giao an tich hop lien môn toán 12, sinh , lí, tin , gdcd

TIẾT 8 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ (T3)
I. MỤC TIÊU DẠY HỌC
1. Về kiến thức: Học sinh biết, hiểu và vận dụng được kiến thức các bộ mơn:
- Mơn Tốn:
Giúp học sinh hiểu vững giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng và một
đoạn. Biết cách đưa các bài toán trong thực tiễn và bộ mơn khoa học về bài tốn
thuộc lĩnh vực tốn học.
- Bên cạnh đó học sinh cịn nắm được kiến thức của các môn học sau
+ Môn Vật lí: Dựa vào tính chất của đạo hàm và sự đồng biến nghịch biến của
đồ thị hàm số tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một số đại lượng vật
lí.
Nhắc lại cơng thức tính vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chuyển động khi
biết hàm quãng đường theo thời gian.
+ Môn Sinh học : Hình ảnh giải phẫu cơ thể người,
- Sinh trưởng phát triển ở động vật bài 37 sinh học 11
+ Hoạt động ngoài giờ lên lớp: Giáo dục ý thức bảo vệ sức khỏe cho các em và
cho gia đình phịng chống bệnh Cao huyết áp
- Giáo dục hình thành ước mơ cho thanh niên trong thời đại mới.
+ Ý nghĩa thực tiễn và kinh tế:- Bài toán kinh tế làm thế nào thu được sản
lượng cá nhiều nhất trong vụ mùa.
- Giới thiệu ứng dụng đạo hàm trong thiết bị đo “tốc kế” trên xe máy hoặc ôtô
+Môn Tin học: -Sử dụng kiến thức bộ môn tin học trong quá trình thực hiện bài
học.
- Sử dụng phần mềm vẽ đơ thị giải thích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số.
2. Về kĩ năng:
Biết cách tìm GTLN,GTNN của hàm số
Biết cách đưa bài tốn thực tiễn trong các bộ mơn khác về bài tốn trong
tốn học.
1

3. Thái độ: Học sinh tích cực học tập và hoạt động theo yêu cầu của giáo viên.
4. Năng lực hướng tới: Năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo, năng lực
giải quyết vấn đề, năng lực giải toán…
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC, HỌC LIỆU.
1. Thiết bị dạy học
Giáo viên:
- Giáo án, máy tính, máy chiếu, bảng phụ.
- Đề kiểm tra ngắn,
Học sinh:
- Trang bị đầy đủ dụng cụ học tập.
- Sưu tầm tư liệu về các nhà khoa học nghiên cứu về ứng dụng đạo hàm tìm
giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số. Trang bị kiến thức về công thức cộng
vận tốc, tổng hợp lực, năng lượng, khoa học trong mơn vật lí. Trang bị kiến
thức thực tế về bệnh cao huyết áp.Trang bị kiến thức về bài toán kinh tế...
2. Học liệu :
- Giáo viên: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Sách giáo khoa
Vật lí 10 nâng cao , sách giáo khoa vật lí lớp 12 nâng cao , sách tham khảo
Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến....
- Học sinh: Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Sách giáo khoa
Vật lí 10 nâng cao, sách giáo khoa vật lí 12 nâng cao,...
III. TIẾN TRÌNH TIẾT DẠY
1. Ổn định lớp:
Lớp
Ngày giảng
Sĩ số

12A4

2-Kiểm tra bài cũ:

Hoạt động1: Tích hợp tốn học vào thực tiễn cuộc sống
TUỔI TRẺ TÀI NĂNG
2


Tỷ phú 25 tuổi kiếm 6 tỷ/năm nhờ nuôi cá chép Trên dịng sơng Kinh Thầy nổi
tiếng, có rất nhiều người dân sinh sống bằng nghề nuôi cá lồng nhưng chủ yếu chỉ
là những người trung tuổi. Các bạn trẻ thường vươn ra thành phố với những công
việc nhàn nhã hơn. Vậy mà, một cậu thanh niên sinh năm 1989 sau khi tốt nghiệp
cao đẳng, có cơng việc ổn định ở thành phố lại quyết định quay trở về và lập nghiệp
trên sông Kinh Thầy với những bè cá Chép Giòn. Hiện nay, những bè cá này đang
mang lại cho cậu ấy thu nhập 6 tỷ một năm.

