đề thi - d.a chuyên Lam Son - đề 11

Đề thi chuyên lam sơn (10)
Môn : Toán
(Toán chung)
Bài 1 : (2đ) Cho biểu thức :








+
+
++








+

+
+
+
+
=
xxx

xx
x
x
xx
x
x
x
P
1
2
3
:
2
2
88
2
a. Tìm x để P có nghĩa và chứng minh rằng P
1
.
b. Tìm x thoả mãn :
( )
1.1
=+
Px
Bài 2 : (3đ)
a. Giải phơng trình :
1
1
2
2

=






+
+
x
x
x
b. Giải hệ phơng trình :
x
2
y 2x + 3y
2
= 0
x
2
+ y
2
x + 2y = 0
c. Giải phơng trình :
2006.20052006..2006
2244
=+++
xxxx
Bài 3 : (1,5đ)
Cho a, b, c là các số dơng . Chứng minh rằng :

8
1625
>
+
+
+
+
+
ba
c
ca
b
cb
a
.
Bài 4 : (2đ) Cho
ABC

với BC=a, CA=b, AB=c (c<a, c<b) . Gọi M và N lần
lợt là tiếp điểm của cạnh AC và cạnh BC với đờng tròn tâm O nội tiếp
ABC

. Đoạn thẳng MN cắt tia AO tại P và cắt tia BO tại Q .Gọi E, F lần lợt là trung
điểm của AB và AC .
a. Chứng minh rằng :
c
PQ
b
NQ
a

MP
==
.
b. Chứng minh rằng : Q, E, F thẳng hàng .
Bài 5 : (1,5đ) Hình tứ diện ABCD có cạnh AB vuông góc với cạnh CD,
AD=AC, diện tích của thiết diện đi qua cạnh AB và trung điểm của cạnh DC
bằng S ; DC=a . Tính thể tích của tứ diện ABCD theo a và S .
§¸p ¸n §Ò thi chuyªn lam s¬n
M«n : To¸n
(To¸n chung)
Bài 1 : (2đ)
a. Điều kiện x>0
Ta có :
)2.(
)2()3(
:
)2.(
)2()88()(
22
+
++++
+
+++
=
xx
xxx
xx
xxx
P
(0.25đ)

P=
52
44
++
+
xx
x
(0.25đ)

P-1=
0
4)1(
)1(
1
52
44
2
2

++

=
++
+
x
x
xx
x
(0.25đ)
Vậy

1

P
(0.25đ)
b.
1).1(
=+
Px

4
( )
521
2
++=+
xxx
(0.25đ)

3x + 6
x
-1 = 0 (0.25đ)


3
323
3
323
+
=

=

x
x


3
347

=
x
(thoã mãn điều kiện x>0) . (0.25đ)
Bài 2 : (3đ)
a. Giải phơng trình :
1
1
2
2
=






+
+
x
x
x
(1)
ĐK :

1

x
(1)

1
1
2
)
1
(
1
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
+

x
x
x
x
x
x

x
(0.25đ)

1
1
.2)
1
(
2
2
=
+
+
+

x
x
x
x
x
(0.25đ)


2)1
1
(
2
2
=+
+

x
x


0)21()21(
0)21()21(
2
2
=++++
=++
xx
xx
(0.25đ)


2
12212

=
x
(thỏa mãn) (0.25đ)
b. Giải hệ phơng trình : x
2
y 2x + 3y
2
= 0
x
2
+ y
2

x + 2y = 0
Nếu y=0

x=0 Vậy x=0, y=0 là nghiệm của hệ phơng trình .
(loại)
(thỏa mãn) (0.25đ)
Với y

0 hệ đã cho trở thành x
2
y 2x + 3y
2
= 0
x
2
y+ y
3
x + 2y
2
= 0 (0.25đ)


02
02
22
23
=++
=+
yxyx
yxxy

Nhận thấy
3
2
=
y
không thoả mãn hệ phơng trình .
Xét
3
2

y
từ (1)

2
3
2
+
=
y
y
x
thay vào (2) ta có :
02
2
.)
2
(
3
2

22
3
2
=+
+
+
+
y
y
y
y
y
y



02
2)2(
3
3
23
3
=






+

+
+
+
y
y
y
y
y

08113
36
=++
yy
(0.25đ)


32
3
2
3
8
111
3
3
3
=

==
===
xyy

xyy
(0.25đ)
Vậy hệ có 3 nghiệm (0;0) (1;-1) (-2
3
;
33
2

) . (0.25đ)
c.
2006.200520062006
2244
=+++
xxxx


[ ][ ]
020062006.20062006)2006(
2224
=+++++
xxxx
(0.25đ)


[ ]
0)20062006(20062006
242
=++++
xxx

20062006
24
+=
xx
(0.25đ)


4
1
20062006
4
1
2224
+++=++
xxxx


2222
)
2
1
2006()
2
1
(
+=+
xx

2
1
2006
2
1
22
+=+
xx
(0.25đ)


2
80214011
2006
2
+
=+
x



180212
2
=
x



2
18021

2

=
x


2
18021

=
x
. (0.25đ)
Bài 3 : (1.5đ)
Đặt b+c=x , c+a=y, a+b=z (ĐK: x,y,z>0)
(2)
(1)


2
2
2
zxy
c
yzx
b
xzy
a
+
=
+

=
+
=
(0.25đ)
Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh ta có :






+++++
=






+++++=
+
+
+
+
+
=
42)
2
16
()

25
()
1625
(
2
1
116
1616
25
25
25
2
1
22
)(16
2
)(25
y
y
z
x
z
z
x
y
x
x
y
z
x

z
y
y
z
y
x
x
z
x
y
z
zxy
y
yzx
x
xzy
VT
áp dụng bất đẳng thức CôSi cho các số dơng :
8
.
.16
2
2
16
10
.
25.
2)
25
(

40
16.25
2)
16
25
(
=+
=+
=+
zy
yzy
y
z
xz
zx
x
z
z
x
xy
xy
y
x
x
y
(0.25đ)
Thay vào (1) ta có : VT
8)42.81040(
2
1

=++
(0.25đ)
Dấu bằng bất đẳng thức xảy ra khi :

z
y
y
z
x
z
z
x
y
x
x
y
=
=
=
16
25
16
25


yz
zx
xy
=
=

=
4
5
45



kx
kky
kz
5
)0(4
=
>=
=
(0.25đ)

a=
0
2
54
2
=
+
=
+
kkk
xzy
(loại vì a >0) (0.25đ)
Vậy không có dấu bằng xảy ra

8
1625
>
+
+
+
+
+
ba
c
ca
b
cb
a
.
Bài 4 :
O
M
F
C
N
B
E
A
P
Q
(1) (0.25đ)