Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm

Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học
thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm : \ Luận văn
ThS. Giáo dục học: 60 14 05 \ Nguyễn Thị Mai Hoa ; Nghd. :
TS. Nguyễn Thành Văn
1. Lí do chọn đề tài
Nhân loại đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của con
người được xem là yếu tố quyết định sự phát triển của xã hội. Trong xã hội
tương lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những con người có trí tuệ, thông
minh và sáng tạo. Muốn có được điều này, ngay từ bây giờ nhà trường phổ
thông phải trang bị đầy đủ cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại,
phù hợp với thực tiễn Việt Nam và rèn luyện cho họ năng lực tư duy sáng
tạo. Thế nhưng, các công trình nghiên cứu về thực trạng giáo dục hiện nay
cho thấy chất lượng nắm vững kiến thức của học sinh không cao, đặc biệt
việc phát huy tính tích cực của học sinh, năng lực giải quyết vấn đề và năng
lực tư duy sáng tạo không được chú ý rèn luyện đúng mức. Từ thực tế đó,
nhiệm vụ cấp thiết đặt ra là phải đổi mới phương pháp dạy học, sử dụng các
phương pháp dạy học tích cực để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy
sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.
Trong chương trình toán trung học phổ thông, đạo hàm là một trong
các công cụ hiện đại mà sử dụng nó có thể giải nhiều dạng bài tập khác
nhau trong khi việc sử dụng các phương pháp khác có thể gặp khó khăn.
Vì vậy, cần phải nghiên cứu một cách có hệ thống các ứng dụng của
đạo hàm vào việc giải các bài toán, trên cơ sở đó rèn luyện tư duy logic, tư
duy sáng tạo cho học sinh. Do đó, việc nghiên cứu đề tài: “ Rèn luyện tư
duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về
ứng dụng của đạo hàm” là rất cần thiết.
1


2. Lịch sử nghiên cứu
Việc nghiên cứu về vấn đề ứng dụng của đạo hàm từ trước đến nay

đã có nhiều công trình nghiên cứu và lý thuyết đạo hàm đã hoàn thiện.
Các tài liệu tham khảo về ứng dụng của đạo hàm ở Việt Nam cũng có
rất nhiều, tuy nhiên chưa có nhiều cuốn sách đề cập đến ứng dụng của đạo
hàm một cách có hệ thống.
3. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu các ứng dụng của đạo hàm vào toán phổ thông.
- Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về ứng dụng của đạo hàm
và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó.
- Trên cơ sở đó rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông
trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm.
4. Vấn đề nghiên cứu
- Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là thế nào?
- Sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo hàm như thế nào để rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học?
5. Giả thuyết khoa học
Thông qua hệ thống các bài tập về ứng dụng của đạo hàm giúp cho
học sinh xây dựng khả năng tự học, tự nghiên cứu và lòng say mê toán
học, qua đó rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài
tập về ứng dụng của đạo hàm, từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng tiến
trình luận giải, làm cơ sở cho việc tìm kiếm lời giải một cách có hiệu quả.
- Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm
và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó.

2


- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của hệ thống bài tập về
ứng dụng của đạo hàm đã được phân loại và xây dựng để phát triển năng

lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình tìm kiếm lời giải. Đối
chiếu kết quả thực nghiệm với kết quả điều tra ban đầu, rút ra kết luận về
khả năng áp dụng hệ thống bài tập đã đề xuất.
7. Phương pháp nghiên cứu
7.1. Nghiên cứu lí luận
- Nghiên cứu lí luận về tư duy, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học
sinh trung học phổ thông.
- Nghiên cứu tác dụng và cách sử dụng các bài tập về ứng dụng của
đạo hàm trong dạy học toán học.
7.2. Điều tra, quan sát
- Dự giờ, tổng kết kinh nghiệm việc dạy chủ đề này.
- Điều tra thực trạng nhận thức và năng lực tư duy sáng tạo của học
sinh phổ thông trung học trong quá trình giải các bài tập về ứng dụng của
đạo hàm.
- Tình hình sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo hàm trong dạy
học toán học của giáo viên trung học phổ thông hiện nay.
7.3. Thử nghiệm sư phạm
- Dạy thử nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của cách phân loại
và xây dưng hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm và phương pháp
chung của mỗi loại đó.
- Dạy thử nghiệm sư phạm một số nội dung trong luận văn tại một số
lớp ở trường THPT nhằm bước đầu đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả
của đề tài.
8. Những đóng góp của luận văn
3


- Xây dựng và phân loại hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm
nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông.
- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả.

- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích thiết thực
cho đồng nghiệp, sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham
khảo, phụ lục, luận văn được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung
học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tư duy
1.1.1. Tư duy là gì?
Theo M.N. Sacđacôp: "Tư duy là sự nhận thức khái quát gián tiếp
các sự vật và hiện tượng của hiện thực trong những dấu hiệu, những thuộc
tính chung và bản chất của chúng. Tư duy cũng là sự nhận thức sáng tạo
những sự vật, hiện tượng mới, riêng rẽ của hiện thực trên cơ sở những kiến
thức khái quát hóa đã thu nhận được.
Còn theo tác giả Nguyễn Xuân Trường (Đại học Sư Phạm Hà Nội)
thì "tư duy là hành động trí tuệ nhằm thu thập và xử lí thông tin về thế giới
quanh ta và thế giới trong ta. Chúng ta tư duy để hiểu, làm chủ tự nhiên, xã
hội và chính mình".
1.1.2. Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy.
Lý luận dạy học hiện đại đặc biệt chú trọng đến việc phát triển tư duy
cho học sinh thông qua việc điều khiển tối ưu quá trình dạy học, còn các
thao tác tư duy cơ bản là công cụ của nhận thức, đáng tiếc rằng điều này

cho đến nay vẫn chưa được thực hiện rộng rãi và có hiệu quả. Vẫn biết sự
tích lũy kiến thức trong quá trình dạy học đóng vai trò không nhỏ, song
không phải quyết định hoàn toàn. Con người có thể quên đi nhiều sự việc
cụ thể mà dựa vào đó những nét tính cách của anh ta được hoàn thiện.
Nhưng nếu những nét tính cách này đạt đến mức cao thì con người có thể
giải quyết được mọi vấn đề phức tạp nhất, điều đó nghĩa là anh ta đã đạt
đến một trình độ tư duy cao.
1.1.3. Những đặc điểm của tư duy.
- Quá trình tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ là phương tiện:
Giữa tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ không thể chia cắt, tư duy và
5


ngôn ngữ phát triển trong sự thống nhất với nhau. Tư duy dựa vào ngôn
ngữ nói chung và khái niệm nói riêng. Mỗi khái niệm lại được biểu thị
bằng một hay một tập hợp từ.
+ Tư duy phản ánh khái quát:
+ Tư duy phản ánh gián tiếp:
+ Tư duy không tách rời quá trình nhận thức cảm tính:
1.1.4. Những phẩm chất của tư duy
1.1.5. Các thao tác tư duy
Việc hình thành và vận dụng các khái niệm, cũng như việc thiết lập
các mối quan hệ giữa chúng được thực hiện trong quá trình sử dụng các
thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu
tượng hóa, cụ thể hóa kết hợp với các phương pháp hình thành phán đoán
mới là quy nạp, diễn dịch, suy diễn và loại suy.
1.1.6. Vấn đề phát triển năng lực tư duy
- Việc phát triển tư duy cho học sinh trước hết là giúp học sinh thông
hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy móc, biết cách vận dụng kiến
thức vào bài tập, từ đó mà kiến thức học sinh thu nhận được trở nên vững

chắc và sinh động. Chỉ thực sự lĩnh hội được tri thức khi tư duy tích cực
của bản thân học sinh được phát triển và nhờ sự hướng dẫn của giáo viên
các em biết phân tích, khái quát tài liệu có nội dung cụ thể và rút ra những
kết luận cần thiết.
- Sự phát triển tư duy diễn ra trong quá trình tiếp thu kiến thức và
vận dụng tri thức, khi tư duy phát triển sẽ tạo ra một kĩ năng và thói quen
làm việc có suy nghĩ, có phương pháp, chuẩn bị tiềm lực lâu dài cho học
sinh trong hoạt động sáng tạo sau này.
- Muốn phát triển năng lực tư duy, phải xây dựng nội dung dạy học
sao cho nó không phải "thích nghi" với trình độ phát triển có sẵn của học
6


