SKKN hệ thức vi ét và ứng dụng

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
1) CƠ SỞ TÂM LÝ:
Học sinh trường trung học cơ sở-trẻ em trong độ tuổi từ 11 đến 14 có được vị trí
mới trong quan hệ đối với ngưòi lớn, có tính tự lập cao, có sự tự do trong hành
động...mặc dầu những đòi hỏi đó vượt lên trước so với kinh nghiệm sống và khả
năng thực hiện tự lập của chính các em. Ưu điểm lớn của lứa tuổi thiếu niên là sự
sẵn sàng của nó đối với mọi hoạt động học tập làm cho nó trở thành người lớn trong
con mắt của mình. Học sinh THCS bị cuốn hút vào các hình thức hoạt động tự lập
trên lớp, vào tài liệu học tập phức tạp, vào khả năng tự xây dựng hoạt động nhận
thức của mình trong giới hạn của nhà trường. Các nguyện vọng đang phát triển
mạnh mẽ đó là tính tự lập. Các em càng lớn thì càng thiên về sự nhận thức các hành
động học tập của mình, về việc hiểu biết tính nhất quán của chúng, về việc lập kế
hoạch cho các hành động đó và cuối cùng, về điều khiển chúng. Như vậy ở lứa tuổi
học sinh trung học cơ sở đã có những điều kiện thuận lợi cho sự hình thành khả
năng tự điều chỉnh trong hoạt động học tập, tính tích cực chung của trẻ, sự sẵn sàng
tham gia vào các hoạt động khác nhau, nguyện vọng muốn có các hình thức học tập
mang tính chất “người lớn”.
2) CƠ SỞ GIÁO DỤC:
Bậc học trung học cơ sở thuộc bậc trung học (với hai giai đoạn là THCS và PTTH)
đóng vai trò cầu nối giữa phổ thông trung học và bậc tiểu học. Đa số học sinh tốt
nghiệp THCS sẽ ra đời hoặc vào các trường dạy nghề, số ít còn lại tiếp tục học lên
THPT. Ngoài những yêu cầu chung về phẩm chất đạo đức, chính trị, thì dù thuộc
luồng nào, mọi học sinh đều phải được để giáo dục trở thành người lao động năng
động, sáng tạo, thích ứng với mọi sự phát triển đa dạng với tốc độ nhanh của xã hội,
người công dân có trách nhiệm cao, con người được phát triển toàn diện cùng với
chất lượng cuộc sống ngày càng nâng cao. Những yêu cầu trên được phản ánh qua
một hệ thống năng lực mà trong đó năng lực giải quyết các tình huống, năng lực tự
1

học có vị trí vô cùng quan trọng. Tất nhiên mức độ đòi hỏi phải phù hợp với đối
tượng và chức năng của trường THCS. Đổi mới phương pháp dạy học phải góp
phần tích cực thực hiện mục tiêu đó trên cơ sở tương hợp với nội dung đào tạo được
lựa chọn theo yêu cầu quán triệt mục tiêu.
3) CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Nghị quyết TW II khoá VIII đã khẳng định: "Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc
phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành thạo nếp tư duy sáng tạo của người
học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá
trình dạy học".
Trong Luật giáo dục đã khẳng định" Phương pháp giáo dục phổ thông phải
phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học". Nói cách khác là việc dạy học theo chương trình
mới nhằm mục tiêu đào tạo con người mới thích ứng với sự phát triển nhanh mạnh
từng ngày , từng giờ của khoa học kĩ thuật. Nhận thức được tầm quan trọng của
việc đổi mới phương pháp giảng dạy nói chung, giảng dạy toán 9 nói riêng, bản
thân đã được giảng dạy chương trình toán 9 cũ và được tiếp cận chương trình toán 9
theo chương trình cải cách và chuẩn kiến thức kỹ năng nên tôi mạnh dạn soạn và
áp dụng dạy theo một hệ thống bài tập có tính hệ thống lôgíc giới hạn ở hệ thức Viét với phương trình bậc hai một ẩn.
Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trình cải
cách và nội dung SGK khoa mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh
những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết
cáh suy luận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới. Bên
cạnh đó đòi hỏi học sinh phải cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên
cứu kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh nắm được những tri thức phương pháp
thì người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị kiến
thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào , để học sinh hiểu và vận dụng
hiệu quả hơn.
2

Trong chương trình bộ môn toán 9 nhiều bài tập, đặc biệt là thi vào THPT xuất
hiện nhiều dạng bài toán liên quan đến hệ thức Vi-ét, nhưng thời lượng chương
trình dành cho học và vận dụng hệ thức Vi-ét là không nhiều. Vì vậy muốn học sinh
đọc hiểu và có khả năng vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức Vi-ét nói riêng
vào giải các bài tập liên quan phần không nhỏ phụ thuộc vào lòng say mê công
việc, không ngừng suy nghĩ khai thác các đơn vị kiến thức thành hệ thống các dạng
bài tập để học sinh nhận diện ra phương pháp giải và rèn kĩ năng vận dụng kiến
thức vào giải dạng bài tập đó.
Chính vì nhận thấy tầm quan trọng của việc khai thác có hệ thống các đơn vị
kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình
của tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trường, tôi mạnh dạn đi sâu suy
nghĩ khai thác và đúc kết thành kinh nghiệm “ Hệ thức vi- ét và ứng dụng “ trong
giảng dạy theo hệ thống các nội dung sau:
+ Không giải phương trình bậc hai áp dụng định lý Vi-et tính giá trị biểu thức
đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai.
+ Áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai
có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện T cho trước.
+ Hệ thức Vi-ét trong sự tương giao hàm số y = ax2 ( a ≠ 0) và y = mx + n
+ Lập phương trình bằng định lý Vi-ét đảo.
+ Giải hệ phương trình bằng định lý Vi-ét đảo.

PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG
A- MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
1/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
- Đề tài có thể giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể về các vấn đề liên quan đến
hệ thức Vi-ét, rút ra được những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu
và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp dạy-học cho học sinh có hiệu quả,
3

giúp học sinh giảm bớt những khó khăn lúng túng khi học nội dung này.
- Thực hiện đề tài để thấy được những thuận lợi và khó khăn khi dạy học nội
dung hệ thức Vi-ét. Qua đó định hướng nâng cao chất lượng dạy-học môn toán.
2/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
- Thấy được vai trò của hệ thức Vi-ét trong chương trình toán THCS đặc biệt
là những dạng toán có liên quan.
- Giảm bớt những khó khăn, những lúng túng của các em khi nghiên cứu nội
dung có liên quan đến hệ thức Vi-ét. Học sinh xác định được cách giải của một số
dạng bài toán cơ bản.
3) ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1. Nghiên cứu phần "phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 có chứa tham số" và
ứng dụng của định lý Vi-ét trong phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0
2. Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó.
3. Giáo viên giảng dạy Toán cấp THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh
khối lớp 9.

B- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :
1- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU LÍ LUẬN :
Đọc các tài liệu có liên quan để phân dạng bài tập và phương pháp giải
+ Các tạp chí giáo dục, toán học.
+Sách giáo khoa, sách giáo viên.
+Sách tham khảo.
+ Phương pháp dạy học môn toán THCS.
2- PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM
Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả áp dụng đề tài.
3 - PHƯƠNG PHÁP TỔNG KẾT KINH NGHIỆM:
Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn.
4

I- LÝ THUYẾT CƠ BẢN.
1- Định lí Vi-ét.
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)

(1) có hai nghiệm x 1 và x2 thì:

b

x1 + x 2 = − a

x ×x = c
 1 2 a
2- Định lí Vi-ét đảo.
Nếu hai số có tổng S và tích P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
x2 -Sx + P = 0 .
Điều kiện tồn tại hai số đó là: S2 - 4P ≥ 0.
II- CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN.
DẠNG 1: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
* Phương pháp giải:
Để phương trình bậc hai có :
có hai nghiệm dương ( 0 < x1 ≤ x2 ):

có hai nghiệm dương phân biệt (
0 < x1 < x2 ):

a ≠ 0
∆ ≥ 0


c

P = > 0
a


b
S = > 0
a


a ≠ 0
∆ > 0


P > 0
 S > 0

có hai nghiệm âm ( x1 ≤ x2 < 0 ):

có hai nghiệm âm ( x1 < x2 < 0 ):

a ≠ 0
∆ ≥ 0


P > 0
 S < 0

a ≠ 0
∆ > 0



P > 0
 S < 0

có hai nghiệm cùng dấu:

có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:
5


a 0

0
P > 0


a 0

> 0
P > 0


cú hai nghim trỏi du ( x1 < 0 < x2 ):
a 0
a 0
hay
(trong trờng hợp cần thiết có

P < 0
ac < 0

thể chứng minh)
có hai nghiệm trái dấu và nghiệm d- có hai nghiệm trái dấu và nghiệm
ơng cú giỏ tr ln hn giỏ tr tuyt

õm cú giỏ tr tuyt i ln hn

i ca nghim õm:

nghim dng:

a 0
0


S > 0
P < 0

a 0
0


S < 0
P < 0

cú mt nghim bng 0, nghim cũn cú mt nghim bng 0, nghim cũn
li õm ( x1 < x2 = 0 ) :

li
dng ( 0 = x1 < x2 ) :

a 0

P = 0
S < 0


a 0

P = 0
S > 0


cú hai nghim bng nhau v bng 0 (cú nghim
kộp bng 0) ( x1 = x2 = 0 ) :
a 0
a 0


P = 0 hoc = 0
S = 0
S = 0



có đúng một nghiệm âm:
i) có một nghiệm kép âm:

cú ỳng mt nghim dng:
i) cú mt nghim kộp dng:

a 0

= 0
b

<0
2a


a 0

= 0
b

>0
2a

6


a 0
P < 0

a 0
P < 0

ii) cú hai nghim trỏi du:

ii) có hai nghiệm trái dấu:

iii) cú mt nghim bng 0, nghim

iii) có một nghiệm bằng 0, nghiệm
còn lại âm

cũn li dng

a 0

P = 0
S < 0


a 0

P = 0
S > 0


hoặc thay x=0 vào phơng trình để tìm
hoặc thay x=0 vào phơng trình để tìm
tham số.
tham số.
Bi toỏn 1: Cho phng trỡnh x 2 2 x + m = 0 . Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim.
Khi ú tựy theo giỏ tr ca m hóy ch ra du ca hai nghim ca phng trỡnh.
Bi gii
phng trỡnh cú hai nghim, iu kin l: ' 0 1 m 0 m 1 .
x1 + x2 = 2 > 0

x1 x2 = m

Khi ú phng trỡnh cú hai nghim tha món:

ch ra du ca hai nghim ca phng trỡnh ta xột:
Nu 0 < m 1 , phng trỡnh cú hai nghim dng.
Nu m=0, phng trỡnh cú hai nghim x1 = 0 v x2 = 2 .
Nu m<0, phng trỡnh cú hai nghim trỏi du v nghim dng cú giỏ tr ln hn
giỏ tr tuyt i ca nghim õm.
2
Bi toỏn 2: Cho phng trỡnh x 2 ( m + 1) x m + 1 = 0 . Xỏc nh m phng trỡnh:

a) Cú hai nghim trỏi du.

b) Cú hai nghim dng phõn bit.
Bi gii

a) Phng trỡnh cú hai nghim trỏi du x1 < 0 < x2 khi: P<0 -m+1<0 m>1
Vy, vi m>1 phng trỡnh cú hai nghim trỏi du.
b) Phng trỡnh cú hai nghim dng phõn bit 0 < x1 < x2 khi:
m 2 + 3m > 0
' > 0


0 < m <1
P > 0 1 m > 0
S > 0
2 m + 1 > 0
)

(

7


Vậy với 0 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
2
Bài toán 3: Cho phương trình ( m − 1) x + 2 ( m + 2 ) x + m − 1 = 0 . Xác định m để phương

trình: a) Có một nghiệm.

b) Có hai nghiệm cùng dấu.
Bài giải

a) Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Khi m-1=0 ⇔ m=1, phương trình đã cho trở thành:
6x=0 ⇔ x=0, là nghiệm duy nhất của phương trình.
Trường hợp 2: Với m-1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. Khi đó, để phương trình có một nghiệm điều
2
kiện là: ∆ ' = 0 ⇔ ( m + 2 ) − ( m − 1) ( m − 1) = 0 ⇔ 6m+3=0 ⇔ 6m=3 ⇔ m = −

1
2

1
2

Vậy với m=1 hoặc m = − thì phương trình có một nghiệm.
b) Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu điều kiện là:
6 m + 3 > 0

∆ ' > 0
1

⇔  m −1
⇔ − ≤ m ≠1

2
P > 0
 m − 1 > 0
1
2

Vậy, với − ≤ m ≠ 1 phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
2
Bài toán 4: Cho phương trình mx − 2 ( 3 − m ) x + m − 4 = 0 . Xác định m để phương

trình:

a) Có hai nghiệm đối nhau.

b) Có đúng một nghiệm âm.
Bài giải

a) Phương trình có hai nghiệm đối nhau, điều kiện là:
m − 4
 m < 0
P < 0
⇔
⇔m=3


S = 0
3 − m = 0
 m

Vậy, với m=3 phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với m=0, Khi đó phương trình có dạng:

8


-6x-4=0 ⇔ m = −

2
(thỏa mãn).
3

Trường hợp 2: Với m ≠ 0 . Khi đó, để phương trình có đúng một nghiệm âm, điều
kiện là:
i) Có nghiệm kép âm x1 = x2 < 0 , điều kiện là:
9

∆ = 0
 −2 m + 9 = 0
m = 2
9
 '


⇔ 3 − m

⇔
⇔m=
 b
m
<
0
2
− < 0
 m < 0


 a
  m > 3

ii) Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2 , điều kiện là:
P<0 ⇔

m−4
<0 ⇔0m

iii) Phương trình có một nghiệm bằng không, nghiệm còn lại âm x1 < 0 = x2 :
m − 4 = 0
 f (0) = 0

⇔  2 ( 3 − m)
⇔m=4

<0
S < 0


 m

Vậy, với 0 < m ≤ 4 hoặc m =

9
phương trình có đúng một nghiệm âm.
2

Bài tập tự giải:
Bài tập 1: Cho phương trình x 2 + 2 x + m = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm.
Khi đó, tùy theo m hãy hãy chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trình.
Bài tập 2: Cho phương trình x 2 − 4mx + 1 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm.
Khi đó, tùy theo m hãy hãy chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trình.
Bài tập 3: Cho phương trình mx 2 − 6 x + m = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm.
Khi đó, tùy theo m hãy hãy chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trình.
Bài tập 4: Cho phương trình mx 2 − 8 x + 1 = 0 . Tìm m để phương trình có hai nghiệm.
Khi đó, tùy theo m hãy hãy chỉ ra dấu của hai nghiệm của phương trình.
2
2
Bài tập 5: Cho phương trình x − 2 ( m + 7 ) x + m − 4 = 0 . Xác định m để phương trình:

a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm cùng dấu.
9


2
Bài tập 6: Cho phương trình ( m − 1) x + 2 ( m + 2 ) x + m − 1 = 0 . Xác định m để phương

trình:
a) Có hai nghiệm âm phân biệt.
b) Có hai nghiệm dương phân biệt.
2
Bài tập 7: Cho phương trình ( m − 1) x + 2mx + m + 1 = 0 . Xác định m để phương trình:

a) Có hai nghiệm âm phân biệt.
b) Có hai nghiệm đối nhau.
2
Bài tập 8: Cho phương trình x − 2 ( m − 1) x + m + 1 = 0 . Xác định m để phương trình:

a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm dương phân biệt.
c) Có đúng một nghiệm dương.
2
Bài tập 9: Cho phương trình ( m − 4 ) x − 2 ( m − 2 ) x + m − 1 = 0 . Xác định m để phương

trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm
dương.
Bài tập 10: Cho phương trình x 2 − 6 x + m − 1 = 0 . Xác định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
b) Có hai nghiệm trái dấu.
Bài tập 11: Tìm k để các phương trình sau có hai nghiệm trái dấu:
1)
3)
5)
7)

