Bai 4 HDGBTTL ly thuyet co so ve mat phang tiep theo hocmai vn v2

Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG (tiếp theo)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Bài tập có hƣớng dẫn giải:
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng (P): 2 x  2 y  z  1  0 .
a. Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M1 và tính độ dài đọan MM1.
x-1 y-1 z-5
b. Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng :


2
1
-6
Lời giải:
Tìm M 1 là h/c của M lên mp (P)


Mp (P) có PVT n   2, 2, 1
 x  5  2t

Pt tham số MM 1 qua M,   P  là  y  2  2t
 z  3  t


Thế vào pt mp (P): 2 5  2t   2  2  2t    3  t  1  0  18  9t  0  t  2 .
Vậy MM1   P   M1 1, 2, 1
Ta có MM 1 

 5  1   2  2    3  1

Đường thẳng  :

2

2

2

 16  16  4  36  6


x 1 y 1 z  5
đi qua A(1,1,5) và có VTCP a   2,1, 6


2
1
6


Ta có AM   4,1, 8
 
Mặt phẳng (Q) đi qua M, chứa   mp (Q) qua A có PVT là  AM , a    2,8, 2  hay 1,4,1 nên pt (Q):
 x  5  4  y  2   z  3  0

Pt (Q): x  4 y  z  10  0
Cách khác: Mặt phẳng (Q) chứa  nên pt mp(Q) có dạng:

x  2 y  1  0 hay m( x  2 y  1)  6 y  z 11  0 . Mặt phẳng (Q) đi qua M(5;2; - 3) nên ta có 5 – 4 + 1 = 0
( loại) hay m( 5 – 4 + 1) + 12 – 3 – 11 = 0  m = 1.

Vậy Pt (Q): x  4 y  z  10  0
Bài 2. Trongkhôn g gian với hệ tọa độ Ox zy cho 3 hình l ập phươngA BCD. A 1B1C 1D1 với A(0;0;0),
B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2)
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Kh ó a học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

a. Xác định tọa độ các điểm còn lại của hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M là trung điểm của BC .
Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) vuông góc nhau.
b. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC1 ( N ≠ A ) tới 2 mặt phẳng
( AB1D1) và ( AMB1) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
Lời giải:
a. Ta có A 0,0,0 ; B  2,0,0 ; C  2, 2,0 ;D(0;2;0)

A1  0,0, 2 ; B1  2,0, 2 ; C1  2, 2, 2 ; D1  0, 2, 2


Mp  AB1D1  có cặp VTCP là: AB1   2,0, 2 ; AD1   0, 2, 2
 1  
 mp  AB1D1  có 1 PVT là u   AB1 , AD1    1, 1,1

4


Ta có M  2,1,0 nên Mp  AMB1  có cặp VTCP là: AM   2,1,0 ; AB1   2,0, 2
 1  
 mp  AMB1  có 1 PVT là v   AM , AB   1, 2, 1
2

 
Ta có: u.v  11 1 2  1 1  0  u  v   AB1D1    AMB1  (đpcm)
x  t


b. AC1   2, 2, 2  phương trình tham số AC1 :  y  t , N  AC1  N t , t , t 
z  t


Phương trình  AB1D1  :   x  0   y  0   z  0  0  x  y  z  0
 d  N , AB1 D1  

t t t
3



t
3

 d1

Phương trình  AMB1  :  x  0  2  y  0   z  0  0  x  2 y  z  0
 d  N , AMB1  

t  2t  t
1 4 1



2t
6

 d2

t


t 6
d1
6
2
 3 


d2 2 t
2
32t 2 3
6

Vậy tỉ số khoảng cách từ N  AC1  N  A  t  0 tới 2 mặt phẳng
thuộc vào vị trí của điểm N.

 AB1D1 

và

 AMB1 

không phụ

Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(3;-1;-5) và vuông góc với 2 mặt phẳng
( P1 ) : 3x  2 y  2 z  7; ( P2 ) : 5 x  4 y  3z  1 .
Lời giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

  
Mặt phẳng (P) vuông góc với 2 mặt phẳng nên: nP   nP1 , nP2   (2;1; 2) .

Do đó (P): 2( x  3)  1.( y  1)  2( z  5)  0  ( P) : 2 x  y  2 z
Bài 14.
Lời giải:
x 1 y z  2

 
. Viết phương trình mặt phẳng   chứa
2
1
2
d sao cho khoảng cách từ A đến   lớn nhất.

Bài 4. Cho điểm A  2;5;3 và đường thẳng d :

Lời giải:
Gọi K là hình chiếu của A trên d  K cố định;
Gọi   là mặt phẳng bất kỳ chứa d và H là hình chiếu của A trên   .
Trong tam giác vuông AHK ta có AH  AK.
Vậy AHmax  AK    là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK.
Gọi    là mặt phẳng qua A và vuông góc với d     : 2x  y  2z 15  0

 K  3;1;4

  là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK    : x  4 y  z  3  0
Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;0;0); B(0;2;0); C(0;0;-2) tìm tọa độ điểm O’ đối xứng
với O qua (ABC).
Lời giải:
Từ phương trình đoạn chắn suy ra phương trình tổng quát của (ABC) là:
x y z
 
 1  2x  y  z  2  0
1 2 2
 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (ABC), OH vuông góc với (ABC) nên OH / / n(2;1; 1) ; H   ABC 

1
2 1 1
Ta suy ra H(2t;t;-t) thay vào phương trình( ABC) có 2.2t  t  (t )  2  0  t   H ( ; ;  )
3
3 3 3
4 2 2
O’ đối xứng với O qua (ABC)  H là trung điểm của OO’  O '( ; ;  )
3 3 3

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Lời giải:


Ta có: AB  (2; 2; 2), AC  (0; 2; 2).

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

 x  y  z 1  0
Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC là: 
y  z 3  0


 
Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là n   AB, AC   (8; 4; 4)  ( ABC ) : 2 x  y  z  1  0 .
Tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thỏa mãn:
 x  y  z 1  0
x  0


 y  z  3  0   y  2 . Suy ra tâm đường tròn là I (0; 2;1).
2 x  y  z  1  0  z  1



Bán kính là R  IA  (1  0)2  (0  2)2  (1  1)2  5.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

Bài 7.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M (0; 1; 2) và N (1;1;3) . Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K (0;0; 2) đến (P) đạt giá trị lớn
nhất
Lời giải:



Gọi n  ( A, B, C ); A2  B 2  C 2  0 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
M  0; 1; 2    P   Ax  B  y  1  C  z  2   0  Ax  By  Cz  B  2C  0
N  1;1;3   P    A  B  3C  B  2C  0  A  2 B  C

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng;

 P  :  2 B  C  x  By  Cz  B  2C  0
Khoảng cách từ K đến mp(P) là:





d K ,  P 

B
2
2
4 B  2C  4 BC

+Nếu B = 0 thì d(K,(P))=0 (loại)
+Nếu B  0 thì
d  K ,  P  

B
4 B 2  2C 2  4 BC



1
2

C 
2   1  2
B 



1
2

Dấu “=” xảy ra khi B = -C. Chọn C = 1
Khi đó phương trình (P): x + y – z + 3 = 0
Bài 8. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2),
DH  ( ABC ) và DH  3 với H là trực tâm tam giác ABC. Tính góc giữa (DAB) và (ABC).
Lời giải:
Trong tam giác ABC, gọi K  CH  AB .
Khi đó, dễ thấy AB  ( DCK ) . Suy ra góc giữa (DAB) và
 .Ta tìm tọa độ điểm H rồi
(ABC) chính là góc DKH

Tính được HK là xong.
+ Phương trình mặt phẳng (ABC).

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương



Hình học giải tích trong không gian

 

Vecto pháp tuyến n  [ AB, AC ]   0; 4; 4 
(ABC): y  z  2  0 .
+ H  ( ABC ) nên giả sử H (a; b; 2  b) .




Ta có: AH  (a; b; b), BC  (4; 2; 2)


CH  (a  2; b; b), AB  (2; 2; 2)

 
 BC. AH  0
 a b  0
Khi đó:   

 a  b  2
 a  2b  2  0

 AB.CH  0

Vậy H(-2; -2; 4).
+ Phương trình mặt phẳng qua H và vuông góc với AB là: x  y  z  4  0 .
x  t

Phương trình đường thẳng AB là:  y  t .
z  2  t

xt


y  t
2
2
8

Giải hệ: 
ta được x  ; y  , z  .
z  2t
3
3
3

 x  y  z  4  0
96
2 2 8
2
  2
 8


Suy ra: K ( , , ) . Suy ra: HK    2      2     4  
.
3 3 3
3
3
  3
 3

2

2

2

Gọi  là góc cần tìm thì:
tan  

DH
96
6
6


   arctan
HK
12
3
3

Bài 9. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình
(S): x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3 , (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng song song
với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Lời giải :
Ta có: x2 + y2 + z2 - 2x + 4y +2z -3= 0  ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  32
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = 3.
Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = 0 ( D  5 )
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

 D  10
 D  8

Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d  I ;(Q)   R  3 D  1  9  
Vậy (Q) có phương trình:

2x + 2y - z + 10 = 0 hoặc

2x + 2y - z - 8 = 0

x 1 y 1 z  2
và điểm



2
1
1
1
A(2;1;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng
.
3

Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :

Lời giải


Đường thẳng  đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là u = (2 ; -1 ; 1).






 

Gọi n = (a ; b ; c ) là vtpt của (P). Vì   ( P)  n  u  n . u  0


 2a – b + c = 0  b = 2a + c  n =(a; 2a + c ; c ) ,

từ đó ta có: (P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – 2 ) = 0

 (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = 0

d(A ; (P)) =

1

3

a
a  (2a  c)  c
2

2

2



1
2
 a  c  0  a  c  0
3

với a + c = 0 , chọn a = 1 , c = -1  (P) : x + y – z = 0
Bài 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  6 y  4 z  2  0 .


Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v(1;6; 2) , vuông góc với mặt
phẳng ( ) : x  4 y  z  11  0 và tiếp xúc với (S).
Lời giải:

Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4


Véc tơ pháp tuyến của ( ) là n(1; 4;1)


Vì ( P)  ( ) và song song với giá của v nên nhận véc tơ
  
n p  [n, v]  (2; 1; 2) làm vtpt. Do đó (P):2x-y+2z+m=0
 m  21
m  3

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( P ))  4  

Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Khoá h ọc Luyện thi PEN-C: Môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Hình học giải tích trong không gian

x  1 t

Bài 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : d1 :  y  2  t

z  1

x  2 y 1 z 1
. Viết phương trình mp(P) song song với d1 và d 2 , sao cho khoảng cách từ


1
2
2
d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d 2 đến (P).
d2 :

Lời giải :
Ta có :


d1 đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : u1  1; 1;0 


d 2 đi qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: u2  1; 2; 2 


Gọi n là vtpt của mp(P), vì (P) song song với d1 và d 2 nên






n = [ u1 ; u2 ] = (-2 ; -2 ; -1)  (P): 2x + 2y + z + m = 0

d( d1 ;(P)) = d(A ; (P)) =

7m
3

; d( d 2 ;( P)) = d( B;(P)) =

5 m
3

vì d( d1 ;(P)) = 2.d( d 2 ;( P))  7  m  2. 5  m
 m  3
7  m  2(5  m)


 m   17
7

m


2(5

m
)

3


Với m = -3  mp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0
Với m = -

17
17
 mp(P) : 2x + 2y + z =0
3
3

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 8 -