đề thi - d.a chuyên Lam Son - đề 9

Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam sơn
(Thời gian: 150 phút)
Bài 1: Cho biểu thức
4
42
2
2


=
xx
xb
M
Tìm giá trị của M khi x=
a
b
b
a
+
Bài 2
Cho đa thức bậc 5 có hệ số nguyên. Biết rằng f(x) nhận giá trị 1975 với
4 giá trị nguyên khác nhau của x. Chứng minh rằng với mọi x

z thì f(x)
không thể có giá trị bằng 1992
Bài 3: Giả sử x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình

)0(0
2
=++
aakxx
Tất cả các giá trị của k để có bất đẳng thức:

52)()(
3
1
2
3
2
1
+
x
x
x
x
Bài 4: Giải hệ phơng trình:



+=+
=++
yxyx
xyyx
3
1
33
22

Bài 5 : Giải phơng trình

203232152
2
+=+
xxx
Bài 6 :
Trong mp(oxy) cho Parabol(P):
4
2
x
y
=
và điểm I (0,-2) gọi (d) là đ-
ờng thẳng qua I và có hệ số gốc m
1, Vẽ (P) chứng tỏ với mọi m

R,(d) luôn cắt (P) tại 2 điểm điểm phân biệt
A,B
2, Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 7 : Cho a, b, c>0 chứng minh rằng:
1+
+
+
+
+
+
++
ba
cb

cb
ba
a
c
c
b
b
a
Bài 8: Cho tam giác ABC có
0
90


<<
BC
, đờng cao AH, trung truyến AM và
phân giác trong AD
1, Chứng minh D nằm giữa 2 điểm H và M
2, Biết S
ADM
=
14
1
S
ABC,
S
AHM
=
50
7

S
ABC
. Hãy tính số đo góc
BAC

Bài 9 : Cho

ABC. Qua một điểm M bất kỳ thuộc cạnh AC, kẻ các đ-
ờng song song với hai cạnh kia; chúng tạo thành với 2 cạnh ấy một hình bình
hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành ấy có diện tích lớn nhất.
Bài 10 : Cho hình chóp tam giác đều và khoảng cách giữa hai cạnh chéo
nhau
b»ng l, h·y x¸c ®Þnh h×nh chãp cã thÓ tÝch bÐ nhÊt.

§¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam sơn
Đề thi đề nghị môn Toán
(Thời gian 150 phút)
Bài 1 : (2điểm). Khi cho
b
a
và
a
b
thì
0
>
b
a

0.
>
ba
(0,25đ)
Do đó
=
x
a
b
b
a
+
2
2
++=
a
b
b
a
x
(0,25đ)
ab
ba
ab
ba
a
b
b
a
x

=

=++=
2
2
)(
424
(0,25đ)
Từ đó :
baba
bab
ab
ba
a
b
b
a
ab
ba
b
xx
xb
M
+

=

+

=


=
2
)(
2
4
42
2
2
(0,75đ)
Nếu
ba

thì :
ba
baba
bab
M
=
++

=
)(2
(0,25đ)
Nếu
ba
<
thì

a
abb
abba
abb
M
)()(2

=
++

=
(0,25đ)
Bài 2 (2đ)

Gọi x
1
,x
2
,x
3
x
4
là giá trị nguyên khác nhau của đa thức f(x)- 1975 suy ra f(x)-
1975 = (x-x
1
)(x-x
2
)(x-x
3
)(x-x

4
).g(x) (g(x) là đa thức có hệ số nguyên)(0,5đ)
Giả sử tồn tại a

z mà f(a)=1992 ta có:
(a-x
1
)(a-x
2
)(a-x
3
)(a-x
4
).g(a)=17 * (0,5đ)
Do x
1
,x
2
,x
3
x
4

z khác nhau nên a-x
1
,a-x
2
,

a-x

3
,a-x
4
là 4 số nguyên khác
nhau và g(a)

z, mà 17 chỉ có thể phân tích thành một tích có nhiều nhất ở
thừa số nguyên khác nhau : 17= 1(-1)(-17) nên (*) không xảy ra

ĐPCM
(1,0đ)
Bài 3 (2đ)
Dễ thấy x
1
,x
2
0



Ta xét a hai trờng hợp
* Nếu a<1 thì
04
2
>=
ak
với mọi
k
.Khi đó phơng trình đã cho luôn có hai
nghiệm khác nhau và khác dấu: Điều đó dẫn đến BĐT đã cho luôn đúng với

mọi
k
(0,5đ)
*Nếu a>0
Ta có






++=+
3)()()()(
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
3
1
2
3
2
1
x

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Mà
2
2)(
2
21
21
2
21
21
2
2
2
1
1
2
2
1
=
+

=
+
=+
a
k
xx
xxxx
xx
xx
x
x
x
x
(Theo viét)
Do đó :
3
1
2
3
2
1
)()(
x
x
x
x
+
=(
2
2

a
k
)
523)2(
2
2








a
k
(1) (0,5đ)
Đặt
a
k
2
=t, ta có
[ ]
523)2()2(
2

tt
0)9)(6(
2

+
tt
(2)
Ta thấy
)9(
2
+t

0
>
mọi t. Do đó (2) chỉ đúng khi
0)6(

t
hay
06
2

a
k
Do
0
>
a
nên
ak 6
2

. Bởi vậy
66

ka
(0,75đ)
Vậy a<0, khi k là số thực bất kỳ
a>0 thì k là số thực thỏa mãn
66

ka
(0,25đ)
Bài 4 (2đ) Giải hệ phơng trình
Từ (1) ta có PT (2) có dạng :
33
yx
+
=
))(3(
22
xyyxyx
+++

(0,25đ)

33
yx
+
232223
333 xyyyxyxxyx
+++++=

0244

322
=++
yyxyx
0)22(2
22
=++
yxyxy
[ ]
0)(2
22
=++
yxxy




=++
=
0)(
0
22
yxx
y

=
=
=
xy
x
oy
0









=
=
=
0
0
y
x
oy
(1,0đ)
+ Với y=0 thay vào (1) ta đợc x
2
=1

x

1
+ Với x=0, y=0 thay vào (1) không thỏa mãn

x=0, y=0 loại (0,5đ)
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm (x,y) là (1,0) và (-1,0) (0,25đ)
Bài 5 (2đ)
Điều kiện 2x +15

0 và 32 x
2
+32x-20

0

+




8
564
8
564
2
15
x
x
x






+





4
142
2

15
4
142
x
x
(0,25đ)



+=+
=++
)2(3
)1(1
33
22
yxyx
xyyx
PT đã cho tơng đơng với
28)24(2152
2
+=+
xx
(1)
Đặt
15224
+=+
xy
ĐK
024
+

y
(0,25đ)
Từ đó ta có :

152)24(
2
+=+
xy
(2)
PT trở thành:

152)24(
2
+=+
yx
(3)
Lấy (2 ) trừ cho (3) theo từng vế ta đợc :
(0,75đ)
* Trờng hợp 1 : x - y = 0

x=y thay vào (3 ) ta đợc:
16x
2
+14x-11=0
(0,25đ)
* Trờng hợp 2 : 8x+8y +9=0

9y=8x-9 thay vào (3)
ta có : 64x
2

+72x-35=0






+
=

=

16
2219
16
2219
x
x
(0,25đ)
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x=
2
1
hoặc
16
2219

=
x
(0,25đ)
Bài 6: (2đ)

1. (1đ) đờng thẳng (d ) có phơng trình là
y=mx-2
Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
mm
mxx
x
mx
>=

=+
=
024
024
4
2
2
2
2
Chứng tỏ (d) luôn cắt (P ) tại 2 điểm phân biệt A, B (0,5đ)



=++
=

=++
=++
=++++
=++
0988

0
0)988)((
0)(2)1(4).(4
0)(2)2424)(2424(
)(2)24()24(
22
yx
yx
yxyx
yxyxxy
yxxyxy
yxxy





=
=

8
11
2
1
x
x
TM
Loại
TM
Loại