2) x 2 − 6 x + 7 − k 2 = 0
2

2
4) 3x − ( 2k + 1) x + k − 4 = 0
k 2 x 2 − kx − 2 = 0
6) x 2 − 5kx + 2k − 1 = 0
2 2
x 2 − 2kx + 5k − 4 = 0
8) k x − ( k + 1) x − 5 = 0
2
2
2
9) ( 2k − 7 ) x − ( 3m + 4 ) x + m + 3 = 0
10) 2 x − ( 1 − 4k ) x + k − 16 = 0
Bài tập 12: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu:
2 x2 − 6x + k − 2 = 0
x2 − 7 x + k 2 − 8 = 0

1) x 2 − 3x + m = 0
2) x 2 − 2mx + 2m − 3 = 0
2
4) x 2 − 2mx + 4m − 5 = 0
3) ( m − 1) x − 2 x + 3 = 0
Bài tập 13: Không giải phương trình hãy xét dấu các nghiệm của phương trình
(nếu có):
1) 3x 2 − 7 x + 2 = 0

2) 2 x 2 − 9 x + 1 = 0
10


3) 2 x 2 + 13x + 8 = 0

5) 5 x 2 + 3x − 1 = 0

4) x 2 + 8 x + 2 = 0
2
6) x − ( 2 + 2 ) x + 2 + 1 = 0
8) 8 x 2 − 6 x + 7 = 0
10) 4 x 2 + 2 x − 1 = 0
12) 3x 2 + 5 x + 60 = 0
14) 7 x 2 − 13x + 2 = 0
16) 9 x 2 − 6 x + 1 = 0
18) 3x 2 + 7 x + 1 = 0
20) x 2 + 2mx − m 2 − 1 = 0

7) 4 x 2 − 28 x + 49 = 0
9) 4 x 2 − 11x + 8 = 0
11) 2 x 2 + 5 x + 2 = 0
13) 2 x 2 − 7 x + 3 = 0
15) 5 x 2 − 3x − 7 = 0
17) x 2 − 5 x − 2 = 0
19) −3x 2 + 7 x + 5 = 0
2
21) ( m − 1) x + 3x + 1 − m = 0 ( m ≠ 1)
Bài tập 14: Không giải phương trình, chứng tỏ các phương trình sau không thể có
hai nghiệm cùng dương:
1) x 2 + 3x + 1 = 0
2) x 2 − 5 x − 2 = 0
2
4) x 2 + 4 x + m 2 + 5 = 0
3) x − ( m − 2 ) x + 2 − m = 0
Bài tập 15: Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm

mang dấu gì?
1) x 2 − 5 x + m = 0
2) x 2 + 2mx + 5m − 4 = 0
2
4) m 2 x 2 + mx + 3 = 0
3) x − 2 ( m − 1) x + 2m − 5 = 0
Bài tập 16: Cho phương trình x 2 − 2mx + 2m − 3 = 0 .
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Chứng minh với giá trị m vừa
tìm được phương trình có hai nghiệm cùng dương.
Bài tập 17: Tìm a để phương trình có nghiệm và xét dấu các nghiệm của phương
trình đó:
1) x 2 + ax + 4 = 0
2) 2 x 2 + 3x + a = 0
2
2
3) x 2 + ax + a = 0
4) x − ( 2a + 1) x + a + a = 0
Bài tập 18: Cho phương trình 2 x 2 + 3x + m = 0 .
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
b) Chứng tỏ rằng nếu phương trình có nghiệm, thì nó có ít nhất một nghiệm âm.
c) Xác định m để phương trình có cả hai nghiệm âm.
2
Bài tập 19: Cho phương trình x + ( m + 2 ) x + m = 0 . Tìm m để phương trình:

a) Có hai nghiệm cùng dương. b) Có hai nghiệm cùng âm.
11


c) Có hai nghiệm trái dấu.

d) Có hai nghiệm phân biệt.

e) Có hai nghiệm dương phân biệt.
DẠNG 2: KHÔNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ
VI-ET TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM X 1,
X2 CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
* Bài toán cơ bản:
Không giải phương trình bậc hai áp dụng định lý Vi-et tính giá trị biểu thức đối
xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc hai.
* Phương pháp giải:
-Tìm tham số để phương trình có nghiệm (nếu phương trình chứa tham số):
 a ≠ 0
'

(*) hoặc tính ∆ hoÆc ∆
'
∆
≥
0
ho
Æc
∆
≥
0


(

(

)

)

để kiểm tra phương trình có nghiệm

hay không (nếu phương trình không chứa tham số)
b

 x1 + x2 = − a = S
-Theo hệ thức Vi-et ta có: 
x x = c = P
 1 2 a

-Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P (tổng và tích các nghiệm số)
* Lưu ý:
Để học sinh làm tốt dạng bài tập này giáo viên nên trang bị cho các em hiểu thế
nào là biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1, x2 của phương trình bậc hai (biểu
thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x 1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không
thay đổi) đồng thời giáo viên hướng dẫn các em học sinh có thói quen biểu diễn
biểu thức đối xứng qua S và P (tổng và tích các nghiệm số). Chẳng hạn như:
1) x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = S − P
2

