TIỂU LUẬN môn học QUẢN TRỊ rủi RO tài CHÍNH INTEREST RATE RISK rủi RO lãi SUẤT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA TÀI CHÍNH
TIỂU LUẬN MÔN HỌC

QUẢN TRỊ RỦI RO TÀI CHÍNH
ĐỀ TÀI

INTEREST RATE RISK
RỦI RO LÃI SUẤT

GIẢNG VIÊN: ThS. NGUYỄN HOÀNG THỤY BÍCH TRÂM
THỰC HIỆN: NHÓM 3
LÊ THỊ THANH MINH
NGUYỄN THỊ NHUẦN
HOÀNG THỊ THẢO NGUYÊN
NGUYỄN THỊ NƯƠNG
NGUYỄN TRẦN MI PHƯỢNG
NHƯ QUỲNH
HUỲNH NGỌC QUYÊN
NGUYỄN THỊ NGỌC SƯƠNG
NGUYỄN THỊ KIM THOA
VŨ ĐÌNH THI


Interest rate risk is more difficult to manage than the

Quản lý rủi ro lãi suất là khó khăn hơn so với

risk arising from market variables such as equity

các rủi ro tăng giá phát sinh từ biến đổi giá thị trường

prices, exchange rates, and commodity prices. One

như giá cổ phiếu, tỷ giá, và giá cả hàng hóa. Một sự

complication is that there are many different interest

phức tạp là có rất nhiều lãi suất khác nhau trong bất

rates in any given currency (Treasury rates, interbank

kỳ đồng tiền nhất định (Lãi suất chính phủ, lãi suất

borrowing and lending rates, swap rates, mortgage

vay và cho vay liên ngân hàng, lãi suất hoán đổi, lãi

rates, deposit rates, prime borrowing rates, and so

suất thế chấp, lãi suất huy động, lãi suất cơ bản,vv

on). Although these tend to move together, they are

…). Mặc dù chúng có xu hướng di chuyển cùng nhau,

not perfectly correlated. Another complication is that

nhưng chúng tương quan không hoàn toàn. Vấn đề

we need more than a single number to describe the

phức tạp khác là chúng ta cần nhiều hơn một số lẻ để

interest rate environment. We need a function

mô tả môi trường lãi suất. Chúng tôi cần một chức

describing the variation of the rate with maturity. This

năng mô tả sự thay đổi của lãi suất với kỳ hạn. Điều

is known as the term structure of interest rates or the

này được gọi là cấu trúc kỳ hạn của lãi suất hoặc

yield curve.

đường

cong

lãi

suất.

Consider, for example, the situation of a U.S.

Ví dụ xem xét tình hình của một nhà kinh

government bond trader. The trader’s portfolio is likely

doanh trái phiếu chính phủ Mỹ: danh mục đầu tư của

to consist of many bonds with different maturities.

nhà đầu tư có thể gồm nhiều trái phiếu với nhiều kỳ

There is an exposure to movements in the one-year

hạn khác nhau. Có tiếp xúc với các biến động lãi suất

rate, the two-year rate, the three-year rate, and so on.

trong 1 năm, lãi suất 2 năm, lãi suất 3 năm,…. Tiếp

The trader’s delta

exposure is therefore more

xúc Delta của nhà giao dịch này là phức tạp hơn so

complicated than that of the gold trader in Table 8.1.

với nhà giao dịch vàng trong bảng 8.1. Họ phải lo

He or she must be concerned with all the different

lắng tất cả với nhiều cách khác nhau về sự thay đổi

ways in which the U.S. Treasury yield +curve can

hình dáng của đường cong lợi suất của chính phủ Mỹ

change its shape through time.

có

thể

thay

đổi

qua

thời

giạn.

This chapter starts with a description of traditional

Chương này bắt đầu với mô tả của phương

approaches used by a financial institution to manage

pháp truyền thống được sử dụng bởi một tổ chức tài

interest rate risk. It explains some of the interest rates

chính để quản lý rủi ro lãi suất. Nó giải thích một số

that are important to financial institutions. It then

mức lãi suất quan trọng đối với các tổ chức tài chính.

covers duration and convexity measures. These can

Sau đó gồm các biện pháp đo lường Duration và độ

be regarded as the interest rate equivalents of the

lồi. Đây có thể được coi là lãi suất tương đương của

delta and gamma measures considered in the

việc xem xét đo lường delta và gamma trong các

previous chapter. A number of different approaches to

chương trước. Một phương pháp tiếp cận khác để

managing the risks of nonparallel shifts are then

quản lý rủi ro của thay đổi không song song đã được

presented. These include the use of partial durations,

trình bày. Chúng bao gồm việc sử dụng các Duration

the calculation of multiple deltas, and the use of

1 phần, tính toán của nhiều delta, và việc sử dụng

principal components analysis.

phân tích các thành phần chủ yếu.


9.1
9.1

QUẢN LÝ THU NHẬP TỪ LÃI RÒNG

THE MANAGEMENT OF NET INTEREST

INCOME

Chìa khóa quản lý rủi ro hoạt động của ngân

A key risk management activity for a bank is the
management of net interest income. As explained in
Section 2.2, the net interest income is the excess of
interest received over interest paid. It is the role of the
asset-liability management function within the bank to
ensure that the net interest margin, which is net
interest income divided by income-producing assets,
remains roughly constant through time. This section

hàng là quản lý thu nhập ròng lãi ròng. Như đã giải
thích trong Phần 2.2, thu nhập lãi ròng là số chênh

lệch giữa lãi suất nhận được trên lãi suất phải trả. Đó
là vai trò của tổ chức quản lý tài sản-nợ trong ngân
hàng để đảm bảo rằng tỷ lệ lãi biên, được tính bằng
thu nhập từ lãi ròng chia cho thu nập thu được từ tài
sản, vẫn duy trì ổn định qua thời gian. Phần này xem
xét cách thực hiện nó.
Làm thế nào biến động trong biên độ lãi ròng

considers how this is done.

có thể xảy ra? Hãy xem xét một tình huống đơn giản
How can fluctuations in net interest margin occur?
Consider a simple situation where a bank offers
consumers a one-year and a five-year deposit rate as
well as a one-year and five-year mortgage rate. The
rates are shown in Table 9.1.

khi mà ngân hàng đề xuất cho khách hàng lãi suất
tiền gửi trong một năm và năm năm tốt như lãi suất
thế chấp một năm và năm năm. Các mức lãi suất
được trình bày trong Bảng 9.1.
TABLE 9.1

Ví dụ về lãi suất

được ngân hàng đưa ra cho khách
TABLE 9.1

hàng

Example of Rates

Offered by a Bank to Its Customers
Maturity, years

Deposit

3%
3%

Lãi suất

Lãi suất thế

1
5

tiền gửi
3%
3%

chấp
6%
6%

Mortgate

Rate
1
5

Kỳ hạn, năm

Rate
6%
6%

Chúng tôi đưa ra giả định đơn giản là dự kiến lãi suất
mong đợi một năm cho khoảng thời gian trong tương

We make the simplifying assumption that the expected

lai bằng với tỷ lệ một năm thịnh hành trên thị trường

one-year interest rate for future time periods equals

hiện nay. Nói một cách đơn giản, điều này có nghĩa

the one-year rate prevailing in the market today.

rằng những người tham gia thị trường xem xét tăng

Loosely speaking, this means that market participants

lãi suất cũng như khả năng giảm lãi suất. Kết quả là,

consider interest rate increases to be just as likely as

lãi suất trong bảng 9.1 là công bằng ở chỗ chúng

interest rate decreases. As a result, the rates in Table

phản ánh kỳ vọng của thị trường. Đầu tư tiền cho một

9.1 are fair in that they reflect the market’s

năm và tái đầu tư cho bốn thời kỳ một năm tiếp tục

expectations. Investing money for one year and

dẫn đến một sự đổi lại sự không chắc chắn. Nhưng,

reinvesting for four further one-year periods leads to

với giả định của chúng tôi, toàn bộ sự đổi lại mong

an uncertain return. But, given our assumptions, the

đợi giống như một đầu tư năm năm duy nhất. Tương

expected overall return is the same as a single five-

tự như vậy, vay tiền cho một năm và tái cấp vốn mỗi

year investment. Similarly, borrowing money for one

năm cho bốn năm tiếp theo dẫn đến chi phí tài chính


year and refinancing each year for the next four years

dự kiến tương tự như một khoản vay năm năm duy

leads to the same expected financing costs as a single

nhất.

five-year loan.

