Giới hạn hàm số liên tục

A – GIỚI HẠN DÃY SỐ
I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN
1. Các định nghĩa.
Sau đây là một số khái niệm cơ bản.
Định nghĩa giới hạn:
1
Xét dãy số (U n ) với U n =
n
U
n càng lớn thì n càng nhỏ dần tới 0
ta nói: khi n → +∞ thì U n → 0
Kí hiệu: lim U n = 0 hay lim U n = 0 .
n →+∞

VD 01:
1
=0
n
Định nghĩa giới hạn hữu hạn:
a) lim

1
=0
n
lim(U n − L) = 0 ⇒ lim U n = L ∈ ¡
b) lim

c) lim

3

1
= 0.
n

Được gọi là giới hạn hữu hạn của dãy số (U n ) .
VD 02:
1 
a) lim  + 1÷ = 1
n 
2. Các định lý giới hạn.
Định lý 1:

 1

− 2 ÷ = −2
b) lim 
 n

lim v n = 0

 | u n |≤ v n

⇒ lim u n = 0 .

ii)

0
lim q n = 
 +∞

khi | q |< 1
.
khi q > 1

n

1
b) lim  ÷ = 0
2

cos n
n

Định lý 2:

1
=0.
n +1

i)

VD 03. Tính các giới hạn:
(−1) n
a) lim
n+5
d) lim

c) lim

e) lim 2 n

i)

n

 −2 
c) lim  ÷ = 0
 3 
 (−1) n

+ 1÷ .
f) lim 
 n


Nếu lim u n = L thì:
+ lim | u n |=| L |
+ lim 3 u n = 3 L
+ lim u n = L với u n ≥ 0∀n, L ≥ 0

ii)

VD 04. Tính các giới hạn sau:
n −1
a) lim
n

Nếu lim u n = L, lim v n = M, c = const thì:
+ lim(u n ± v n ) = L ± M
+ lim(c.u n ) = c.L
+ lim(u n .v n ) = L.M

un L
= ,M ≠ 0
+ lim
vn M

(−1) n 
b) lim  2 +
÷
n+2 


c) lim

1
n2


1
n+2
3n 2 + 4n − 7
lim
e)
f)
lim
n3
n +1
n2
1
2n 3 − 4n 2 + 3n + 3
n 2 − 3n + 5

lim
g) lim
h)
i)
lim
n(n + 1)
n 3 − 5n + 7
2n 2 − 1
2
2
n −n+3
−2n + n + 2
2n 2 − n
j) lim 3
k) lim
l)
.
lim
n + 2n
3n 4 + 5
1 − 3n 2
II/ GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Một số giới hạn vô cực cơ bản.
i)
lim n = +∞, lim n = +∞, lim 3 n = +∞
lim u n = +∞ ⇔ lim(− u n ) = −∞
ii)
1
1
=0

=0.
iii) lim | u n |= +∞ ⇒ lim
hay lim u n = ±∞ ⇒ lim
un
un
2. Các quy tắc tính giới hạn vô cực.
Quy tắc 1:
lim u n
lim v n
lim(u n .v n )
+∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
−∞
VD 05. Tính các giới hạn sau:
a) lim n 2
b) lim n 3
c) lim n k , k ∈ ¢ + .
Quy tắc 2:
lim u n
lim v n = L , dấu của L
lim(u n .v n )
+∞
+
−∞
+

+∞
–
−∞
–
VD 06. Tính các giới hạn sau:
a) lim(2n + 3)
b) lim(3n 2 − 100n − 50)
c) lim(−2n − 3)
−5
−2n 3 + n
d) lim 2
e) lim
f) lim 3n 4 + 5n 3 − 7n
3n − 100n − 50
3n + 2
HD: Tử tách bậc cao nhất của tử, mẫu tách bậc cao nhất của mẫu.
Quy tắc 3:
lim u n = L ≠ 0
lim v n = 0 , dấu của v n
lim(u n .v n )
+
+
–
+
+
–
–
–
VD 07. Tính các giới hạn sau:
−2n 3 + n

−2n 3 + 3n − 2
n 5 + n 4 − 3n − 2
a) lim
b) lim
c) lim 3
3n + 2
3n − 2
n + 6n 2 + 9
HD: Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất.
VD 08. Tính các giới hạn sau:
3 6
3n 2 + 2n − 1
n − 7n 3 − 5n + 8
3
lim(
−
2n
+
3n
+
5)
a) lim
b)
c)
lim
2n 2 − n
n + 12
d) lim

LUYỆN TẬP (Các dạng bài tập)

1. Giới hạn dãy số dạng hữu tỉ.
a) Bậc tử < bậc mẫu (giới hạn = 0): Tách bậc cao nhất.
VD 09. Tính các giới hạn sau:


n 2 + 4n − 5
4n 3 + 6n 2 + 9
b)
lim
3n 3 + n 2 + 7
n 5 + n 4 − 3n − 2
b) Bậc tử = bậc mẫu (giới hạn = a/b): Tách bậc cao nhất.
VD 10. Tính các giới hạn sau:
n2 + 3
2n 4 + 3n − 2
a) lim 2
b) lim
2n − n + 3
2n 2 − n + 3
c) Bậc tử > bậc mẫu (giới hạn = ±∞ ):
VD 11. Tính các giới hạn sau:
n 4 − 3n − 2
3n 3 + n 2 + 7
a) lim 3
b)
lim
4n + 6n 2 + 9
n 2 + 4n − 5
d) lim 2n 4 − n 2 + n + 2
e)

2. Giới hạn dãy số chứa căn thức.
 Dạng liên hợp:
(a − b)(a + b) = a 2 − b 2
(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3
(a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b3
 Dạng vô định:
∞
Tách bậc cao nhất.
∞
∞–∞
Nhân lượng liên hợp rồi tách bậc cao nhất.
VD 12. Tính các giới hạn sau:
a) lim 3n 4 + 5n 3 − 7n
b) lim 3 1 + 2n − n 3
a) lim

d) lim

n2 +1 − n +1
3n + 2

g) lim( 3 1 + 2n − n 3 + n)

e) lim

3

n 6 − 7n 3 − 5n + 8
n + 12

h) lim  n( n + 1 − n ) 

c)

c)

c) lim(3n 3 − 7n + 11)
f)

c) lim( n 2 + n + 2 − n + 1)
1
f) lim
n + 2 − n +1
i) lim

4n 4 + 3n − 2n 2
n − n+2

3. Giới hạn dãy số chứa hàm lượng giác.
lim v n = 0
⇒ lim u n = 0 .
Áp dụng định lí: 
 | u n |≤ v n
VD 13. Tính các giới hạn sau:
sin n
=0
a) lim
n
cos 2n
d) lim

n +1
cos n
g) lim
n
(−1) cos n
j) lim
n2 +1
m) lim(n.sin n − 2n 3 )

cos 3n
n
sin n
e) lim
n
cos n
h) lim
n
b) lim

k) lim 9 +

n) lim(2n + cos n)

1
q)
n.sin n − 2n 3
4. Giới hạn dãy số chứa hàm số mũ.
khi | q |< 1
0
n

Áp dụng định lí: lim q = 
.
khi q > 1
 +∞
p) lim

cos 2n
n

sin n
n+5
sin n
f) lim 3
n
cos n
i) lim 3
n
c) lim

sin 3n
−1
4n
1 2

o) lim  n − 3.sin 2n + 5 ÷
2

l) lim 3

r)

VD 14. Tính các giới hạn sau:
1
(−2) n
(−1) n
a) lim n
b) lim n
c) lim n
2
3
2 +1
n
n
3 +1
4
3n − 2.5n
d) lim n
e) lim n
f)
lim
3 −1
2.3 + 4n
7 + 3.5n
nπ
cos
g)
h) lim(2n − 3n )
i) lim 3n .
5

lim
n
4
5. Một số giới hạn khác.
VD 15. Tính các giới hạn sau:
1 + 2 + 3 + ... + n
1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)
13 + 23 + 33 + ... + n 3
lim
a) lim
b)
c)
lim
n2
2n + 1
n4 + 2
 1
 1

1
1
1 
1
1
1
+
+
+ ... +
+
+

+ ... +
d) lim 
e) lim 
÷
÷
n(n + 1) 
(2n − 1)(2n + 1) 
 1.2 2.3 3.4
 1.3 3.5 5.7
6. Tổng cấp số nhân lui vô hạn.
Định nghĩa:
u
S = u1 + u1q + u1q 2 + u1q 3 + ... = 1
1− q
với u1 là số hạng đầu tiên và q là công bội (|q|<1)
1 1 1 1
VD 16:
a) Tìm tổng của cấp số nhân: ; ; ; ; ...
2 4 8 16
b) Biểu diễn các số 0,77777(7); 0,313131313131(31) dưới dạng phân số.
12
c) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết u2 =
và tổng là 15.
5


B – GIỚI HẠN HÀM SỐ
I/ Các định lí giới hạn.
Một số giới hạn cơ bản:

lim C = C

x →x0

lim x k = +∞

x →+∞

lim x = x 0

x →x0

lim

x →±∞

1
=0
x

(%
+∞ khi k chan
lim x = 
, ∀k ∈ Z
x →−∞
 −∞ khi k le&
k

Định lí 1:

f (x) = L, lim g(x) = M, c = const , khi đó:
Cho xlim
→x0
x →x0

( f (x) ± g(x) ) = L ± M
+ xlim
→x0
( f (x).g(x) ) = L.M
+ xlim
→x0
( c.f (x) ) = c.L
+ xlim
→x0

f (x) L
= ,M≠0
0 g(x)
M

+ xlim
→x
VD 17. Tính các giới hạn sau:
3
− 5x 2 + 7)
a) lim(x
x →2

2x 2 − x + 10
x →+∞ x 3 + 3x − 3

x 2 + 3x + 2
g) lim
x →−1
x +1
Định lí 2:
d) lim

x2 − x − 2
b) lim 3
x →−1 x − x 2
2x 4 − x 3 + x 3
e) lim 4
x →−∞ x + 2x 2 − 7
3
h) xlim
→−∞ (x − 1) 2
f (x) = L , khi đó:
Cho xlim
→x0

2x 2 − x + 1
c) lim
x →−1 x 2 + 2x
2x 2 − 8
f) lim
x →2 x − 2
3
i) xlim
→+∞ (x − 1) 2

| f (x) |=| L |
+ xlim
→x0
3 f (x) = 3 L
+ xlim
→x
0

f (x) = L
+ f (x) ≥ 0 ∀x ∈ D \{x 0 } thì L ≥ 0 & xlim
→x0
VD 18. Tính các giới hạn sau:
2
a) lim(3x + 7x + 11)
x →2

| x2 − 4 |
d) xlim
→ 3

| x 3 + 7x |
b) xlim
→−1
e) lim

x →−∞

2x 4 − x 3 + x
x 4 + 2x 2 − 7

3 3
x + 7x
c) xlim
→−1

x 2 − 3x − 4
x →−1
x +1

f) lim

II/ Giới hạn một bên
* Một vài khái niệm:
f (x) = L thì hàm số có giới hạn bên phải và bên trái tại xo và lim+ f (x) = lim− f (x) = L
i) Nếu xlim
→x0
x →x0
x →x0
f (x) = lim− f (x) = L thì hàm số có giới hạn tại điểm xo và lim f (x) = L
ii) Ngược lại: xlim
x →x0
→ x 0+
x →x0
iii) Các định lí 1, định lí 2 vẫn đúng trong giới hạn 1 bên.
 x3
khi x < −1
lim
f
(x)
VD 19. Tìm x →−1

với f (x) =  2
.
 2x − 3 khi x ≥ −1
VD 20. Tính các giới hạn sau:
1
1
1
⇒ lim
lim−
a) lim
b)
x →0 x
x →0 | x |
x →2
2−x

x −1
c) xlim
→1+


1
x →3 x − 3
2
4−x
x+2 x
g) lim−
h) lim+
x →2
x →0 x − x

2−x
 2 | x | −1 khi x ≤ −2
VD 21.
a) Cho f (x) = 
.
2
 2x + 1 khi x > −2
( 5 − x + 2x)
d) xlim
→ 5−

Tìm giới hạn của f (x)
 x 2 − 2x + 3
f
(x)
=
b) Cho

 4x − 3
Tìm giới hạn của f (x)
VD 22. Tính các giới hạn sau:
x2 + x +1
a) lim 2
x →3 x + 2x
d) lim
x →2

1
x →3 x − 3
x 2 + 3x + 2

i) lim+
x →−1
x5 + x 4

e) lim+

f) lim−

khi x → −2 − , x → −2 + va x → −2 (nếu có).
khi x ≤ 2
.
khi x > 2

x3
x2 − 3

khi x → 2+ , x → 2− va x → 2 (nếu có).
| x2 − 8 |
b) xlim
→ 3
e) lim
x →−

c) lim 3
x →3

2x(x + 1)
x2 − 6

x 4 − 27x

x →3 2x 2 − 3x − 9

x3 + 2 2
2
x2 − 2

f) lim

III/ Quy tắc tìm giới hạn vô cực
1. Giới hạn cơ bản:

1
=0
x → x 0 f (x)

lim | f (x) |= +∞ ⇒ lim

x →x0

2. Các quy tắc tính giới hạn vô cực.
Quy tắc 1:
lim f (x)

lim ( f (x).g(x) )

lim g(x) = L ≠ 0

x →xo

x →xo

x →xo

Dấu của L
+
+
–
–

+∞
−∞
+∞
−∞
VD 23. Tính các giới hạn sau:
(2x 3 − x 2 + 3x − 5)
a) xlim
→−∞

b) lim

3
x 2 − 2x 3
d) xlim
→+∞

e)

Quy tắc 2:

x →−∞

1
2x − x + 3x − 5
3

2

lim f (x) = L ≠ 0

x →xo

Dấu của L
+
–
+
–
VD 24. Tính các giới hạn sau:
2x + 1
a) xlim
→−2 (x + 2) 2
1 1 
d) lim
 − 2÷
x →0 x
x 

IV/ Một vài giới hạn khác.
sin x
lim
=1

x →0
x

3x 2 − 5x
c) xlim
→−∞
f)

lim g(x) = 0

x →xo

Dấu của g(x)
+
+
–
–

x2 + x − 2
b) lim+
x →2
x −2
(3x 3 − 5x 2 + 7)
e) xlim
→−∞

tan x
=1
x →0
x

lim

f (x)
x → x o g(x)
lim

x2 + x − 2
c) lim−
x →2
x−2
2x 3 − 5x 2 + 1
f) lim
x →−∞
x2 − x +1


n

sin u
= 1 khi lim u = 0
x →0
x →0
u

 1
lim 1 + ÷ = e
 n
VD 25. Tính các giới hạn sau:
1 − cos 2x

a) lim
x →0
x2

lim
sin x − cos x
b) limπ 1 − tan x
x→

c) lim
x →0

4

LUYỆN TẬP (Các dạng vô định)
0 ∞
1. Dạng ; : Tách nhân tử chung (hoặc nhân liên hợp rồi tách nhân tử)
0 ∞
VD 26. Tính các giới hạn sau:
x 4 − 16
x − 2x − 1
a) lim 2
b) lim 3
x →−2 x + 2x 2
x →1 x − 12x + 11
x3 − 8
x 6 − 3x
d) lim
e) lim 2
x →2 x − 4

x →+∞ 2x 2 + 1
2x 2 + 5x − 3
x3 + 1 −1
g) lim−
h)
lim
x →−3
x →0
(x + 3) 2
x2 + x
2x 2 − 7x + 12
3 | x | −17

j) lim

x →−∞

2. Dạng 0.∞ : Chuyển về dạng
VD 27. Tính các giới hạn sau:
x
a) lim+ (x − 2) 2
x →2
x −4
∞
−
∞
3. Dạng
: Nhân liên hợp
VD 28. Tính các giới hạn sau:

k)

BÀI TẬP (Bài tập tự rèn luyện).
1. Tính các giới hạn sau:
1
g) lim
x →1
5−x
x −3
x →9 9x − x 2
x x
2
x →+∞ x − x + 2

m) lim

x 2 + 2x
x →−∞ 8x 2 − x + 3
2. Tính các giới hạn sau:
x 4 − 16
g) lim 2
x →−2 x + 6x + 8
| x −2|
j) lim−
x →2
x−2
p) lim

3

x 6 − 3x
x →−∞ 2x 2 + 1
2x 2 + 5x − 3
lim
f)
x →−3+
(x + 3) 2
c) lim

2x 2 + x − 10
x →+∞
9 − 3x 3

i) lim
l)

0 ∞
;
0 ∞

( 1+ x − x )
a) xlim
→+∞

j) lim

1 − cos 3x
1 − cos 5x

b) lim+ (x 3 + 1)

x →−1

x
x −1
2

( x 2 + 1 − x)
b) xlim
→+∞

 1
x 1 − ÷
h) lim
x →0
 x

c) lim (x + 2)
x →+∞

c) lim
x →1

2x − x 2 − 1
x2 − x

x − x3
x →1 (2x − 1)(x 4 − 3)

i) lim

3x 2 − x + 7
x →−∞
2x 3 − 1

k) lim

x 4 + 3x − 1
2x 2 − 1

l) lim

n) lim

x6 + 2
3x 3 − 1

o) lim

x →2

x →+∞

q)

h) xlim
→−∞

x −1
x3 + x

x →−∞

x6 + 2
3x 3 − 1

r)
2 | x | +3

x + x +5
| x−2|
k) lim
(nếu có)
x →2 x − 2
2

i) lim+

| x −2|
x−2

l) lim

1 − x 3 − 3x
2x 2 + x − 3

x →2

x →−2

m) lim−
x →1

1− x + x −1
x 2 − x3

x
4
x →+∞
2x + x 2 + 1
3.Tính các giới hạn sau:
p) lim (x + 1)

2x 4 − 3x + 2
g) xlim
→+∞
2x + 1
x →2 x − 2
 2
2x + 1 
.
m) lim

÷
2
x →1 (x − 1)
2x − 3 

j) lim−

2x 5 + x 3 − 1
(2x 2 − 1)(x 3 + x)

o) lim

2 | x + 1| −5 x 2 − 3
x →−2
2x + 3

r) lim

n) lim

x →+∞

3

q) lim

1 
 1
− 2
h) lim− 
÷
x →2  x − 2
x −4
x3 − 5
k) lim 2
x →+∞ x + 1
5

n) lim
2
x →1 (x − 1)(x − 3x + 2)

x →−∞

x →−∞

i) lim+
x →2

l) lim

x →−∞

o)

x 2 + x + 2x
2x + 3
x 2 − 7x + 12
9 + x2

2x + 1
x−2
x4 − x
1 − 2x


C – HÀM SỐ LIÊN TỤC
f (x) = f (x o ) thì f (x) liên tục tại điểm xo, ngược lại gọi là gián đoạn tại xo.

ĐN: Nếu xlim
→xo
f (x) liên tục tại mọi điểm thuộc tập J thì nó liên tục trên J.
f (x) liên tục trên [a; b] ⇔ f (x) liên tục trên (a; b) và lim+ f (x) = f (a), lim− f (x) = f (b)
x →a

x →b

 x + 1 khi x ≠ −1

VD: Xét tính liên tục của hàm f (x) =  1
tại điểm x = −1
khi x = −1

 2
2
Cm f (x) = x liên tục trên R
2

Xét tính liên tục của hàm số f (x) = 1 − x 2 tren
ˆ [ −1;1]
ˆ tuc tren
ˆ [ −1; +∞)
Cm f (x) = x +1 lien
&
 Chú ý:
i) Tổng, hiệu, tích, thương (giá trị mẫu tại x o phải khác 0) của 2 hàm liên tục tại điểm x o là những
hàm liên tục tại xo.
ii) f (x) liên tục tại xo, g(y) liên tục tại yo = f (x o ) thì hàm g ( f (x) ) liên tục tại xo
f (x)

iii) Hàm đa thức f (x), g(x) và
liên tục trên tập xác định của chúng
g(x)
iv) Đồ thị của hàm liên tục là một đường liền nét.
VD: Xét tính liên tục của hàm f (x) =| x | tai x 0 = 0
&
 x 2 + 1 khi x ≤ 1
Xét tính liên tục của hàm f (x) = 
 x − 1 khi x > 1
Theo dõi hình để thấy tính liên tục của các hàm số:

 Định lí (về giá trị trung gian của hàm số liên tục):
f liên tục trên [a; b] và f (a).f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0
VD: Cm x 3 + x − 1 = 0 có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 1
1 − 2x − 3
3
khi x ≥

f
(x)
=
VD: Xét tính liên tục của hàm số
 2−x
2 tại điểm x o = 2

1
khi x = 2

 x 2 + 1 khi x > 0
Xét tính liên tục của hàm số f (x) = 

khi x ≤ 0
 x
Chứng minh x 3 + 2x − 2 = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;1)
 x 2 − 16
khi x ≠ 4

Tìm a để f (x) =  x − 4
liên tục tại x = 4
 a
khi x = 4



 x2 −1
khi x ≠ 1

Tìm a để f (x) =  x − 1
liên tục trên R
 a
khi x = 1

Chứng minh x 5 + x − 1 = 0 có ít nhất 1 nghiệm
D – LUYỆN TẬP
Đây là các bài tập tự làm, thầy chỉ hướng dẫn giải một số bài cho các em, yêu cầu các em phải tự
làm hoàn thành để thầy kiểm tra sau khi dạy xong phần giới hạn.
Không còn nhiều thời gian nữa, các kì thi đã đến gần, tương lai của các em phụ thuộc vào chính nỗ
lực của bản thân các em. Nếu các em không chăm chỉ thì thầy cũng đành pó tay thui! Hãy cố gắng lên.
1. Tìm các giới hạn sau:
2n + 1
n2 +1

7n 2 − 3n
2n 2 + 1
lim
lim
lim 2
lim 3
n +3
n+2
n +2
n − 3n + 3
3
3 3
n +1
2n − 11n + 1
n +n
lim
lim
lim
lim 3 4n 3 − 3n + 5
2
n −2
n +1
n+2
3
n 2 + 3n − 1
5n 2 − 3n + 4
n − n +1
lim
lim(3n 2 − 4n + 10)
lim

lim
2n 3 − n + 1
2n 2 − n + 3
2n + 3
3n 3 + n 2 − 4
4n 2 + n + 2
2. Tìm các giới hạn sau:
lim

lim

lim( n 2 + n − n 2 + 2)
1
lim
2
n + 2 − n2 + 4
lim

lim n( n 2 + 1 − n 2 − 2)
1
 1 1 1
lim 1 + + 2 + 3 + ... + n ÷
3 
 3 3 3

lim

3n 2 + 5n + 4
2n + n 2

lim

1
3n + 2 − 3n − 1

n
3n
3.4n + 5n +1
lim
2.3n + 5n
lim

lim

lim( 4n 2 + 2n − 2n)
3

lim

lim( 3n 2 + 2 − n 2 − 1)
n
5n

n3 − n 2 + 3
(3n − 1)(4n + 3)
3

lim

lim( n 2 + 1 − n)

n 2 + 2n − n

n2 + 2 − n2 + 4
3. Tìm các giới hạn sau:
n
lim n
2
32n + 1
lim
3 + 5.23n
4. Tìm các giới hạn sau:

n n −1
2n 2 + 3

n3 + n + 3 n 2 − n + 1
2 n +3

lim n 2 (n − n 2 + 1)

lim

5n − 3n
2.5n + 4n

lim(3n + 2n )

lim

12 + 22 + 32 + ... + n 2
5n 3 + n + 1
1 
 1 1 1
lim 1 − + 2 − 3 + ... + (−1) n −1. n −1 ÷
2 
 2 2 2

2.12 + 3.22 + 4.32 + ... + (n + 1).n 2
(12 + 13 ) + (22 + 23 ) + (32 + 33 ) + ... + (n 2 + n 3 )
lim
n4
n4


1
1
1
1
lim 
+
+
+ ... +
÷
(n + 1) n + n n + 1 
 2 1 +1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4
5. Tính:
1
1



 u1 = 2
 u1 = 2
, ∀n ∈ Ν *
, ∀n ∈ Ν *
lim u n với 
lim u n với 
1
2
 u n +1 =
 u n +1 =
2 − un
3 − un


lim


1 1 1
1 1 1
+ +
+ ... và 1 − + − + ....
3 9 27
4 16 64
7. Trong các hình vuông cạnh bằng 1, người ta nối trung điểm các cạnh liên
tiếp để được 1 hình vuông, tiếp tục nối như thế với hình vuông mới để được
hình vuông tiếp theo và cứ tiếp tục quá trình trên mãi. Tính tổng của các
hình vuông được tạo thành (hình vẽ).
4. Biểu diễn số 0,2525252(25); 0,50111(1); 17,2354141(41) dưới dạng phân số
6. Tính tổng:

8. Tổng CSN lùi vô hạn là
9. Tìm các giới hạn sau:
3x + 2
lim
x →1 x + 1
x 2 − 4x + 1
lim
x →±∞
3x − 5
4
x − a4
lim
x →a x − a
lim ( x + 2x − x)

x →±∞

5
39
, tổng 3 số hạng đầu là
. Tìm số hạng đầu và công bội của CSN trên.
3
25
lim
x →1

1
x2 −1

x +1 −1
x
3
1− 1− x
lim
x →0
x
(x 2 + 1)(x + 1)
lim
x →±∞ (2x 4 + x)(x + 1)
3

lim
x →0

x 2 − 3x + 2
x → 2 x 2 − 5x + 6
x 2 + 2x − 15
lim
x →3
x −3
2
x − 3x + 2
lim
x → 2 (x − 2) 2
(2x 2 + 1)(2x 2 + x)
lim
x →±∞ (2x 4 + x)(x + 1)

x 3 − 2x + 2

x →±∞ 3x 3 − 2x 2 + x − 5
x3 − x 2 + x −1
lim
x →1
x −1
2
5x + 4x − 3
lim
x →±∞ 2x 2 − 7x + 1

lim

lim

lim
x →0

x +1 − x2 + x +1
x

10. Tính
3

 x − 2
lim f (x) biết f (x) = 
x →1
 −x
 2

 2x − 1

khi x ≥ 1
 x
lim f (x) biết f (x) = 
2
x →1
 x − x khi x < 1
 x − 1
 x 2 − 3x + 2
khi x > 1

lim f (x) biết f (x) =  x − 1
x →1
x

−
khi x ≤ 1

2

khi x > 1
khi x ≤ 1

 x2 + x − 2
lim f (x) biết f (x) =  x − 1
x →1
 x2 + x +1


khi x > 1
khi x < 1

 1− x − 1+ x
 3 x2 −1 − 2
khi x < 0

x
lim f (x) biết f (x) = 
lim f (x) biết f (x) =  x 2 − 4x + 3 khi x > 3
x →0
x →3
6x + 1

 3− x
−
khi x ≥ 0
khi x ≤ 3


x +1
11. Tìm các giới hạn sau:
x 2 + 2x − 15
x −1 − 2
x2 +1 −1
lim ( x 2 + x − x)
lim
lim
lim
x
→+∞
x →3

x →5
x →0
x −3
x −5
x
3
5−x −2
x − 3x − 2
x− x
x +1 − 3 x +1
lim
lim
lim
lim
x →1
x →2
x →1
x →0
2 − x −1
x2 − 4
x2 −1
x
2
x
| x −4|
x +1− x + 3
lim
lim
lim
x →0

x →2 x − 2
x
→
1
x +1 − 1− x
x2 −1
lim
x →0

x + 1 + x + 16 − 7
x
lim ( x 2 − x + 3 + x)

x →−∞

lim

x →−∞

x 2 (x + 2)
x2 − 4

lim+

x →2

x 2 − 4x + 4
4 − x2

lim

x →−∞

9x 2 + 1 − 4x
3 − 2x


x −5
x →5
x −1 − 2
sin 2x
lim
x →0
x
1 − cos 3x
lim
x →0 1 − cos x
lim+

x 3 − 3x + 2
x →1
x 2 − 5x + 4
1 − cos 2x
lim
x →0
x2
1 − cos x
lim
x →0
tan 2 x

lim+

lim ( x 2 − x + 1 − x 2 + x + 1)

x →−∞

lim ( x 2 + 2 − x 2 − 4x )

x →−∞

12. Cho hàm số:
f (x) =| x + 2 |

lim+

4

x + 4x
1 − cos x
lim
x →0
x2
lim [ (π − 4x).tan 2x ]
x →0

x→

3

2

π
4

lim+

x + 3 − 2x
x2 −1

lim−

1 − cos 4x
sin x

x →1

x →0

 sin x
khi x > 0

lim f (x) bieˆ ′t f (x) =  x
x →0
cos x khi x ≤ 0
Tính giới hạn của hàm số tại -2 và tại 1

 x −9
khi x ≠ −3

f (x) =  | x + 3 |

 0
khi x = −3


Tính giới hạn của hàm số khi x → −3

 x3 −1
khi x < 1

f (x) =  x − 1
ax + 2 khi x > 1


Tìm a để hàm số có giới hạn tại 1

2

 x + 3 − 2x
khi x > 1

2
x
−
1
f (x) = 
Tìm a để hàm số có giới hạn tại 1
2
 x +a
khi x ≤ 1
 x − 2

 x −1 − 1+ x
khi x < 0

x
f (x) = 
Tìm a để hàm số có giới hạn tại 0
 a + 4−x
khi x ≥ 0

x +1
13. Chứng minh rằng:
 2x + 5 khi x < −1
f (x) =  2
Liên tục trên R
 x + 2 khi x ≥ −1
 x3 −1
khi x ≠ 1

f (x) =  x − 1
 3
khi x = 1


Liên tục tại x = 1

 1 − x −1
1
khi x ≠ 0

f (x) = 

Liên tục khi a = − trên đoạn [−1;1]
x
2

a
khi x = 0

 x − 1 khi x ≤ 1
f (x) =  2
Liên tục khi a = 2 trên R
ax − 2 khi x > 1
14. Cho hàm số:
 x 2 − 6x + 5
khi x ≠ 1

f (x) =  x 2 − x
Tìm a để hàm số liên tục tại 2
 a + 5x
khi
x
=
1

 2x + 1 − x + 5
khi x ≠ 4

f (x) = 
Tìm a để hàm số liên tục tại 4
x−4


a−2
khi x = 4



 3 3x + 2 − 2
khi x > 2

f (x) =  x − 2
 ax + 2
khi x ≤ 2


1 + x −1
khi x > 0
a +
x
f (x) = 
 2 + 2x
khi x < 0
 3
 x+3−2
khi x > 1

x
−
1

1


f (x) = 
khi x = 1
4

 x2 −1
khi x < 1
 2
 x + 6x − 7

Tìm a để hàm số liên tục tại 2

Tìm a để hàm số liên tục tại 0

Xét tính liên tục của hàm số tại 0 và tại 1

 x −2
ˆ′ x > 4
neu

x
+
5
−
3

ˆ ′ x = 4 Xét tính liên tục của hàm số tại 0 và tại 4
f (x) = 
2
neu
 x 2 − 16

 2
ˆ′ x < 4
neu
 x − 4x
15. Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
x2 + | x | +x
x − 1+ | x − 1|
x2 − | x |
f
(x)
=
f (x) =
f (x) = 2
2
x − | x | +3x
x2 −1
x +x
| x + 2 |
 1
ˆ ′ x ≠ −2
neu
khi x ≠ 1


f (x) =  x + 2
f (x) = 1 − x 3
 1
 2
ˆ ′ x = −2
neu

khi x = 1
 1 − x −1
 x + 5 −1
ˆ′ x ≠ 4
khi x ≠ 0
neu


x
x
−
4
f (x) = 
f (x) = 
1
 −1

ˆ′ x = 4
khi x = 0
neu


2
4
16. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
m(x − 1)(x + 2) + 2x + 1 = 0
(m 2 − 2m + 3)x 3 + 3x − 1 = 0
17. Chứng minh phương trình:
luôn có nghiệm
x3 − x 2 −1 = 0

4
luôn có nghiệm
x − 3x + 1 = 0
6
4
(x − 1) + 2(x − 1) + 1 = 0
có ít nhất 2 nghiệm
4
2
có ít nhất 2 nghiệm trong (−1;1)
4x + 2x − x − 3 = 0
3
có ít nhất 1 nghiệm với mọi m
x + 12x + m = 0
 3π 
sin x − x + 1 = 0
có nghiệm trong khoảng  0; ÷
 2 
4
có đúng 1 nghiệm trong khoảng (1; 2)
x −x −3= 0
có đúng 1 nghiệm trong khoảng (1; 2)
x 5 − x 2 − 2x − 1 = 0


E – ÔN TẬP
1.
2.
3. Biểu diễn số 0,565656(56); 0,571222(2) dưới dạng phân số
4.Cho CSN với 243.u 8 = 32.u 3 , u 3 ≠ 0

a) Tìm công bội q
b) Tổng của CSN trên là 35 , tìm u1 (số hạng đầu tiên của CSN)
5.