2) x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3 − 3PS
3

3)

x14 + x24 = x14 + 2 x12 x2 2 + x2 4 − 2 x12 x2 2

12


= ( x12 + x2 2 ) − 2 ( x1 x2 )
2

2

2

= ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  − 2 ( x1 x2 )
2

2

= ( S 2 + 2P ) − 2P 2
2

1

x +x

1

S

1
2

4) x + x = x x = P
1
2
1 2

x x
x 2 + x2 2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 S 2 − 2 P
=
=
5) 1 + 2 = 1
x2 x1
x1 x2
x1 x2
P
2

1 1 x 2 + x 2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 S 2 − 2 P
=
6) 2 + 2 = 1 2 2 2 =
2
x1 x2
x1 x2
P2
( x1 x2 )
2

1 1 x13 + x23 ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) S 3 − 3PS
7) 3 + 3 = 3 3 =
=
3

x1 x2
x1 x2
P3
( x1 x2 )
3

x1 + x2 (để tồn tại

8)

x1 + x2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm dưong)

muốn tính được x1 + x2 ta cần tính được

(

x1 + x2

)

2

= x1 + x2 + 2 x1 x2 = S + 2 P

x1 + x2

Từ đó suy ra

9) x1 x1 + x2 x2 = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 − x1 x2 ) đến đây áp dụng
3

3

công thức nêu ở trường hợp 8 để làm tiếp
10) x1 x2 + x2 x1 = x1 x2 ( x1 + x2 ) đến đây áp dụng công thức nêu ở trường hợp
8 để làm tiếp.
11) x1 + x2 để tính được trường hợp này giáo viên hướng dẫn học sinh làm như
sau: ( x1 + x1 ) = x12 + x12 + 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 2 x1 x2
2

12)
sau:

4

(

2

x1 + 4 x2 để tính được trường hợp này giáo viên hướng dẫn học sinh làm như
4

x1 + 4 x2

)

2

= x1 + x2 + 2 4 x1 x2 đến đây để tính được

x1 + x2 giáo viên lại

hướng dẫn học sinh làm như trường hợp 8.
Ngoài các trường hợp nêu trên giáo viên cũng nên hướng dẫn thêm cho học sinh
13


các trường hợp như sau:
• x1 + α + x2 + α hoặc x1 + x2 + x2 + x1 hoặc x1 + α + x2 + α
*Ngoài việc giáo viên hướng dẫn các em học sinh có thói quen biểu diễn biểu thức
đối xứng qua S và P (tổng và tích các nghiệm số) cũng cần rèn luyện kĩ năng biểu
diễn biểu thức không đối xứng qua S và P. Chẳng hạn như:
2
I) x1 − x2 để tính được x1 − x2 ta cần tính ( x1 − x2 ) = x12 + x22 − 2 x1 x2

= ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2
2

2
2
II) x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) đến đây áp dụng công thức I) để làm tiếp.
3
3
2
2
III) x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 + x1 x2 )

= ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  đến đây áp dụng công thức I) để làm tiếp.
2

4
4
2
2
2
2
IV) x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 )
2
= ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  đến đây áp dụng công thức I) để làm

tiếp...
V) x1 − x2 để tính được x1 − x2 ta cần tính
VI) x1 x1 − x2 x2 = ( x1 ) − ( x2 )
3

(

x1 − x2

)

2

= x1 + x2 − 2 x1 x2

3

= ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 + x1 x2 ) và tiếp tục làm như trường hợp trên.
Bài toán 1: Cho phương trình 4 x 2 − 5 x − 1 = 0
a) Không tính biệt số ∆ chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2

b) Tính x1 + x2 ; x1 x2 ; x12 + x22 c) Tính x13 + x23 d) Tính x14 + x24 e) Tính x15 + x25
1 1
x12 x22
+
+
g) Tính x x h) Tính
x2 x1
1
2

2

3x12 + 6 x1 x2 + 3x22
l) Tính
4 x12 x2 + 4 x1 x22

Bài giải
a) Ta có:

a=4,

x1

x2

i) Tính ( x1 − x2 ) k) Tính x + 1 + x + 1
2
1

c=-1 Suy ra: ac=4.(-1)=-4<0

14


Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
Vì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 nên theo hẹ thức Vi-et ta có:
5

 x1 + x2 = 4

x x = − 1
 1 2
4
x12 + x22 = x12 + 2 x1 x2 + x22 − 2 x1 x2

b) Lại có:

2

5
 1
=  ÷ − 2.  − ÷
4
 4

=

33
16

c) Lại có: x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 )

3

5
 

3

 1 5

=  ÷ -3.  − ÷ .
 4 4
4

=

185
64

d) Lại có: x14 + x24 = x14 + 2 x12 x22 + x24 − 2 x12 x22
= ( x12 + x22 ) − 2 ( x1 x2 )
2

2

2

= ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  − 2 ( x1 x2 )
2

2

2

2
 5  2
 1 
 1
=  ÷ − 2.  − ÷ − 2.  − ÷
 4  
 4
 4 

=

2393
64

e) Ta có:

(x

2
1

+ x22 ) ( x13 + x23 ) = x15 + x12 x23 + x22 x13 + x25

⇔ ( x12 + x22 ) ( x13 + x23 ) = x15 + x25 + ( x1 x2 )

2

( x1 + x2 )

Do đó:
x15 + x25 = ( x12 + x22 ) ( x13 + x23 ) − ( x1 x2 )
2

33 185  1  5
= × −− ÷ ×
16 64  4  4

=

2

( x1 + x2 )

6025
1024

g) Ta có:
15

= ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
2


1 1 x1 + x2 5  1 
+ =
= :  − ÷= −5
x1 x2

x1 x2
4  4

h) Ta có:
x12 x22 x13 + x23 185  1 
185
+ =
:  − ÷= −
=
x2 x1
x1 x2
64  4 
16

i) Ta có:

( x1 − x2 )

2

= x12 + x22 − 2 x1 x2

= ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2
2

2

5
 1  41
=  ÷ − 4 × − ÷ =

4
 4  16

k) Ta có:
33 5
+
x1 ( x1 + 1) + x2 ( x2 + 1) x12 + x1 + x22 + x2 x12 + x22 + x1 + x2
53
16 4
=
=
=
=
x1 x2 + x1 + x2 + 1 x1 x2 + x1 + x2 + 1 − 1 + 5 + 1 32
( x1 + 1) ( x2 + 1)
4 4

x1
x
+ 2 =
x2 + 1 x1 + 1

l) Ta có:
3 ( x12 + x22 ) + 6 x1 x2

3x + 6 x1 x2 + 3x
=
4 x12 x2 + 4 x1 x22
4 x1 x2 ( x1 + x2 )
2

1

2
2

33
 1
3 × + 6 × − ÷
16
 4  − 15
=
=
 1 5
4
4 × − ÷×
 4 4

Bài toán 2: Cho phương trình x 2 − 6 x + 1 = 0 . Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương
trình. không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1) x12 + x22
2) x1 x1 + x2 x2
3)

x12 + x22 + x1 x2 ( x1 + x2 )

x12 ( x12 − 1) + x22 ( x22 − 1)

Bài giải
Ta có:
∆ ' = b '2 − ac = ( −3) − 1.1 =9-1=8>0

2

16


Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Theo hệ thức Vi-et ta có:
x1 + x2 = 6 >0
x1 x2 = 1 >0

Do đó phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
1) Ta có:
x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
2

= 62-2.1=36-2=34
2) Vì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt nên ta có:

(

x1 + x2

)

2

= x1 + x2 + 2 x1 x2

=6+2 1 =6+2=8
x1 + x2 = 2 2

Suy ra

Lại có: x1 x1 + x2 x2 = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 − x1 x2 )
3

3

= 2 2 ( 6 − 1 ) =10 2
3) Ta có:
x12 + x22 + x1 x2 ( x1 + x2 )

2
2
x12 + x22 + x1 x2 ( x1 + x2 ) x1 + x2 + x1 x2 ( x1 + x2 )
=
= x4 + x4 − x 2 + x2
x12 ( x12 − 1) + x22 ( x22 − 1)
x14 − x12 + x24 − x22
( 1 2)
1
2

=
=

x12 + x22 + x1 x2 ( x1 + x2 )

x14 + 2 x12 x22 + x24 − 2 x12 x22 − ( x12 + x22 )

=

(x

2
1

x12 + x22 + x1 x2 ( x1 + x2 )

+ x22 ) − 2 ( x1 x2 ) − ( x12 + x22 )
2

2

34 + 1.6
40
1
=
=
2
34 − 2.1 − 34 1120 28
2

Bài toán 3: Cho phương trình 3x 2 − 4 x + m = 0 (m là tham số)
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tính: x12 + x22 − 6 x1 x2
Bài giải
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:
∆ ' ≥ 0 ⇔ ( −2 ) − 3.m ≥ 0
2

17

⇔ 4 − 3m ≥ 0

⇔m≤

⇔ −3m ≥ −4

4
(*)
3

Theo hệ thức Vi-et ta có:
x1 + x2 =

4
,
3

x1 x2 =

m
3

Lại có:
= ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2
2

x12 + x22 − 6 x1 x2 = x12 + 2 x1 x2 + x22 − 2 x1 x2 - 6x1 x2
2

m
4
= ÷ −8×
3
3

=

16 8m
−
9
3

Bài tập tự giải
Bài tập 1: Cho phương trình 2 x 2 − 3x + 1 = 0 . Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương
trình. Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
1

1− x

1

1) x + x
1
2
x1

x2

4) x + 1 + x + 1
2
1

1− x

1
2
2) x + x
1
2

3) x12 + x22

5) x1 − x2

6) x1 + x2

Bài tập 2: Cho phương trình x 2 + mx + 1 = 0 . Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương
trình. Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
1) x + x
3
1

3
2

x12 x22
2) 2 + 2
x2 x1

2
Bài tập 3: Cho phương trình kx + ( k − 1) x + 3 ( k − 1) = 0 . Giả sử phương trình có

1

1

1

nghiệm khác 0 là x1 , x2 . Chứng minh rằng x + x = − 3 .
1
2
Bài tập 4: Không giải phương trình hãy tính: x12 + x22 ; x1 − x2 ; x12 − x22 với x1 , x2 là
nghiệm của các phương trình sau:
1) x 2 − 4 x − 12 = 0

2) x 2 + 5 x + 6 = 0

3) x 2 + 3x − 2 = 0

4) 4 x 2 + 5 x − 1 = 0

Bài tập 5: Cho phương trình: 3x 2 − 6 x − 2 = 0 . Không giải phương trình hãy tính (
x1 , x2 là các nghiệm của phương trình và x1 < x2 ):

18


1

1

x

x

a) x + x
1
2

b) x12 + x22
x1

x2

1
2
c) x + x
2
1

d) x + 1 + x + 1
2
1

e) x13 + x23

g) x1 − x2

h) x12 − x22

i) x13 − x23

DẠNG 3: ÁP DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT VÀO TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ
M ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN T CHO TRƯỚC.
* Bài toán cơ bản:
Tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (I)
Có nghiệm thảo mãn điều kiện T cho trước.
* Phương pháp giải:
Để phương trình (I) có nghiệm ta phải có: Δ ≥ 0

(*)

b

x
+
x
=
−
1
2

a
Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có: 
x x = c
 1 2 a
Để tìm giá trị của tham số m ta giải hệ phương trình:
b


x
+
x
=
−
1
2

a

c

x1 ×x 2 =
a

§iÒu kiÖn T



so sánh với điều kiện (*) và kết luận bài toán.

