đề thi - d.a chuyên Lam Son - đề 6

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (5)
Môn: Toán - Thời gian làm bài 150
Câu I (2đ): 1) Cho biết a = x.y +
)1)(1(
22
yx
++
b = x
2
1 y
+
+ y
2
1 x
+
Giả thiết rằng: xy dơng, hãy tính b theo a.
2) Tìm các giá trị của a để tổng bình phơng các nghiệm của ph-
ơng trình: x
2
- (a-1)x - a
2
+ a - 2 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II (2đ): 1) Giải hệ phơng trình: 2x
2
- y
2
= 1
xy + x
2
= 2
2) Cho hàm số y = x

2
với x -1 (1). Vẽ đồ thị (c) của hàm số(1)
và tìm b để đờng thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B lần lợt có
hoành độ trái dấu.
Câu III (2đ): 1) Giải phơng trình: (x
2
- 3x + 2) (x
2
+ 15x + 56) + 8 = 0
2) Cho n số thực a
1
, a
2
,, ., a
n
sao cho a
1
3
+ a
2
3
+ + a
n
3
= 0
Chứng minh: a
1
+ a
2
+ .+ a

n
. Biết rằng - 1 ai 1 với i =1,2, ,n
Câu IV (3đ): Cho hình vuông ABCD
1) 0 là một điểm bên trong hình vuông. Dựng điểm E trên đờng
thẳng d chứa cạnh AB, điểm F trên đờng thẳng d chứa cạnh DC sao cho
E0F vuông ở 0 và có diện tích nhỏ nhất.
2) Trên cạnh BC và CD lấy hai điểm tơng ứng M và N sao cho
MAN = 45
0
. BD cắt AM, AN lần lợt tại I và K.
Chứng minh SCIK = S NMIK.
Câu V(1đ): Cho đờng tròn (0; R), dựng đờng tròn (0; R) sao cho 0 nằm
trên đờng tròn (0, R). Dây AB của đờng tròn (0; R) di động và tiếp xúc với
đờng tròn (0; R) tại điểm C. Xác định vị trí của dây AB để AC
2
+ BC
2
đạt
giá trị lớn nhất.
*****
3
n
đáp án và biểu chấm toán tuyển sinh vào lớp 10
chuyên Lam sơn
Câu Nội dung Điểm
I 2.0đ
I
1
1.0đ
Ta có: a

2
= 1 + x
2
+ y
2
+ 2x
2
y
2
+ 2xy
)1)(1(
22
yx
++
(1)
b
2
= x
2
+ y
2
+ 2x
2
y
2
+ 2xy
)1)(1(
22
yx
++

(2)
So sánh (1) và (2) suy ra b
2
= a
2
- 1
Do xy > 0 nên ta xét hai trờng hợp sau:
+ Nếu x > 0 và y > 0 thì b > 0, từ đó ta có: b =
1
2

a
+ Nếu x < 0 và y < 0 thì b < 0. Từ đó ta có: b = -
1
2

a
0,25đ
0,25đ
0,5đ
I
2
1.0đ
Ta có a
2
- a + 2 = (a - )
2
+ - [(a- )
2
+ ] < 0

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình, Ta có: với mọi a
x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= (a-1)
2
+ 2(a
2
- a + 2)

= 3[( a - )
2

+ ] = 3(a- )
2
+
Dấu bằng xảy ra khi a = . Vậy GTNN của x
1
2
+ x
2
2
bằng
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
II 2,0đ
II
1
1,0đ
+ Nếu y = 0 hệ đã cho trở thành x
2
= hệ này vô nghiệm.
x
2
= 2
+ Nếu y 0 hệ đã cho suy ra xy + x
2
= 4x
2
- 2y
2

3x
2
- xy -2y
2 (* )
= 0
Chia hai vế của (*) cho y 0 Ta đợc 3( )
2
- ( ) - 2 = 0
= 1 x = y
x =
= -
x = 1
+ Từ x = y hệ đã cho viết thành x = y y = 1
2x
2
- y
2
= 1 x = - 1
y = -1
+ Từ x = - hệ đã cho viết thành: x = -

2x
2
- y
2
=1 Hệ này vô nghiệm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2

1
4
7
4
7
2
1
4
7
3
2
9
11
3
2
3
11
3
11
3
2
3
11
2
1
y
x

y
x

y
x

y
x

3
2
3
2y

3
2y
3
2y
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x = - 1 và x = 1
y = - 1 y = 1
0,25đ
II
2
1,0đ
Đờng thẳng y = x + b song song (hoặc trùng) với đờng phân giác góc
phần tử thứ nhất: y = x.
+ Thay toạ độ điểm A (-1, 1) vào y = x + b ta đợc b = 2
Vậy đờng thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B thoả mãn đề bài
thì phải có: 0 < b 2.
0,25đ
0,25đ
0,5đ

