Bai 5 HDGBTTL ly thuyet co so ve duong thang hocmai vn

Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

 x  1 t
x  y  z  5  0

Bài 1. Cho hai đường thẳng (d1 ) : 
; (d 2 ) :  y  2  t
2 x  y  1  0
 z  3t

Chứng minh (d1), (d2) chéo nhau
Lời giải:
Gọi u là véc tơ chỉ phương của (d1). Khi đó

 1 1 1 1 1 1 
u 
,
,
  (1, 2, 3) / / (1, 2,3)

1
0
0
2
2


1


Véc tơ chỉ phương v của (d2) là: v  (1,1, 1)

 y  z  5  y  1
Tìm một điểm M thuộc (d1). Cho x = 0  
. Vậy ta có M(0,1,6)

 y  1  0
z  6
Rõ ràng N(1,-2,3) thuộc (d2). Xét đại lương sau: u, v  . MN (1)

2 3 3 1 1 2
,
,
Ta có u, v   
  (5, 4, 1) (2)
 1 1 1 1 1 1 
MN  (1, 3, 3) (3)
Thay (2) (3) vào (1) và có u, v  . MN  5  12  3  14  0 . Vậy (d1), (d2 ) chéo nhau.
Bài 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d):

( P) : x  y  z  7  0 ;

2 x  y  z  5  0
(d ) : 
2 x  z  3  0

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P).
Lời giải:
Đường thẳng (d ) cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) chứa (d) và có VTCP là n( P )

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

u ( d )  (1; 4; 2) và M(-2;0;-1)  (d)  n(Q )  u ( d ). n( P )   (6; 1; 5)
 (Q) : 6( x  2)  y  5( z  1)  0 hay 6 x  y  5 z  7  0
6 x  y  5 z  7  0
 hình hình chiêu (d ) : 
x  y  z  7  0
x  1 y  2 z 1
, và mặt phẳng


2
1
3
 P  : 2 x  y  z  2  0 . Viết phương trình đường thẳng  d  đi qua A, song song với mp  P  và vuông

Bài 3. Trong không gian Oxyz cho điểm A  3; 1; 2  , đường thẳng  d  :

góc với đường thẳng  d  .
Lời giải:
Ta có (d’) có véc tơ chỉ phương là: u  ud ; nP    2; 8; 4  .

x  3 y 1 z  2
x  3 y 1 z  2




hay  d   :
2
8
4
1
4
2
x 1 y z  2
 
Bài 4. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
và mặt phẳng ( P) : 2 x  y  z  1  0 .
2
1
3
Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) . Viết phương trình của đường thẳng  đi
 Phương trình đường thẳng cần tìm là:  d   :

qua điểm A vuông góc với d và nằm trong ( P) .
Lời giải:

 1 7
Tìm giao điểm của d và (P) ta được A  2; ;  
 2 2
Ta có ud   2;1; 3 , nP   2;1;1  u  ud ; n p   1; 2;0 


x  2  t

1

Vậy phương trình đường thẳng  là  :  y   2t .
2

7

 z   2
Bài 5. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:

x y 1 z  2
d1 : 

;
2
1
1

 x  1  2t

d2 :  y  1  t

z  3


Lời giải:
Gọi M  d1  M  2t;1  t; 2  t  , N  d2  N  1  2t ';1  t ';3 , (MN là đường vuông góc chung)

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

 MN  2t  2t ' 1; t  t '; t  5 
 MN .u1  0
6t  3t ' 3  0
2  2t  2t ' 1   t  t '   t  5   0


 t  t ' 1

3t  5t ' 2  0
2  2t  2t ' 1   t  t '   0
 MN .u1  0
x  2 y z 1
 M  2;0; 1 , N 1; 2;3 , MN  1; 2; 4   ( MN ) :

 
1
2
4
Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường
 x  1  2t
x 1 3  y z  2



thẳng : (d)
và (d’)  y  2  t
1
1
2
z  1 t

Viết phương trình tham số của đường thẳng (  ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và
(d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng .
Lời giải:
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)

x  9  t

Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình:  y  6  8t
 z  5  15t

Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2 
Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u '  2;1;1
Ta có:



MM '   2; 1;3



MM ' u, u '   2; 1;3



1 2
1 1

; 12

1
2

; 12

1
1

  8  0

Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm)
MM ' u, u '
8

Khi đó : d   d  ,  d '  

11
u , u ' 


Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
x  t
x  t


(d)  y  1  2t
và (d’)  y  1  2t
 z  4  5t
 z  3t


a. CMR hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau.
b Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của góc tạo bởi (d) và (d’) .
Lời giải:
a.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Đường thẳng (d) đi qua M(0 ;1 ;4) và có VTCP u 1; 2;5
Đường thẳng (d’) đi qua M’(0 ;-1 ;0) và có VTCP u ' 1; 2; 3