Anh Phước đang cho cá ăn
Ơng cha ta thường nói ' Cá Chép vượt vũ mơn' để nói về sự can đảm vươn lên, đi
tới thành công. Và thật không quá khi gọi anh Nguyễn Thế Phước là một trong
những “chú cá chép đầu đàn” trong hành trình vượt vũ mơn hóa rồng bởi con
đường thành công của anh ấy là vô vàn khó khăn thử thách.

3


Bài 20- SGK, trang 22 (Giải tích 12 – Nâng cao).
Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị
diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng
P( n) = 480 − 20n ( gam) .
Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ
thu hoạch được nhiều cá nhất?

Hướng dẫn:

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi
đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng

f (n) = n.P (n) = 480n − 20n 2

( gam) .

Xét hàm số f (x) = 480 x − 20 x 2 trên khoảng (0; + ∞ ).
(Biến số n lấy các giá trị nguyên dương được thay thế bằng biến cố x lấy các giá trị
trên khoảng (0;+ ∞ )).
f '(x) = 480 − 40 x;

f '( x) = 0 ⇔ x = 12.

Bảng biến thiên

4


X
f '( x)

0

+∞

12
+

f (x)

0

-

f (12)

Trên khoảng (0; +∞) , hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm x = 12 . Từ đó suy ra
rằng trên tập hợp ¥ * các số nguyên dương, hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm n
= 12.
Vậy muốn thu hoạch được nhiều nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị diện tích của
mặt hồ phải thả 12 con cá.
Giáo viên : Nhận xét và chính xác hóa kết quả.
Trên đây là ví dụ về ứng dụng đạo hàm trong đời sống thực tiễn
3-Nội dung bài giảng:
Hoạt động 2: ĐẶT VẤN ĐỀ
Các em có biết trong mỗi gia đình hiện nay đều có máy tính đạo hàm ở trong
nhà khụng?
Một ứng dụng rất vui trong đời sống hàng ngày mà ta không để ý đến đó chính là:
Đồng hồ đo công tơ mét của xe máy ở nhà ta.

5


v(t0 ) = lim
t →t0

f (t ) − f (t0 )
= f '(t0 )
t − t0

Hãa ra kim tèc ®é chính là chiếc máy tính đạo hàm mà con đờng ta ®i theo
thêi gian.
Trong số những ứng dụng nổi bật nhất của việc tính tốn là những cái phụ thuộc
vào các giá trị cực đại hay các giá trị cực tiểu của các hàm số.
Thực tế cuộc sống hàng ngày được phong phú với những bài toán như vậy và
điều tự nhiên là các nhà toán học và những người khác sẽ tìm ra điều quan trọng và
thú vị của chúng. Một nhà kinh doanh tìm kiếm lợi nhuận tối đa và giá cả tối thiểu.
Một số kĩ sư tìm kiếm một động cơ và mong muốn tối đa hiệu quả của nó. Một phi
cơng hàng khơng cố gắng làm tối thiểu thời gian chuyến bay và sự tiêu thụ chất đốt.
Trong khoa học, chúng ta thường thấy rằng bản chất tự nhiên hoạt động theo con
đường làm cực đại hoặc làm cực tiểu một hiện tượng nào đó.
Mỗi khi chúng ta dùng những từ như rộng nhất, nhỏ nhất, nhất, tốt nhất, ….
Nó là lý do gợi ý rằng một vài bài toán cực đại và cực tiểu đang ẩn khuất ở bên
cạnh. Nếu bài tốn này có thể được biểu diễn theo những biến số và những hàm số,
mà hồn tồn khơng thể theo cách khác, thì những phương pháp Giải tích sẵn sàng .
Tất cả các bài tốn như vậy đều có thể sử dụng cơng cụ đạo hàm để giải
quyết. Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu ứng dụng của đạo hàm trong các bài
tốn tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Hoạt động 3: Tích hợp trong mơn Vật lí.