III 2,0đ
III
1
1,0đ
Vế trái của phơng trình đã cho bằng:
x
4
+ 12x
3
+ 13x
2
- 138x + 120 = (x
4
+ 6x
3
- 15x
2
) + (6x
3
+ 36x
2
- 90x)-
- (8x
2
+ 48x - 120) = x
2
(x
2
+ 6x - 15) + 6x (x
2

+ 6x - 15) - 8(x
2
+6x-15)
= (x
2
+ 6x - 15) (x
2
+ 6x - 8).
Vậy phơng trình đã cho viết thành: (x
2
+ 6x - 15) (x
2
+ 6x - 8) = 0
*Giải các phơng trình: x
2
+ 6x - 15 = 0 và x
2
+ 6x - 8 = 0 ta đợc phơng
trình đã cho có bốn nghiệm:
x
1
= -3 + 2
6
; x
2
= -3 - 2
6
; x
3
= - 3 +

17
; x
4
= - 3 -
17
.
0,5đ
0,5đ
III
2
1,0đ
+ Ta có: 4a
3
- 3a + 1 = 4 (a + 1) (a- )
2
0 với mọi a thoả mãn -1 a1
+ Từ đó 4a
1
3
- 3a
1
+ 1 = 4(a
1
+ 1) (a
1
- )
2
0
4a
2

3
- 3a
2
+ 1 = 4(a
2
+ 1) (a
1
- )
2
0
..
4a
n
3
- 3a
n
+ 1 = 4(a
n
+ 1) (a
n
- )
2
0
Vậy ta có : 4(a
1
3
+ a
2
3
+.+ a

n
3
) - 3(a
1
+ a
2
+.+a
n
) + n 0
= 0
- 3(a
1
+ a
2
++ a
n
) - n (a
1
+ a
2
+ .+a
n
) đ. p. c/m.
0,25đ
0,5đ
0,25đ
2
1
2
1

2
1
2
1
3
n
2
0
y
y = x
2
( x

1 )
- 1
x
( c )
A
B
Câu Nội dung Điểm
IV IV
1
Gọi P,Q lần lợt là hình
chiếu của 0 trên d và d
Đặt diện tích 0EF = S
Ta có P0E = 0FQ = (góc
có cạnh tơng ứng vuông góc)
Đặt 0P = a, 0Q = b

Ta có 0E = , 0F =

Do đó: S = vì a,b không đổi
nên S nhỏ nhất khi 2sin cos lớn nhất.
Vì sin , cos dơng nên 2sin cos sin
2
+ cos
2
= 1 (BĐTcôsy)
do đó Max (2sin cos) = 1 khi sin = cos.
Vậy S nhỏ nhất khi sin = cos = 45
0
.Vậy E và F cần dựng thoả
mãn P0E = 0FQ = 45
0
.
* Bài toán có hai nghiệm hình (vì E, F là hai điểm trên d và d).
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
VI
2
2đ
Vì C đối xứng với A qua DB
nên điều phải chứng minh
S AIK = SNMIK
S AIK= S AMN

do IAN = IDN = 45
0

nên tứ giác IADN nội tiếp.
Suy ra AI IN
Tơng tự ta có AK KM do đó MIKN là tứ giác nội tiếp.

Suy ra AIK = ANM; AKI = AMN suy ra AKI AMN
Do đó : = cos 45
0
= (tỷ số đồng dạng)
Vậy: Suy ra điều cần chứng minh.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

cos
a

sin
b

cossin2
ab
2
1
AN
AI
AM
AK
=
2

1
2
1
.
.
=
ANAM
AIAK
AMNS
AIKS


A
B
C
D
M
N
K
I
45
0
A E P B d
a
b
D F Q C
d
0
=
Câu Nội dung Điểm

V Gọi H, K lần lợt là trung điểm
của AB và chân đờng vuông góc
hạ từ 0 xuống 0C. Ta có:
0H AB và hình chữ nhật 0HCK.
Do đó AC
2
+ BC
2
= ( )
2
+ =
= 2[(R
2
- 0H
2
) + (00
2
- 0K)
2
]
= (R
2
- 0H
2
) + 2[R
2
- (R - 0H)
2
]
= 2R

2
- 40H
2
+ 4R0H =
= 2R
2
+ R
2
- (R - 20H)
2
2R
2
+ R
2

Vậy giá trị lớn nhất của AC
2
+ BC
2
= 2R
2
+ R
2
đạt đợc khi
(R- 20H)
2
= 0 hay 0H = . Suy ra có hai vị trí của AB là: khi nó là
tiếp tuyến chung ngoài của các đờng tròn (0; R) và (0; ).
*******

0,25đ
0,5đ
0,25đ
A
B
C
O
O
H
K
HC
AB
+
2
HC
AB

2
2
2
2
2
2
HC
AB
+
2
'R
2

'R