đề thi - d.a chuyên Lam Son - đề 3

đề thi vào lớp 10 thpt lam sơn(2)
môn thi : toán
( Chung cho tất cả các lớp chuyên )
(Thời gian 150 phút )
Bài 1 ( 2 điểm )
Cho biểu thức

1 x - x
2

1 xx
3
-
1 x
1
P
+
+
++
=

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của P
Bài 2 ( 2 điểm )
Giải các phơng trình sau
a)
)
x
4
-
3

x
10(
x
48

3
x
2
2
=+

b)
24 - 9 x - 1 x
4
x
2
=++

Bài 3 ( 2 điểm )
Giải hệ phơng trình

3 1) - xy )( y x (
10 ) 1 y )( 1 x (
22



=+
=++

Bài 4 ( 3 điểm )
Cho góc xIy . A là điểm lấy trên đờng phân giác góc trong của góc đó , Gọi
K , M lần lợt là chân đờng vuông góc hạ từ A đến 2 cạnh Ix , Iy của góc
xIy . Trên KM lấy điểm P ( KP < PM ) . Qua P dựng đờng thẳng vuông góc
với AP cắt KI tại Q , MI tại S
a) Chứng minh rằng cácc tứ giác KPAQ và PSMA nội tiếp đợc trong một
đờng tròn .
b) Chứng minh : P là trung điểm của QS
c) Cho KIM = 2 ; KM = a ; QS = b ( a < b ) . Tính KQ .
Bài 5 ( 1 điểm )
Cho tam giác ABC có 3 cạnh a , b , c thỏa mãn a + b + c = 6 .
Chứng minh : 54 > 3( a
2
+ b
2
+ c
2
) + 2abc 52 .
1
Đáp án và thang điểm
Bài ý Nội dung cơ bản Điểm
Bài
1
a)
Điều kiện x 0


1 x - x
2

1) x -1)(x x(
3
-
1 x
1
P
+
+
+++
=


1 xx
2 x2 3 - 1 x - x
P
+
+++
=



1 xx
1) x(x
P
+
+
=


1 x - x

x
P
+
=
0,25
0,25
0,25
0,25
b)
Ta có

0 x 0 x
0 x 0
4
3

2
1
- x 1 x - x






>+

=+
2

nên
0 x , 0
1 x - x
x
P

+
=
P = 0 x = 0 . Vậy min P = 0
Ta có
( )
0 x , 0 1 - x
2


x - 2
x
+ 1 0
x -
x
+ 1
x
, x 0

0 x , 1

1 x - x
x


+
P 1 x 0 ; P = 1 x = 1 . Vậy MaxP = 1 khi x = 1
Tóm lại : minP = 0 khi x = 0 ; MaxP = 1 khi x = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài
2
a)
Điều kiện x 0
Phơng trình đã cho tơng đơng với

)
x
4
-
3
x
10(
x
16

9
x
2

2
=








+
3
Đặt t =
x
4
-
3
x
t
2
=

3
8
-
x
16

9
x

2
2
+

PT trở thành :
t 10
3
8
t 3
2
=






+

3t
2
- 10t + 8 = 0
t = 2 hoặc t = 4/3
0,25
0,25
2
Bài ý Nội dung cơ bản Điểm

Bài
2

a)
* với t = 2 thì
x
4
-
3
x
= 2 x
2
- 6x - 12 = 0
x =
21 3


* Với t = 4/3 thì
x
4
-
3
x
=
3
4
x
2
- 4x - 12 = 0
x = 6 ; x = - 2
Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm là :
x = 6 ; x = - 2 ; x =
21 3

0,25
0,25
b)
PT :
24 - 9 x - 1 x
4
x
2
=++


( )
1 - 22 x - 1
2
x
2
2
=






+

1 - 22 x - 1
2
x

=+
Nếu
1
2
x
+
0 x - 2 , PT trên trở thành
x + 2 - 2x = 4
2
- 2
x = 4 - 4
2
thỏa mãn x - 2 nên x = 4 - 4
2
là nghiệm
của phơng trình đã cho .
Nếu
1
2
x
+
< 0 x < - 2 , PT trên trở thành
-( x + 2) - 2x = 4
2
- 2
- 3x = 4
2

x = - 4

2
/3 , không thỏa mãn x < -2 nên loại
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x = 4 - 4
2

0,25
0,25
0,25
0,25
Bài
3
Ta có hệ

3 1) - xy )( y x (
10 ) 1 y )( 1 x (
22



=+
=++



3 1) - xy )( y x (
10 1 y x yx
2222

=+
=+++
0,25
3
⇔

3 1) - xy )( y x (
10 1) - (xy y) (x
22



=+
=++

§Æt u = x + y ; v = xy - 1 hÖ trë thµnh :

3 u.v
10 v u
22



=
=+
Bµi ý Néi dung c¬ b¶n §iÓm
Bµi
3

⇔

3 u.v
16 v) u (
2



=
=+
⇔

3 u.v
4 v u



=
±=+

• NÕu

3 u.v
4 v u



=
=+
th× ta cã

1 v
3 u



=
=
hoÆc

3 v
1 u



=
=
* víi

1 v
3 u



=
=
th×

1 1 - xy
3 y x




=
=+
⇔

2 xy
3 y x



=
=+
⇔ (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2)
* Víi

3 v
1 u



=
=
th×

3 1 - xy
1 y x




=
=+
⇔

4 xy
1 y x



=
=+
nªn x , y lµ 2 nghiÖm cña PT : t
2
- t + 4 = 0 cã ∆ < 0 ⇒ v«
nghiÖm ⇒ hÖ v« nghiÖm trong trêng hîp nµy .
• NÕu

3 u.v
4 v u



=
−=+
th× ta cã

1- v
3- u




=
=
hoÆc

3- v
1- u



=
=
* Víi

1- v
3- u



=
=
ta cã

1- 1 - xy
3- y x



=
=+

⇔

0 xy
3- y x



=
=+
⇔ (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
* Với

3- v
1- u



=
=
ta có

3- 1 - xy

1- y x



=
=+


2- xy
1- y x



=
=+
(x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2)
Tóm lại hệ đã cho có 6 nghiệm là
(x ;y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ; (- 3; 0) ; (0 ; - 3) ; (-2 ; 1) ; (1; - 2) .
Bài
4
a)
y
x
S
K
P
M
Q
A
I

2
1
1
1
1
1
H
Theo giả thiết AKQ = APQ = 90
0
, nên tứ giác KPAQ nội
tiếp trong đờng tròn đờng kính AQ .
Cũng theo giả thiết AMS = APS = 90
0
nên tứ giác
PSMA nội tiếp đờng tròn đờng kính AS . (ĐPCM)
0,50
0,50
Bài ý Nội dung cơ bản Điểm
5