6


Ví dụ1:Một vật thể chuyển động thẳng, vị trí s tại thời điểm t (giây) được cho bởi
công thức s = t 3 − 5t 2 + 8t (m)
a) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng khơng?
b) Tính vị trí s tại thời điểm vận tốc nhỏ nhất?
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN

- vận tốc tức thời v(t 0 ) tại thời điểm t0 của -Yêu cầu học sinh nêu lại ý nghĩa cơ
một chuyển động có phương trình s=s(t) học của đạo hàm ?
bằng đạo hàm của hàm số s = s(t) tại thời
điểm t0 , tức là v(t0 ) = s '(t0 ).
-Gia tốc tức thời a(t0 ) tại thời điểm t0 của
một chất điểm chuyển động cho bởi
phương trình s = s(t) bằng đạo hàm cấp hai
của hàm số s= s(t) tại thời điểm t0 , tức là
a(t0 ) = s ''(t0 ).

-Yêu cầu học sinh nêu hướng làm
bài?

Học sinh hoạt động theo yêu cầu của giáo - Phân chia tổ hoạt động nhóm.
viên
Hướng dẫn đáp án
v(t ) = 3t 2 − 10t + 8 và a (t ) = 6t − 10
t = 2
a) v(t ) = 0 ⇔  4 Vậy a =2(m/s2 )
t =
 3
hoặc a = -2 (m/s2).
b) a(t) = 0 ⇔ t =

5
(s)
3

BBT

7


T

5
3

0

v'(t)

-

0

+∞

-chính xác hóa kiến thức

+

v(t)
−1
3
Vận tốc nhỏ nhất khi vật ở vị trí
5 110
s( ) =
( m)
3

27

Hoạt động 2: Tích hợp mơn vật lí và sinh học .
Ví dụ 2: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận
tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên là v (km/h)
thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

E (v ) = cv 3t , trong đó c là một hằng số, E được tính bằng Jun. Tìm vận tốc bơi
của con cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.
Chú ý
Cá hồi có đặc trưng là lồi cá ngược sông để đẻ, chúng sinh ra tại khu vực nước
ngọt, di cư ra biển, sau đó quay trở lại vùng nước ngọt để sinh sản. Tuy nhiên, có
nhiều con thuộc nhiều loài sống cả đời tại vùng nước ngọt. Hầu hết cá hồi tn theo
mơ hình cá di cư bơi ngược dịng sơng để sinh sản, giai đoạn này chúng trải qua
thời kỳ ăn nhiều nhất và lớn lên trong vùng nước mặn, tuy nhiên, khi trưởng thành
8


chúng trở lại để đẻ trứng trong các dòng suối nước ngọt bản địa để đẻ trứng và cá
con phát triển qua nhiều giai đoạn khác biệt.
Cá hồi di cư là thời điểm cá hồi, đã di cư từ biển, bơi đến thượng nguồn con sông
nơi chúng đẻ trứng trên sỏi đá. Sau khi đẻ, tất cả cá hồi Thái Bình Dương và Đại
Tây Dương đều chết và chu kỳ sống của cá hồi bắt đầu một lần nữa. Sự di cư hàng
năm có thể là một sự kiện lớn đối với gấu xám Bắc Mỹ, đại bàng đầu hói, sói
xám vì chúng sẽ canh bắt cá hồi để tận hưởngthịt cá hồi đầy bổ dưỡng
Cho học sinh xem video về cá hồi bơi ngược dòng

9

HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
- Trên con sơng, dịng chảy đứng yên, một
con thuyền chạy vận tốc v thuyền .
Trên con sơng có dịng nước chảy với vận
tốc v0.
Khi thuyền xi dịng thì vận tốc xi
dịng bằng : v thuyền + v dòng nước .

