1)
 2
3v  6  u (2)

u  v
L y (1) – (2) ta có : 3(u  v)(u  v)  v  u  (u  v)  (3(u  v)  1  0  
u   1  v
3


1  73

(loai )
u 
6
2
+ V i u  v th vào (2) ta có : 3u  u  6  0  

1  73
73  5
 x
u 
6
6

7  69
69  1
1
 x
+ V i u    v th vào (2) ta có : v 
6
6
3

Bài 8: Gi i ph

ng trình : x3  3 x2  9 x  7  ( x  10) 4  x  0

Gi i :
i u ki n : x  4
Ph

ng trình  ( x  1)3  6( x  1)  4  x (4  x  6)
t u  x  1; v  4  x (v  0)

Khi đó ta có ph

ng trình : u 3  6u  v(v2  6)

 u 3  v3  6(u  v)  0
 (u  v)(u 2  uv  v2 )  6(u  v)  0
 (u  v)(u 2  uv  v2  6)  0
u  v
 2
2
u  uv  v  6  0 (vô nghiem)

x 1  0
3  21
 x
V i u  v  4  x  x 1  
2
2
4  x  x  2 x  1
Bài 9: Gi i ph

ng trình : 1  1  x2 .





(1  x)3  (1  x)3  2  1  x2

Gi i :
i u ki n : 1  x  1
t 1  x  u; 1  x  v, (u , v  0)
2
2

u  v  2 (1)
Khi đó ta có h : 
3
3

 1  uv  u  v   2  uv (2)

(2)  1  uv (u  v)(u 2  uv  v2 )  2  uv

Th (1) vào ta có : 1  uv (u  v).(2  uv)  2  uv  (2  uv)  1  uv (u  v)  1  0
Ho c uv  2 (lo i)
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

Ho c 1  uv 
 1  uv 

ng

PT – BPT - HPT

1
1
 1  uv 
;uv
u v
(u  v) 2

1
1
1
 1  uv 
 1  uv 
2
u  2uv  v
2  2uv
2(1  uv)
2

 2 1  (uv) 2   1  (uv) 2 

Th vào (1) ta có :

1

1
1
 uv 
u
2
2
2v

1
 v2  2  2v4  4v2  1  0
2
2v




2 2
2 2
2
v 
 1 x 
x  
2
2
2 so sánh đi u ki n  x  2






2

2
v  2  2
 1 x  2  2
x 

2


2
2
Bài 10: Gi i ph ng trình: x2  4 x  3  x  5
Gi i
i u ki n : x  5
Ph

ng trình  ( x  2) 2  7  x  5
t

x  5  t  2 (t  2)  x  5  (t  2)2

2

( x  2)  t  5 (1)
Khi đó ta có h : 
2

(t  2)  x  5 (2)

L y (1) – (2) ta có : ( x  2) 2  (t  2) 2  t  x

t  x
 ( x  t  4)( x  t )  t  x  ( x  t )( x  t  3)  0  
t  3  x
+ V i t  x (do t  2  x  2)
Ta có :

x  5  x  2  x  5  ( x  2) 2  x2  5 x  1  0


5  29
x 
5  29
2
k t h p đi u ki n x 

2

5  29
x 

2
+ V i t  3  x (do t  2  3  x  2  x  1 )

Ta có :

x  5  1  x  x  5  (1  x) 2  x2  3 x  4  0

 x  1

(k t h p đi u ki n x=-1 (th a mãn))

x  4
 x  1
áp s : 
 x  5  29

2
Bài 11: Gi i ph

ng trình : 7 x2  7 x 

4x  9
, x0
28

Gi i :

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

PT – BPT - HPT

1 7
4x  9

ng trình  7  x    
2 4
28

2

Ph

4x  9
1
4x  9
9 1
 t  (do x  0 

  t  0)
28
2
28
28 2

t

4x  9  1 
1

 t    t2  t 
28
4
 2
2



 x  7t 2  7t 

1
1
 7t 2  7t  x 
2
2

1
 2
7 x  7 x  t  2 (1)
Do đó ta có h : 
7t 2  7t  x  1 (2)

2

t  x
L y (1) – (2) ta có : ( x  t )(7 x  7t  8)  0   8  7 x
t 
(loai )
7



3  50
x 
3  50
7
V i t  x , ta có : 14 x2  12 x  1  0  
k t h p đi u ki n  x 
7

3  50
x 
7


Bài 12: Gi i ph
Gi i
t

3

ng trình: x3  1  2 3 2 x  1

3
 x  1  2t (1)
2 x  1  t khi đó ta có h :  3
t  1  2 x (2)

L y (1) – (2) ta có : ( x  t )( x2  xt  t 2  2)  0  x  t

x  1

V i x  t  2x 1  x  2x 1  x  
 x  1  5

2
3

3

Bài 13: Gi i ph ng trình :
Gi i
i u ki n : x  5
t

x  5  x2  5

x  5  t, t  0

2
t  x  5 (1)
Ta có h  2
t  x  5 (2)

t   x
L y (1) – (2)  (t  x)(t  x  1)  0  
t  x  1
+ V i t  x (vì t  0   x  0  x  0)

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

PT – BPT - HPT


1  21
x 
1  21
2
Ta có : x  5   x  x  5  x2  
k t h p đi u ki n  x 
2

1  21
x 
2

+ V i t  x  1(do t  0  x  1)

1  17
x 
1  17

2
Ta có : x  5  x  1  
k t h p đi u ki n  x 
2

1  17
x 
2

1
1
4

Bài 14: Gi i ph ng trình : 
x
10  x2 3

Gi i

x  0
x  0
i u ki n : 


2

10  x  0
 10  x  10

t 10  x2  t (t  0)  x2  t 2  10

4
1 1 4

  
t  x  xt (1)
Khi đó ta có h :  x t 3  
3
 x2  t 2  10 ( x  t )2  2 xt  10 (2)


 xt  3
16 2 2
Th (1) vào (2) ta có :
x t  2 xt  10  
 xt   15
9
8


x  t  4 x  1
+ V i xt  3 , ta có : 

 xt  3
x  3
10  220
5 

x
xt  



10  220
15

8
2 
k t h p đi u ki n  x 
+ V i xt   , ta có 

8
8

10  220
 xt   15
x



8
8


Bài 15: Gi i ph ng trình :
Gi i
i u ki n : x  2

3

x 1  1 x  2

3
  x  1  u
t 
 x  2  v, v  0

u  1  v (1)
Ta có h :  3 2
u  v  1 (2)
T (1)  v  1  u th vào (2) ta có : u 3  (1  u ) 2  1
u  0  x  1
 u  u  2u  0  u  1  x  2
u  2  x  7
3

2

Bài 16: Gi i ph

ng trình: x3  x  7  x2  5

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -

Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

PT – BPT - HPT

Gi i
Ph

ng trình  x3  x  7  x2  5  0 (*)

Ta nh n th y x = 2 là nghi m.

f ( x)  x3  x  7  x2  5 , x  R

M t khác : xét hàm s


 0; x  R  vì
x 5

 f ( x) là hàm đ ng bi n.

Ta có : f '( x)  3x2  1 

Nh v y ph

x

2


 1x  R 
x 5

x

2

ng trình (*) có v trái là hàm đ ng bi n, v ph i là h ng nên x  2 là nghi m duy nh t.
ng trình : x5  x3  1  3x  4

Bài 17: Gi i ph
Gi i
1
3

i u ki n : x 

Ph ng trình  x5  x3  1  3x  4  0
Ta nh n th y x  1 là nghi m
M t khác, xét hàm s

f ( x)  x5  x3  1  3x  4, x 

Ta có : f '( x)  5 x4  3 x2 

1
3

3
 0  f ( x) luôn đ ng bi n
2 1  3x

 x  1 là nghi m duy nh t.
Bài 18: Gi i ph

ng trình :

( x  2)(2x 1)  3 x  6  4  ( x  6)(2x 1)  3 x  2

Gi i
i u ki n : x 

ng trình  ( x  2)(2x 1)  3 x  2  ( x  6)(2x 1)  3 x  6  4

Ph

 x 2


1
2







2x 1  3  x  6

2x 1  3





1
 x  5 thì
2
+ V i x5





2x 1  3  4

x 2  x 6  4

+V i

Xét f ( x) 



2 x  1  3  0  v trái  0  ph

2x 1  3



x 2  x 6

ng trình vô nghi m



1
1



f '( x)  
 2x 1  3 
 2 x 6 2 x 2 
 f ( x) là hàm đ ng bi n



x 2  x 6



1
 0; x  5
2 x 1

M t khác ta th y f (7)  4 , t c là x  7 là nghi m do đó x  7 là nghi m duy nh t.

Bài 19. Gi i ph

ng trình (OLYMPIC 30/4 -2007):

2 2
 x  x9
x 1

Gi i
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

PT – BPT - HPT

k x0
2

 2 2

 x   2 2

Ta có : 

 x 1
 
D u b ng 

2 2

x 1

Bài 20. Gi i ph





2

2
 1

x  

  x9
 x 1 

  x  1  x  1  

 


1
1
 x
7
x 1

ng trình : 13 x2  x4  9 x2  x4  16

Gi i
k: 1  x  1



Bi n đ i pt ta có : x2 13 1  x2  9 1  x2
Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki:



13. 13. 1  x2  3. 3. 3 1  x2



2



2

 256

 13  27  13  13x2  3  3x2   40 16  10 x2 
2

 16 
Áp d ng b t đ ng th c Côsi: 10 x 16  10 x      64
 2
2

2

2


x
1  x2
2

5
 1 x 
D u b ng  
3 
2

10 x2  16  10 x2


x



5
Bài 21. Gi i ph

 





ng trình :  2 x  1 2  4 x2  4 x  4  3x 2  9 x2  3  0

Gi i



  2 x  1 2 

Xét hàm s

 2 x  1



2





 3   3 x 2 

 3x

2



 3  f  2 x  1  f  3 x



f  t   t 2  t 2  3 , là hàm đ ng bi n trên R, ta có x  

Bài 22. Gi i ph

1
5

ng trình x3  4 x2  5x  6  3 7 x2  9 x  4

Gi i
t

3
2

3
 x  4 x  5x  6  y
y  3 7 x2  9 x  4 , ta có h :  2
 y3  y   x  1   x  1

3

7 x  9 x  4  y

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

Xét hàm s : f  t   t 3  t , là hàm đ n đi u t ng. T ph

PT – BPT - HPT

ng trình

x  5
f  y   f  x  1   y  x  1   x  1  7 x  9 x  4  
 x  1  5

2
3

2

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

ng

Hocmai.vn

- Trang | 11 -