SKKN RÈN LUYỆN HỌC SINH HỌC TỐT TOÁN DẠNG CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU

“RÈN LUYỆN HỌC SINH HỌC TỐT TOÁN DẠNG CHỨNG MINH HAI
TAM GIÁC BẰNG NHAU.”
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1 .Lý do khách quan:
-Mục tiêu của phát triển giáo dục hiện nay là nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài nhằm đáp ứng nhu cầu của xã hội, của đất nước. Do đó
“Giáo dục đào tạo là quốc sách hàng đầu nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,
bồi dưỡng nhân tài”.
- Việc dạy học môn toán có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục
học sinh , nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến
thức và kĩ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại sát với thực tiễn và có khả
năng vận dụng những tri thức đó vào những tình huống cụ thể khác nhau như: vào
đời sống, vào lao động sản xuất và vào việc học tập các bộ môn khác. Vì môn toán
có tính trừu tượng cao, suy diễn rộng, suy luận chặt chẽ nên không phải học sinh
nào cũng học tốt môn toán, cũng yêu môn toán, nhất là khi học hình học , các em
thường nhàm chán, khó khăn. Bên cạnh đó toán học cũng là môn thể thao của trí
tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy luận, phương pháp
học tập, phương pháp giải quyết vấn đề , giúp ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo.
Ngoài ra, toán học là một trong những bộ môn không thể thiếu trong trường
trung học cơ sở nói riêng, toán học còn có vai trò rất quan trọng trong cuộc sống
của chúng ta. Chính vì vậy, học sinh có những nhu cầu không thể thiếu là sự tìm
tòi, sự hiểu biết để phát hiện ra những cái hay, những đặt trưng riêng của toán học
đã được ứng dụng trong thực tiễn. Từ đó, học sinh có nhiều niềm tin và thích thú
học môn Toán , đặc biệt là hình học nhiều hơn.
2. Lý do chủ quan:
-Qua ba năm trực tiếp giảng dạy bộ môn toán 7, tôi thấy đa số học sinh thích
học số học nhiều hơn hình học. Ở lớp 6 các em chỉ học những khái niệm cơ bản .
Chẳng hạn như : điểm, đoạn thẳng, đường thằng, tia, góc, tam giác,…Còn đối với
lớp 7, các em mới bắt đầu làm quen dạng toán chứng minh . Do đó, các em còn
lúng túng khi vẽ hình lập luận , phân tích lời giải , trình bày một bài toán chứng
minh . Vì các em chưa nắm kĩ lý thuyết nên vận dụng vào bài toán chứng minh rất

khó . Từ đó các em cảm thấy học hình học khó hơn học số học. Chính vì vậy, Tôi
đã chọn đề tài: “Rèn luyện học sinh học tốt toán dạng chứng minh hai tam giác
bằng nhau ” nhằm giúp cho các em nắm vững kiến thức hơn và trình bày tốt dạng
toán chứng minh hai tam giác bằng nhau. Ngoài ra , Tôi muốn tìm hiểu sâu hơn về
hình học qua đề tài này nhằm tích lũy kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy để đạt
chất lượng cao hơn.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lí luận:
1.1. Thuận lợi:
+ Được sự quan tâm chỉ đạo sát sao của BGH nhà trường.
+ Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp.


+ Nhà trường có tương đối đầy đủ phương tiện trang thiết bị phục vụ cho dạy học.
+ Đa số các em học sinh ngoan, lễ phép một số em tỏ ra thích học môn toán, và có
năng khiếu về bộ môn toán.
1.2. Khó khăn:
+ Học sinh chưa chịu tự học bài, làm bài tập trước khi đến lớp hoặc học theo cách
học vẹt.
+ Tiếp thu bài còn quá chậm
+ Chưa biết cách phân tích để nhận dạng bài toán
1.3. Số liệu thống kê ban đầu:
Trước khi thực hiện:
Điểm kiểm tra khảo sát các lớp 7/7, 7/8 kết quả như sau:
Lớp
7/7. 32 hs
7/8. 38 hs
Tổng: 70 hs