sinh mà đòi hỏi phải có trình độ phát triển cao hơn, có phương thức hoạt
động trí tuệ phức tạp hơn. Nếu học sinh thực sự nắm được nội dung đó, thì
đây là chỉ tiêu rõ nhất về trình độ phát triển năng lực tư duy của học sinh.
1.1.7. Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển
a) Có khả năng tự lực chuyển tải tri thức và kĩ năng sang một tình
huống mới. Trong quá trình học tập, học sinh đều phải giải quyết những
vấn đề đòi hỏi phải liên tưởng đến những kiến thức đã học trước đó. Nếu
học sinh độc lập chuyển tải tri thức vào tình huống mới thì chứng tỏ đã có
biểu hiện tư duy phát triển.
b) Tái hiện kiến thức và thiết lập những mối quan hệ bản chất một
cách nhanh chóng.
c) Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán.
d) Có năng lực áp dụng kiến thức để giải quyết tốt bài toán thực tế:
Định hướng nhanh, biết phân tích suy đoán và vận dụng các thao tác tư
duy để tìm cách tối ưu và tổ chức thực hiện có hiệu quả.
1.2. Tư duy toán học
1.2.1. Tư duy khoa học tự nhiên

1.2.2. Tư duy toán học
1.3. Tư duy sáng tạo
1.3.1. Tư duy sáng tạo là gì?
Tư duy sáng tạo là chủ đề của một lĩnh vực nghiên cứu còn mới. Tư
duy sáng tạo nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt
khả năng sáng tạo, và để đào sâu khả năng tư duy của một cá nhân hay một
tập thể cộng đồng làm việc chung về một vấn đề hay một lĩnh vực.
1.3.2. Quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của đạo hàm và việc rèn luyện
tư duy sáng tạo cho học sinh.
7


CHƯƠNG 2
RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP
VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
2.1. Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
2.1.2. Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng
2.1.3. Các quy tắc tính đạo hàm
2.1.4. Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
2.1.5 Đạo hàm cấp cao
2.2. Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh đẳng thức
Ta biết rằng hàm số hằng y = c có đạo hàm trên R và y ' = 0 . Đảo lại, ta
có định lí sau:
Định lí 1. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm trong khoảng ( a, b ) và f ' ( x) = 0
" x Î (a, b) thì hàm số y = f (x) không đổi trong khoảng ( a, b ).

Từ đó, sử dụng đạo hàm để chứng minh đẳng thức ta làm như sau:
Giả sử cần chứng minh hàm số y = f (x) là hàm hằng trên tập D, D có thể là

một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng.
Bước 1: Tính f ' ( x) , rồi chứng minh f ' ( x) = 0,

"x Î D.

Bước 2: Chọn x0 Î D, suy ra f ( x) = f ( x0 ) = c ( c là hằng số).
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với mọi x ta đều có:
cos2( x - a ) + sin2( x - b ) – 2cos( x - a )sin( x - b )sin( a - b ) = cos2( a - b ).
Ví dụ 2. Tìm m để biểu thức:
A = cos 2 x – m sin2 x + 3cos2 x + 1 không phụ thuộc x .
Ví dụ 3. Tìm a , b để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a (cos x –1) + b2 – cos( ax + b2 ) = –1.

8


Bài tập 1. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x
A = sin2( x –

2p
3

) + sin2 x + sin2( x + 2p ).
3

Bài tập 2. Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
sin m x + cos m x = 1

Bài tập 3. Tìm a , b để phương trình sau nghiệm đúng với mọi x :
2

2
a) a cos x + b[cos ( x +

2p
2p
3
) + cos 2 ( x - )] = .
3
3
2

b) 2 a sin x – a sin 3 x + b sin 5 x = sin5 x .
ax 2 + bx + 1
c) 2
= 1.
x + bx + a

2.3. Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức
Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức
A

³

B, trên D, với D là một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng.

