Tich phan (DTDH)

Nguyên Hàm – Tích Phân Trong Đề Thi Đại Học
(2010 – 2015)
1

Câu 1. Tính tích phân I =  ( x - 3 )ex dx
0

(2015)
Đặt u = x – 3  du  dx . Đặt dv = exdx , chọn v = ex
1

I = ( x  3)e x 0   e x dx  2e  3  e x 0  4  3e
1

1

0

Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x² – x + 3 và đường
thẳng
y = 2x + 1.
(Khối A – 2014)
Phương trình hoành độ giao điểm: x² – x + 3 = 2x + 1 <=> x² – 3x + 2 = 0 <=> x = 1
hoặc x = 2
Diện tích hình phẳng cần tìm
S=

2

2
2

1 3 3 2
2
2
(x

x

3

2x

1)dx


 (x  3x  2)dx  ( 3 x  2 x  2x) 1 = 1/6 (đvdt)
1
1

Câu 3. Tính tích phân I =

2



x 2  3x  1
x2  x

1

dx

(Khối B – 2014)
I=

2


1

x 2  3x  1
x x
2

2

dx  

x 2  x  2x  1
x x
2

1

2

2

dx   dx  
1

1

d(x 2  x)

2
2
 x  ln x 2  x = 1 + ln 3.
1
1
x x
2

π
4

Câu 4. Tính tích phân I =  (x  1)sin 2xdx
0

(Khối D – 2014)
Đặt: u = x + 1; dv = sin 2x dx → du = dx và v = (–1/2) cos 2x
π

π
π 4
1 sin 2x
1 1 3
cos 2 x
cos2x
(x  1) 4  
dx = 

I= 
4  
2
4
2 4 4
2
2
0
0 0

Câu 5. Tính tích phân I =

2


1

x2 1
x2

ln xdx

(Khối A – 2013)

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


x2 1

1
dx; v = x + 1/x.
x
x
2 2
1
1
5
1 2 5
3
I = (x  ) ln x   (1  2 )dx  ln 2  (x  )  ln 2 
1 1
x
2
x 1 2
2
x

Đặt u = ln x, dv =

2

dx → du =

1

Câu 6. Tính tích phân I =  x 2  x 2 dx
0

(Khối B – 2013)
Đặt u = 2  x 2 → x² = 2 – u² → 2xdx = –2udu → xdx = udu
Đổi cận: x = 0 → u = 2 ; x = 1 → u = 1.
I=

2



u 2du 

1

u3 1
2 2 1

3 2
3

Câu 7. Tính tích phân I =

1



0

(x  1)2
x2 1

dx

(Khối D – 2013)
1

I =  (1 
0

1
1
d(x 2  1)
)dx

dx


 2
x2 1
0
0 x 1

2x

= [x + ln(x² + 1)]

1
= 1 + ln 2.
0

Câu 8. Tính tích phân I =

3


1

1  ln(x  1)
x2

dx

(Khối A – 2012)
Đặt u = 1 + ln (x + 1); dv = (1/x²)dx → du = [1/(x + 1)]dx; v = –1/x – 1.
3 31
3
1
4
I = (  1)[1  ln(1  x)]   dx   (1  ln 4)  2(1  ln 2)  (ln x) = (2 – 2ln 2) / 3 + ln 3.
1 1x
1
x
3

Câu 9. Tính tích phân I =

1

x3

 x 4  3x 2  2 dx

0

(Khối B – 2012)
Đặt t = x² → dt = 2x dx → x dx = dt / 2.
với x = 0 → t = 0; x = 1 → t = 1.
1
11
tdt
11 2
1
1
I= 
 (

)dt  [ln(t  2)  ln(t  1)] = ln 3 – (3/2) ln 2
0
2 0 (t  1)(t  2) 2 0 t  2 t  1
2

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


π
4

 x(1  sin 2x)dx

Câu 10. Tính tích phân I =

0

(Khối D – 2012)
Đặt u = x, dv = (1 + sin 2x) dx → du = dx, v = x – (1/2)cos 2x
π

π 4
π
1
1
π2 x 2 1
π2 1
I = x(x  cos 2x) 4   (x  cos 2x)dx   (  sin 2x) 4  
2
2
16
2 4
32 4
0 0
0

Câu 11. Tính tích phân I =

π
4



0

x sin x  (x  1) cos x
dx
x sin x  cos x

(Khối A – 2011)
π
4

π
4

π

π 4
π
x cos x
d(x sin x  cos x) π
I =  dx  
dx  x 4  
  ln(x sin x  cos x) 4
x
sin
x

cos
x
x
sin

x

cos
x
4
0
0
0 0
0

=

π
2 π
 ln[
(  1)]
4
2 4
π
3 1  x sin x



Câu 12. Tính tích phân I =

0

cos 2 x

dx

(Khối B – 2011)
π
3

π
3

π
3

π
dx  tan x 3  3
Ta có I = 
dx  
dx ; với 
2
2
2
cos
x
cos
x
cos
x
0
0
0
0

Đặt J =

π
3

1

x sin x

1

x sin x

 cos2 x dx ; đặt u = x; dv = (sin x / cos² x)dx → du = dx, v = 1 / cos x.

0

π

π

π

π

π 3
x
1
2π 3 d(sin x) 2π 1 3 d(sin x) 3 d(sin x)


dx

 2

 [

]
J=
3 
cos x
cos
x
3
3
2
sin
x

1
sin
x

1
sin
x

1
0
0
0

0 0

π
2π 1 sin x  1
2π
=
 ln
 ln(2  3)
3
3 2 sin x  1
3
0
2π
I = 3   ln(2  3)
3

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Câu 13. Tính tích phân I =

4



0

4x  1

dx
2x  1  2

(Khối D – 2011)
Đặt t = 2x  1 → x = (t² – 1) / 2 → dx = t dt.
Đổi cận: x = 0 → t = 1; x = 4 → t = 3.
I=

3
3 34
2t 3  3t
10
2t 3
3
2
dt

(2t

4t

5

)dt

[
 2t 2  5t  10ln(t  2)]   10ln
 t2

1 3

t2
3
5
1
1
3

Câu 14. Tính tích phân I =

1



0

x 2  ex  2x 2e x
1  2e x

dx .

(Khối A – 2010)
I=

1



x 2 (1  2e x )  e x
1  2ex

0

=

1 3 1 1 1 d(1  2e x )

x  
x
0 2 0 1  2e x
3
1

2e
0

1

1

dx   x 2dx  
0

e x dx

1 1 1
1 1
1
 ln(1  2e x )   ln(1  2e)  ln 3
0 3 2
3 2

2

Câu 15. Tính tích phân I =

e

ln x

 x(2  ln x)2 dx

1

(Khối B – 2010)
Đặt u = 2 + ln x → du = (1/x) dx
Đổi cận x = 1 → u = 2; x = e → u = 3
I=

3



2

u2
u2

3
1 2
2 3
3 1

du   (  2 )du  (ln u  )  ln  .
u u
u 2
2 3
2

e

3
x

Câu 16. Tính tích phân I =  (2x  ) ln xdx
1

(Khối D – 2010)
Đặt u = ln x; dv = (2x – 3/x) dx → du = (1/x)dx; v = x² – 3 ln x
e
e
e e
1
I  [(x 2  3ln x)ln x]   (x 2  3ln x) dx  e 2  3   xdx  3 ln xd(ln x)
1 1
x
1
1

 e2  3 

x2 e 3 2 e
 ln x

1
2 1 2

= e² / 2 – 1

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh