đề thi - d.a chuyên Lam Son - đề 17

Đề thi tuyển sinh vào trờng lam sơn(23)
Môn: Toán Thời gian: 150 phút
Câu 1: ( 2 điểm) Tìm
x
biết:

( )
2
2006
2
4)1(3
2
413
3
223
3
223

+=

+
+
x
x
xxxxxxxx
Câu 2: (3 điểm) Cho
0
>
yx
CMR:
3

)1)((
4
2

+
+
yyx
x
Câu 3: (2 điểm) Giải hệ phơng trình trên tập số nguyên tố






+=
=
=
43
12
2
2
2
2
tz
ty
tx
Câu 4: ( 3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

22

22
)12(
3812
)(
+
++
=
x
xx
xf
Câu 5: (2 điểm) Cho
ABC

, O là điểm

miền trong của
ABC

, các tia
OA, OB, OC lần lợt cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự A
1
, B
1
, C
1
, (C) là đ-
ờng tròn nội tiếp tiếp xúc 3 cạnh của
ABC

tại M, N, P. Chứng minh rằng:

a)
1
1
1
1
1
1
1
=++
CC
OC
BB
OB
AA
OA
b)
4
ABC
MNP
S
S



Đáp án Đề thi vào trờng lam sơn
Môn: Toán Thời gian: 150 phút
Câu 1
(2 điểm)
Đặt:
3

223
3
223
2
4)1(3
2
4)1(3

+
+
=
xxxxxxxx
a

abxxa 33
33
+=
(2)
Trong đó:
3
223
3
223
2
4)1(3
2
4)1(3
+
=
xxxxxxxx

b

0,5

1
4
)4()1()3(
3
22223
=

=
xxxx
0,25

)03)((
033)2(
22
33
=++
=+
xaxaxa
axxa




=++
=

03
22
xaxa
xa
Với:
xaxaxax
x
a
=++




>
0303
2
0
222
0,25

2
80251
2
02006
2
2006
2
+
=

=





+=

x
x
xx
x
xx
0,5
Vậy phơng trình (1) có một nghiệm
2
80251
+
=
x
0,25
C©u 2
(2 ®iÓm)
¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 4 sè d¬ng sau ®©y:

2
)1)((

8
;1;1;22
+−
++−
yyx
yyyx

4
2
2
2
)1)((
8
)1)((24
)1)((
8
)1(222
+−
+−≥
+−
+++−⇒
yyx
yyx
yyx
yyx


4
)1)((
4

1
2
≥
+−
++⇔
yyx
x
0,5
0,5

3
)1)((
4
2
≥
+−
+⇔
yyx
x
0,5
DÊu = x¶y ra
1;2
)1)((
8
)1(222
2
==⇒
+−
=+=−⇔
yx

yyx
yyx
0,5
Câu 3
(2 điểm)
Giải hệ phơng trình:
* Xét t = 7k (k

Z)
vì t là số nguyên tố t = 7








=
=
=
=

7
151
97
47
t
z
y

x
(thoả mãn)
* Xét t = 7k 1 (k

Z)
t
2


1 (mod 7)
z

0 (mod 7) z = 7 t = 1



=
=

1
1
y
x
(Trờng hợp này không thoả mãn)
* Xét t = 7k 2 (k

Z)
t
2

4 (mod 7)
y

0 (mod 7) y = 7 t = 2



=
=

16
2
z
x
(Trờng hợp này không thoả mãn)
* Xét t = 7k 3 (k

Z)
t
2


2 (mod 7)
x

0 (mod 7)

=
=
=
=

31
17
3
7
z
y
t
x
(thoả mãn)
Vậy hệ phơng trình trên có 2 nghiệm:

)3,31,17,7()7,151,97,47(),,,(
==
tzyx
0,5
0,5
0,5
0,5
C©u 4
(2 ®iÓm)
Tõ:

22
24
)12(
3812
)(
+
++
=
x
xx
xf
§Æt :
22
,2
ππ
<<
−
=
xxtgu
0,5

22
24
)1(
343
)()(
utg
utgutg
ugxf
+

++
==⇒

2
2sin
3
)cos(sin
sin3cossin4cos3
2
222
4224
u
uu
uuuu
−=
+
++
=
0,75
Do :
3)(
2
5
12sin0
2
≤≤⇒≤≤
ugu

003)(
=⇒=⇔=⇒

xuug

2
1
42
5
)(
=⇒=⇔=
xuug
π
0,5
⇒
)(
0
xfMax
x
=
= 3 ;
2
5
)(
2
1
=
=
xfMin
x
0,25
C©u 5
(2 ®iÓm)

C©u a: §Æt:
ABC
SS
∆
=
A

OBC
SS
∆
=
1
C
1
B
1

OAC
SS
∆
=
2
O

OAB
SS
∆
=
3
B

321
SSSS
++=⇒
A
1
C
0,25
Ta cã:
S
S
CC
OC
S
S
BB
OB
S
S
AA
OA
3
1
12
1
11
1
1
;;
===

1
321321
1
1
1
1
1
1
=
++
=++=++⇒
S
SSS
S
S
S
S
S
S
CC
OC
BB
OB
AA
OA
=>®pcm
0,25
C©u b: §Æt:

ANP
SS
∆
=
1
A

BMP
SS
∆
=
2
S
1
b

CMN
SS
∆
=
3
P N
Ta cÇn chøng minh: c S
3
C

4
3
321
≥

++
S
SSS
B S
2
a M

4
3
)()()(
222
≥
−
+
−
+
−
⇔
ab
cp
ac
bp
bc
ap
(1)
0,25
Theo bÊt ®¼ng thøc bunhiac«pski ta cã: 0,5