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
- Nêu cơng thức tính vận tốc của vật
chuyển động ngược dịng nước, xi
dịng nước?
Energy: năng lượng

Khi thuyền ngược dịng thì vận tốc ngược
dòng bằng : v thuyền – v dòng nước .
Học sinh lên bảng trình bày.
Vận tốc của cá khi bơi ngược dòng là v-6
(km/h). Thời gian cá bơi để vượt khoảng
300
cách 300km là t =
(giờ)
v−6

-Yêu cầu học sinh nêu hướng làm?
- Cách tìm GTLN,GTNN của hàm số
trên một khoảng

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt
khoảng cách đó là

300
v3
E (v) = cv .
= 300c
( jun), v > 6.
v−6
v−6
3

-Để tìm vận tốc v sao cho năng lượng
- Coi E(v) là một hàm số với ẩn là v áp
tiêu hao là ít nhất ta phải làm gì?
dụng các kiến thức về tìm giá trị lớn nhất
nhỏ nhất của hàm số để giải quyết bài toán.

E '(v ) = 600cv 2

v−9
;
(v − 6) 2

E '(v ) = 0 ⇔ v = 9; v = 0 (loại do v>6)
BBT
+∞
X
6
9
E’(x)
0

+
E(x)
E(9)
Để tiêu hao năng lượng ít nhất thì cá phải

bơi với vận tốc (khi nước đứng yên ) là 9
(km/h).

- Nhận xét và chính xác hóa
10


kết quả

Hoạt động 4: Tích hợp trong mơn sinh học (Giáo dục sức khỏe cho thanh thiếu
niên).
Cho học sinh xem vi deo về 10 nguyên nhân chính gây nên bệnh cao huyết áp.
1. Tuổi tác.
2. Di truyền
3. Giới tính
4. Thừa cân
5. Ăn mặn
6. Rượu
7. Bia
8. Căng thẳng
9. Thuốc ngừa thai
10.Lười biếng
Tác hại của bệnh cao huyết áp

Việc cấp cứu kịp thời cho những người bị cao huyết áp là rất cần thiết để không để

lại những di chứng về sau. Một trong những cách giảm huyết áp là tiêm thuốc
nhưng tiêm bao nhiêu để mức giảm huyết áp là nhiều nhất và tính độ giảm đó?
Ví dụ 5:Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được cho bởi công thức

G ( x) = 0,025 x 2 (30 − x), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x

11


được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết
áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.
HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
G ( x) = 0,75 x 2 − 0,025 x 3 , x > 0.

HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN
- Yêu cầu học sinh nêu hướng
giải quyết bài tốn?
- Gọi học sinh trình bày.

G '( x ) = 1,5 x − 0,075 x 2 ;
G '( x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 20.
X

0

f '( x )

+∞

12

0

+

f (x)

0

-

100

max G ( x ) = G(20) = 100
x >0

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để
huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg. Khi đó, độ

-Nhận xét và chính xác kết quả.

giảm huyết áp l 100.
4. Cng c:
Quá trình liên hệ với thực tiễn trong dạy học Toán giúp học sinh phối hợp giữa
chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp lên
cao thể hiện qua sơ đồ sau:

Bit

Thụng

hiu

Vn
dng

Phõn
tớch

Tng
hp

ỏnh
giỏ

Sơ đồ liên hệ các kiến thức đạo hàm với thực tiễn

12


Các
kiến
thức
Đạo
hàm

Ngun gc
thc tin

Phn ỏnh
thc tin

Trong ni b mụn
toỏn

ng dng trong
thc tiễn

Trong các môn học
khác
Trong cuộc sống lao
động sản xuất

Hoạt động 5 : ứng dụng trong nội bộ toán học
Bài tập ( ĐH Khối D – 2009 )Cho x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1 .Tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
S = (4 x 2 + 3 y )(4 y 2 + 3x) + 25 xy

Lời giải.
Ta có :

Hoạt động khám
phá : Giáo viên định
2
2
2 2
3
3
S = (4 x + 3 y )(4 y + 3x ) + 25 xy = 16 x y + 12( x + y ) + 34 xy
hướng
2 2

2
2
-Từ giả thiết x + y = 1 có
= 16 x y + 12( x + y )( x − xy + y ) + 34 xy
thể đưa bài tốn về một
2 2
2
ẩn khơng ?
= 16 x y + 12[( x + y ) − 3xy ] + 34 xy, do x + y = 1
-Khai triển biểu thức S
= 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12
cố gắng làm xuất hiện
Đặt t = xy . Do x ≥ 0; y ≥ 0 nên
x + y để sử dụng giả
( x + y )2 1
1
0 ≤ xy ≤
= ⇒0≤t ≤
thiết.
4
4
4
-Chú ý các hằng đẳng
1
2
0
≤
t
≤
Xét hàm số f (t ) = 16t − 2t + 12 với

.
thức :
4

Ta có f '(t ) = 32t − 2 .
1
f '(t ) = 0 ⇔ t = .
16

x 2 + y 2 = ( x + y )2 − 2 xy
x3 + y 3 = ( x + y )( x 2 − xy + y 2 )

Bảng biến thiên
T
f’(t)

1
16

0
-

0

+

1
4

Sau khi khai triển và

thế vào x + y = 1 , ta
có : S = 16 x 2 y 2 − 2 xy + 12
-Vậy đến đây ta có thể
nghĩ đến việc có thể đưa
S về hàm một biến số
nếu ta đặt : t = xy
-Cần chặn biến t bằng
13


25
2

12

25
2

f(t)

cách sử dụng bất đẳng
thức : 0 ≤ xy ≤

( x + y )2
.
4

191
16

Vậy :
min f (t ) = f (
 1
0; 4 



1
191
2+ 3
2− 3
)=
16
16 khi x = 4 ; y = 4

2− 3
2+ 3
;y =
4
4
1
25
1
max f (t ) = f ( ) =
x
=
y
=
khi
.

 1
4
2
2
 0; 

hoặc x =

 4

5. Hướng dẫn về nhà: Các em về nhà nghiên cứu làm bài tập
- Chuẩn bị : Đọc trước bài “ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH
TIẾN HỆ TỌA
Bi 1: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V(m3),
hệ số k cho tríc (k- tØ sè gi÷a chiỊu cao cđa hè và chiều rộng của đáy). HÃy xác định
các kích thớc của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
Lời giải bài toán nh sau: Gọi x, y, h (x, y, h > 0) lần lợt là chiều rộng, chiỊu
dµi vµ chiỊu cao cđa hè ga.
Ta cã: k =

h
⇔ h = kx
x

vµ V = xyh ⇔ y =

V V
=
xh kx 2

Nên diện tích toàn phần của hố ga là:
S = xy + 2yh + 2xh =

(2k + 1)V
+ 2kx 2 .
kx

H×nh 2.18

14


áp dụng Đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi x =

y =2 3

2kV
, h=
(2k + 1)2

3

3

( 2k + 1) V . Khi ®ã
4k 2

k(2k + 1)V
.
4

Bài 2: Tõ mét khúc gỗ tròn hình trụ, cần xẻ thành một chiếc xà có thiết diện
ngang là hình vuông và 4 miếng phụ nh hình vẽ. HÃy xác định kích thớc của miếng
phụ để sử dụng khối gỗ một cách tốt nhất (tøc lµ diƯn tÝch sư dơng theo tiÕt diƯn
ngang lµ lớn nhất).
Lời giải bài toán nh sau: Gọi x, y lần lợt là
chiều rộng, chiều dài miếng phụ và d là đờng kính
của khúc gỗ (hình 2.19). Khi đó ta có thiết diện
ngang của thanh xà có cạnh là

d
và 0 < x <
2
Hình 2.19

d
d(2 2 )
,0.
2
4

Theo bài ra ta đợc hình chữ nhật ABCD nh hình vẽ bên. áp dụng Định lý Pitago ta
có:
2

1
d

2

2
d 2 8x 2 − 4 2 x .
 2x +
 +y =d ⇔y=
2
2

Suy ra, diện tích mỗi miếng phụ là:
S = S(x) =

1
x d 2 − 4 2dx − 8x 2 víi 0 < x < d(2 2 ) .
2
4

ứng dụng Đạo hµm ta cã S lín nhÊt khi vµ chØ khi x =

34 − 3 2
.
16

Bài 3: Tõ c¶ng A däc theo đờng sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển
hàng hóa C và xây dựng một con đờng từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên đờng sắt là v1

15


và trên đờng bộ là v2 (v1 < v2). HÃy xác định phơng án chọn địa điểm C để thời gian vận
chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất?
Lời giải bài toán nh sau: Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến

cảng D.
Ta cã:
t=

=

AC CD AE − CE CD
+
+
=
=
v1
v2
v1
v2
l−

h
h
l − h.cot α
h
−
tan α + sin α =
v1
v 2 sin α
v1
v2

XÐt hµm sè:
t(α) =

l h.cot
h

.
v1
v 2 sin

ứng dụng Đạo hàm ta đợc t () nhỏ nhất khi
cos =

Hình 2.20

v2
v2
. VËy ®Ĩ t nhá nhÊt ta chän C sao cho cos =
.
v1
v1

Bi 4: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mơng dẫn nớc dạng
"Thuỷ động học" (Ký hiệu diện títiết diện ngang của mơng là s, l là độ dài đờng
biên giới hạn của tiết diện này, l- đặc trng cho khả năng thấm nớc của mơng; mơng
đựơc gọi là có dạng thuỷ động học nếu với s xác định, l là nhỏ nhất). Cần xác định
các kích thớc của mơng dẫn nớc nh thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mơng
dẫn nớc có tiết diện ngang là hình chữ nhật)
Lời giải bài toán nh sau: Gọi x, y lần lợt là chiều rộng, chiều cao của mơng.
Theo bài ra ta có:
S = xy; l = 2y + x =
XÐt hµm sè l(x ) =

2S
+ x.
x

2S
+ x.
x

H×nh 2.21
16


Ta cã l' ( x) =

− 2S
x 2 − 2S
+
1
=
.
x2
x2
S
=
x

l' ( x) = 0 ⇔ x 2 − 2S = 0 ⇔ x = 2S , khi ®ã y =

S

.
2

DƠ thấy với x, y nh trên thì mơng có dạng thuỷ động học, vậy các kích thớc
S
thì mơng có dạng thuỷ động học.
2

của mơng là x = 2S , y =

Bi 5: Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình
tròn có bán kính a. Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn đợc nhiều ánh

sáng nhất. Biết rằng cờng độ sáng C đợc biểu
Đ

thị bởi công thức C = k

sin
( là góc nghiêng
r2
r

giữa tia sáng và mép bµn, k - h»ng sè tû lƯ chØ

h

phơ thc vµo nguồn sáng).
Lời giải bài toán nh sau: Gọi h là độ cao
của đèn so với mặt bàn (h > 0). Các ký hiệu r, M,

N, Đ, I nh Hình 2.22.
Ta có sin =

.I

N
a


M

Hình 2.22

h
và h 2 = r 2 a 2 , suy ra cờng
r

độ sáng là:
r2 a2
C = C(r ) = k
(r > a ) .
r3
øng dụng Đạo hàm ta có C lớn nhất khi và chØ khi r = a .

3
a 2
, khi ®ã h =
2
2

.
Ví dụ 6: Một vật đợc ném lên trời xuyên góc so với phơng nằm ngang, vận
tốc ban đầu v0 = 9 m/s.
17


a) Tính độ cao nhất của vật trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà nó đạt đợc
độ cao đó (g = 10m/s2)
b) Xác định góc để tầm ném cực đại.
Lời giải bài toán nh sau:

N



a) Véc tơ v 0 đợc phân tích thành tổng
của hai véc tơ theo hai phơng vuông góc với
nhau (phơng ngang và phơng thẳng đứng)
uuuur
uuur
(hình 2.23). Vật cao nhất khi MN = MP
,

trong

đó

M

K

v0



P
x

uuur
MP = gt (1) ,

Hình 2.23

MN 2 = v 20 − MK 2 .
Suy ra MN 2 = v 20 − v 20 cos 2 α (2).
Tõ (1) vµ (2) ⇒ g2 t 2 = v 20 (1 − cos2 α) ⇔ t =
VËy h lín nhÊt khi vµ chØ khi t =

v 0 sin α
.
g

v 0 sin α
vµ khi ®ã:
g

v sin α
maxh = v 0 sin α 0

=
g

v 20 . sin 2
.
g

b) Vì quỹ đạo của vật ném xiên là Parabol nên tầm ném của vật đợc tính x =
MK.2t = v 0 cos α 2

v 0 sin
v 2 sin 2
= 0
.
g
g

ứng dụng Đạo hàm đối với hµm f( α ) =

v 20 . sin 2α
, cho ta tầm ném cực đại
g

khi = 450.
Bi 7: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến
cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng

A

B1

B

và

d

khởi hành, một chạy về hớng Nam với 6 hải
A1

18
Hình 2.24


lý/giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ giờ.
HÃy xác định mà thời điểm mà khoảng cách của hai tàu là lớn nhất?
Lời giải bài toán nh sau: Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa
hai tàu là d.
Ta có

d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2

Suy ra d = d(t) =
khi t =

85t 2 − 70 t + 25 . áp dụng Đạo hàm ta ®ỵc d nhá nhÊt

7
(giê), khi ®ã ta cã d ≈ 3,25 (hải lý).
17

Bi 8: Cần phải dùng thuyền để vợt sang bờ đối diện của một dòng sông chảy
xiết mà vận tốc của dòng chảy là vc lớn hơn vận tốc vt của thuyền. Hớng đi của thuyền
phải nh thế nào để độ dời theo dòng chảy gây nên là nhỏ nhất?
Lời giải bài toán nh sau: Giả sử hớng của thuyền, hớng của dòng nớc chảy theo
uur uur
véctơ vận tốc là v t , v n (hình 2.25). Gọi góc giữa véctơ vận tốc của thuyền và của
dòng nớc là , y là độ dời của thuyền do
sông, c¸c ký hiƯu x, h, z, α1 , A, B, C, D, E,
B1, K (H×nh 2.25).

b

C z K x
h

→

Ta cã h.vn = vt.vn.sin α (v× cïng b»ng
diƯn tÝch cđa h×nh bình hành ACDE)

y

B

dòng nớc chảy, b là khoảng cách giữa hai bờ

vt

1

B1

D



E

A
Hìnhv
2.25
n

Nên h = vt. sin . Do 1 + α = 1800
(tỉng cđa hai gãc trong cïng phÝa),
Suy ra z = - vtcos α ⇒ x = vn - (-vtcos α ) ⇒ x = vn + vtcos (x = CD - z).
Mặt khác ta có

x h
=
(Do KD // BB1)
y b

⇔ y =

b( v n + v t cos α)
bx

=
h
v t sin α
19


XÐt hµm sè y(α) = b(cot gα +

vn
)
v t sin

ứng dụng Đạo hàm ta có y nhỏ nhất khi cos α = −

vt
.
vn

VÝ dơ 9: Mét ngn ®iƯn víi suất điện động E và điện trở r đợc nối với một
biến trở R. Với giá trị nào của biến trở thì công suất tỏa nhiệt ở mạch ngoài sẽ đạt
cực đại?

Er

Lời giải bài toán nh sau:
Theo công thức: P = RI2 víi I =

E
R+r

E2R
P
=
Suy ra
, ( R > 0)
(R + r)2

R

Hỡnh 2.26

áp dụng Đạo hàm ta thu đợc P lín nhÊt khi R = r.

20