Cách 1:
Xét f là một hàm số của một đối số nào đó, f xác định trên D và thỏa
mãn f (a ) = A, f (b ) = B, với

a , b ÎD

và f đơn điệu trên D.

Nếu

a £b

, chứng minh f (x) nghịch biến trên D.

Nếu

a ³b

, chứng minh f (x) đồng biến trên D.

Cách 2:
Xét hiệu f = A – B trên D và coi đây là hàm số của một đối số nào đó.
Nếu f nghịch biến trên D, cần chỉ ra tồn tại

a , b Î D, a £ b

: f (a ) = A–B và

f (b ) = 0 Þ A ³ B.

Nếu f đồng biến trên D, cần chỉ ra tồn tại

a , b Î D, a ³ b

: f (a ) = A–B và

f (b ) = 0 Þ A ³ B.

Cách 2 thực chất là một trường hợp riêng của cách 1.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu 0 < x thì ta có:
9

sin x < x .


Ví dụ 5. Chứng minh rằng nếu 0 < x thì ta có
và

x2
12

< cos x <

x-

x3
6

< sin x

x2 x4
1– + .
2 24

Ví dụ 6. Chứng minh rằng với 0 < x và với mọi n Î N * ta đều có:

sin x < x –

x3 x5 x7
x 4 n -3 (*)
+ - + ........ +
.
3! 5! 7!
(4n - 3)!

Ví dụ 7. Chứng minh rằng:

ln(1+ 1 + x 2 ) <

1
x

+ ln x ,

" x >0.

Ví dụ 8. Cho a ; b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng:
2

2

1ö æ
1ö
25
æ
ça + ÷ + çb + ÷ ³ .

aø è
bø
2
è

Ví dụ 9. Cho các số thực dương a ; b ; c ; d thỏa mãn:
a £ b £ c £ d và b . c £ a . d .

Chứng minh rằng: a b .b c .c d .d a ³ a d .b a .c b .d c .
Ví dụ 10. Cho a ; b ; c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1
Chứng minh rằng:
c
a
b
3 3
.
2 ³
2 + 2
2 + 2
a +b
b +c
c +a
2
2

Ví dụ 11. Cho x

³

y ³ z > 0; m ³ n > 0.

Chứng minh rằng:
xm yn
zn

y m z n z m xn
+ n + n ³ xm + ym + zm .
x
y

Ví dụ 12. Chứng minh rằng với a ; b > 0 thì:
a

a a + ba æ a + b ö
éa £ 0
³ç
÷ ,nếu ê
2
è 2 ø
ëa ³ 1
a a + ba æ a + b ö
£ç
÷
2
è 2 ø

a

,nếu 0 <

a

< 1.

10


Nhận xét: Dựa vào bất đẳng thức vừa được chứng minh ở ví dụ 12 ta có
thể xây dựng những bất đẳng thức mới như sau:
1. Với a , b > 0; với n Î N * ta có:
n

1
a +n b n a+b
£
(Xét a = Î (0;1] ).
2
2
n

2. Với a , b , c > 0 thì:
a a + ba + ca æ a + b + c ö
³ç
÷
3
3
è
ø

a

a a + ba + ca æ a + b + c ö
£ç
÷
3
3
è
ø

a

,nếu

éa £ 0
êa ³ 1 .
ë

,nếu 0 < a <1.

3. Với ai > 0 ( i : 1; n , n Î N * ) thì:
æ n
ç å ai
a
n
ai ç i =1
³ç n
å
i =1 n
ç
è

a

ö
÷
÷
÷ , nếu
÷
ø

æ n
ç å ai
n
aia
ç i =1
£ç n
å
i =1 n
ç
è

éa £ 0
êa ³ 1 .
ë

a

ö
÷
÷

÷ , nếu 0 < a <1.
÷
ø

Bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi x , ta có: e x > 1+ x .
Bài tập 2. Cho 0 < x <1; 0 < y < 1 và x
Chứng minh rằng:

¹ y.

1 æ
y
x ö
çç ln
÷>
- ln
y - x è 1- y
1 - x ÷ø

4.

æ 2a + b ö
÷
Bài tập 3. Cho a ; b > 0; a ¹ b . Chứng minh rằng: ç
è a + 2b ø

a + 2b

æaö
>ç ÷

èbø

Bài tập 4. Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của một tam giác tù bất kỳ.
Tìm số k lớn nhất sao cho: a 2 + b 2 + c 2 ³ k (a + b + c) 2 .
Bài tập 5. Cho a > 0. Tìm tất cả các c Î R sao cho:
11

b

.


(c - 1) x a +1 £ (cy - x) y a " x , y > 0.

2.4.Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số
Cho hàm số y = f (x) liên tục trên tập D, với D có thể là một đoạn, khoảng,
nửa đoạn hay nửa khoảng.
Giả sử cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên
tập D, ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f (x) trên tập D, dựa vào bảng
biến thiên để kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = f (x) trên

tập D.

Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = x + 2 - x2 .

Ví dụ 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x 4 - 4 x 3 + 8 x .
Ví dụ 15. Với a , b , c thỏa mãn điều kiện 1 £ a £ b £ c

£

4.

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b
a

c
b

4
c

T = ( a –1)2 + ( –1)2 + ( –1)2 +( –1)2
Ví dụ 16. Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = (1+cos2A)(1+cos2B)(1+cos2C).
Ví dụ 17. Cho a , b , c

³

0; ab + bc + ca = 1 (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

số:
P=

1 + ab 1 + bc 1 + ca
+
+

.
a+b b+c c+a

Bài tập 1. Cho x , y là hai số thực thỏa mãn x 2 + y 2 = 2 .
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = 2( x 3 + y 3 ) - 3xy .

12


Bài tập 2. Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
xy + yz + zx = 1 . Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x 2 + uy 2 + vz 2 bằng 2 t , trong đó t là nghiệm của phương trình:
2 x 3 + (u + v + 1) x 2 + uv = 0 trong khoảng (0;

uv ).

Bài tập 3. Cho x , y là các số thực thay đổi.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( x - 1) 2 + y 2 + (1 + x) 2 + y 2 + y - 2 .
2.5. Ứng dụng đạo hàm vào giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ 18. Giải phương trình:
æ1ö
log3( x 2 - 3x + 2 +2) + ç ÷
è5ø

Ví dụ 19. Giải phương trình:

3 x - x 2 -1

= 2.

(1)

log2 [ 3log2(3 x – 1) – 1] = x .

Ví dụ 20. Giải và biện luận theo tham số a phương trình:
2

2 x .log2( x 2 + 2) = 4

x+ a

.[log2(1+ x + a ) + 1] .

Ví dụ 21. Giải bất phương trình:

2.2 x + 3.3 x > 6 x - 1 .

Ví dụ 22. Giải bất phương trình:
4 2 x - 1 ( x 2 - x + 1) > x 3 - 6 x 2 + 15 x - 14 .
Ví dụ 23. Giải bất phương trình:
x 2 - 2 x + 3 - x 2 - 6 x + 11

> 3 - x - x -1 .
13


Ví dụ 24. Tìm a , b để bất phương trình sau nghiệm đúng

" x

cos 4 x + a cos 2 x + b sin 2 x ³ -1 .

2 x -1
log2 x = 1+ x –2x

Bài tập 1. Giải phương trình:

p
sin( x - )
4

Bài tập 2. Giải phương trình:

e

Bài tập 3. Giải bất phương trình:

2 4 x+ 4 - 2 4 > lg 4 - lg(4 x + 4) .

Bài tập 4. Giải phương trình:

3 x + 5 x = 2.4 x .

Bài tập 5. Giải phương trình:

x log2 3 + 5log2 x = 2 x 2 .

Bài tập 6. Giải bất phương trình:

3x + 5 x > 2.4 x .

Bài tập 7. Giải bất phương trình:

3 x + 4 x + 11x ³ 3.6 x .

Bài tập 8. Giải phương trình:

= tan x .

3log11 x + 4 log11 x + x = 3.6 log11 x .

6. Ứng dụng đạo hàm vào giải hệ phương trình, hệ bất phương trình.
Ví dụ 25. Giải hệ phương trình:
ìï2 x + 2 x = 3 + y
í y
ïî2 + 2 y = 3 + x

Ví dụ 26. Giải hệ phương trình:
ì x 3 + 3x - 3 + ln( x 2 - x + 1) = y
ï 3
2
í y + 3 y - 3 + ln( y - y + 1) = z
ï z 3 + 3 z - 3 + ln( z 2 - z + 1) = x
î

14

Ví dụ 27. Giải hệ phương trình:
ì36 x 2 y - 60 x 2 + 25 y = 0
ï
2
2
í36 y z - 60 y + 25 z = 0
ï36 z 2 x - 60 z 2 + 25 x = 0
î

Bài toán: Giải hệ phương trình:
ì x = f ( y)
ï
í y = f ( z)
ï z = f ( x)
î

với x, y, z Î D, với D có thể là một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng.
Cách giải:
Xét hàm số f (t ) trên tập D.
Trường hợp 1:
Nếu f (t ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì suy ra x = y = z .
Thay x = y = z vào hệ rồi giải phương trình x = f (x) .
Trường hợp 2:
Nếu f (t ) không đồng biến (hoặc không nghịch biến) trên D, hệ giải được
nếu ta chứng minh rằng x, y, z là nghiệm của hệ đã cho thì x, y, z Î D1

ÌD

( D1 có dạng ( a, b ); [ a, b ]; [ a, b ); ( a, b ]) mà trên D1 hàm f (t ) đồng biến hoặc
nghịch biến. Quay về trường hợp 1.

Bài tập 1. Giải hệ phương trình:
ìïlog 2 x + 3 = 1 + log 3 y
í
ïîlog 2 y + 3 = 1 + log 3 x

15


Bài tập 2. Giải hệ phương trình:
ì2 x + 1 = y 3 + y 2 + y
ï
3
2
í2 y + 1 = z + z + z
ï2 z + 1 = x 3 + x 2 + x
î

Ví dụ 28. Giải hệ bất phương trình:
ìlog 22 x - log 2 x 2 < 0
ï
í1 3
2
ï x - 3x + 5 x + 9 > 0
î3

Ví dụ 29. Giải hệ bất phương trình:
ìï3 2( x -1) +1 - 3 x £ x 2 - 4 x + 3
í x
ïî3 ³ 3 - x

2.7. Định lí Lagrange và các ứng dụng.
Ví dụ 30. Cho

0 < a < b<

p
.
2

Chứng minh rằng:

b-a
b-a
tan
b
tan
a
<
<
.
cos 2 b
cos 2 a

Ví dụ 31. Cho

0
Chứng minh rằng:

a-b

a
a-b
< ln <
.
a
b
b

Ví dụ 32. Chứng minh rằng " x Î (0;1) và n Î Z + luôn có:
xn 1- x

<

1
.
2ne

2.7.3. Ứng dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm
Ví dụ 33. Giả sử 2a + 3b + 6c = 0. (1)
Chứng minh phương trình: ax 2 + bx + c = 0
có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
Ví dụ 34. Cho m > 0 và các số a, b, c thỏa mãn:

a
b
c
+
+ = 0.
m + 2 m +1 m

Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
16


Ví dụ 35. Chứng minh rằng phương trình:
a cos x + b cos 2 x + c cos 3 x = 0 .

có nghiệm với mọi a, b, c .
Nhận xét: Phương trình
a1 sin f1 ( x) + a2 sin f 2 ( x) + .... + an sin f n ( x) + b1 cos g1 ( x) + ... + bm cos g m ( x) = 0 ,

luôn có nghiệm, với
y = a1 sin f1 ( x) + a2 sin f 2 ( x) + .... + an sin f n ( x) + b1 cos g1 ( x) + ... + bm cos g m ( x) tuần

hoàn với chu kỳ T= kp ( k Î N )
2.7.4. Ứng dụng định lí Lagrange vào giải phương trình
Ví dụ 36. Giải phương trình:

6x + 2x = 3x + 5 x .

Ví dụ 37. Giải phương trình:

ax + bx = cx + d x .

với a, b, c, d > 0, a + b = c + d .
Ví dụ 38. Giải phương trình:

4 log3 x + 2 log3 x = 2 x .

Ví dụ 39. Giải phương trình:

3cos x - 2cos x = cos x .

17


CHƯƠNG 3
THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thử nghiệm
3.1.1. Mục đích của thử nghiệm
Thử nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm định tính
khả thi và tính hiệu quả của đề tài.
3.1.2. Nhiệm vụ của thử nghiệm
- Biên soạn tài liệu và dạy thử nghiệm nội dung: “Rèn luyện tư duy
sáng tạo của học sinh trung học phổ thông thông qua các bài tập về ứng
dụng của đạo hàm”.
- Đánh giá kết quả thử nghiệm.
3.2. Phương pháp thử nghiệm
Dùng phương pháp thử nghiệm đối chứng, dạy thử nghiệm theo
hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về ứng
dụng của đạo hàm ở một số lớp 12 trường THPT Kiến An, THPT Ngô
Quyền, Thành phố Hải Phòng.
3.3. Nội dung thử nghiệm sư phạm
3.3.1. Chọn nội dung thử nghiệm
Dạy thử nghiệm các tiết học về ứng dụng của đạo hàm theo cách
phân loại có hệ thống như trong luận văn nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo
cho học sinh và theo phương pháp khác tại trường THPT ở Hải Phòng (
Nội dung “ Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số”, Nội dung “ Ứng dụng đạo hàm vào giải hệ phương trình, hệ bất
phương trình”).

18


Kiểm tra, đánh giá việc rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh thông
qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm.
3.3.2. Tổ chức thử nghiệm
+ Các lớp thử nghiệm: Lớp 12A13 (năm học 2010- 1011) trường
THPT Kiến An và lớp 12A11 (năm học 2010- 1011) trường THPT Ngô
Quyền, Thành phố Hải Phòng.
+ Các lớp đối chứng: Lớp 12A8 (năm học 2010- 1011) trường THPT
Kiến An và lớp 12A10 (năm học 2010- 1011) trường THPT Ngô Quyền,
Thành phố Hải Phòng.
3.3.3. Nội dung bài tập và đề kiểm tra:
1. Nội dung bài tập:
Nội dung 1:
LUYỆN TẬP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO TÌM GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Nội dung 2:
LUYỆN TẬP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
2. Nội dung các đề kiểm tra:
ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1
Thời gian làm bài: 15 phút.
Câu 1: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không có GTLN và GTNN
trên tập xác định của nó.
(B) y = sin x + cos x ;

(A) y = x + sin x ;
19

(C) y = 1 - x 2 + x

(D) y = 2 sin x + 3 cos x .

Câu 2: GTLN của hàm số y = x 3 - 3 x + 2 trên đoạn [–3; 3] là:
(A) –16;

(B) 20;

(C) 0;

(D) 4.

Câu 3: GTNN của hàm số y = x 3 - x 2 - x + 2 trên đoạn [–3; 1] là:
(A) –35;

(B) –15;

(C) 2;

(D) 0.

Câu 4: GTNN của hàm số y = x 4 - 4 x 3 + 8 x là:
(A) 0;

(B) 2;

(C) 4;

(D) –4.

Hãy chọn kết quả đúng.
ĐỀ KIỂM TRA SỐ 2
Thời gian làm bài: 45 phút.
Câu 1: Giải hệ phương trình:
ìï x - 1 - y = 8 - x 3
í
ïî( x - 1) 4 = y

Câu 2: Giải hệ bất phương trình:
ìï2 x+ y ³ 1 - x - y
í
ïî x - x + y + 2 = 0

3.4. Kết quả của thử nghiệm sư phạm
3.4.1. Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thử nghiệm
Các nhận xét của giáo viên đã được tổng hợp thành các ý kiến chủ
yếu sau đây:
- Các giờ học dễ điều khiển học sinh tham gia vào các hoạt động học
tập, thu hút được nhiều đối tượng tham gia.
20


- Các hoạt động học tập (giải bài tập, trả lời các câu hỏi, nhận xét)
học sinh tự rút ra kiến thức mới, nắm ngay kiến thức cơ bản ở trên lớp.
Đồng thời giáo viên cũng dễ dàng phát hiện những sai lầm mắc phải của
học sinh để có hướng khắc phục.
- Học sinh tham gia các tiết học sôi nổi và hào hứng hơn, tự mình
phát hiện và giải quyết vấn đề, vì thế việc học tập của học sinh sẽ chủ động

và sáng tạo, tự giác hơn. Học sinh có hứng thú học tập hơn.
- Muốn các hoạt động có hiệu quả trên lớp, giáo viên phải nghiên cứu
kỹ bài giảng mới, có hệ thống câu hỏi và bài tập về ứng dụng của đạo hàm
hợp lý nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
3.4.2. Những đánh giá từ kết quả bài kiểm tra
Qua quá trình kiểm tra, đánh giá, xử lý kết quả, chúng tôi đã thu
được các kết quả sau:
3.4.2.1. Kết quả cụ thể

Điểm

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 Số
bài

Lớp
Thực nghiệm

0

0

0

9

Đối chứng

0

4

6

14 20 23 16 10

17 21 18 16 10

21

5

4

2

97

0

0

98


Từ kết quả trên, ta có bảng khảo sát sau:
* Tỉ lệ các bài trên trung bình và dưới trung bình:
Số bài trên

Tỉ lệ

trung bình

Số bài dưới

Tỉ lệ

trung bình

Lớp thực nghiệm

71

73,2%

26

27,8%

Lớp đối chứng

54

55,1%

44

44,9%

* Tỉ lệ khá giỏi:
Số bài khá, giỏi

Tỉ lệ

Lớp thực nghiệm

32

33%

Lớp đối chứng

15

15,3%

3.4.2.2. Nhận xét, đánh giá

22


KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Luận văn đã có được những kết quả chính sau đây:
1. Trình bày hệ thống các vấn đề về tư duy, tư duy khoa học tự nhiên,
tư duy toán học, tư duy sáng tạo, quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của
đạo hàm và việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
2. Kết quả điều tra thực tiễn cho thấy việc rèn luyện tư duy sáng tạo
cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của
đạo hàm có ít giáo viên quan tâm (về nhận thức và vận dụng).
3. Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về ứng dụng của đạo hàm
và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó.
4. Phần lý luận và từ thực nghiệm của luận văn chỉ ra rằng, việc rèn
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài
tập về ứng dụng của đạo hàm là hoàn toàn khả thi và có những kết quả
nhất định. Các giáo viên môn Toán THPT hoàn toàn có khả năng vận dụng
trong công tác giảng dạy.
2. Khuyến nghị
Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi xin mạnh dạn đề xuất một
số ý kiến như sau:
1. Trên cơ sở những vấn đề lý luận đã đề xuất, cần có các nghiên cứu

ở tất cả các bộ môn, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh cần được triển
khai ở các cấp học, các trường.
2. Quá trình dạy học Toán ở trường phổ thông cần được tổ chức theo
hướng phát huy cao độ tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh; tạo
hứng thú học tập và hình thành kỹ năng nghiên cứu khoa học và liên hệ,
ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống.
23


3. Bộ Giáo dục - Đào tạo cần quan tâm chỉ đạo và tạo điều kiện vật
chất, tinh thần thuận lợi cho việc vận dụng và phát triển các phương pháp
dạy học tích cực, trong đó có việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.
Do khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn, kết quả nghiên cứu của
luận văn chưa được sâu sắc và đầy đủ và không tránh khỏi những thiếu sót.
Vì vậy, tác giả rất mong đề tài tiếp tục được nghiên cứu và áp dụng rộng
rãi để kiểm chứng tính hiệu quả của đề tài một cách khách quan và nâng
cao giá trị thực tiễn của đề tài.

24