đạo hàm cấp 2

ξ

5. ĐẠO HÀM CẤP HAI

I. ĐỊNH NGHĨA
Hoạt động 1
Ta có:

Tính y’ và đạo hàm của y’, biết:

a. y =x −5 x
3

2

a. y ' = ( x 3 − 5 x 2 + 4 x ) ' = 3 x 2 − 10 x + 4

⇒( yy')''' =
=(3
(3xx22 −
−10
10xx +
+4)
4)'' =
=

+4 x

= 6 x 2 −10

b. y =sin x

Định nghĩa:
Chúsử
ý: hàm số y = f(x) có đạo hàm tại
Giả
mọi điểm x thuộc khoảng (a;b). Khi đó hệ
+, Đạo hàm cấp 3 của hàm số f(x)
thức y’ = f ’(x) xác định một hàm số mới
được định nghĩa tương tự và ký hiệu là
trên khoảng (a;b). Nếu(3)hàm số y’ = f ’(x)
y’’’ hoặc f ’’’(x) hoặc f ( x )
lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm
của
y’ là
đạosốhàm
hai hàm
của hàm
+, Cho
hàm
f(x) cấp
có đạo
cấp số y
(y’’
n −1)hoặc f ’’(x).
= f(x) và ký hiệu là
f
( x)(n ∈ N , n ≥ 4)
n – 1, kí hiệu là

b. y ' = (sin x ) ' = cos x

(cosx
= sin
− sin
⇒ (yy''')=' (=cosx
) ' )=' −
xx
Ví dụ:

( n −1)

( x) có đạo hàm thì đạo
Nếu f
hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp
(n)
n của f(x), kí hiệu lày
hay f ( n ) ( x )

y = x5
⇒ y ' = 5x4
⇒ y '' = 20 x 3
⇒ y ''' = 60 x 2
⇒ y (4) = 120 x

Đồng hồ


ξ

5. ĐẠO HÀM CẤP HAI

MỘT SỐ VÍ DỤ
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số
sau:

a. Ta có:

1
a. y =
b. y = cos 2 x
1− x

1
1
y'= (
)' =
1− x
(1 − x) 2

1
2(1 − x)
2
⇒ y '' = (
)' =
=
2
4
(1 − x)
(1 − x) (1 − x)3
b. Ta có:

y ' = (cos 2 x) ' = 2 cos x (cos x) '

= −2 cos x.sin x = −sin 2x

⇒ y '' = −(sin 2 x) '
Đồng hồ

= − 2cos 2x


ξ

5. ĐẠO HÀM CẤP HAI

II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI:
Ta đã biết, ý nghĩa vật lý của đạo
(t ) là
Gọi
thời của
hàm γhàm
sốgia
s =tốc
s(t)tức
(phương
trình
chuyển
độngđộng
tại thời
điểmtạit,ttalàcó:
của chuyển

thẳng)
vận
o
tốc
γ (ttức
) = thời
f ’’(t) của chuyển động tại thời
điểm to :
v(to) = s’(to)
Như vậy: đạo hàm cấp hai f ’’(t) là
gia tốc tức thời của chuyển động
s = f(t) tại thời điểm t

VD:
Gia tốc tức thời của sự rơi tự do:

s=

1 2
gt là:
2

s '' = g

CỦNG CỐ
Giải các bài tập SGK: 1, 2(b, c), trang
147