*Các điều kiện T cho trước có thể là:
Trường hợp: α x1 + β x2 = λ (3)
 x1 + x2 = S
⇒ tìm x1 , x2
α x1 + β x2 = λ

Giải hệ phương trình 

Thay các giá trị x1 , x2 vào (2) tìm tham số.
19


Chọn các giá trị tham số thỏa mãn điều kiện (*).
2
Trường hợp: x12 + x2 2 =K ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = K

⇔ S 2 − 2 P = K ( 4 ) (theo (1) và (2))

Giải (4) ⇒ tìm được giá trị của tham số.
Chọn giá trị tham số thỏa mãn điều kiện (*).
1

1

Trường hợp: x + x = n ⇔ x1 + x2 = nx1 x2
1
2
⇔−

b nc
⇔ −b = nc ( 5 )
=
a a

Giải (5) ⇒ tìm được giá trị của tham số.
Chọn giá trị tham số thỏa mãn điều kiện (*).
2
Trường hợp: x12 + x2 2 ≥ h ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 ≥ h

⇔ S 2 − 2 P ≥ h (theo (1) và (2))
⇔ S 2 − 2P − h ≥ 0 ( 6 )

Giải (6) ⇒ tìm được giá trị của tham số.
Chọn giá trị tham số thỏa mãn điều kiện (*).
Trường hợp: x13 + x23 = t ⇔ x13 + 3x12 x2 + 3x1 x2 2 + x33 − 3x12 x2 − 3x1 x2 2 = t
⇔ ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = t
3

⇔ S 3 − 3PS = t ( 7 ) (theo (1) và (2)).

Giải (7) ⇒ tìm được giá trị của tham số.
Chọn giá trị tham số thỏa mãn điều kiện (*).
Bài toán 1: Cho phương trình x2 - 2m x + 2m -1 = 0

(1)

Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1 = 2 x2.
Bài giải:
Để phương trình (2) có nghiệm ta phải có:
∆ ' = ( −m ) − ( 2m − 1) = m 2 − 2m + 1 = ( m − 1) ≥ 0 víi ∀m
2

Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có:
20


x1 + x 2 = 2m


x1 ×x 2 = 2m − 1

(*)
(**)

Kết hợp với điều kiện x1 = 2 x2

Thay vào (*) ta có: 2x 2 + x 2 = 2m ⇒ x 2 =
Thay vào (**) ta có:

2m
4m
;x1 =
3
3

2m 4m
.
= 2m − 1 ⇔ 8m 2 − 18m + 9 = 0
3 3

3
3
Giải phương trình ẩn m ta được : m1 = ; m 2 =
(thoả mãn )
2
4
3
3
Vậy m1 = ; m 2 = thì phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1 = 2 x2.

2
4
Bài toán 2: Cho phương trình x2 -mx + m + 1 = 0

(2)

Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn
x1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0.
Bài giải:
Để phương trình (2) có nghiệm ta phải có: Δ = m2 - 4m - 4 ≥ 0 (*)
m ≥ 2 + 2 2
⇔
(**)
 m ≤ 2 − 2 2
Khi đó phương trình có hai nghiệm x 1 ,x2 theo hệ thức vi-ét ta có:
 x1 + x 2 = m

x1 ×x 2 = m + 1
Từ x1 x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0 ⇔ m + 1 + 2m - 19 = 0
⇔ 3m = 18 ⇔ m = 6 ( Thoả mãn (**))
Vậy m = 6 là giá trị cần tìm.
*Lưu ý: Trong quá trình tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nếu điều kiện
là một phương trình hay bất phương trình mà ta giải nó gặp khó khăn , chẳng hạn
như bài tập trên điều kiện là m2 - 4m - 4 ≥ 0 thì ta có thể không giải phương trình
hay bất phương trình đó. Sau khi tìm được m thì thay vào xem có thoả mãn không.
21


Ví dụ ở bài tập trên tìm được x = 6 ta thay vào (*) ta có: Δ = 6 2 - 4.6 - 4 = 8 > 0
Vậy m = 6 thoả mãn (*)

Bài toán 3: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

(3 )

Tìm các giái trị của m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn :
A = 10 x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài giải:
m ≥ 3
Phương trình (3 ) có nghiệm ⇔ Δ' = m2 - 9 ≥ 0 ⇔ 
(*)
 m ≤ −3
Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1 + x 2 = 2 ( m + 1) = 2m + 2

x1 ×x 2 = 2m + 10
Từ A = 10 x1x2 + x12 + x22 = (x1 + x2 )2 + 8 x1x2 = (2m + 2 )2 + 8(2m +10)
= 4m2 + 24m + 84 = ( 2m + 6)2 + 48 ≥ 48
Min A = 48 khi 2m + 6 = 0 hay m = -3.( tmđk*)
Vậy m =-3 thì A đạt giá trị nhỏ nhất và MinA = 48.
Bài toán 4 : Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình:
2x2 + 2(m + 1) x + m2 + 4m + 3 = 0 (4 )
Tìm giá trị lớn nhất của M = x1x 2 − 2x1 − 2x 2
Bài giải:
Phương trình (4 ) có nghiệm ⇔ Δ' = -m2 - 6m - 5 ≥ 0 ⇔ m 2 + 6m + 5 ≤ 0
⇔ ( m + 1) ( m + 5 ) ≤ 0 ⇔ −5 ≤ m ≤ −1

( *)

Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có:
 x1 + x 2 = − m − 1



m2 + 4m + 3
x1 ×x 2 =

2

22


Từ M = x1x 2 − 2x1 − 2x 2 = x1x 2 − 2 ( x1 + x 2 )

m 2 + 4m + 3
+ 2m + 2
=
2

m 2 + 8m + 7 1 2
1
= m + 8m + 7 = − ( m 2 + 8m + 7 ) vì với −5 ≤ m ≤ −1
=
2
2
2
thì
m2 + 8m + 7 < 0.
2
2
1
9 1

9
M = − ( m + 4 ) − 9  = − ( m + 4 ) ≤
2
2 2
2

Max M =

2
9
khi ( m + 4 ) = 0 hay m = -4 .( tmđk*)
2

9
Vậy m = - 4 thì M đạt giá trị lớn nhất và MaxM = .
2
Bài toán 5 : Cho phương trình x2 - mx + m -1 = 0 (5 )
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với ∀ m.
b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
nhất của P =

2x1x 2 + 3
.
x 1 2 + x 2 2 + 2 ( x 1 x 2 + 1)
Bài giải:

a/ Có Δ = m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 ≥ 0 với ∀ m. Vậy phương trình (5) luôn có
nghiệm với ∀ m.
b/ Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có:
 x1 + x 2 = m


 x1x 2 = m - 1
Từ P =

2x1x 2 + 3
2m − 2 + 3 2m + 1
=
= 2
2
x 1 + x 2 + 2 ( x 1 x 2 + 1)
m2 + 2
m +2
2

⇔ m 2 P + 2P = 2m + 1 ⇔ m 2 P + 2m + 2P − 1 = 0
Để tồn tại P thì phải tồn tại m vậy phương trình ẩn m trên phải có nghiệm hay:
23


∆ 'm = 1 − 2P 2 + P ≥ 0 ⇔ ( P − 1) ( 2P + 1) ≤ 0 ⇔
Min P =

−1
khi m=-2.( tm)
2

−1
≤ P ≤1
2

Max P = 1 khi m=1.( tm)

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 Giá trị nhỏ nhất của P bằng

−1
.
2

* Nhận xét: Đối với những biểu thức chỉ chứa các nghiệm của phương trình
cho trước muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất ta làm theo trình tự sau:
+Trước hết ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm .
+Biến đổi biểu thức xuất hiện tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm .
+Từ đó áp dụng hệ thức Vi -ét thay vào được biểu thức chỉ chứa tham số m. Ta
tiến hành tìm GTNN, GTLN của biểu thức với ẩn m.
Bài toán 6: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m -1 = 0

(6 )

a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với ∀ m.
b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng biểu thức:
A = x1 ( 1 − x 2 ) + x 2 ( 1 − x1 ) không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài giải:
2

1 7

a/ Có Δ' =  − ( m + 1)  − ( m − 1) = m + m + 2 =  m + ÷ + > 0 với ∀ m.
2 4

2

2

Vậy phương trình (6 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với ∀ m.
b/ Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1 + x 2 = 2m + 2

x1 ×x 2 = m − 1
Từ A = x1 ( 1 − x 2 ) + x 2 ( 1 − x1 ) = ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 = 2m + 2 − 2 ( m − 1) = 4
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài tập tự giải
Bài tập 1: Cho phương trình: x 2 − 4 x + m + 1 = 0
1) Tìm m để phương trình có nghiệm
24


2) Tìm m để phương trình trên có nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:
x

x

10

a) x12 + x22 = 10

1
2
b) x + x = 3
2
1

c) x2 − x1 = 0

d) x1 + x2 = 0

e) x12 + x22 = 0

g) x1 x2 − ( x1 + x2 ) = 2

2
Bài tập 2: Cho phương trình: x − 2 ( m + 1) x + 2m + 10 = 0 .

1) Tìm m để phương trình có nghiệm.
2) Tìm m để phương trình trên có nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:
x

x

1
2
a) x + x = 2
2
1

c) 2 x2 − x1 = 8

b) x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) ≤ 5
d) A= 10x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị lớn nhất

Bài tập 3: Cho phương trình x 2 − 2 x − m2 − 4 = 0

1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm số phân biệt.
2) Tìm m để phương trình có một nghiệm số là -2. Tính nghiệm còn lại.
3) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện:
a) x12 + x22 = 20

b) x1 = −2 x2

c) x2 − x1 = 10

d) 2 x1 − 5 x2 = 3

DẠNG 4: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT
NGHIỆM x = x1 . TÌM NGHIỆM CÒN LẠI.
* Phương pháp giải:
 a ≠ 0

-Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm ∆ ≥ 0 hoÆc ∆' ≥ 0 (*)
(
)

-Thay x = x1 vào phương trình đã cho để tìm giá trị của tham số.
-Chọn giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện (*).
-Tìm nghiệm còn lại (có ba cách tìm).
Bài toán 1: Cho phương trình 3x 2 + 7 x + m = 0 có một nghiệm trong các nghiệm bằng
1. Xác định m và tìm nghiệm còn lại.
25