Giả sử bạn có tiền để gửi và đồng ý với quan
điểm phổ biến rằng tăng lãi suất cũng có khả năng

Suppose you have money to deposit and agree

như giảm lãi suất. Bạn sẽ chọn gửi tiền trong một

with the prevailing view that interest rate increases are

năm ở mức 3% mỗi năm hay năm năm ở mức 3%

just as likely as interest rate decreases. Would you

mỗi năm? Có thể là bạn sẽ chọn một năm, vì điều này

choose to deposit your money for one year at 3% per

sẽ cho bạn sự linh hoạt tài chính hơn. Nó giữ tiền của

annum or for five years at 3% per annum? The

bạn một khoảng thời gian ngắn.

chances are that you would choose one year because
this gives you more financial flexibility. It ties up your

Bây giờ giả sử rằng bạn muốn có một thế chấp. Một

funds for a shorter period of time.

lần nữa bạn đồng ý với quan điểm phổ biến rằng tăng

Now suppose that you want a mortgage. Again

lãi suất cũng có khả năng như giảm lãi suất. Bạn sẽ

you agree with the prevailing view that interest rate

chọn thế chấp một năm ở mức 6% hoặc thế chấp

increases are just as likely as interest rate decreases.

năm năm ở mức 6%? Có thể bạn sẽ chọn thế chấp

Would you choose a one-year mortgage at 6% or a

năm năm bởi vì nó cố định tỷ lệ vay của bạn cho năm

five-year mortgage at 6%? The chances are that you

năm tiếp theo, bạn có rủi ro tái cấp vốn ít hơn.

would choose a five-year mortgage because it fixes
your borrowing rate for the next five years and

Khi ngân hàng đưa ra lãi suất trong Bảng 9.1, có thể

subjects you to less refinancing risk.

thấy rằng phần lớn người gửi tiền lựa chọn cho kỳ

When the bank posts the rates shown in Table 9.1,

hạn một năm và đa số các khách hàng tìm kiếm các

it is likely to find that the majority of its depositors opt

khoản thế chấp lựa chọn cho một kỳ hạn năm năm.

for a one-year maturity and the majority of the

Điều này tạo ra sự không phù hợp về tài sản / nợ đối

customers seeking mortgages opt for a five-year

với các ngân hàng và thu nhập từ lãi ròng đến các rủi

maturity. This creates an asset/liability mismatch for

ro. Các khoản tiền gửi được tài trợ năm năm 6% tài

the bank and subjects its net interest income to risks.

sản thế chấp được gia hạn thanh toán qua mỗi năm.

The deposits that are financing the five-year 6%

Không có vấn đề nếu lãi suất giảm. Sau một năm, các

mortgages are rolled over every year. There is no

ngân hàng sẽ nhận thấy chính nó tài trợ cho năm

problem if interest rates fall. After one year, the bank

năm 6% thế chấp với tiền gửi mà chi phí ít hơn 3% và

will find itself financing the five-year 6% mortgages

thu nhập từ lãi ròng sẽ tăng lên. Tuy nhiên, nếu lãi

with deposits that cost less than 3% and net interest

suất tăng, các khoản tiền gửi được tài trợ thế chấp

income will increase. However, if interest rates rise,

6% sẽ có giá hơn 3% và thu nhập lãi ròng sẽ giảm.

the deposits that are financing the 6% mortgages will

Giả sử rằng có một sự gia tăng 3% lãi suất trong hai

cost more than 3% and net interest income will

năm đầu tiên. Điều này sẽ làm giảm thu nhập lãi ròng

decline. Suppose that there is a 3% rise in interest

trong năm thứ ba về không.

rates during the first two years. This would reduce net
interest income for the third year to zero.

Đó là công việc của các tập đoàn quản lý tài sản-nợ
để đảm bảo rằng loại rủi ro lãi suất được giảm thiểu.

It is the job of the asset-liability management

Một cách để làm điều này là đảm bảo rằng thời gian


group to ensure that this type of interest rate risk is

đáo hạn của các tài sản có lãi thu được và thời gian

minimized. One way of doing this is to ensure that the

đáo hạn của các khoản nợ có trả lãi được khớp nhau.

maturities of the assets on which interest is earned

Trong ví dụ của chúng ta, sự kết hợp có thể đạt được

and the maturities of the liabilities on which interest is

bằng cách tăng lãi suất năm năm về cả tiền gửi và

paid are matched. In our example, the matching can

các khoản thế chấp. Ví dụ, các ngân hàng có thể hoạt

be achieved by increasing the five-year rate on both

động với tình hình trong Bảng 9.2, nơi tỷ lệ tiền gửi

deposits and mortgages. For example, the bank could

năm năm là 4% và tỷ lệ thế chấp năm năm là 7%.

move to the situation in Table 9.2 where the five-year

Điều này sẽ làm cho tiền gửi năm năm và thế chấp

deposit rate is 4% and the five-year mortgage rate is

một năm tương đối hấp dẫn hơn. Một số khách hàng

7%. This would make five-year deposits relatively

đã lựa chọn gửi tiền một năm khi lãi thể hiện như

more attractive and one-year mortgages relatively

trong Bảng 9.1. và sẽ chọn tiền gửi năm năm khi lãi

more attractive. Some customers who chose one-year

suất như trong Bảng 9.2.

deposits when the rates were as in Table 9.1 will
choose five-year deposits when rates are as in Table
9.2.

BẢNG 9.2 Lãi suất năm năm đang gia tăng để phù
hợp các kỳ hạn của tài sản và nợ phải trả

TABLE 9.2

Five-Year Rates Are

Increased in an Attempt to Match
Maturities of Assets and Liabilities

Kỳ hạn
(năm)

Lãi suất
Tiền gửi

Lãi suất

Thế

Maturity
Deposit
Mortgage
(years)
Rate
Rate
1
3%
6%
5
4%
7%
Some customers who chose five year mortgages

chấp
1
3%
6%
5
4%
7%
Một số khách hàng đã lựa chọn thế chấp 5 năm khi

when the rates were as in Table 9.1 will choose one-

một năm. Điều này có thể dẫn đến thời gian đáo hạn

year mortgages. This may lead to the maturities of

của tài sản và nợ phải trả tương xứng nhau. Nếu vẫn

assets and liabilities being matched. If there is still an

còn là một sự mất cân bằng với người gửi tiền có xu

imbalance with depositors tending to choose a one-

hướng lựa chọn kỳ hạn một năm và khách hàng vay

year maturity and borrowers a five-year maturity, five-

kỳ hạn năm năm, lãi suất huy động và thế chấp năm

year deposit and mortgage rates could be increased

năm có thể tăng thêm nữa. Cuối cùng, sự mất cân

even further. Eventually the imbalance will disappear.

bằng sẽ biến mất.

lãi suất này là như trong Bảng 9.1 sẽ chọn thế chấp

Kết quả cuối cùng của tất cả các ngân hàng
The net result of all banks behaving in the way we

hành xử theo cách mà chúng ta vừa mô tả là lãi suất

have just described is that long-term rates tend to be

dài hạn có xu hướng cao hơn so với những dự đoán

higher than those predicted by expected future

của lãi suất ngắn hạn về tương lai dự kiến. Hiện

shortterm rates. This phenomenon is referred to as

tượng này được gọi là lý thuyết sở thích thanh khoản.

liquidity preference theory. It leads to long-term rates

Nó dẫn đến lãi suất dài hạn là cao hơn so với lãi suất

being higher than short-term rates most of the time.

ngắn hạn hầu hết thời gian. Ngay cả khi thị trường kỳ

Even when the market expects a small decline in

vọng một sự suy giảm nhỏ trong lãi suất ngắn hạn, lý

short-term rates, liquidity preference theory is likely to

thuyết sở thích thanh khoản có thể gây ra lãi suất dài


cause long-term rates to be higher than short-term

hạn cao hơn so với lãi suất ngắn hạn. Chỉ khi giảm

rates. Only when a steep decline in interest rates is

mạnh lãi suất được dự kiến sẽ làm cho lãi suất dài

expected will long-term rates be less than short-term

hạn thấp hơn lãi suất ngắn hạn.

rates.
Nhiều ngân hàng có hệ thống phức tạp để
Many banks now have sophisticated systems for

giám sát các quyết định được thực hiện bởi khách

monitoring the decisions being made by customers so

hàng, để khi họ phát hiện sự khác biệt nhỏ giữa các

that, when they detect small differences between the

kỳ hạn của tài sản và nợ phải trả được lựa chọn, họ

maturities of the assets and liabilities being chosen,

có thể điều chỉnh tinh vi các mức phí mà họ cung cấp.

they can fine-tune the rates they offer. Often

Thường các sản phẩm tài chính như hoán đổi lãi suất

derivatives such as interest rate swaps are used to

được sử dụng để quản lý rủi của họ (xem Ví dụ 5.1 tại

manage their exposures (see Example 5.1 in Section

mục 5.6). Kết quả của bài này là tỷ lệ lãi biên thường

5.6). The result of all this is that net interest margin is

là ổn định. Điều này không phải luôn luôn đúng trong

usually stable. This has not always been the case. In

các trường hợp. Trong những năm 1980 tại Hoa Kỳ,

the 1980s in the United States, the failures of savings

những thất bại của các công ty tiết kiệm và cho vay

and loans companies and Continental Illinois were

và Continental Illinois phần lớn là kết quả thất bại của

largely a result of their failure to match maturities for

họ phù hợp với thời gian đáo hạn đối với tài sản và

assets and liabilities.

nợ phải trả.

Liquidity

TÍNH THANH KHOẢN

In addition to eroding net interest margin, a mismatch

Ngoài việc làm giảm lợi nhuận lãi biên ròng,

of assets and liabilities can lead to liquidity problems.

sự không phù hợp của tài sản và nợ phải trả có thể

A bank that funds long-term loans with short-term

dẫn đến các vấn đề thanh khoản. Một ngân hàng tài

deposits has to replace maturing deposits with new

trợ cho các khoản vay dài hạn với các khoản tiền gửi

deposits on a regular basis. (This is sometimes

ngắn hạn có để thay thế tiền gửi đáo hạn với tiền gửi

referred to as rolling over the deposits). If depositors

mới một cách thường xuyên. (Điều này đôi khi được

lose confidence in the bank, it might find it difficult to

gọi là tái đầu tư tiền gửi). Nếu người gửi tiền mất

do this. A well-known example of a financial institution

niềm tin vào các ngân hàng, có thể khó khăn khi làm

that failed because of liquidity problems is Northern

điều này. Một ví dụ nổi tiếng của một tổ chức tài chính

Rock in the United Kingdom. It chose to finance much

không thành công vì vấn đề thanh khoản là Northern

of its mortgage portfolio with wholesale deposits,

Rock ở Vương quốc Anh. Nó chọn tài trợ cho nhiều

some lasting only three months. Starting in September

danh mục đầu tư thế chấp của mình với tiền gửi bán

2007, the depositors became nervous because of the

buôn, một số chỉ kéo dài trong ba tháng. Bắt đầu từ

problems surfacing in the United States. As a result,

tháng Chín năm 2007, người gửi tiền trở nên lo lắng

Northern Rock was unable to finance its assets and

vì những vấn đề nổi lên tại Hoa Kỳ. Kết quả là,

was taken over by the UK government in early 2008

Northern Rock đã không thể tài trợ cho tài sản của nó

(see Business Snapshot 24.1). In the United States,

và đã được tiếp quản bởi chính phủ Anh vào đầu năm

Bear Stearns and Lehman Brothers experienced

2008 (xem kinh doanh Snapshot 24.1). Tại Hoa Kỳ,

similar problems in rolling over their wholesale

Bear Stearns và Lehman Brothers gặp vấn đề tương


deposits.

tự trong việc tái đầu tư tiền gửi bán buôn của họ.

Many of the problems during the credit crisis that

Nhiều vấn đề nảy sinh trong suốt cuộc khủng

started in 2007 were caused by a shortage of liquidity.

hoảng tín dụng bắt đầu từ năm 2007 có nguyên nhân

As often happens during stressed market conditions,

bởi sự thiếu hụt thanh khoản. Như thường xảy ra

there was a flight to quality where investors looked for

trong tình trạng thị trường căng thẳng, các nhà đầu tư

very safe investments and were not prepared to take

tìm kiếm các khoản đầu tư rất an toàn và không

credit risks. Bank regulators have now recognized the

chuẩn bị sẵn sàng để chấp nhận rủi ro tín dụng. Các

need to set liquidity requirements, as well as capital

nhà quản lý ngân hàng hiện nay đã nhận ra sự cần

requirements, for banks. Chapter 16 explains the

thiết phải thiết lập yêu cầu thanh khoản, cũng như

Basel III liquidity requirements and Chapter 24

yêu cầu về vốn, cho các ngân hàng. Chương 16 giải

discusses liquidity issues in more detail.

thích các yêu cầu thanh khoản Basel III và Chương
24 thảo luận về các vấn đề thanh khoản một cách chi
tiết hơn.


9.2 Phân loại lãi suất
9.2

TYPES OF RATES

Trong phần này, chúng ta hãy xem xét một số

In this section, we consider a number of interest rates

mức lãi suất quan trọng đối với các tổ chức tài chính.

that are important to financial institutions. The

Lãi kép của lãi suất được thảo luận trong Phụ lục A ở

compounding frequency with which interest rates are

phần cuối của cuốn sách. Lãi suất trái phiếu, lãi suất

measured is discussed in Appendix A at the end of the

danh nghĩa, và tính toán lãi suất zero-coupon sẽ được

book. Bond yields, par yields, and the calculation of

thảo luận trong Phụ lục B.

zero-coupon interest rates are discussed in Appendix
B.

Lãi suất trái phiếu chính phủ

Treasury Rates

Lãi suất trái phiếu chính phủ là lãi suất một

Treasury rates are the rates an investor earns on

nhà đầu tư kiếm được từ trái phiếu chính phủ ngắn

Treasury bills and Treasury bonds. These are the

hạn ( T Bills) và trái phiếu chính phủ dài hạn (T –

instruments used by a government to borrow in its

Bonds). Đây là những công cụ được sử dụng bởi một

own currency. Japanese Treasury rates are the rates

chính phủ để vay bằng đồng tiền riêng của mình. Lãi

at which the Japanese government borrows in yen,

suất trái phiếu chính phủ Nhật Bản là lãi suất mà tại

U.S. Treasury rates are the rates at which the U.S.

đó chính phủ Nhật Bản vay bằng đồng yên, lãi suất

government borrows in U.S. dollars, and so on. It is

trái phiếu kho bạc Hoa Kỳ là lãi suất mà tại đó chính

usually assumed that there is no chance that a

phủ Hoa Kỳ vay bằng đô la Mỹ. Nó thường được giả

government will default on an obligation denominated

định rằng không có cơ hội mà một chính phủ sẽ mặc

1

in its own currency. Treasury rates are therefore

định về nghĩa vụ bằng tiền tệ của mình. Lãi suất trái

usually regarded as risk-free rates in the sense that an

phiếu chính phủ do đó thường được coi là lãi suất phi

investor who buys a Treasury bill or Treasury bond is

rủi ro theo nghĩa là một nhà đầu tư nào mua một trái

certain that interest and principal payments will be

phiếu chính phủ ngắn hạn hoặc dài hạn là chắc hắn

made as promised.

rằng lãi suất và thanh toán vốn gốc sẽ được thực hiện
như đã cam kết.

LIBOR and Swap Rates

LIBOR và lãi suất hoán đổi

LIBOR is short for London interbank offered rate. It is

LIBOR là viết tắt của lãi suất trái phiếu liên

an unsecured short-term borrowing rate between

ngân hàng London. Đây là một tỷ lệ vay ngắn hạn

banks. LIBOR rates have traditionally been calculated

không có bảo đảm giữa các ngân hàng. Lãi suất

each business day for 10 currencies and 15 borrowing

LIBOR truyền thống được tính mỗi ngày làm việc đối

periods. The borrowing periods range from one day to

với 10 loại tiền tệ và 15 kỳ vay. Các thời kỳ vay nằm

one year. LIBOR rates are used as reference rates for

trong khoảng từ một ngày đến một năm. Lãi suất

hundreds

transactions

LIBOR được sử dụng làm giá tham chiếu cho hàng

throughout the world. One popular and important

trăm nghìn tỷ đô la của các giao dịch trên toàn thế

derivatives

a

giới. Một dẫn chứng phổ biến và quan trọng cho giao

reference interest rate is an interest rate swap (see

dịch phái sinh mà sử dụng LIBOR như một lãi suất

of

trillions

transaction

of

dollars

that

uses

of

LIBOR

as

1 This is because a government controls the money supply in its own currency (i.e., it can print its own money). But governments are
liable to default on debt in a foreign currency. Also, countries in the European Union are liable to default on debt denominated in euros.

Chapter 5). LIBOR rates are published by the British

tham chiếu là hoán đổi lãi suất (xem Chương 5). Lãi

Bankers’ Association (BBA) at 11:30 a.m. (UK time).

suất LIBOR được công bố bởi Hiệp hội Ngân hàng

The BBA asks a number of different banks to provide

Anh (BBA) lúc 11:30 giờ sáng (giờ Anh). Các BBA hỏi

quotes estimating the rate of interest at which they

một số ngân hàng khác nhau để cung cấp báo giá

could borrow funds from other banks just prior to 11

ước tính tỷ lệ lãi suất mà tại đó họ có thể vay tiền từ

a.m. (UK time) for each currency and each borrowing

các ngân hàng khác ngay trước khi đến 11 giờ sáng

period. The top quarter and bottom quarter of the

(giờ Anh) cho mỗi đồng tiền và mỗi thời gian vay. Các

quotes

currency/borrowing-period

báo giá quý đầu và quý cuối cho mỗi đồng tiền / kết

combination are discarded and the remaining ones

hợp kỳ hạn vay sẽ bị loại bỏ và những người còn lại

are averaged to determine the LIBOR fixings for a

được tính trung bình để xác định LIBOR cố định cho

day. Typically the banks submitting quotes have an AA

một ngày. Thông thường các ngân hàng gửi báo giá

credit rating.

có xếp hạng tín dụng AA.

for

each

In recent years there have been suggestions that

Trong những năm gần đây đã có những đề

some banks may have manipulated their LIBOR

xuất rằng một số ngân hàng có thể đã chế tác giá

quotes. Two reasons have been suggested for

LIBOR của họ. Hai lý do đã được đề xuất cho viêêc

manipulation. One is to make the banks’ borrowing

này. Một là làm cho chi phí đi vay của các ngân hàng

costs seem lower than they actually are so that they

dường như thấp hơn trên thực tế để ngân hàng họ

appear healthier. Another is to make transactions such

khỏe mạnh hơn. Hai là làm cho các giao dịch như

as interest rate swaps, whose cash flows depend on

giao dịch hoán đổi lãi suất, mà dòng tiền phụ thuộc

LIBOR

underlying

vào LIBOR cố định có lợi hơn. Vấn đề cơ bản là

problem is that there is not enough interbank

không có đủ giao dịch vay liên ngân hàng để các

borrowing for banks to make accurate estimates of

ngân hàng có những ước tính chính xác về lãi suất

their

different

vay của họ cho tất cả đồng tiền khác nhau/ kết hợp kỳ

currency/borrowing-period combinations that are used.

hạn vay được sử dụng. Dường như rằng qua thời

It seems likely that over time the large number of

gian số lượng lớn các báo giá LIBOR đã được cung

LIBOR quotes that have been provided each day will

cấp mỗi ngày sẽ được thay thế bởi một số lượng nhỏ

be replaced by a smaller number of quotes based on

các báo giá dựa trên giao dịch thực tế trong một thị

actual transactions in a more liquid market.

trường thanh khoản hơn.

fixings,

borrowing

more

rates

profitable.

for

all

The

the

How can the LIBOR yield curve be extended

Làm thế nào đường cong lãi suất LIBOR có

beyond one year? There are two possible approaches:

thể được mở rộng hơn một năm? Có hai phương
pháp có thể:

1. Create a yield curve to represent the rates at

1. Tạo một đường cong lãi suất để đại diện cho các

which AA-rated companies can today borrow

mức lãi suất mà công ty được xếp loại AA hiện nay có

funds for periods of time longer than one year.

thể vay tiền trong thời gian dài hơn một năm.

2. Create a yield curve to represent the future shortterm borrowing rates for AA rated companies.
It is important to understand the difference. Suppose
that the yield curve is 4% for all maturities. If the yield

2. Tạo một đường cong lãi suất để đại diện cho lãi
suất vay ngắn hạn trong tương lai cho các công ty
xếp hạng AA.
Điều quan trọng là phải hiểu được sự khác
biệt. Giả sử rằng đường cong lãi suất là 4% cho tất cả


curve is created in the first way, this means that

các kỳ hạn. Nếu đường cong lãi suất được tạo ra theo

companies rated AA today can lock in an interest rate

cách đầu tiên, điều này có nghĩa là các công ty được

of 4% regardless of how long they want to borrow. If

xếp loại AA hiện nay có thể ổn định trong lãi suất 4%

the yield curve is created in the second way, the

bất kể bao lâu họ muốn vay. Nếu đường cong lãi suất

forward interest rate that the market assigns to the

được tạo ra theo cách thứ hai, mong rằng thị trường

short-term borrowing rates of companies that will be

cho lãi suất vay ngắn hạn của công ty xếp loại AA tại

rated AA at a future time is 4%. (See Appendix B for

một thời điểm trong tương lai là 4%. (Xem Phụ lục B

how forward rates are defined and calculated.) When

để làm thế nào xác định và tính toán giá kỳ hạn.) Khi

the yield curve is created in the first way, it gives the

đường cong lãi suất được tạo ra theo cách đầu tiên,

forward short-term borrowing rate for a company that

nó sinh ra lãi suất vay ngắn hạn kỳ hạn cho một công

is AA-rated today. When it is created in the second

ty xếp loại AA hiện nay. Khi nó được tạo ra theo cách

way, it gives the forward short-term borrowing rate for

thứ hai, nó sinh ra lãi suất vay ngắn hạn kỳ hạn cho

a company that will be AA at the beginning of the

một công ty sẽ được xếp hạng AA ở thời điểm bắt đầu

period covered by the forward contract.

của giai đoạn đầu được bảo vệ bởi hợp đồng kỳ hạn.

In practice, the LIBOR yield curve is extended

Trong thực tế, đường cong lãi suất LIBOR

using the second approach. Swap rates (see Table

được mở rộng bằng cách sử dụng phương pháp tiếp

5.5.) are used to extend the LIBOR yield curve, as

cận thứ hai. Lãi suất hoán đổi (xem Bảng 5.5.) được

described in Appendix B.2The resulting yield curve is

sử dụng để mở rộng đường cong lãi suất LIBOR, như

sometimes called the LIBOR yield curve, sometimes

mô tả trong Phụ lục B. Kết quả là đường cong lãi suất

the swap yield curve, and sometimes the LIBOR/swap

đôi khi được gọi là đường cong lãi suất LIBOR, và đôi

yield curve. To understand why swap rates can be

khi là đường cong lãi suất hoán đổi, và đôi khi

used to extend the LIBOR yield curve when the

LIBOR / đường cong lợi suất hoán đổi. Để hiểu tại

second approach is used, note that a bank can

sao lãi suất hoán đổi có thể được sử dụng để mở

convert a series of short term LIBOR loans to a swap

rộng đường cong lãi suất LIBOR khi phương pháp

rate using the swap market. For example, it can

thứ hai được sử dụng, lưu ý rằng một ngân hàng có
thể chuyển đổi một loạt các khoản vay LIBOR ngắn

1. Lend a certain principal for six months to an AA

hạn với tỷ lệ hoán đổi sử dụng cho các thị trường trao

borrower and relend it for nine successive six-month

đổi. Ví dụ, nó có thể

periods to (possibly different) borrowers who are rated

1. Cho một khách hàng AA vay môêt vốn gốc trong sáu

AA at the time of their loans; and

tháng và vay lại nó trong khoảng thời gian chín tháng

2. Enter into a swap to exchange the LIBOR for the fiveyear swap rate.
This means that the swap rate represents what the
bank can expect to earn from a series of short-term
loans to AA-rated borrowers at LIBOR. It is sometimes
referred to as a continually refreshed rate.3

liên tiếp cho khách hàng vay, người được đánh giá AA
tại thời điểm vay.
2. Thực hiêên một hoán đổi để trao đổi LIBOR cho tỷ lệ
hoán đổi năm năm.
Điều này có nghĩa rằng tỷ lệ trao đổi đại diện

cho những gì các ngân hàng có thể mong đợi để kiếm

2 Eurodollar futures, which are contracts on the future value of LIBOR, can also be used to extend the LIBOR yield curve.
3See P. Collin-Dufresne and B. Solnik, “On the Term Structure of Default Premia in the Swap and Libor Market,” Journal of Finance 56,
no. 3 (June 2001): 1095–1115.


LIBOR vs. Treasury Rates
Risk-free rates are important in the pricing of financial
contracts. Treasury rates might be thought to be
natural rates to use as risk-free rates, but in practice
they are regarded as artificially low because:

được từ một loạt các khoản vay ngắn hạn để vay ở
mức lãi LIBOR. Nó đôi khi được gọi là một tỷ lệ làm
mới liên tục (thay đổi liên tục)
LIBOR so với lãi suất trái phiếu chính phủ
Lãi suất phi rủi ro rất quan trọng trong việc
định giá các hợp đồng tài chính. Lãi suất trái phiếu

1. The amount of capital a bank is required to hold to

chính phủ có thể được coi là lãi suất tự nhiên để sử

support an investment in Treasury bills and bonds

dụng như lãi suất phi rủi ro, nhưng trong thực tế nó

(typically zero) is substantially smaller than the capital

được coi là thấp, không thực tế, bởi vì:

required to support a similar investment in other very-

1. Số vốn một ngân hàng được yêu cầu phải giữ để

low-risk instruments.

hỗ trợ đầu tư vào các trái phiếu chính phủ ngắn hạn

2. In the United States, Treasury instruments are given a

và dài hạn là nhỏ hơn đáng kể so với lượng vốn cần

favorable tax treatment compared with most other

thiết để hỗ trợ một đầu tư tương tự trong như những

fixed-income investments because they are not taxed

công cụ rủi ro rất thấp khác.

at the state level.

2. Tại Hoa Kỳ, trái phiếu chính phủ được hưởng một

Prior to the credit crisis that started in 2007, financial
institutions used LIBOR and swap rates as a proxies
for risk-free rates. Since the crisis, they have switched
to using overnight indexed swap (OIS) rates for this

purpose. We now explain how OIS rates are
determined.

ưu đãi về thuế so với hầu hết các khoản đầu tư có thu
nhập cố định khác bởi vì họ không bị đánh thuế ở cấp
tiểu bang.
Trước cuộc khủng hoảng tín dụng bắt đầu từ
năm 2007, các tổ chức tài chính sử dụng LIBOR và
lãi suất hoán đổi là một đại diêên cho lãi suất phi rủi ro.
Kể từ khi cuộc khủng hoảng, họ đã chuyển sang sử
dụng lãi suất hoán đổi chỉ số qua đêm (OIS) cho mục
đích này. Bây giờ chúng ta giải thích như thế nào về
cách xác định OIS.

The OIS Rate
An overnight indexed swap (OIS) is a swap where a
fixed interest rate for a period (e.g., one month, three
months, one year, or two years) is exchanged for the
geometric average of overnight rates during the
period.4The relevant overnight rates are the rates in
the government-organized interbank market where
banks with excess reserves lend to banks that need to
borrow to meet their reserve requirements.5In the
United States, the overnight borrowing rate in this

Lãi suất hoán đổi chỉ số qua đêm OIS
Một hoán đổi chỉ số qua đêm (OIS) là một
trao đổi trong đó mức lãi suất cố định trong một thời
gian (ví dụ, một tháng, ba tháng, một năm hoặc hai
năm) được trao đổi với trung bình số học của lãi suất

qua đêm trong kỳ. Lãi suất qua đêm liên quan là lãi
suất trên thị trường liên ngân hàng các tổ chức chính
phủ nơi ngân hàng dự trữ dư thừa cho vay đối với
các ngân hàng cần vay để đáp ứng nhu cầu dự trữ
của họ. Tại Hoa Kỳ, lãi suất vay qua đêm trên thị
trường này được gọi là (fed funds rate – Lãi suất quỹ

4 The term “geometric average of overnight rates” should here be interpreted as “geometric average of one plus the overnight rates minus
one.”
5 Central banks require commercial banks to keep a certain percentage of customer deposits as reserves that cannot be lent out. The
reserves can take the form of cash or deposits with the central bank.


market is known as the fed funds rate. The effective

fed) tỷ lệ lãi suất cho vay nhằm đáp ứng yêu cầu dự

fed funds rate on a particular day is the weighted

trữ bắt buôêc. Lãi suất này có hiệu quả vào một ngày

average of the overnight rates paid by borrowing

cụ thể là bình quân gia quyền của lãi suất qua đêm trả

banks to lending banks on that day. This is what is

tiền bằng cách đi vay ngân hàng để ngân hàng cho

used in the OIS geometric average calculations. Many

vay vào ngày hôm đó. Đây là những gì được sử dụng

other countries have similar overnight markets. For

trong các tính toán trung bình OIS. Nhiều quốc gia

example, the Eonia (Euro OverNight Index Average) is

khác có thị trường qua đêm tương tự.

the European equivalent of the effective fed funds

Ví dụ, các Eonia (Chỉ số qua đêm trung bình đồng

rate; the SONIA (Sterling OverNight Index Average) is

Euro) là đối với châu Âu về tỷ lệ lãi suất cho vay

the British equivalent; and so on.

nhằm đáp ứng yêu cầu dự trữ bắt buôêc; các Sonia

If during a certain period a bank borrows at the

(Sterling Overnight Index trung bình) là đối với Anh.

overnight rate (rolling the loan and interest forward

Nếu trong một thời gian nhất định một ngân

each day), it pays the geometric average of the

hàng vay ở mức lãi suất qua đêm (cán và lãi tiền vay

overnight interest rates for the period. Similarly, if it

mỗi ngày ở tương lai) nó trả khoảng tiền là trung bình

lends at the overnight rate every day, it receives the

của lãi suất qua đêm cho giai đoạn này. Tương tự

geometric average of the overnight rates for the

như vậy, nếu nó vay ở lãi suất qua đêm mỗi ngày, nó

period. An OIS therefore allows overnight borrowing or

nhận được trung bình của lãi suất qua đêm cho giai

lending to be swapped for borrowing or lending at a

đoạn này. Vì thế OIS cho phép vay qua đêm hoặc cho

fixed rate for a period of time. The fixed rate is referred

vay để được hoán đổi với lãi suất cố định cho một

to as the OIS rate.

khoảng thời gian. Lãi suất cố định được gọi là tỷ lệ

A key indicator of stress in the banking system is the

OIS.

LIBOR-OIS spread. This is the amount by which the

Một chỉ số quan trọng trong hệ thống ngân

three-month London Interbank Offered Rate (LIBOR)

hàng là chênh lệch LIBOR-OIS. Đây là số tiền lãi suất

exceeds the three-month overnight indexed swap

liên ngân hàng London (LIBOR) trong ba tháng vượt

(OIS) rate. As discussed, the former is the rate of

quá lãi suất hoán đổi chỉ số qua đêm được lập (OIS)

interest at which a bank will extend unsecured credit

trong ba tháng. Như đã thảo luận, trước đây là lãi

to an AA-rated bank for a term of three months. The

suất mà ngân hàng sẽ mở rộng tín dụng có bảo đảm

latter is the rate of interest at which funds can be

cho một ngân hàng được đánh giá loại AA trong thời

borrowed by a bank for three months by using

hạn ba tháng. Sau đó là lãi suất mà tại đó các quỹ có

overnight borrowings at the fed funds rate of interest

thể được vay của một ngân hàng trong ba tháng bằng

in conjunction with a swap which converts the

cách sử dụng các khoản vay qua đêm ở quỹ fed có lãi

overnight borrowing to three-month borrowing. Banks

suất kết hợp với một hoán đổi mà chuyển đổi các

can in theory borrow at the three-month OIS rate and

khoản vay qua đêm để vay ba tháng. Về mặt lý thuyết

lend the funds to an AA-rated bank at the three-month

các ngân hàng có thể vay với lãi suất OIS ba tháng và

LIBOR rate of interest. The LIBOR-OIS spread is

cho quỹ vay tiền được đánh giá AA ở ba tháng lãi suất

therefore a credit spread that compensates lenders for

LIBOR. Do đó, chênh lêêch lãi suất LIBOR-OIS là một

the possibility that an AA-rated bank might default

chênh lêêch tín dụng cho vay bù đắp cho khả năng

during a three-month period. In normal market

rằng một ngân hàng AA- có thể mặc định trong một

conditions, the LIBOR-OIS spread is less than 10

khoảng thời gian ba tháng. Trong điều kiện thị trường


basis points (annualized). The larger the LIBOR-OIS

bình thường, chênh lêêch LIBOR-OIS là ít hơn 10 điểm

spread, the greater the reluctance of banks to lend to

cơ bản (tính theo năm). Chênh lêêch LIBOR-OIS càng

each other.

lớn làm tăng sự miễn cưỡng của các ngân hàng cho
vay lẫn nhau.

1413 2 0 080706050403
JanJanan 1 aJna 1JaJnJaanJanJanJanJan
J J
1 9
n1 n0

350

300

1413 2 0 080706050403
JaJnan 1 1aJaJnaJnaaJnaJnaJnan
Jan JanJ J
1 9
n1 n0

400

300
250
200

250
200
150
100
50

0

2

100

350

0
Jan

150

400

50
0

Hình 9.1

Chênh lệch trong điểm cơ bản 3

0
Jan

tháng LIBOR-OIS, từ tháng 1/2002 đến tháng

2

8/2014

FIGURE 9.1 The Three-Month LIBOR-OIS
Spread, January 2002 to August 2014 in Basis
Points

Hình 9.1 cho thấy sự chênh lêêch LIBOR-OIS từ tháng
1 năm 2002 đến tháng 8 năm 2014. Trước khi đến
tháng 8 năm 2007, chênh lêêch lãi suất LIBOR-OIS là

Figure 9.1 shows the LIBOR-OIS spread between

ít hơn 10 điểm cơ bản. Vào tháng 8 năm 2007, các

January 2002 and August 2014. Prior to August 2007,

vấn đề trong thị trường nhà đất ở Mỹ trở nên rõ ràng


the LIBOR-OIS spread was less than 10 basis points.

và các ngân hàng ngày càng trở nên không muốn cho

In August 2007, as problems in the U.S. housing

vay với nhau thì nó bắt đầu tăng. Nó đạt đến một đỉnh

market

became

cao của 364 điểm cơ bản vào đầu tháng 10 năm

increasingly reluctant to lend to each other, it started

2008. Một năm sau đó, nó đã trở về mức bình thường

to increase. It reached a peak of 364 basis points in

hơn. Sau đó nó đã quay trở lại sau kết quả từ những

early October 2008. By a year later, it had returned to

lo ngại về sức khỏe tài chính của nền Hy Lạp và một

more normal levels. Later it rose again as a result of

số nước châu Âu.

became

apparent

and

banks

concerns about the financial health of Greece and a
few other European countries.

Lãi suất mua lại
Không giống như LIBOR và lãi suất quỹ liên

Repo Rates

bang, lãi suất repo được đảm bảo lãi vay. Trong một

Unlike LIBOR and federal funds rates, repo rates are

repo - một khoản vay có bảo đảm (hoặc thỏa thuận

secured borrowing rates. In a repo (or repurchase

mua lại), một tổ chức tài chính sở hữu chứng khoán

agreement), a financial institution that owns securities

đồng ý bán chứng khoán với một mức giá nhất định

agrees to sell the securities for a certain price and to

và để mua lại vào một thời gian sau đó với một mức

buy them back at a later time for a slightly higher

giá cao hơn một chút. Các tổ chức tài chính có được

price. The financial institution is obtaining a loan, and

một khoản vay, và sự quan tâm là sự khác biệt giữa

the interest it pays is the difference between the price

giá mà tại đó các chứng khoán được bán và giá mà

at which the securities are sold and the price at which

họ đang mua lại. Lãi suất này được gọi là lãi suất mua

they are repurchased. The interest rate is referred to

lại (Repo rate).

as the repo rate.

Nếu cơ cấu một cách cẩn thận, một repo liên

If structured carefully, a repo involves very little

quan đến rủi ro tín dụng rất ít. Nếu người vay không

credit risk. If the borrower does not honor the

tôn trọng thỏa thuận, các công ty cho vay chỉ đơn giản

agreement, the lending company simply keeps the

là giữ các chứng khoán. Nếu công ty cho vay không

securities. If the lending company does not keep to its

giữ cho họ một số thỏa thuận, chủ sở hữu ban đầu

side of the agreement, the original owner of the

của chứng khoán giữ tiền mặt được cung cấp bởi các

securities keeps the cash provided by the lending

công ty cho vay. Các loại phổ biến nhất của repo là

company. The most common type of repo is an

repo qua đêm, trong đó có thể được tái tiếp tục ngày

overnight repo, which may be rolled over day to day.

này sang ngày khác. Tuy nhiên, thỏa thuận dài hạn,

However, longer-term arrangements, known as term

được gọi là Repo kì hạn, đôi khi được sử dụng. Bởi vì

repos, are sometimes used. Because they are

nó là tỷ lệ bảo đảm, lãi suất repo nói chung là một vài

secured rates, a repo rate is generally a few basis

điểm cơ bản dưới LIBOR hoặc fed funds rate.

points below the corresponding LIBOR or fed funds

rate.


9.3 Duration-Thời gian đáo hạn bình quân
9.3

DURATION

Duration là một thuật ngữ được sử dụng rộng rãi dùng
Duration is a widely used measure of a portfolio’s

để đo lường về độ nhạy cảm của 1 trái phiếu với

exposure to yield curve movements. Suppose y is a

những thay đổi trong lợi suất trái phiếu.( Là thời gian

bond’s yield and B is its market price. The duration D

đáo hạn bình quân gia quyền của các khoản thu nhập

of the bond is defined as

bằng tiền từ trái phiếu, với quyền số là hiện giá của

D=

chúng. Dùng để đo biến động giá trái phiếu khi lãi suất

(9.1)

thị trường thay đổi)
so that
Giả sử gọi y là lợi suất của trái phiếu và B giá trị thị
ΔB =−DBΔy

trường của trái phiếu đó. Lúc này Duration được xác

where Δy is a small change in the bond’s yield and
ΔB is the corresponding change in its price. Duration
measures the sensitivity of percentage changes in

định theo công thức:
D=

(9.1)

the bond’s price to changes in its yield. Using
calculus notation, we can write
D=

Suy ra:

(9.2)

1 ΔB = - D B Δy

Trong đó Δy là sự thay đổi nhỏ trong lợi suất trái phiếu

Consider a bond that provides cash flows

c

, c2,

1

…, cn at times t1, t2,…, tn. (The cash flows consist of
the coupon and principal payments on the bond.) The
bond yield, y, is defined as the discount rate that
equates the bond’s theoretical price to its market
price. We denote the present value of the cash flow

và ΔB sẽ thay đổi tương ứng theo giá. Duration đo
lường độ nhạy cảm của phần trăm sự thay đổi trong
giá trái phiếu sẽ dẫn đến sự thay đổi của lợi suất của
trái phiếu đó. Có thể viết theo công thức:
D=

(9.2)

ci, discounted from time ti to today at rate y, by vi so
that the price of the bond is

Khảo sát dòng tiền của 1 trái phiếu c1, c2…trong thời
điểm t1, t2…(dòng tiền bao gồm các khoảng lợi tức và

n

thanh toán chính trên trái phiếu). Lợi tức trái phiếu y

B =∑vi

được định nghĩa là tỷ lệ chiết khấu tương đương giá lý

i=1

thuyết của trái phiếu theo giá thị trường của nó. Chúng
ta biểu thị các giá trị hiện tại của dòng tiền là ci, chiết

An alternative definition of duration is
D = ()

khấu từ thời điểm đến ngày hôm nay là y thay bằng Vi
(9.3)

The term in parentheses in equation (9.3) is the

vì thế ta có giá chiết khấu là:


ratio of the present value of the cash flow at time ti to

B=

the bond price. Equation (9.3) therefore defines

Một định nghĩa khác của Duration là:

duration as a weighted average of the times when

D = ()

payments are made, with the weight applied to time ti
being equal to the proportion of the bond’s total
present value provided by the cash flow at time ti.
(The sum of the weights is 1.0.) This definition
explains where the term duration comes from.
Duration is a measure of how long the bondholder
has to wait for cash flows

(9.3)

Thành phần trong ngoặc đơn trong phương trình
(9.3) tỷ số

là tỷ số giữa giá trị hiện tại của dòng

tiền ở thời điểm chia cho giá trái phiếu. Phương
trình (9.3) định nghĩa Duration như là tỷ trọng
trung bình của số lần được thanh toán, với khối
lượng được áp dụng cho thời gian (Tổng của tỉ
trọng là 1) Định nghĩa này giải thích cho kỳ hạn
đáo hạn bình quân đến từ đâu. Duration là thước
đo thời gian bao nhiêu lâu trái chủ nhận được

TABLE 9.3 Calculation of Duration

dòng tiền.

Time

Cash

Present

Weight

Time x

(years)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Total

flow ($)
5
5
5
5
5
105
130

value
4.709

4.435
4.176
3.933
3.704
73.256
94.213

0.050
0.047
0.044
0.042
0.039
0.778
1.000

Weight
0.025
0.047
0.066
0.083
0.098
2.333
2.653

A zero-coupon bond that lasts n years has a duration
of n years. However, a coupon-bearing bond lasting

Bảng 9.3 Tính toán Duration
Thời gian (Năm)

Dòng tiền ($)

Giá trị hiện tại

0.5
1
1.5
2
2.5
3
Total

5
5
5
5
5
105
130

4.709
4.435
4.176
3.933
3.704
73.256
94.213

n years has a duration of less than n years, because
the holder receives some of the cash payments prior

Một trái phiếu zero-coupon kéo dài n năm có thời gian

to year n.

đáo hạn là n năm. Tuy nhiên, một trái phiếu coupon

If the bond’s yield, y, in equation (9.1) is

chịu kéo dài n năm nhưng có thời gian đáo hạn ít hơn

measured with continuous compounding it turns out

n năm, bởi vì người giữ nhận được các khoản thanh

that the definitions of duration in equations (9.1) and

toán bằng tiền trước năm n.

(9.3) are the same. (See Problem 9.15.)
Consider a three-year 10% coupon bond with a

Nếu lợi suất của trái phiếu y trong phương trình (9,1)

face value of $100. Suppose that the yield on the

được đo bằng lãi kép liên tục nó chỉ ra rằng định nghĩa

bond

Duration trong phương trình (9.1) và (9.3) là như nhau.

is

12%

per

annum

with

continuous

compounding. This means that y = 0.12. Coupon

(xem problem 9.15)

payments of $5 are made every six months. Table

Xem xét một trái phiếu có thời gian đáo hạn 3 năm, lãi

9.3 shows the calculations necessary to determine

suất coupon 10% có mệnh giá $100. Giả sử rằng lãi

the bond’s duration.The present values of the bond’s

suất trái phiếu là 12% mỗi năm với lãi kép liên tục.

cash flows, using the yield as the discount rate, are

Điều này có nghĩa rằng y =12%. Thanh toán lãi suất
coupon là $5 được thực hiện mỗi 6 tháng. Bảng 9.3


shown in column 3. (For example, the present value

cho thấy các tính toán cần thiết để xác định Duration.

of the first cash flow is 5e−0.12×0.5 = 4.709.) The sum of

Giá trị hiện tại dòng tiền của trái phiếu, sử dụng lãi suất

the numbers in column 3 is the bond’s market price,

chiết khấu như là lợi suất của trái phiếu, được hiển thị

94.213. The weights are calculated by dividing the

trong cột 3.(Ví dụ: giá trị hiện tại của dòng tiền đầu tiên

numbers in column 3 by 94.213. The sum of the

là = 4.709.) Tổng các số trong cột 3 là giá thị trường

numbers in column 5 gives the duration as 2.653

của trái phiếu, bằng 94,213. Các trọng số được tính

years.

bằng cách chia các số trong cột 3 cho 94,213. Tổng

Small changes in interest rates are often

các số ở cột 5 cho Duration là 2,653 năm.

measured in basis points. A basis point is 0.01% per

Những thay đổi nhỏ trong tỷ lệ lãi suất thường được đo

annum. The following example shows that equation

bằng điểm cơ bản. Một điểm cơ bản là 0.01% mỗi

(9.1) is correct when duration is defined as in

năm. Ví dụ sau đây cho thấy phương trình (9.1) là

equation (9.3) and yields are measured with

chính xác khi Duration được định nghĩa như trong

continuous compounding.

phương trình (9.3) và lợi suất được đo bằng lãi kép
liên tục
Ví dụ 9.1

EXAMPLE 9.1

Đối với trái phiếu trong Bảng 9.3, giá trái phiếu, B là

For the bond in Table 9.3, the bond price, B, is

94,213 và Duration D là 2,653 để có được phương

94.213 and the duration, D, is 2.653 so that equation

trình (9.1)

(9.1) gives
ΔB =−94.213 × 2.653Δy
ΔB =−94.213 × 2.653Δy
Or

Hoặc: ΔB =−249.95Δy

ΔB =−249.95Δy

When the yield on the bond increases by 10 basis

Khi lãi suất trái phiếu tăng 10 điểm cơ bản (= 0.1%),

points

duration

Δy =+0.001. Duration liên hệ bởi dự đoán ΔB =−249.95

relationship predicts that ΔB =−249.95 × 0.001

× 0.001 =−0.250 do đó giá trái phiếu đi xuống 94.213 −

=−0.250 so that the bond price goes down to 94.213

0.250 = 93.963. Làm cách nào chính xác đây? Khi lãi

− 0.250 = 93.963. How accurate is this? When the

suất trái phiếu tăng 10 điểm cơ bản lên 2,1%, giá trái

bond yield increases by 10 basis points to 12.1%, the

phiếu là

(=

0.1%),

Δy

=+0.001.

The

bond price is
Đó là (ba số thập phân) giống như dự đoán của các
mối quan hệ Duration.

which is (to three decimal places) the same as that
predicted by the duration relationship.

Modified Duration – Duration điều chỉnh
Định nghĩa của Duration trong phương trình (9.3) đã
được đề xuất bởi Frederick Macaulay năm 1938. Nó
được gọi là Macaulay Duration. Như đã đề cập, khi lợi

Modified Duration

suất y của trái phiếu được đo bằng lãi kép liên tục, nó

The definition of duration in equation (9.3) was

tương đương với định nghĩa trong phương trình (9.1).


suggested by Frederick Macaulay in

Khi Duration được xác định bằng phương trình (9.1).

1938. It is referred to as Macaulay’s duration. As

và tần số kép khác được sử dụng cho y, một điều

mentioned, when the yield y on the bond is

chỉnh nhỏ là cần thiết cho Macaulay Duration. Khi y

measured

is

được đo bằng lãi kép hàng năm, có thể thấy rằng các

equivalent to the definition in equation (9.1). When

biểu thức D trong phương trình (9.3) phải được chia

duration is defined using equations (9.1) and other

cho 1 + y. Tổng quát hơn, khi y được thể hiện với một

compounding frequencies are used for y, a small

tần số kép của m lần mỗi năm, nó phải được chia cho

adjustment is necessary to Macaulay’s duration.

1 + y / m. (Xem Problem 9.15.) Duration xác định với

When y is measured with annual compounding, it

những điều chỉnh cho phương trình (9.3) được gọi là

can be shown that the expression for D in equation

Duration điều chỉnh

with

continuous

compounding,

it

(9.3) must be divided by 1 + y. More generally, when
y is expressed with a compounding frequency of m

Ví dụ 9.2

times per year, it must be divided by 1 + y∕m. (See

Các trái phiếu trong bảng 9.3 có giá 94,213 và

Problem

these

Duration là 2,653 năm. Lợi suất diễn tả với lãi kép nửa

adjustments to equation (9.3) is referred to as

năm là 12,3673%. (Xem Phụ lục A) Duration điều chỉnh

modified duration.

thích hợp để tính độ nhạy cảm với lợi suất khi nó đi với

9.15.)

Duration

defined

with

lãi kép nửa năm là
EXAMPLE 9.2

Từ phương trình (9.1),

The bond in Table 9.3 has a price of 94.213 and a
duration

of

semiannual

2.653. The

yield,

compounding

is

expressed with
12.3673%.

(See

Appendix A.) The (modified) duration appropriate for

ΔB =−94.213 × 2.4985Δy
Hoặc
ΔB =−235.39Δy

calculating sensitivity to the yield when it is
expressed with semiannual compounding is

Khi lợi suất (nửa năm một lần) tăng bằng 10 điểm cơ
bản (= 0,1%), Δy = + 0,001. Các mối quan hệ Duảtion
dự đoán rằng chúng ta mong đợi ΔB là -235,39 ×

From equation (9.1),

0,001 = -0,235 khi đó giá cả trái phiếu đi xuống 94,2130,235 = 93,978. Làm thế nào chính xác đây là? Khi lợi

ΔB =−94.213 × 2.4985Δy
Or

suất trái phiếu (nửa năm một lần) tăng từ 10 điểm cơ
bản đến 12,4673% (hoặc đến 12,0941% với lãi kép

ΔB =−235.39Δy

liên tục), một tính toán chính xác tương tự như trong ví
When

the

yield

(semiannually

compounded)

dụ trên cho thấy rằng giá trái phiếu trở thành 93,978.

increases by 10 basis points (= 0.1%), Δy =+0.001.

Điều này cho thấy rằng Duration điều chỉnh là chính

The duration relationship predicts that we expect ΔB

xác những thay đổi lợi suất nhỏ.

to be −235.39 ×
0.001 =−0.235 so that the bond price goes down to
94.213 − 0.235 = 93.978. How accurate is this?

Dollar Duration


When the bond yield (semiannually compounded)

Dollar Duration của một trái phiếu được xác định là sản

increases by 10 basis points to 12.4673% (or to

phẩm của Duuration và giá cả của nó. Nếu là Dollar

12.0941% with continuous compounding), an exact

Duration, nó được xác định từ phương trình (9.1) là

calculation similar to that in the previous example
shows that the bond price becomes 93.978. This

ΔB =− Δy

shows that the modified duration is accurate for small
yield changes.

=Trong khi đó, Duration liên quan thay đổi tỷ lệ thuận với

Dollar Duration
The dollar duration of a bond is defined as the
product of its duration and its price. If D$ is dollar
duration, it follows from equation (9.1) that
ΔB =−D$Δy
or using calculus notation
dB
D$ =−
dy
Whereas duration relates proportional changes in
a bond’s price to its yield, dollar duration relates
actual changes in the bond’s price to its yield. Dollar

duration is similar to the delta measure discussed in
Chapter 8.

giá của trái phiếu đến lợi suất của nó, Dollar Duration
liên quan thay đổi thực tế giá của trái phiếu đến năng
suất của nó. Dollar Duration tương tự như các biện
pháp đồng thảo luận trong Chương 8.


9.4 Độ lồi của trái phiếu :
9.4

CONVEXITY

Duration liên quan đến đo lường những thay đổi nhỏ

The duration relationship measures exposure to

trong lợi suất. Điều này được minh họa trong đồ thị

small changes in yields. This is illustrated in Figure

9.2, cho thấy mối quan hệ giữa sự thay đổi phần trăm

9.2, which shows the relationship between the

trong giá và lợi suất của 2 trái phiếu có cùng Duration.

percentage change in value and change in yield for

Độ dốc của cả 2 đường cong là giống nhau ở điểm

two bonds with the same duration. The gradients of

gốc. Điều đó có nghĩa là ở cả hai danh mục đều có

the two curves are the same at the origin. This

phần trăm thay đổi giá bằng với thay đổi nhỏ trong lợi

means that both portfolios change in value by the

suất, như đã được dự đoán bằng công thức.
ΔB
B

same percentage for small yield changes, as
predicted by equation
X
ΔB
B

Y

X
Y
Δy

Δy

X
Y

X
Y

FIGURE 9.2 Hai trái phiếu với cùng chu kỳ và độ lồi
khác nhau
IGURE 9.2Two Bonds with the Same Duration and
Different Convexities

(9.1) Đối với sự thay đổi lớn trong lợi suất, trái phiếu sẽ
phản ứng khác đi. Trái phiếu X “ cong hơn “ so với lợi

(9.1). For large yield changes, the bonds behave

suất hơn trái phiếu Y. Một nhân tố được biết tới như là

differently. Bond X has more curvature in its

“ độ lồi “ đo lường độ cong này và có thể dùng để cải

relationship with yields than bond Y. A factor known

thiện quan hệ giữa giá và lợi suất của giá trái phiếu.

as convexity measures this curvature and can be

Độ lồi của một trái phiếu là

used to improve the relationship between bond
prices and yields.
The convexity for a bond is

Với y là lợi suất trái phiếu được đo lường với lãi kép
liên tục. Đó là trung bình có trọng số của bình phương

where y is the bond’s yield measured with continuous
compounding. This is the weighted average of the

thời gian với sự thu về của dòng tiền. Từ phụ lục G,
phép tính xấp xỉ bậc 2 đối với sự thay đổi giá trái phiếu
là


square of the time to the receipt of cash flows. From
Appendix G, a second order approximation to the
change in the bond price is
Dẫn tới

(9.4)

This leads to

Ví dụ 9.3
Xem xét lại lần nữa trái phiếu trong bảng 9.3. Giá trái
phiếu, B, là 94.213 và duration, D, là 2.653. Độ lồi là
0.05 x 0.52 + 0.047 x 1.02 + 0.044 x 1.52 + 0.042 x 2.02

EXAMPLE 9.3

Consider again the bond in Table 9.3. The bond

+ 0.039 x 2.52 + 0.779 x 3.02 = 7.570

price, B, is 94.213 and the duration,
D, is 2.653. The convexity is
0.05 × 0.52+ 0.047 × 1.02+ 0.044 × 1.52+
0.042 × 2.02+ 0.039 × 2.52
Mối quan hệ độ lồi trong phép tính (9.4) do đó sẽ là
2

+0.779 × 3.0 = 7.570
The convexity relationship in equation (9.4) is
therefore
Xem xét một sự thay đổi 2% trong lợi suất trái phiếu từ
12% lên 14%. Quan hệ duration dự đoán sự thay đổi
đồng USD trong giá trị của trái phiếu sẽ là -94.213 x
Considera 2% change in the bond yield from 12% to

2.653 x 0.02 = -4.999. Liên hệ độ lồi dự đoán rằng nó

14%.The duration relationship predicts that the dollar

sẽ là

change in the value of the bond will be −94.213 ×

-94.213 x 2.653 x 0.02 + 0.5 x 94.213 x 7.570 x 0.02 2 =

2.653 ×

-4.856

0.02 =−4.999. The convexity relationship predicts
that it will be
−94.213 × 2.653 × 0.02 + 0.5 × 94.213 ×

Thực tế thay đổi trong giá trị của trái phiếu là -4.859.

7.570 × 0.022 =−4.856

Điều này cho thấy quan hệ độ lồi cho kết quả chính
xác hơn nhiều so với duration đối với sự thay đổi lớn

The actual change in the value of the bond is −4.859.

trong lợi tức trái phiếu.


This shows that the convexity relationship gives
much more accurate results than duration for a large

Zero rate

change in the bond yield.
Zero rate
Shifted zero rate

Zero rate

Zero rate
Shifted zero rate
Maturity

FIGURE9.3

A Parallel Shift in Zero Rates

Maturity
Độ lồi
DOLLAR

FIGURE9.3

A Parallel Shift in Zero Rates

Độ lồi dolla của trái phiếu, C$, có thể được định nghĩa
một cách tương tự đối với duration của dollar như là

Dollar Convexity

sản phẩm của độ lồi và giá trị của trái phiếu. Điều đó

The dollar convexity of a bond, C$, can be defined

có nghĩa là

analogously to dollar duration as the product of

C$ =

convexity and the value of the bond. This means that

và cho thấy rằng độ lồi dollar là tương tự với biện pháp
gamma được giới thiệu ở chương 8.

C$ =
and shows that dollar convexity is similar to the
gamma measure introduced in Chapter 8.


9.5 TỔNG HỢP
9.5

GENERALIZATION
Đến nay chúng tôi đã sử dụng thời gian đáo hạn bình
quân (Duration) và độ lồi trái phiếu để đo độ nhạy của

So far we have used duration and convexity to

giá một trái phiếu riêng lẻ với lãi suất. Các định nghĩa

measure the sensitivity of the price of a single bond

về thời gian đáo hạn bình quân (Duration) và độ lồi trái

to interest rates. The definitions of duration and

phiếu có thể được khái quát để họ áp dụng đối với một

convexity can be generalized so that they apply to a

danh mục đầu tư của trái phiếu, hoặc cho bất kỳ danh

portfolio of bonds—or to any portfolio of interest rate-

mục đầu tư nào có công cụ phụ thuộc lãi suất. Chúng

dependent instruments. We define a parallel shift in

tôi xác định một sự thay đổi song song trong các

the zero-coupon yield curve as a shift where all zero-

đường cong lợi suất zero-coupon như một sự thay đổi

coupon interest rates change by the same amount,

nơi mà tất cả lãi suất zero-coupon thay đổi bởi lượng

as indicated in Figure 9.3.

tương tự như nhau, như được chỉ ra trong hình 9.3.

Suppose that P is the value of the portfolio of

Giả sử P là giá trị của danh mục đầu tư chứng khoán

interest-rate-dependent securities. We can make a

phụ thuộc lãi suất. Chúng tôi có thể tạo ra một sự thay

small parallel shift in the zero-coupon yield curve and

đổi song song nhỏ trong các đường cong lợi suất zero-

observe the change ΔP in P. Duration is defined as

coupon và quan sát sự thay đổi ΔP theo P. Thời gian

(9.5)

đáo hạn bình quân (Duration) được xác định là:

where Δy is the size of the small parallel shift. 6
Equation (9.5) is equivalent to
(9.6)
Suppose a portfolio consists of a number of
interest-rate dependent assets. The i th asset is

(9.5)
Với Δy là sự thay đổi của sự dịch chuyển song song
nhỏ đường cong lợi suất giao ngay. Phương trình (9.5)
tương đương với

worth Xi and has a duration Di (i = 1,2,…,n). Define
ΔXi as the change in the value of Xi arising from the
yield curve shift Δy. It follows that P =∑ni=1 Xi and
Xi so that from equation (9.5) the
duration of the portfolio is given by

(9.6)
Giả sử một danh mục đầu tư bao gồm một số tài sản
phụ thuộc vào lãi suất. Các tài sản thứ i là giá trị Xi và
có một thời gian đáo hạn bình quân Di (i = 1,2, ..., n).
Xác định ΔXi là sự thay đổi trong giá trị của Xi phát

The duration of the ith asset is

sinh từ việc thay đổi đường cong lợi suất Δy. Theo đó
P =∑ni=1 Xi và do đó từ phương trình (9.5) trong suốt
thời gian đáo hạn bình quân của danh mục đầu tư

Hence

được cho bởi

This shows that the duration D of a portfolio is the
weighted average of the durations of the individual

Duration của tài sản thứ i là

6 A small parallel shift of Δy in the zero-coupon yield curve leads to the yield of all bonds changing by approximately Δy.


assets comprising the portfolio with the weight
assigned to an asset being proportional to the value
of the asset.

Vì thế

The dollar duration D$ of a portfolio can be
defined as duration of the portfolio times the value of
Điều này cho thấy rằng thời gian đáo hạn bình quân

the portfolio:

(Duration) D của một danh mục đầu tư là bình quân gia
ΔP
D$ =−
Δy

quyền của các thời hạn đáo hạn bình quân của các tài
sản riêng lẻ với tỉ trọng mỗi tài sản trong danh mục đầu
tư là tỷ lệ thuận với giá trị của tài sản.

This is a measure of the delta of the portfolio with

Dollar duration D$ của một danh mục đầu tư có thể

respect to interest rates. The dollar duration of a

được định nghĩa như Duration của danh mục nhân với

portfolio consisting of a number of interest-rate-

giá trị của danh mục đầu tư.

dependent assets is the sum of the dollar durations
of the individual assets.

Đây là một đo lường delta của danh mục đầu tư với lãi
suất. Dollar duration của một danh mục đầu tư bao

The convexity measure can be generalized in the
same way as duration. For any interest-rate-

gồm một số tài sản có phụ thuộc lãi suất là tổng Dollar
duration của các tài sản riêng lẻ.

dependent portfolio whose value is P we define the
convexity C as 1∕P times the second partial derivative

Phương pháp đo lường độ lồi trái phiếu có thể được

of the value of the portfolio with respect to a parallel

khái quát tương tự theo cách như thời gian đáo hạn

shift in the zero-coupon yield curve. Equation (9.4) is

bình quân (Duration). Đối với bất kỳ danh mục đầu tư

correct with B replaced by P:

phụ thuộc lãi suất có giá trị là P ta định nghĩa độ lồi C
là 1 / P nhân đạo hàm riêng bậc hai về giá trị của danh
mục đầu tư đối với một sự thay đổi song song trong

(9.7)

đường cong lợi suất zero coupon . Phương trình (9.4)
The relationship between the
convexity

là đúng với B thay thế bằng P:

of a portfolio and the convexity

of the assets comprising the portfolio is similar to that

(9.7)

for duration: the convexity of the portfolio is the
weighted average of the convexities of the assets
with the weights being proportional to the value of the
assets. For a portfolio with a particular duration, the
convexity tends to be greatest when the portfolio
provides payments evenly over a long period of time.
It is least when the payments are concentrated
around one particular point in time.
The dollar convexity for a portfolio worth P can
be defined as P times the convexity. This a measure

Mối quan hệ giữa độ lồi của một danh mục
đầu tư và độ lồi của các tài sản trong các danh mục
đầu tư là tương tự như đối với thời gian đáo hạn bình
quân (Duration): độ lồi của danh mục đầu tư là bình
quân gia quyền của các độ lồi của tài sản với tỷ trọng
tài sản là tỷ lệ thuận với giá trị của tài sản. Đối với một

danh mục đầu tư có thời hạn đáo hạn bình quân
(Duration) cụ thể, độ lồi có xu hướng trở nên lớn nhất
khi các danh mục đầu tư cung cấp thanh toán đều qua


of the gamma of the portfolio with respect to interest

một khoảng thời gian dài. Là ít nhất là khi các khoản

rates. The dollar convexity of a portfolio consisting of

thanh toán được tập trung xung quanh một thời điểm

a number of interest-rate-dependent positions is the

cụ thể.

sum of the dollar convexities of the individual assets.

Độ lồi Dollar cho một danh mục đầu tư trị giá P có thể

Portfolio Immunization
A portfolio consisting of long and short positions in
interest-rate-dependent assets can be protected
against relatively small parallel shifts in the yield
curve by ensuring that its duration is zero. It can be
protected against relatively large parallel shifts in the
yield curve by ensuring that its duration and
convexity are both zero or close to zero.

được định nghĩa là P nhân với độ lồi. Đây là một
phương pháp đo lường gamma của danh mục đầu tư
đối với lãi suất. Độ lồi Dollar của một danh mục đầu tư
bao gồm số lượng của vị thế phụ thuộc lãi suất là tổng
của độ lồi dollar của tài sản riêng lẻ.
Danh mục phòng ngừa.
Một danh mục đầu tư bao gồm các vị thế dài hạn và
ngắn hạn tài sản phụ thuộc lãi suất có thể bảo vệ
chống lại sự thay đổi song song tương đối nhỏ trong
các đường cong lợi suất bằng cách đảm bảo rằng thời
gian đáo hạn bình quân (Duration) của nó là không (0).
Nó có thể được bảo vệ chống lại sự thay đổi song
song tương đối lớn trong đường cong lãi suất bằng
cách đảm bảo rằng thời gian đáo hạn bình quân của
nó và và độ lồi trái phiếu của nó đều là số không(0)
hoặc gần bằng không(0)