Bước đầu nghiên cứu sự hội tụ của dãy hàm đo được trên không gian đo

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoa
Toán - Lý - Tin, phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, phòng đào tạo đại
học, các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, đặc biệt là cô Phạm Thị Thái, thầy
Vũ Việt Hùng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, cũng như động
viên tôi có thêm nghị lực hoàn thành đề tài này.
Nhân dịp này tôi xin cảm ơn tới người thân và các bạn sinh viên lớp K53
ĐHSP Toán.
Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên của thầy cô và bạn bè đã tạo điều
kiện thuận lợi để tôi hoàn thành đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn la, tháng 5 năm 2015.
Người thực hiện
Sinh viên: Hoàng Thị Hiền - Trương Bá Hiệp

1


Mục lục

Mở đầu

6

1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

9

1.1

Đại số và σ-đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1

Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2

Đại số các gian trong Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.3

σ −đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2

1.3

1.4

Độ đo trên đại số các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1

Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2

Độ đo trên đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3

Một số tính chất cơ bản của độ đo . . . . . . . . . . . . . 18

Mở rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1

Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2

Mở rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Độ đo trong Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2


1.5

1.6

2

3

1.4.1

Độ đo Lebesgue trong R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.2

Độ đo trong Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1

Định nghĩa và điều kiện tương đương . . . . . . . . . . . 26

1.5.2

Các phép toán đối với hàm đo được . . . . . . . . . . . . 27

1.5.3

Cấu trúc của hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM TRÊN KHÔNG GIAN ĐO

37

2.1

Hội tụ hầu khắp nơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2

Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3

Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4

Hội tụ trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5

Hội tụ hầu như đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN
ĐO

52

3.1

Sự liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo độ đo . . . . . . 52

3.2

Sự liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi . . . . . 53

3.3

Sự liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ đều . . . . . . . . . . 56

3.4

Sự liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ hầu khắp nơi . . . . . 57

3.5

Sự liên hệ giữa hội tụ hầu như đều và hội tụ hầu khắp nơi . . . 59
3


3.6

Sự liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu như đều . . . . . 60

3.7

Sự liên hệ hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ đều . . . . . . . . . . . . 62

3.8

Biểu đồ thể hiện sự liên hệ giữa các dạng hội tụ . . . . . . . . . 63

Kết luận

65

Tài liệu tham khảo

67

4


TỪ VIẾT TẮT
VT

vế trái

VP

vế phải

h.k.n hầu khắp nơi
h.n.d

hầu như đều

5


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Các dạng hội tụ của dãy hàm trên không gian đo là một phần nhỏ trong lĩnh
vực Độ đo và tích phân Lebesgue. Đây là một trong những phần giải tích
được ứng dụng nhiều trong thực tế , đó là nền tảng cho giải tích hiện đại. Do
vậy việc nghiên cứu là rất cần thiết, giúp chúng tôi nắm vững hơn kiến thức

về phần này và tạo điều kiện để chúng tôi nghiên cứu sâu hơn các phần giải
tích có liên quan.
Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi đã mạnh dạn đi vào nghiên cứu "Bước
đầu nghiên cứu sự hội tụ của dãy hàm đo được trên không gian đo".
2. Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới hạn phạm
vi nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các dạng hội tụ của dãy hàm đo được trên không gian đo và sự
liên hệ của các dạng hội tụ đó. Từ đó đưa ra một số ứng dụng của lý thuyết
này trong giải tích hiện đại.
2.2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là sự hội tụ của dãy hàm đo được trên không
gian đo.
2.3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích như trên, chúng tôi đã đặt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày lại
6


các vấn đề kiến thức có liên quan một cách có hệ thống và logic. Từ đó trình
bày một cách chi tiết về sự hội tụ của dãy hàm đo được trên không gian đo.
2.4. Phương pháp nghiên cứu
Do đặt ra nhiệm vụ như trên và do đặc thù bộ môn, chúng tôi chọn phương
pháp sưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn, nhóm
nghiên cứu. Từ đó hệ thống lại kiến thức theo nội dung của đề tài.
2.5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu vấn đề về sự hội tụ của dãy hàm đo được
trên không gian đo.
3. Bố cục
Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra bố cục của đề tài được sắp xếp như sau:
Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội

dung đề tài gồm ba chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trình bày cơ bản về lý thuyết độ đo, hàm đo được và về tích phân Lebesgue
để làm cơ sở cho những nghiên cứu trong các chương sau.
Chương 2. Các dạng hội tụ
Trình bày một số dạng hội tụ quan trọng trong không gian đo bao gồm sự hội
tụ theo độ đo, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ trung bình.
Chương 3. Sự liên hệ giữa các dạng hội tụ
Trình bày những mối quan hệ giữa một số dạng hội tụ đã nêu trong chương
7


2. Đó là mối quan hệ giữa sự hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi.
4. Đóng góp của đề tài
Đề tài trình bày một cách có hệ thống kiến thức liên quan và chi tiết kiến thức
về sự hội tụ của dãy hàm trên không gian đo. Đề tài là tài liệu tham khảo
chuyên sâu hữu ích cho các sinh viên chuyên ngành toán trong lĩnh vực của
đề tài, và cũng là tài liệu tham khảo cho sinh viên Khoa Toán – Lý – Tin trường
Đại học Tây Bắc tại thư viện của nhà trường.

8


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Lý thuyết độ đo được xây dựng vững chắc trên lý thuyết về đại số và σđại số tập hợp. Trong phần đầu của chương này, chúng tôi dành cho việc trình
bày lý thuyết về đại số và σ− đại số tập hợp, tiếp đến chúng tôi trình bày lý
thuyết độ đo và hàm đo được trên không gian đo.

1.1

1.1.1

Đại số và σ-đại số tập hợp
Đại số tập hợp

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là tập khác ∅, C là họ các tập con ( nào đó ) của X.
Ta nói C là một đại số các tập con trên X nếu:
a)X ∈ C .
b) Nếu A ∈ C thì CA = A ∈ C .
c) Nếu A, B ∈ C thì A ∪ B ∈ C .

9


Từ định nghĩa ta có ví dụ minh họa sau đây về đại số tập hợp.
Ví dụ 1.1.2. ( X, τ ) là không gian tô pô, ta gọi C là họ các tập vừa đóng vừa
mở trong X. Khi đó họ C thỏa mãn các tiên đề về đại số tập hợp trên X.
Thật vậy:
a)X ∈ C vì X vừa mở vừa đóng.
b)A ∈ C , A vừa mở vừa đóng ⇒ X \ A vừa mở vừa đóng, do đó X \ A ∈ C .
c)A, B ∈ C ta cần chứng minh A ∪ B ∈ C . Thật vậy rõ ràng khi đó A ∩ B cũng
vừa đóng, vừa mở trong X.
Vậy C là đại số trên X.
Mệnh đề sau đây cho thấy, để kiểm tra một đại số, có thể kiểm tra một cách
tương đương điều kiện c) bởi điều kiện c)’ A, B ∈ C ⇒ A ∩ B ∈ C .
Mệnh đề 1.1.3. C là đại số trên X khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:
a) X ∈ C .
b) Nếu A ∈ C thì CAA ∈ C .
c) Nếu A, B ∈ C thì A ∩ B ∈ C .
Chứng minh. Giả sử C - đại số, theo c), ta có:

A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C .
Xét:
A ∩ B = A ∩ B = A ∪ B.
Vì A ∈ C , B ∈ C nên A ∈ C , B ∈ C , do đó A ∪ B ∈ C .
10


Theo điều kiện b) ta có A ∪ B ∈ C , tức là A ∩ B ∈ C .
Vậy c) suy ra c)’. Ngược lại, tương tự ta cũng có c)’ suy ra c) và ta có điều phải
chứng minh.
Nhận xét 1.1.4. a) Nếu C là một đại số thì C chứa X và đóng kín đối với các
phép toán hữu hạn về tập hợp( phép hợp và giao hữu hạn, phép lấy hiệu, hiệu
đối xứng).
Thật vậy:
i) Nếu A ∈ C thì X \ A ∈ C .
ii) Nếu A, B ∈ C thì A ∪ B; A ∩ B ∈ C . Do A\ B = A ∩ B nên A\ B ∈ C .
iii) A

B = ( A\ B) ∪ ( B\ A) ∈ C .

b) Nếu { An }n≥1 ⊂ C là dãy các tập tùy ý đại số thì tồn tại { Bn } ⊂ C sao cho
Bn ⊂ An (∀n ≥ 1) và
∞

∞

Bn ; Bi ∩ Bj = ∅.

An =
n =1

n =1

Thật vậy, ta xây dựng họ { Bn } như sau.
Đặt
B1 = A1 ∈ C
B2 = A2 \ A1 ∈ C
B3 = A3 \( A1 ∪ A2 ) ∈ C

···
n −1

Bn = An \

Ak ∈ C .
k =1

11


Khi đó { Bn }n≥1 ⊂ C .
∞

Theo cách xây dựng ta có Bn ⊂ An ⇒
Ngược lại, lấy x ∈

∞
n =1

n =1

Bn ⊂

An (cần chứng minh x ∈

∞

An .

n =1
∞

Bn ).

n =1

Thật vậy, chúng ta chọn n0 là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho:
x ∈ A n0 , x ∈
/ Ak , ∀k < n0 . Khi đó ta có
n0 −1

Bn0 = An0 \

Ak
k =1
∞

⇒ x ∈ Bn0 ⊂
n =1
∞

∞

An ⊂

⇒
n =1

Vậy

∞
n =1

An =

∞
n =1

Bn
Bn

n =1

Bn .

Ta chứng minh Bi ∩ Bj = ∅. Thật vậy:
Ta có thể coi i < j. Khi đó:
Bi = Ai \( A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ Ai−1 )
Bj = A j \( A1 ∪ A2 ∪

···

∪ A j −1 )

có phần tử Ai

Vậy Bi ∩ Bj = ∅(∀i = j).
Mệnh đề sau là kết quả quan trọng trong việc chứng minh sự tồn tại của đại
số sinh bởi một họ các tập hợp không nhất thiết là một đại số.
Mệnh đề 1.1.5. Giao của một họ tùy ý các đại số các tập con của X là một đại số các
tập con của X. Đặc biệt cho A là họ các tập con của X, bao giờ cũng tồn tại một đại
số các tập con của X chứa A, chẳng hạn đại số P ( X ) tất cả các tập con của X. Kí
12


hiệu C(A) là giao của tất cả các đại số các tập con của X chứa A,khi đó C(A) là một
đại số gọi là đại số các tập con của X sinh bởi A.
Chứng minh. Thật vậy, lấy {Ci }i∈ I là họ các đại số của X và đặt C =

i∈ I

Ci . Khi

đó
A∈

Ci ⇒ A ∈ Ci ∀i ⇒ CA ∈ Ci ∀i ⇒ CA ∈

Ci .

Từ đó suy ra Ci là đại số trên X.
Bây giờ ta đặt C(A) =
i∈ I

Ci , Ci - đại số chứa A. Khi đó rõ ràng C(A) là đại số

nhỏ nhất chứa A cần tìm.
Chúng ta xét một ví dụ về đại số sinh bởi họ các tập hợp như sau.
Ví dụ 1.1.6. Xét X = { a; b; c} và A = { a}. Khi đó

C(A) = { a}; {b; c}; ∅; X .

1.1.2

Đại số các gian trong Rk

Trong mục này, chúng tôi trình bày một đại số quen thuộc trong Rk . Đây
là đại số quan trọng trong việc xây dựng độ đo Lebesgue sau này.
Chúng ta dùng kí hiệu Rk bởi
Rk = R × R × · · · × R

= { x | x = ( x1 , x2 , · · · , xk )}.
Trước chúng ta xét tập J các loại khoảng trong R như sau:
J = [ a; b]; ( a; b); ( a; b]; [ a; b); (−∞; +∞); (−∞; a); (−∞; a]; (b; +∞); [b; +∞); ∅) ,
13


Đặt J k = {

⊂ Rk |

= I1 × I2 × · · · × Ik ; Ij ∈ J, j = 1, k}.

Ví dụ 1.1.7. Trong R2 ta xét J2 = { I1 × I2 , I1 , I2 ∈ J }.
Chúng ta đặt C = { A ⊂ Rk sao cho: A biểu diễn được dưới dạng hợp hữu hạn
các tập

j

∈ Jk.

j

∩

i

= ∅}.Chúng ta kí hiệu C = C ( J k ) là đại số sinh bởi

các gian trong Rk . Mệnh đề sau cho ta thấy C là một đại số trên Rk .
Mệnh đề 1.1.8. C là một đại số trong Rk . Hơn nữa C = C( J k ) đại số nhỏ nhất sinh
bởi J k .
Chứng minh. Xem tài liệu [1].

1.1.3

σ −đại số tập hợp

Trong mục trước chúng ta nói tới khái niệm đại số tập hợp. Có thể nói đại
số tập hợp đóng kín đối với hữu hạn các phép toán về tập hợp. Trong mục

này chúng ta sẽ nghiên cứu một lớp hẹp hơn đối với đại số tập hợp đó là σ−
đại số tập hợp, ở đó chúng đóng kín đối với vô hạn (đếm được) các phép toán
về tập hợp.
Định nghĩa 1.1.9. Cho X là một tập tùy ý khác rỗng, F là họ các tập con của
X được gọi là một σ - đại số trên X nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
a) X ∈ F .
b) Nếu A ∈ F thì CA ∈ F .
c) Nếu A1 , · · · , An , · · · ∈ F thì

∞
n =1

An ∈ F .
14


Tương tự như trường hợp đại số tập hợp, để chỉ ra F là σ - đại số ta có mệnh
đề sau.
Mệnh đề 1.1.10. F là một σ - đại số trên X khi và chỉ khi F thỏa mãn các điều kiện
sau:
a) X ∈ F .
b) Nếu A ∈ F thì CA ∈ F .
c) Nếu { An }n≥1 ⊂ F thì

∞
n =1

An ∈ F .

Chứng minh. Xem tài liệu [1].

Ta có nhận xét quan trọng sau.
Nhận xét 1.1.11. a) F là một σ - đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu F
đóng kín đối với vô hạn đếm được các phép toán về tập hợp.
b) Một σ- đại số các tập con của X cũng là một đại số. Tuy nhiên ngược lại
không đúng.
Ví dụ 1.1.12. Cho X = ∅, F = P( X ) - họ mọi tập con của X hoặc F = { X, ∅}.
Khi đó F là σ đại số trên X.

15


1.2
1.2.1

Độ đo trên đại số các tập hợp
Hàm tập hợp

Định nghĩa 1.2.1. Cho X là tập tùy ý khác rỗng, C là họ các tập con nào đó
của X. Hàm:
µ : C → R = R ∪ {−∞; +∞}
A → µ( A)
được gọi là hàm tập hợp.
Chú ý 1.2.2. i) Hàm tập hợp µ được gọi là có tính chất cộng tính nếu ∀ A, B ∈ C
sao cho A ∪ B ∈ C , A ∩ B = ∅ thì µ( A ∪ B) = µ( A) + µ( B).
ii) Hàm µ được gọi là có tính chất σ - cộng tính nếu Ai ∩ A j = ∅, i = j và
∞
n =1

An ∈ C thì ta có
∞

∞

An

µ

=

∑ µ ( A n ).

n =1

n =1

iii) Hàm µ được gọi là hữu hạn cộng tính nếu
A 1 , A 2 , · · · , A n ∈ C , A i ∩ A j = ∅, i = j
thì µ

n
k =1

Ak

n

= ∑ µ ( A k ).
k =1

Vậy nếu µ cộng tính thì µ là hữu hạn cộng tính và ngược lại.

iv) Nếu µ là σ cộng tính, µ(∅) = 0 thì µ là hữu hạn cộng tính. Tuy nhiên điều
ngược lại là không đúng.

16


1.2.2

Độ đo trên đại số tập hợp

Định nghĩa 1.2.3. Cho hàm tập hợp µ xác định trên đại số C các tập con của
X và được gọi là một độ đo trong X nếu µ thỏa mãn các điều kiện sau:
a) µ( A) ≥ 0, ∀ A ∈ C .
b) µ(∅) = 0.
c) µ có tính chất σ cộng tính.
Chú ý 1.2.4. a) Nếu µ( X ) < +∞ thì µ được gọi là độ đo hữu hạn.
b)Nếu tồn tại { Xn }n≥1 ⊂ C sao cho

∞
n =1

Xn = X; µ( Xn ) < +∞, ∀n thì µ được

gọi là σ - hữu hạn.
Chúng ta đi đến một ví dụ đơn giản về độ đo như sau.
Ví dụ 1.2.5. Độ đo đếm
Cho X là một tập vô hạn, và P ( X ) là σ - đại số tất cả các tập con của X. Khi
đó hàm µ xác định như sau là một đô đo trên P ( X ), gọi là độ đo đếm:







0 nếu A = ∅.





µ( A) = n nếu A có n phần tử.









+∞ nếu A - vô hạn phần tử.
Khi đó µ là độ đo trên X.
Ví dụ 1.2.6. Độ đo Dirac

17


X = ∅, C là đại số bất kì trên X, xét hàm tập hợp µ : C −→ R cho bởi






0 nếu x ∈
/ A.
µ( A) =




1 nếu x ∈ A.
Khi đó µ là một độ đo và được gọi là độ đo Dirac.

1.2.3

Một số tính chất cơ bản của độ đo

Trong mục này chúng tôi dành cho việc trình bày một số tính chất cơ bản
của độ đo.
Định lý 1.2.7. Cho µ là độ đo trên đại số C các tập con của X. Khi đó ta có:
i) Nếu A, B ∈ C , A ⊂ B thì µ( A) ≤ µ( B).
ii) Nếu A, B ∈ C , A ⊂ B, µ( A) < +∞ thì µ( B\ A) = µ( B) − µ( A).
iii) Nếu ∀{ An }n≥1 ⊂ C , A ∈ C và A ⊂

∞
n =1

∞

An thì µ( A) ≤ ∑ µ( An ).

iv) Nếu { An }n≥1 ⊂ C ; Ai ∩ A j = ∅, với mọi i = j và

∞
n =1

n =1

∞

A n ⊂ A ⇒ µ ( A ) ≥ ∑ µ ( A n ).
n =1

Ta có thể chứng minh tính chất i ), ii ) như sau:
Chứng minh. i )Vì A ⊂ B nên B = ( B\ A) ∪ A. Do A và B\ A là các tập rời nhau,
µ( B\ A) ≥ 0 và µ là cộng tính nên
µ ( B ) = µ ( B \ A ) + µ ( A ) ≥ µ ( A ).
ii ) Ta có µ( A) = µ( A\ B) + µ( B). Do µ( B) < +∞ nên chuyển vế ta được
µ ( A \ B ) = µ ( A ) − µ ( B ).

18


Mệnh đề 1.2.8. Giả sử µ là độ đo trên đại số C . Khi đó:
i) Nếu { An }n≥1 ⊂ C , µ( An ) = 0.∀n ≥ 1 thì µ

∞
n =1

An

= 0 với

∞
n =1

An

∈ C.

ii) Nếu A, B ∈ C , µ( A) = 0 thì µ( A ∪ B) = µ( B).
Chứng minh. Xem tài liệu [1]
Mệnh đề 1.2.9. Chúng ta có các khẳng định sau còn gọi là tính liên tục của độ đo
mà chúng ta cần dùng tới nhiều lần sau này.
Cho µ là độ đo trên đại số C . Khi đó:
i) Nếu ∀{ An }n≥1 ⊂ C ,

∞
n =1

An ∈ C sao cho A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · thì
∞

µ( lim An ) = µ
n→∞

ii) Nếu ∀{ An }n≥1 ⊂ C ,

∞
n =1

An
n =1

= lim µ( An )
n→∞

An ∈ C , µ( A1 ) < +∞ sao cho A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃

· · · ta đều có
∞

µ( lim An )) = µ
n→∞

An
n =1

= lim µ( An ).
n→∞

Chứng minh. Xem tài liệu [1]

1.3

Mở rộng độ đo

Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng một độ đo bất kì từ một đại số lên
trên một σ đại số chứa nó. Trước hết, chúng ta sẽ mở rộng độ đo từ một đại
số lên thành độ đo ngoài trên họ tất cả các tập con của X. Từ đó dùng các kết

quả của Caratheodory ta sẽ thu được kết quả như yêu cầu. Đầu tiên là khái
niệm độ đo ngoài được định nghĩa như sau.
19


1.3.1

Độ đo ngoài

Định nghĩa 1.3.1. Hàm tập hợp µ∗ xác định trên σ - đại số P (X ) tất cả các tập
con của X được gọi là một độ đo ngoài nếu µ∗ thỏa mãn các điều kiện:
a) µ∗ ( A) ≥ 0, ∀ A ∈ P( X ).
b) µ∗ (∅) = 0.
c) µ∗ có tính chất σ cộng tính dưới. Tức là ∀{ An } ⊂ P ( X ) (rời nhau) ta đều có:

µ

∗

∞

∞

An

≤

∑ µ ∗ ( A n ).

n =1

n =1

Rõ ràng, nếu µ∗ là độ đo ngoài thì với A ⊂ B ta suy ra µ∗ ( A) ≤ µ∗ ( B).
Kết quả sau đây cho thấy mỗi một độ đo ngoài đều cảm sinh một độ đo trên
một σ đại số.
Định lý 1.3.2. (Caratheodory 1)
Giả sử µ∗ là độ đo ngoài trên P ( X ). Đặt

L = { A ⊂ X |∀ E ⊂ X, ta có µ∗ ( E) = µ∗ ( E ∩ A) + µ∗ ( E\ A)}.
Khi đó ta có:
i) L là σ đại số trên X.
ii) µ = µ∗ |L là một độ đo, µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗ , A ∈ L
được gọi là µ∗ đo được.
Chứng minh. Xem tài liệu [1].

20


1.3.2

Mở rộng độ đo

Kết quả trong mục là việc mở rộng một độ đo từ đại số lên thành độ đo
ngoài, từ đó theo kết quả trên đây của Caratheodory, chúng ta thu được một
độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài.
Định lý 1.3.3. (Caratheodory 2)
Giả sử m là độ đo trên đại số C các tập con của X, khi đó ta đặt
∗

µ ( A) = in f

∞

∞

n =1

n =1

∑ m( An )|{ An }n≥1 ⊂ C , A ⊂

An .

Khi đó ta có:
i) µ∗ là độ đo ngoài trên X và µ∗ ( A) = m( A) với mọi A ∈ C .
ii) σ- đại số F (C) sinh bởi C đều µ∗ - đo được.
Chứng minh. ii ) σ- đại số F (c) sinh bởi C đều µ∗ đo được.
Để cho µ∗ đo được ta chỉ cần chứng minh µ∗ có tính chất σ - cộng tính dưới.
∞

Thật vậy. Vì µ∗ ( An ) = inf{ ∑ m( An,i )|{ An,i } ⊂ C}
i =1
∞

⇒ ∀ε > 0, f { An,i } ⊂ C : A ⊂

i =1

An,i .

Ta có
∞

ε

∑ m( An,i ) < µ∗ ( An ) + 2n .

i =1

21


⇒

∞
n =1

An ⊂

∞

∞

n =1 i =1

An,i .

⇒µ

∗

∞

∞

An

≤

∞

∑ ∑ m( An,i )

n =1 i =1

n =1

∞

≤

∑µ

∗

∞

( An ) +

n =1
∞

=

ε

∑ 2n

n =1

∑ µ∗ ( An ) + ε.

n =1

Trong lý thuyết độ đo, người ta thấy rằng không phải mọi tập con của một
tập đo được là đo được. Trường hợp riêng, không phải tập con của một tập có
độ đo không đều đo được (tất nhiên chúng cũng có độ đo không). Điều này
xuất phát khái niệm về độ đo đủ, ở đó khẳng định là đúng. Ta có khái niệm
về độ đo đủ như sau.
Định nghĩa 1.3.4. Độ đo µ được gọi là đủ nếu mọi tập con của một tập có độ
đo không đều đo được.
Tới đây điều chúng ta quan tâm đó là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài đã xây
dựng ở trên có là độ đo đủ hay không. Chúng ta có định lý sau cho câu trả lời
khẳng định.
Định lý 1.3.5. Ta có µ = µ∗ |L là độ đo đủ. Hơn nữa

∀ A ⊂ X nếu µ∗ ( A) = 0 thì A ∈ L.
Chứng minh. Thật vậy ∀ E ∈ P ( X ), ta có:
µ ∗ ( E ∩ A ) + µ ∗ ( E \ A ) = µ ∗ ( E \ A ) ≤ µ ∗ ( E ).

22


Ta chứng minh µ∗ là độ đo đủ.
Thật vậy, ∀ B ⊂ A, ta có: µ∗ ( B) ≤ µ∗ ( A) = 0.

⇒ µ ∗ ( B ) = 0 ⇒ B ∈ L.
Từ những kết quả trên đây ta được kết quả sau về mở rộng độ đo.
Định lý 1.3.6. Cho m là độ đo trên đại số C . Khi đó tồn tại độ đo µ trên σ - đại số L
sao cho L ⊃ F (C) ⊃ C và thỏa mãn: i) m = µ∗ |C = µ.
ii) Nếu độ đo m là hữu hạn thì µ là hữu hạn.
Nếu m là σ - hữu hạn thì µ là σ - hữu hạn.
iii) µ là độ đo đủ.
iv) A ∈ L khi và chỉ khi A = B ∪ N hoặc A = B\ N.
ở đó B ∈ F (C) − σ- đại số và N ⊂ E, E ∈ F (C) : µ( E) = 0.
Chứng minh. Xem tài liệu [1].

1.4

Độ đo trong Rk

Trong phần này chúng ta sẽ áp dụng kết quả về mở rộng độ đo trong
trường hợp tổng quát để xây dựng độ đo Lebesgue, độ đo quan trọng và là cơ
sở cho việc xây dựng tích phân Lebesgue sau này.

23


1.4.1

Độ đo Lebesgue trong R

Chúng ta sẽ xây dựng một độ đo m trên đại số C( J ) các gian trong R. Ở
đó độ đo m trên các đoạn và khoảng trong R chính là độ dài của chúng thông
thường đã biết.
Thật vậy, trước hết ta gọi I là khoảng trong J có đầu mút trái a và đầu mút
phải b, ta gọi độ dài của I là






0





m( I ) = b − a









+∞

Tiếp theo, mỗi

⊂ C( J ),

=

n
i =1

nếu I = ∅.
nếu a, b ∈ R.
nếu a hoặc b vô hạn.

Ii , Ii ∩ Ij = ∅, i = j.

Đặt
n

m( ) =

∑ m( Ii )

(1)

i =1

Có thể chứng minh (chẳng hạn xem [1]), công thức (1) xác định một độ đo
trên C( J ). Từ đó áp dụng lý thuyết mở rộng độ đo tổng quát ta thu được định
nghĩa sau.
Định nghĩa 1.4.1. Áp dụng định lý mở rộng độ đo của Caratheodory thác

triển độ đo m trên đại số C( J ) được độ đo ngoài µ∗ trên P ⊂ R, µ = µ∗ |L được
gọi là độ đo Lebesgue trên R.
Chú ý 1.4.2. Từ định nghĩa của độ đo Lebesgue chúng ta thấy σ đại số Borel
B(R) ⊂ L ở đó L − σ đại số các tập đo được Lebesgue.
24


1.4.2

Độ đo trong Rk

Tương tự như trong mục trước, chúng ta thu được kết quả sau về mở rộng
độ đo trong Rk .
Trong phần này ta sẽ suy rộng các kết quả về độ đo trong R cho độ đo trong
Rk , k ≥ 1.
Gọi C = C( J k ) là đại số sinh bởi các họ J k các gian trong Rk . nếu

∈ Jk,

=

I1 × · · · × Ik thì ta đặt
m( ) = m( I1 ) × · · · × m( Ik ).
Với mỗi tập A ∈ C( J k ) thì A có thể viết dưới dạng: A =

n
i =1

i = j thì

i

∩

j

i,

trong đó nếu

= ∅. Đặt
n

m( A) =

∑ m(

i ).

(1)

i =1

Khi đó số m( A) không phụ thuộc vào cách biểu diễn A thành hợp hữu hạn
các gian rời nhau và ta có các khẳng định sau:
Định lý 1.4.3. i) Hàm tập hợp m xác định bởi công thức (1) là một độ đo trên C( J k ).
ii) Độ đo m có thể mở rộng tới độ đo đủ µ trên σ - đại số L ⊃ F (C) ⊃ C . Mỗi tập
A ∈ L được gọi là tập đo được Lebesgue.
iii) Tập A ⊂ Rk đo được Lebesgue khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại tập mở G ⊃ A
sao cho µ∗ ( G \ A) < ε.

iv) Tập A ⊂ Rk đo được Lebesgue khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại tập đóng F ⊂ A
sao cho µ∗ ( A\ F ) < ε.
25