 1 3
Nhận thấy (d) và (d’) có một điểm chung là I   ;0;  hay (d) và (d’) cắt nhau . (ĐPCM)
 2 2
b. Ta lấy v 

 15
15
15 
.u '  
; 2
; 3
.
7
7 
u'
 7
u



15
15
15 
15
15
15 
;2  2

;5  3
;2  2
;5  3
Ta đặt : a  u  v  1 
 ; b  u  v  1 

7
7
7 
7
7
7 


Khi đó, hai đường phân giác cần tìm là hai đường thẳng đi qua I và lần lượt nhận hai véctơ a, b làm VTCP
và chúng có phương trình là:


1 
15 
 x    1 
t
2 
7 



15 

và

 t
 y   2  2
7




 z  3   5  3 15  t

2 
7 



1 
15 
 x    1 
t
2 
7 



15 

 t
 y   2  2
7





 z  3   5  3 15  t

2 
7 


Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng:
(P): 2x – y + z + 1 = 0,

(Q): x – y + 2z + 3 = 0,

(R): x + 2y – 3z + 1 = 0 và đường thẳng 1 :

x2
2

y 1
z
= . Gọi  2 là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R)
1
3
và cắt cả hai đường thẳng 1 ,  2 .
=

Lời giải:

 x  2  2t


1 có phương trình tham số  y  1  t
 z  3t


x  2  s

 2 có phương trình tham số  y  5  3s
z  s


Giả sử d  1  A; d   2  B  A(2  2t; 1  t;3t )

B(2+s;5+3s;s)

AB  (s  2t;3s  t  6; s  3t ) , (R) có VTPT n  (1; 2; 3)

d  (R)  AB & n cùng phương 

s  2t 3s  t  6 s  3t
23


t 
1
2
3
24

1 1 23
d đi qua A( ; ; ) và có VTCP n  (1; 2; 3) nên d có phương trình

12 12 8
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

23
1
1
z
y
8 .
12 
12 
1
2
3

x

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các
trường hợp sau:
a. d đi qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = 0 và vuông góc với d’:

x 1 y 1 z  3
.


2
3
4

 x  1  3t

b. d đi qua điểm M(-2; 1; 3), song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với d’:  y  2  t
 z  4  2t
(t là tham số)

Lời giải


a. Ta có : - VTPT của (P) là n P = (3; -2; 1)

- VTCP của đường thẳng d’ là u ' = (2; 3; 4 )

 
Do d//(P) và d  d’  VTCP của đường thẳng d là u = [ n P, u ' ] = (-11; -10; 13)

 x  2  11t '

 phương trình tham số của d là:  y  3  10t '
 z  13t '


( t’ là tham số)


b. Ta có : - VTPT của (Oxz) là j = (0; 1; 0)

- VTCP của d’ là u ' = (3; -1; 2 )

 

Do d//(Oxz) và d  d’  VTCP của d là u = [ j , u ' ] = (2; 0; -3)

 x  2  2t '

 Phương trình tham số của d là:  y  1
 z  3  3t '


( t’ là tham số)

Bài 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x  y  2z 1  0 , đường thẳng

x  5  t
 d  :  y  2  3t . Lập phương trình đường thẳng    nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuông góc với
z  1 t

đường thẳng (d).
Lời giải



Ta có: nP  (3; 1;2), ud  (1;3; 1) .
Giao điểm của (d) và (P) là điểm A(15; 28; - 9)

 
Đường thẳng (d’) cần tìm qua A nhận  nP , ud   (4;5;10) làm VTCP  (d ') : x  15  y  28  z  9
4
5
10

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Bài 3:Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1),cắt đường thẳng

Hình học giải tích trong không gian

d1 : x  2  y  z  1
3

1

2

và vuông góc với đường thẳng d 2  : x  2  2t ; y  5t ; z  2  t ( t  R ).

Lời giải


VTCP của d2 là v   2; 5;1 và cũng là VTPT của mp(P) đi qua M và vuông góc với d2. Pt mp(P) là:
2 x  5 y  z  2  0 . Gọi A là giao điểm của d1 và mp(P) nên A 2  3t ; t ;1  2t 

Thay vào phương trình mp(P) thì t  1  A 5;1;3

1  1
Đường thẳng d cần tìm có VTCP u   3;1; 1  MA   6; 2; 2 
2
2

Vậy phường trình đường thẳng d là:

x 1 y 1 z 1
(vì d ≠ d2)


3
1
1

Bài 4. Cho hai đường thẳng có phương trình:

x  3  t

d 2 :  y  7  2t
z  1 t


x2
z 3
d1 :
 y 1 
3
2

Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời đi qua điểm M(3;10;1).
Lời giải
Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại điểm
A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b).