Xếp loại

Giỏi
5=16%
5=13%
10=14%

Khá
6 = 19 %
7 =18 %
13 = 19%

TB
Yếu, kém
13= 40 %
8 = 25%
14 = 37% 12 = 32%
27 = 39 % 20 = 28 %

2. Các giải pháp thực hiện:
2.1/ Kiến thức cơ bản:
2.1a. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác
a.Trường hợp thứ nhất: cạnh – cạnh – cạnh ( c – c – c )
-Nếu 3 cạnh của tam giác này bằng 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó bằng
nhau
b.Trường hợp thứ hai: cạnh – góc – cạnh ( c – g – c )
-Nếu 2 cạnh và góc xen giửa của tam giác này bằng 2 cạnh và góc xen giữa của
tam giác kia thì 2 tam giác đó bằng nhau.
c.Trường hợp thứ ba : góc – cạnh – góc ( g – c – g )
- Nếu 1 cạnh và 2 góc kề của tam giác này bằng 2 cạnh và góc xen giữa của tam
giác kia thì 2 tam giác đó bằng nhau.
2.1b. Trường hợp đặc biệt: Trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông.

a./ Nếu 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng 2 cạnh góc vuông của tam
giác vuông kia bằng nhau thì 2 tam giác vuông ấy bằng nhau.
b./ Nếu 1 cạnh góc vuông và 1 góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng 1
cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì 2 tam giác
vuông ấy bằng nhau.
c./ Nếu 2 tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và 1 góc nhọn bằng nhau thì 2
tam giác vuông đó bằng nhau.
d./ Hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và 1 cạnh góc vuông bằng nhau
thì bằng nhau.
2.1c. Ứng dụng quan trọng của tam giác bằng nhau
- Để chứng minh 2 góc hoặc 2 đoạn thẳng bằng nhau , ta coi chúng là các yếu tố
tương ứng trong 2 tam giác nào đó và ta chứng minh 2 tam giác ấy bằng nhau.


2.2/ Hướng dẫn và xây dựng phương pháp chứng minh
1.Trường hợp thứ nhất: cạnh – cạnh – cạnh ( c – c – c )
- Nhận dạng các cạnh tương ứng của hai tam giác và chứng minh các cạnh này
bằng nhau
- Từ sự bằng nhau của hai tam giác suy ra các góc tương ứng của hai tam giác bằng
nhau.
2. Trường hợp thứ hai: cạnh – góc – cạnh ( c – g – c )
- Xác định hai cặp cạnh tương ứng và góc xen giữa hai cạnh của hai tam giác.
Chứng tỏ các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.
- Từ sự bằng nhau của hai tam giác suy ra các yếu tố tương ứng bằng nhau.
3. Trường hợp thứ ba : góc – cạnh – góc ( g – c – g )
- Xác định cặp cạnh tương ứng và hai cặp góc kề tương ứng của hai tam giác bằng
nhau . Chứng tỏ các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau
4.Trường hợp đặc biệt: Trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông.
- Xác định các yếu tố cần chứng minh là cạnh ( hay góc ) tương ứng của hai tam
giác vuông.

- Chứng tỏ hai tam giác vuông đó bằng nhau theo một trong các trường hợp nêu
trên.
2.3/ Xác định hướng giải chung:
- Bước 1: Đọc kĩ đề bài
- Bước 2: Vẽ hình
- Bước 3: Ghi giả thuyết, kết luận
- Bước 4: Chứng minh
2.4/ Xác định các kỹ năng cần đạt:
Trong quá trình giảng dạy phần hình học ta cần lưu ý rèn luyện một số kĩ năng khi
giải toán:
- Kỹ năng vẽ hình
- Kỹ năng suy luận và chứng minh
- kỹ năng tính toán.
* Rèn luyện kĩ năng vẽ hình.
- Hình vẽ đóng một vai trò quan trọng trong quá trình giải toán, hình vẽ chính
xác, rõ ràng sẽ giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hướng giải bài toán. Một số học
sinh vẽ hình không chính xác cho bài toán, bởi vậy tôi luôn chú ý đầu tiên phải
hướng dẫn giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vẽ hình. Trong quá trình dạy tôi thấy
một số học sinh khi làm bài tập thường vẽ hình vào trường hợp đặc biệt, hình vẽ
không chính xác hoặc vẽ không hết các trường hợp.
Ví dụ 1: (bài 94 sách bài tập toán lớp 7 tập 1 trang 109)
Cho ∆ ABC cân tại A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB, gọi K
là giao của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A.
Bài tập này nên cho học sinh xét các trường hợp tam giác có góc A nhọn, góc A là
góc tù.
* Rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh.
Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặc biệt và
học sinh cần có kỹ năng này không những chỉ khi giải toán chứng minh mà cả khi

các bài toán về quỹ tích dựng hình và một số bài toán tính toán khác. Chúng ta cần
rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận và chứng minh theo các hướng.
- Tăng cường tiến hành các hoạt động nhận dạng định lý và thể hiện định lý.
- Hướng dẫn cho học sinh suy luận theo quy tắc suy diễn và quy tắc quy nạp.
- Tích cực rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận ngược và suy luận xuôi (quy
tắc suy luận theo phương pháp phân tích đi lên và phương pháp tổng hợp)
- Hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán khi có điều kiện.
+ Nhận dạng và thể hiện định lý.
Việc rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh cho học sinh nên bắt đầu bằng việc
cho học sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng định lý và thể hiện định lí. Nhận
dạng một định lý là phát hiện xem một tình huống cho trước có khớp với một định
lý nào đó hay không, còn thể hiện định lý là xây dựng một tình huống ăn khớp với
định lí cho trước.
Ví dụ: (bài 81 SBT tập 2 trang 33)
Cho tam giác ABC qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh
đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF. Chứng minh rằng A là trung
điểm của EF.
Hướng dẫn:
- Để chứng minh A là trung điểm của EF ta phải chứng minh AE =AF
- Ở bài này để có điều trên ta cần chứng minh AE và AF bằng đoạn thẳng BC
muốn vậy ta có thể ghép ∆ ABC với hai tam giác đó là ∆ CEA và ∆ BAF
ta có AC: cạnh chung
CAB = ACE ( so le trong, AB // DE)
ABC = CAE (so le trong, BC // EF)
Do đó ∆ ABC = ∆ CEA (g.c.g)
=> BC = AE
chứng minh tương tự ta có: BC = AF do đó A là trung điểm của EF
Như vậy học sinh sẽ thấy tình huống này ăn khớp với định lý "nếu hai ∆ ABC và
∧
∧

∆ A'B'C' có AB = A'B', AC = A'C', A = A ' thì hai D đó bằng nhau"
+ Quy tắc suy luận.
Khi dạy giải bài tập thì giáo viên cần chú ý dạy cho học sinh các quy tắc suy
luận. Trong quá trình giải toán ta thường gặp hai quy tắc suy luận: quy tắc nạp và
quy tắc suy diễn.
- Quy tắc nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung, từ cụ thể đến tổng quát.
- Quy tắc suy diễn là đi từ cái chung đến cái riêng, từ tổng quát đến cụ thể.
Thông thường để hướng dẫn học sinh tìm lời giải ta thường đi từ kết luận đến giả
thiết (phân tích đi lên) và lúc trình bày lời giải thì trình bày theo phương pháp tổng
hợp (đi từ giả thiết suy ra kết luận)
Ví dụ1: Bài 25 sách giáo khoa tập 2 trang 67)
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh vuông AB = 3cm, AC = 4cm. Tính khoảng
cách từ đỉnh A với trọng tâm G của ∆ ABC.
Hướng dẫn:
Bài toán đã cho chúng ta những yếu tố nào? cần tìm yếu tố nào?
Để tính AG ta cần có thêm yếu tố nào? phải áp dụng tính chất nào?
Khi trình bày lời giải ta thường suy luận ngược lại.
Ví dụ 2: (bài 43 SGK tập 1 trang 125)


Cho góc xOy góc bẹt, lấy các điểm A, B ∈ tia Ox sao cho OA < OB. Lấy các điểm
C, D ∈ tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB, gọi E là giao điểm của AD và BC
chứng minh rằng: ∆ EAB = ∆ ECD
Hướng dẫn:
∆ EAB và ∆ ECD đã có những yếu tố nào bằng nhau ?
Đề kết luận ∆ EAB = ∆ ECD ta cần có thêm điều kiện gì ?
Để chứng minh được các yếu tố đó ta cần ghép chúng vào các tam giác nào ?
Khi trình bày lời giải ta thường suy luận ngược
Cần nói thêm rằng đối tượng học sinh lớp 7 của chúng ta mới tập giải toán
chứng minh. Do vậy khi dạy tôi rất chú ý tới việc hướng dẫn học sinh xắp xếp các

luận cứ sao cho lôgic, chặt chẽ. Như ở ví dụ trên tôi sẽ hướng dẫn cho học sinh suy
luận đề dẫn đến việc chứng minh ∆ AOD = ∆ COB.
- Quy tắc quy nạp, thường dùng là quy nạp hoàn toàn, ta phải xét hết các trường
hợp có thể xảy ra.
- Trong quá trình giải toán, ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra.
- Trong quá trình giải toán, nhiều khi phải phân chia ra các trường hợp có thể xảy
ra, các trường hợp riêng, nhưng hầu như học sinh chỉ xét một trường hợp rồi đi đến
kết luận hoặc có phân chia nhưng không đầy đủ các trường hợp. Vì vậy trong quá
trình giảng dạy chúng ta cần chú ý cho học sinh năng lực phân chia ra các trường
hợp riêng.
+ Khái quát hoá:
Để góp phần rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh trong một số trường hợp,
nên hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán:
Ví dụ (Bài 14 SBT tập 1 trong 81)
a. Hãy vẽ 2 góc xOy và góc xOy’ kề bù, tia phân giác Ot của góc xOy, tia phân
giác Ot' của góc yOx' và gọi số đo của góc xOy là m0.
b. Hãy viết giả thiết và kết luận của định lí "hai tia phân giác của 2 góc kề bù tạo
thành một góc vuông".
c. Hãy điền vào chỗ trống (...) và sắp xếp 4 câu sau đâu một các hợp lí để chứng
minh định lí trên. Sau khi học sinh giải bài tập này, có thể cho học sinh kết luận 1
lần nữa về 2 tia phân giác của 2 góc kề bù thì vuông góc với nhau.
* Rèn luyện kỹ năng tính toán:
Trong quá trình giải toán, học sinh có đi đến kết quả chính xác và ngắn gọn hay
không, điều đó phụ thuộc vào kĩ năng tính toán, một số em thường không thiết lập
được mối quan hệ giữa các đại lượng với nhau, vận dụng lí thuyết chưa khéo.
Ví dụ 1: (Bài toán 2 SGK Tập 1 trang 55):
∧
∧
∧
Tam giác ABC có số đo góc là A , B , C lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 tính số đo các góc

của ∆ ABC.
Để giải bài này học sinh phải vận dụng phối hợp kiến thức tổng 3 góc trong tam
giác và vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
Ví dụ 2: Tam giác ABC có 3 cạnh tỉ lệ 3 : 4 : 6 . Tính các cạnh của ∆ ABC biết chu
vi của ∆ ABC bằng 39m.
Để giải quyết bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các khái niệm về chu
vi và khéo léo thiết lập mối quan hệ giữa chu vi của hai tam giác sau đó dùng đến
kiến thức đại số đó là tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.


2.5/ Những lưu ý khi dạy lý thuyết:
Để các em có thể khắc sâu được phần lý thuyết tránh tình trạng học vẹt đòi hỏi
giáo viên phải chuẩn bị đầy đủ các đồ dùng dạy học, dụng cụ toán học để giờ dạy
học đạt hiểu quả cao.
- Các miếng bìa ( nhựa mỏng, gỗ mỏng, …) có hình dạng hai tam giác ba72ng
nhau.
- Khung gỗ ( tre, sắt,…) có hình dạng hình 75, 76 SGK Tr.116
- Bảng phụ vẽ sẵn các hình hay thực hành cắt dán hình, ghép hình để phục vụ cho
tiết dạy.
- Những hình ảnh minh hoạ hai tam giác bằng nhau trong thực tế.
- Ngoài ra giáo viên không thể thiếu thước kẻ, compa, phấn màu, thước đo góc, ê
ke,…để việc vẽ hình được chính xác và dễ nhận biết khi chứng minh.
Bên cạnh đó giáo viên cũng cần nhắc học sinh chuẩn bị đầy đủ dụng cụ học tập
cho phù hợp từng tiết dạy học, như vậy mới đạt hiệu quả cao nhất.


2.6/ Những lưu ý khi dạy giải bài toán:
Quá trình giải một bài toán trọng tâm của tiết học ( giả sử bài tập : Cho tam giác
ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME =
MA. Chứng minh rằng : AB // CE ) thường qua bốn bước sau:

* Tìm hiểu đề toán:
Ở phần này tôi thường gọi vài học sinh đọc đề bài toán , đặt các câu hỏi để
học sinh hiểu nội dung của đề bài: Điều cho biết, điều phải tìm. Cố gắng viết tóm
tắt đề bài bằng ngôn ngữ toán học và sử dụng các ký hiệu toán học.
Trong bài toán nói trên, tpo6 định hướng học sinh vẽ hình và ghi giả thiết ,
kết luận của bài toán bằng ký hiệu toán học, ký hiệu những yếu tố bằng nhau trong
hình thì giống nhau.
A

GT
B

∆ ABC

MB = MC
MA = ME
KL AB // CE

C
M

E

- Nhắc lại các kiến thức có liên quan đến bài toán, tìm mối liên hệ giữa điều đã cho
và điều phải tìm. Phân tích điều phải tìm để tìm phương pháp đi đến đích của bài.
Kiến thức liên quan đến bài toán ở đây đó là cách chứng minh hai đường thẳng
song song. Với bài toán này ta nên sử dụng các nào để chứng minh AB // CE ?
Phân tích để cho học sinh thấy đề bài không cho hai đường thẳng song song với
đường thẳng thứ ba, hay hai dường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba, từ đó
học sinh sẽ phán đoán để chứng minh AB // CE phải dùng dấu hiệu nhận biết hai

đường thẳng song song bằng cách chưng minh hai góc so le trong của hai đường
thẳng trên bằng nhau .
* Tìm tòi lời giải :
- Cùng với học sinh phân tích, dự toán, liên hệ đến các bài toán đã giải để tìm ra
cách giải quyết bài toán, chẳng hạn, ở bài toán trên. Ta phân tích bằng sơ đồ đi lên
như sau:
AB // CE
⇑
∧

∧

BAM = CEM
⇑
∆AMB = ∆EMC

AM=ME

∧

∧

AM B = EMC

BM=MC

Với sơ đồ trên, ta mở nút từ dưới lên bằng cách đặt câu hỏi, giải thích cơ sở lý luận
của các biến đổi, lúc đó ta đã tìm ra lời giải bài toán.
* Trình bày lời giải:

Uốn nắn, sửa chữa để đưa ra cách trình bày hợp lý cho lời giải của bài toán . Có
những học sinh hiểu, nhận dạng được bài toán nhưng lại không trình bày được lời
giải dẫn đến chưa giải quyết được yêu cầu của bài toán. Do dó giúp học sinh hình
thành kĩ năng trình bày chứng minh là điều rất quan trọng trong việc dạy học môn
toán đặc biệt là hình học.
Trình bày chứng minh bài toán trên:
Giải
Xét ∆ AMB và ∆ EMC có :
MB = MC ( giả thiết )
MA = ME ( giả thiết )
∧
∧
AMB = EMC ( đối đỉnh )
Do đó : ∆ AMB = ∆ EMC ( c – g – c )
∧
∧
Suy ra : MAB = MEC ( hai góc tương ứng)
Vậy AB // CE
* Ngiên cứu thêm về lời giải:
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra phương pháp giải một loại bài toán nào đó.
- Tìm thêm lời giải khác.
∧
∧
- Ở bài tập trên ngoài chỉ ra cặp góc so le trong bằng nhau ( MAB = MEC ) , ta có thể
∧

∧

chỉ ra cặp góc so le trong khác : AB M = ECM suy ra AB // CE.

2.7/ Bài tập cơ bản:
1.Bài tập 1: Cho ∆AMB và ∆ANB có MA = MB , NA = NB.
∧
∧
Chứng minh AMN = BMN
Giải
M

GT

∆AMB và ∆ANB

MA = MB , NA = NB.
KL

∧

∧

N

AMN = BMN
∧

∧

Chứng minh AMN = BMN
Xét ∆ AMN và ∆ BMN có :
MA = MB ( giả thuyết )
NA = NB ( giả thuyết )

MN : cạnh chung
Do đó : ∆ AMN = ∆ BMN ( c – c – c )
∧
∧
Suy ra : AMN = BMN

A

B

2.Bài tập 2:Cho hình vẽ sau và chứng minh rằng:
a./ ∆ ADE = BDE
∧
∧
b./ DAE = DBE
Giải:
GT AD = BD
AE = BE

D

B

A

E


KL a./ ∆ ADE = BDE
∧

∧
b./ DAE = DBE
a./Chứng minh: a./ ∆ ADE = BDE
Xét ∆ ADE và ∆ BDE có:
DA = DB ( giả thiết )
EA = EB ( giải thiết )
DE : cạnh chung
Do đó: ∆ ADE = ∆ BDE ( c – c – c )
∧
∧
b./ Chứng minh : DAE = DBE
∧
∧
Theo câu a/: ∆ ADE = ∆ BDE
Suy ra DAE = DBE
3./Bài tập 3 : Xem hình vẽ và chứng minh rằng:
a./ ∆ ABC = ∆ DCB
b./ AC // BD
Giải:
GT AB = CD
AC = BD
∧

KL

A

∧

CBD = ACB

a./ ∆ ABC = ∆ DCB

B

C

(

)

b./ AC // BD
D

a./ Chứng minh: ∆ ABC = ∆ DCB
Xét ∆ ABC và ∆ DCB có:
AB = CD ( giả thiết )
AC = BD ( giả thiết )
BC : cạnh chung
Do đó : ∆ ABC = ∆ DCB ( c – c – c )
b./ Chứng minh : AC // BD
Vì ∆ ABC = ∆ DCB
∧
∧
Nên CBD = ACB
∧

∧

Mà CBD = ACB ( so le trong )
AC // BD

4./ Bài tập 4: Cho góc xOy , trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao
cho OA = OB . Vẽ các cung tròn tâm A và tân B có cùng bán kính sao cho chúng
cắt nhau tại C. Chứng minh OC là tia phân giác của góc xOy.
Giải:

x
A

GT

∧

xOy , A ∈ Ox, B ∈ Oy

O

C

OA = OB
B
y


KL

(A;r) cắt (B;r) tại C
AC = BC
∧
OC là tia phân giác của xOy

∧

Chứng minh: OC là tia phân giác của xOy
Xét ∆ AOC và ∆ BOC có:
OA = OB ( giả thiết )
CA = CB ( giả thiết )
OC: cạnh chung
Do đó : ∆ AOC = ∆ BOC ( c – c – c )
∧
∧
Suy ra : AOC = BOC
∧

Hay OC là tia phân giác của xOy
5./ Bài tập 5: Cho góc xAy. Lấy điểm B trên tia Ax, lấy điểm D trên tia Ay. Trên
tia Bx lấy điểm E, Dy lấy điểm C sao cho BE = DC. Chứng minh rằng ∆ ABC = ∆
ADE
Giải
x

E
∧

∧

B

GT

xAy; B ∈ Ax, D ∈ Ay : AB = AD

E ∈ Bx, C ∈ Dy : BE = DC

KL

∆ABC = ∆ADE

A

D
C

y

*Chứng minh: ∆ABC = ∆ADE
Xét ∆ ABC và ∆ ADE có:
AD = AB ( giả thiết )
(1)
∧
(2)
BAD : góc chung
Theo giả thiết AD = AB , DC = BE nên
AD + DC = AB + BE
Do đó : AC = AE
(3)
Từ (1) ; (2) và (3) ta có : ∆ABC = ∆ADE ( c – g – c )
6./Bài tập 6: Cho doạn thẳng AB, điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn
thẳng AB . Chứng minh MA = MB
M
Giải
GT

Cho đoạn thẳng AB

MH ⊥ AB; HA = HB

A

H

B


KL MA = MB
*Chứng minh : MA = MB
+Trường hợp 1: Nếu M trùng với điểm H thì MA = MB
+Trường hợp 2: Nếu M không trùng với điểm H
Xét ∆ MHA và ∆ MHB có:
AH = BH ( giả thiết )
∧

∧

MHA = MHB = 90 0 (doMH ⊥ AB)

MH : cạnh chung
Do đó: ∆ MHA = ∆ MHB ( c – g – c )
Suy ra MA = MB
∧
∧
7./ Bài tập 7: Xem hình bên, ta có OA = OB , OAC = OBD

Chứng minh rằng : AC = BD
Giải
GT

∧

D

∧

OA = OB , OAC = OBD
A

KL AC = BD
O

*Chứng minh : AC = BD
Xét ∆ OAC và ∆ OBD có:
OA = OB ( giả thiết )
∧
∧
OAC = OBD ( giả thiết )

B
C

∧

AOB : góc chung
Do đó : ∆ OAC = ∆ OBD ( g – c – g )

Suy ra AC = BD
8./ Bài tập 8: Cho hình bên, ta có AB // CD ; AC // BD
Hãy chứng minh rằng : AB = CD , AC = BD
Giải :
GT

A

AB // CD ; AC // BD

2

B

)) 1

KL AB = CD , AC = BD

1
2 ((

C

*Chứng minh : AB = CD ; AC = BD Nối AD
∧
∧
Theo giả thiết : AB // CD
⇒ A1 = D2 ( so le trong )
AC // BD

∧

∧

( so le trong )
AD: cạnh chung
Từ (1) , (2) và (3) ta có: ∆ ABD = ∆ DCA ( g – c – g )
Suy ra: AB = CD ; AC = BD
⇒ A 2 = D1

D

(1)
(2)
(3)


9./Bài tập 9: Cho góc xOy khác góc bẹt . Lấy điểm A , B thuộc tia Ox sao cho
OA < OB. Lấy các điểm C , D sao cho OC = OA ; OD = OB. Gọi E giao điểm của
AD và BC. Chứng minh rằng:
a. AD = BC
b. ∆ EAB = ∆ ECD
c. OE là tia phân giác của góc xOy
Giải:
GT

∧

B

xOy ≠ 180 O ; OA < OB

A

OA = OC ; OB = OD
O

KL
b.

AD = BC
∆ EAB = ∆ ECD
OE là tia phân giác của
góc xOy

1

∧

OAD = OCB (3)
∧

∧

∧

∧

E

2

a.Chứng minh: AD = BC
Xét ∆ OAD và ∆ OBC có :
OA = OC ( giả thiết )
(1)
OD = OB ( giả thiết )
∧
AOC : góc chung
Do đó : ∆ OAD = ∆ OBC
(c–g–c)
Suy ra : AD = BC
b.Chứng minh: ∆ EAB = ∆ ECD
∧
∧
Theo câu a ta có : CDE = EBA (2)
∧

x

Mặt khác: OAD + EAB = OCB + ECB = 180 0
(4)
∧
∧
Từ (3) và (4) , ta có: EBA = ECB
(5)
Từ (1) ta có: AB = CD
(6)
Từ (2) , (5) , (6) ta có: ∆ EAB = ∆ ECD ( g – c – g )

c.Chứng minh: OE là tia phân giác của góc xOy
∧
∧
Theo câu a ta có: ODE = OBE
(7)
Theo câu b ta có : ∆ EAB = ∆ ECD
Suy ra : ED = EB
(8)
OD = OB ( giả thiết )
(9)
Từ (7);(8);(9) ta có: ∆ ODE = ∆ OBE ( c – g – c )
∧
∧
Suy ra O 1 = O2 , do tia OE nằm giữa 2 tia Ox và Oy
Do đó OE là tia phân giác của góc xOy

C
D

y


10./Bài tập 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC ( H ∈ BC ).
Chứng minh: a./ HB = HC
∧
∧
b./ BAH = CAH
Giải:
GT

A

∆ ABC cân tại A:

AB = AC
AH ⊥ BC

KL a./ HB = HC
∧
∧
b./ BAH = CAH

B

C
H

a.Chứng minh HB = HC
Xét ∆ ⊥ ABH và ∆ ⊥ ACH có:
AB = AC ( giả thiết )
AH: cạnh chung
Vậy ∆ ABH = ∆ ACH
( cạnh huyền – cạnh góc vuông )
Suy ra: HB = HC
∧
∧
b.Chứng minh: BAH = CAH
Theo câu a ta có : ∆ ABH = ∆ ACH
∧
∧

Suy ra: BAH = CAH
∧
11./ Bài tập 11: Cho tam giác ABC cân tại A ( A < 900 ). Vẽ BH ⊥ AC

( H ∈ AC ), CK ⊥ AB, ( K ∈ AB)

a./Chứng minh rằng: AH = AK
b./Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng: AI là tia phân giác của góc
A.
Giải:
GT

A

∆ ABC cân tại A:
∧

( A < 900 )
BH ⊥ AC ( H ∈ AC ), CK ⊥ AB, ( K ∈ AB)

K

H
I

KL a./ AH = AK
b./ AI là tia phân giác của góc A.
a.Chứng minh: AH = AK
Xét ∆ ⊥ AHB và ∆ ⊥ AKC có :
AB = AC ( giả thiết )

∧
BAC : góc nhọn

B

C


Vậy ∆AHB = ∆AKC ( cạnh huyền – góc nhọn )
Suy ra: AH = AK
b.Chứng minh: AI là tia phân giác của góc A
Xét ∆ ⊥ AKI và ∆ ⊥ AHI có: AH = AK ( chứng minh trên )
AI: cạnh chung
Vậy ∆AKI = ∆AHI ( cạnh huyền – cạnh góc vuông )
∧
∧
Suy ra: KAI = HAI
Do tia AI nằm giữa 2 tia AB và AC
Nên AI là tia phân giác của góc A.
2.8/ Bài tập nâng cao:
1.Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB = A’B’ ; AC = A’C’. Gọi M , M’ lần
lượt là trung điểm của các cạnh AC , A’C’; biết BM = B’M’.
Chứng minh : ∆ ABC = ∆ A’B’C’
2.Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau ở I. Vẽ ID ⊥ AB
(D∈ AB), IE ⊥ BC ( E ∈ BC ); IF ⊥ AC ( F ∈ AC ) . Chứng minh rằng ID = IE = IF.
3.Cho tam giác ABC cân tại A.
Vẽ AH ⊥ BC , ( H ∈ BC ); HE ⊥ AB, ( E ∈ AB); HF ⊥ AC , ( F ∈ AC ) .Chứng minh AE = AF
4.Cho tam giác ABC. Gọi D , E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB , BC , CA.
Trên tia đối của các tia DE và tia EF lần lượt lấy các điểm M , N sao cho DM =
DE, FN = FE. Chứng minh A là trung điểm của đoạn MN.

5.Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB và trên
tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.
a./Chứng minh rằng BE = CD
b./Gọi M là trung điểm của BE và N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng ba
điểm M , A , N thẳng hàng.
2.9 / Bài tập tự giải:
1.Cho tam giác ABC vuông ở A.Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho
AD= AC.
a.Chứng minh rằng BA là tia phân giác của góc CBD.
b.Trên tia đối của tia BA lấy điểm M. Chứng minh rằng: ∆MBD = ∆MBC
∧
∧
2.Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ CÓ B∧ = B ' ; A∧ = A '
Vẽ AH ⊥ BC , ( H ∈ BC ); A ' H ' ⊥ B ' C ', ( H ' ∈ B ' C '); biết AH = A’H’.
Chứng minh : ∆ ABC = ∆ A’B’C’
3.Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường thẳng vuông góc với AB, AC lần lượt
kẻ từ B, C cắt nhau ở M. Chứng minh rằng:
a. AM là tia phân giác của góc A.
b. AM ⊥ BC
4.Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm K trên cạnh AC, vẽ KH ⊥ BC, biết KH
= KA. Chứng minh rằng KB = AH.
5.Cho tam giác ABC cân tại A. Từ trung điểm M của BC, vẽ ME ⊥ AB; MF ⊥
AC. Chứng minh MA là tia phân giác của góc EMF.
III. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG:


Trước và sau khi thực hiện xong đề tài thì tôi đã thống kê và đã rút ra được
kết quả như sau:
Xếp loại
Lớp

Giỏi

Khá

TB
13= 41 %

Yếu, kém

7/7. 32 hs

7=22%

9 = 28 %

3 = 9%

7/8. 38 hs

8=21%

Tổng: 70 hs

15=21%

12 =32 % 14 = 37% 4 = 11%
21 = 30% 27 = 39 % 7 = 10 %

Trên cơ sở nghiên cứu nội dung giúp học sinh chứng minh tốt các trường

hợp bằng nhau của hai tam giác cho học sinh khối 7, học sinh tự biết chiếm lĩnh tri
thức, tăng cường học tập tích cực hơn để phát triển năng lực tư duy, óc quan sát ,
bản thân học sinh có thể tự giải quyết vấn đề đặt ra trong học tập và vận dụng trong
cuộc sống.
Trong quá trình giảng dạy các em tích cực làm việc cá nhân cũng như thảo
luận nhóm nhằm tìm tòi những kiến thức mới mà các em chưa biết, hay để giải
quyết một bài tập khó. Đây là loại dạng toán chứng minh tốt hơn đối với những
năm tiếp theo.
Từ đó học sinh nắm vững kiến thức hơn, góp phần làm cho các em có niềm
tin và say mê học tốt bộ môn Toán hơn nữa. Khi đó các em thấy được tương lai
tươi sáng đang chờ đón phía trước và hoàn thiện mình để trở thành con người mới
phù hợp với thời đại mới, thời đại công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước.
- Đề tài chỉ mới được áp dụng cho học sinh khối 7 trường THCS Thạnh Phú
nên chưa phổ biến rộng rãi trong học sinh của toàn thể các khối lớp trong nhà
trường.
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:


* Đối với giáo viên
- Cần phải tâm huyết với nghề, không nên tạo không khí ngột ngạt trong lớp học.
- Cần phải biết lựa chọn nhiều phương pháp khác nhau. Tránh tình trạng vận dụng
một cách khô cứng, máy móc làm ảnh hưởng đến hiệu quả tiết dạy và năng suất
học tập bộ môn của học sinh.
- Để giảng dạy hiệu quả, giáo viên cần nắm chắc lí thuyết và có những bước giải
hợp lí đảm bảo tính khoa học, tính hệ thống, tính vừa sức và phù hợp với đối tượng
học sinh vùng miền.
* Đối với học sinh
- Đi học thường xuyên, chú ý nghe giảng bài, tích cực làm bài trước khi đến lớp
- Trang bị đầy đủ các loại đồ dùng, sách giáo khoa, sách tham khảo và các đồ dùng
học tập toán học khác.

V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa Toán 7 tập I – Nhà xuất bản giáo dục
- Sách giáo viên Toán 7 tập I – Nhà xuất bản giáo dục
- Sách Bài tập Toán 7 tập I – Nhà xuất bản giáo dục, Tôn Thân
- Sách giáo khoa Toán 7 – Nhà xuất bản giáo dục Thành phố Hồ Chí Minh –
Nguyễn Đức Chí
- Sách Toán nâng cao tự luận và trắc hiệm Toàn 7 – Nhà xuất bản giáo dục Thành
phố Hồ Chí Minh – Nguyễn Vỉnh Cận