Bai 7 HDGBTTL phuong trinh phan 3

Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

PT, HPT, Bất phương trình

BẤT PHƢƠNG TRÌNH CHỨA CĂN (PHẦN 3)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bất phương trình chứa căn (phần 3) thuộc khóa học
Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học
trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Giải bất phương trình :

x
x 1
2
3
x 1
x

Giải :
Điều kiện : x  (; 1)  (0; )
Đặt t 

x 1
(t  0)
x

x
1
 2

x 1 t
1
Ta được : 2  2t  3  2t 3  3t 2  1  0 (t  0)
t
1
 (t  1)(2t 2  t  1)  0 (t  0)  0  t 
2


0

x 1 1
4
    x  1 .
x
2
3

1 
1

Bài 2: Giải bất phương trình : 5  x 
  2 x  2 x  4 (2)
2 x

Giải :
1
2
t 
 t  2 (theo bất đẳng thức côsi)

Đặt t  x 
2 x
2
1
1
 1  2x 
 2t 2  2
4x
2x
Bất phương trình (2) trở thành :
t  2
5t  2t 2  2  4   1
t 
 2
1
2
+ Với t  2 ta có : x 
2 x
 t2  x 


2 2
3

x

 2
 x

2

2



2 2
0  x  3  2
0

x



2

2
1
+ Với t  (loại – không thỏa mãn điều kiện)
2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

PT, HPT, Bất phương trình

 3

 3

Vậy nghiệm : T   0;  2     2;  
 2
 2


Bài 3: Giải bất phương trình :
Giải :
Điều kiện : x  0

2 x2  6 x  8  x  x  2

Biến đổi bất phương trình về dạng :

2( x  2)2  2 x  x  2  x

u  x  0
Đặt 
khi đó bất phương trình trở thành :
v  x  2

2u 2  2v2  u  v (*)

x  2  0
u  v  0
u  v  0

(*)   2



u

v

x4


2
2
2
 x  x2
2u  2v  (u  v)
(u  v)  0


Vậy nghiệm của bất phương trình : x  4 .
Bài 4: Giải bất phương trình : 2x2  x2  5x  6  10x  15 (1)
Giải :
Điều kiện : x  (; 1]  [6; )

(1)  2( x2  5x  6)  x2  5x  6  3  0
Đặt t  x2  5x  6

(t  0)

Bất phương trình trở thành : 2t 2  t  3  0 (t  0)  t  1
Từ đó ta được : x2  5x  7  0
Giải ra và kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình :



5  53   5  53
T   ;
;  
  
2   2



Bài 5: Giải bất phương trình :

(1  x2 ) 5  x5  1 (2)

Giải :
Điều kiện để căn thức có nghĩa : x0;1
 
+ Đặt x  cos t , với t  0; 
 2

Ta có bất phương trình : sin 5 t  cos5/2t  1
 
Do sin5 t  sin 2 t vfa cos5/2t  cos2t nên sin5 t  cos5/2t  sin 2 t  cos2t  1 với t  0;  .
 2

Do đó bất phương trình có nghiệm là : x0;1
Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức để đánh giá :
x2
Bài 6: Giải bất phương trình : 1  x  1  x  2 
4
Giải :

1  x  0
Điều kiện : 
 1  x  1
1  x  0

Khi đó bất phương trình  1  x  1  x  2 1  x 2  4  x 2 
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

x4
16

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương









x4
0
16
2

x4
2
mà 1  x  1   0 x  1;1
16
2
x4
 1  x 2  1   0  x  0
16
Vậy nghiệm của bất pt là x=0


PT, HPT, Bất phương trình

2

1  x2  1 

Bài 7: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm : x3  3x 2  1  a





x  x  1 (*)

Giải
Điều kiện : x  1, khi đó (*)  x3  3x 2  1  a
  x3  3x 2  1





x  ( x  1)
x  x 1

x  x 1  a

+ Xét hàm số : f ( x)   x3  3x 2  1





x  x 1





1 
 1
x  x  1   x3  3x 2  1 . 

  0 với x  1
 2 x 2 x 1 
1
1

0)

(Vì x  1 thì 3x 2  6 x  0; x  x  1  0; x3  3x 2  1  0 và
2 x 2 x 1
f '( x)  (3x 2  6 x)

Suy ra : f ( x) đồng biến trên 1;  
 f ( x)  f (1)  3
lim f ( x)  lim  x3  3x 2  1
x  

x 





x  x  1   


f ( x) liên tục trên 1;

Lập bảng biến thiên :
x
1
y

+∞
+∞

3

Vậy bất phương trình có nghiệm khi a  3 .
BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 8. Giải các bất phương trình sau:

5x2 10x  1   x2  2x  7
Giải

Điều kiện: 5 x 2  10 x  1  0

5 x 2  10 x  1   x 2  2 x  7  5  x 2  2 x   1    x 2  2 x   7
1

Đặt t  x 2  2 x  t    . Bất phương trình trở thành:
5


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

PT, HPT, Bất phương trình


1
 t   5

t  7

t  7


5t  1  t  7   t  7  0
  t  7


3  t  7
 t 2  19 y  48  0
 t  7  0

 5t  1   7  t 2
 
 x2  2 x  7
 x  3

 x2  2 x  3  0  
2
x  1
3  x  2 x  7
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: x  3 hay x  1
Bài 9: Giải bất phương trình  x  1 x  4   5 x 2  5 x  28
Giải
Ta có:

 x  1 x  4   5

Đặt t 

x 2  5 x  28

x 2  5 x  4  5 x 2  5 x  28

x2  5x  28 điều kiện t  0 . Khi đó bất phương trình trở thành:
t 2  24  5t



t 2  5t  24  0



3  t  8

Kết hợp với điều kiện ta có 0  t  8 (1)
Với t  8 ta có:

x 2  5 x  28  8
2

x  
 x  5 x  28  0
 2
 2
 9  x  4
x

5

x

36

0
x

5
x

28

64




 2

Với t  0  x2  5x  28  0  x  (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là S   9;4
Bài 10. Giải bất phương trình: 2 x  x  1  1 

x2  x  1

Giải
Đặt t 

x2  x  1 , điều kiện t  0 , suy ra 2 x  x  1  2  t 2  1

Bất phương trình trở thành:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

PT, HPT, Bất phương trình

2  t 2  1  1  t


2t 2  t  1  0

1

t   l 


2

t  1
Với t  1 ta có

x  0
x2  x  1  1  x2  x  1  1  x2  x  0  
x  1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;0  1; 
Bài 11 Giải bất phương trình:

2x  1  9  2x  3

 2 x  1 9  2 x   13

Giải
Điều kiện 

Đặt t 

1
9
x
2
2
t 2  10
 2 x  1 9  2 x  
2

2 x  1  9  2 x (điều kiện t  0 ). Suy ra

t 2  10
 13
Bất phương trình trở thành: t  3.
2



3t 2  2t  56  0



14

t   3  l 

t  4  n 

Với t  4 ta có

2x  1  9  2x  4


 2 x  1 9  2 x   16
 2 x  1 9  2 x   9




16 x  4 x 2  0
0 x4



10  2

Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là S   0;4

Bài 12. Giải bất phương trình 3 2 x  1  4 x  1 

4

2 x 2  3x  1
36

Giải

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

PT, HPT, Bất phương trình

2 x  1  0

 x 1
Điều kiện  x  1  0
2 x 2  3x  1 

Ta thấy x  1 là nghiệm của bất phương trình.
Xét x  1 , chia hai vế của bất phương trình cho

3. 4

4

2x2  3x  1 ta có

2x 1
x 1
1
 4. 4

x 1
2x 1
6

Đặt t 

4

2x 1
x 1 1
4
 (Điều kiện t  0 ). Khi đó bất phương trình trở thành
x 1
2x 1 t
16

t

 6 6 l 
4

1
3t  
 3 6t 2  t  4 6  0  
t

6
3
 n
t 
2


3
ta có
2

Với t 

4

2x 1
3
2x 1 9
x  5


 
 0 1 x  5
x 1
2

x 1 4
4  x  1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1;5
Bài 13. Giải bất phương trình:

x2

2  x 4  x 2  1



1
x 1

HD
+ Xét từng trường của x-1
+ Nhân chéo quy đồng
+ Bình phương 2 vế => BPT bậc 4
Đ/s: x 

1 5
, x 1
2

Bài 14. Giải bất phương trình:

x  1  3 5 x  7  4 7 x  5  5 13x  7  8 (dùng tính đơn điệu hàm số)

HD

Xét hàm f  x  
ĐK: x 

x  1  3 5x  7  4 7 x  5  5 13x  7

7
5

 f '  x   ..............  0
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Khóa học Luyện thi PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

7

PT, HPT, Bất phương trình



=>f(x) là 1 hàm đồng biến trên  ;  
5

Có f(3)=8

7

5




=> f  x   8  f  3  x   ;3 
Bài 15. Giải bất phương trình:

x  2  x 2  x  3 x  2  2 (dùng pp nhân lượng liên hợp)

HD
ĐK: x 

2
3

x  2  3x  2  x 2  x  2  0



 x  2    3x  2  
x  2  3x  2
22  x
x  2  3x  2

 x  2  x  1  0

  x  2  x  1  0

2



  x  2  x  1 
  0  *
x  2  3x  2 

2
2
Với x   x  1 
0
3
x  2  3x  2
=>(*) x  2
2
=>Nghiệm của BPT:  x  2
3

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 7 -