Do đường thẳng d đi qua M(3;10;1) => MA  k MB


MA   3a  1; a  11; 4  2a  , MB   b; 2b  3; b 

3a  1  kb
3a  kb  1
a  1



 a  11  2kb  3k  a  3k  2kb  11  k  2
4  2a   kb
2a  kb  4
b  1





=> MA   2; 10; 2 

 x  3  2t

Phương trình đường thẳng AB là:  y  10  10t
 z  1  2t

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho (P) : x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường
thẳng :

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

 x  1  2t
x 1 3  y z  2

(d)
và (d’)  y  2  t



1
1
2
z  1  t

Viết phương trình tham số của đường thẳng (  ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và
(d’) . CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng
Lời giải
Mặt phẳng (P) cắt (d) tại điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) tại điểm B(9 ; 6 ; 5)
Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A, B nên có phương trình :

x  9  t

 y  6  8t
z  5  15t


+ Đường thẳng (d) đi qua M(-1;3 ;-2) và có VTCP u 1;1; 2 

+ Đường thẳng (d’) đi qua M’(1 ;2 ;1) và có VTCP u '  2;1;1
Ta có :



MM '   2; 1;3

  
MM '  u, u '   2; 1;3



1 2
1 1

;

2 1
1 2

;

1 1
2 1

  8  0

Do đó (d) và (d’) chéo nhau .(Đpcm)
Khi đó :
  
MM '  u, u '
8
d   d  ,  d '  

 
11
 u, u '



Bài 6. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x  y  z  1  0 ,đường thẳng
d:

x  2 y 1 z 1
. Gọi I là giao điểm của d và (P). Viết phương trình của đường thẳng  nằm trong


1
1
3

(P), vuông góc với d và cách I một khoảng bằng 3 2 .
Lời giải



• (P) có véc tơ pháp tuyến n( P )  (1;1; 1) và d có véc tơ chỉ phương u  (1; 1; 3)
I  d  ( P )  I (1;2;4)


 
• vì   ( P);   d   có véc tơ chỉ phương u   n( P ) ; u   (4; 2; 2)  2(2;1;1)
• Gọi H là hình chiếu của I trên   H  mp (Q) qua I và vuông góc 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -

Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Phương trình (Q):  2( x  1)  ( y  2)  ( z  4)  0  2 x  y  z  4  0
Gọi d1  ( P)  (Q)  d1 có vécto chỉ phương

x  1
 
 n( P ) ; n(Q )   (0;3;3)  3(0;1;1) và d1 qua I  ptd1 :  y  2  t


z  4  t

t  3
Ta có H  d1  H (1;2  t ;4  t )  IH  (0; t ; t )  IH  3 2  2t 2  3 2  
t  3
• TH1: t  3  H (1;5;7)  pt :

x 1 y  5 z  7


2
1
1

TH2: t  3  H (1;1;1)  pt :

x 1 y 1 z 1


2
1
1

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :
x  t
x y2 z


d1 :  y  4  t ;d2: 
1

3
3
 z  1  2t


và d3:

x 1 y 1 z 1
.


5
2
1

Chứng tỏ rằng d1 ; d 2 là hai đường thẳng chéo nhau,tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 ; d 2 .
Viết phương trình đường thẳng , biết  cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao
cho AB = BC.
Lời giải
x  t

Đường thẳng d1 :  y  4  t suy ra d1 đi qua điểm A(0;4;-1) và có một vtcp u1 (1; 1; 2) .
 z  1  2t


Đường thẳng d2:


x y2 z
suy ra d 2 đi qua điểm B(0;2;0) và có một vtcp u2 (1; 3; 3) .


1
3
3

 
  

Ta có AB (0; 2;1) và u1 , u2    9;5; 2  suy ra AB. u1 , u2   9.0  (2).5  1.(2)  12  0 .
Vậy d1 và d 2 là hai đường thẳng chéo nhau.
  
AB. u1 , u2 
12
6



Khoảng cách giữa d1 và d 2 là : d  d1 , d 2  
 
u1 , u2 
92  52  (2) 2 55



*Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d1 , d2 , d3
Ta có A (t, 4 – t, -1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, 1 + 2v, - 1 +v)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | -


Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

A, B, C thẳng hàng và AB = BC  B là trung điểm của AC

t  (1  5v)  2u

 4  t  (1  2v)  2.(2  3u )
1  2t  (1  v)  2(3u )

Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0

Suy ra A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1)
Đường thẳng  đi qua A, B, C có phương trình

x y2 z


1
1
1

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | -