ứng dụng của tích phân

CHƯƠNG III :
NGUYÊN HÀM
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§3 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN TRONG HÌNH HỌC


I - TÍNH DiỆN TÍCH HÌNH PHẲNG


Ở Hđ1 bài 2 ta đã tính diện tích S của hình thang
vuông giới hạn bởi các đường thẳng :
y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5.

Các em hãy so sánh diện tích hai
hình S và S1, cho nhận xét.

Ta có :
5

[

S = ∫ (2 x + 1)dx = x + x
2

]

1

S1

= 30 − 2 = 28
–

trong khi ðó :
5

]

1
5

= −30 + 2 = −28

1

−x

5

–

1

2

2x

∫ (−2 x − 1)dx = [− x

S

y=

1

5

y=

S1=SABCD= (AD+BC)xAB/2 = 28

2x

+

1

HOẠT ĐỘNG 1 :
Hãy tính diện tích hình thang vuông giới hạn bởi các
đường thẳng : y = – 2x – 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5


1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành :
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm trên đoạn [a ; b] .
Được biết cách tính diện tích hình thang cong y
B’
= f(x) ; trục hoành và x = a , x = b
y
b

S =∫ f

A’

( x ) dx

( 1)

a

Trường hợp f (x) âm trên đoạn [a ; b] Thì - f(x) > 0

O

a

b

S

x

và diện tích hình thang cong aABb bằng diện tích
hình thang cong aA’B’b là hình đối xứng của
hình thang đã cho qua trục hoành . Do đó :
b

S = S aABb = S aA ' B ' b = ∫( − f

( x ) ) dx

( 2)

a

Trường hợp tổng quát :
A

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của
hàm số f(x) liên tục , trục hoành và hai đường
thẳng x = a , x = b ( hình vẽ bên)
Được tính theo công thức :

B

y

y = f(x)

b

S=

O

a

b

x

∫ f ( x ) dx
a

( 3)


Ví dụ 1 :

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x3 , trục
hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = 2

Giải :
Ta có

x 3 < 0 trên đoạn [- 1 ; 0]
x 3 ≥ 0 trên đoạn [ 0 ; 2 ]

Áp dụng công thức có :
2

0

S = ∫ x dx = ∫ ( −x
3

−1

2

3

−1

x4
=−
4
=

17
4

0

) dx + ∫ x dx

x4
+
4
−1

3

0

2

0

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong :
Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Gọi D là hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường x = a ; x = b .
Xét trường hợp f1(x) ≥ f2(x) với mọi x ∈ [a ; b]

y

Gọi S1 , S2 là diện tích hai hình thang cong giới
hạn bởi trục hoành , x = a , x = b và các đường
cong y = f1(x) , y = f2(x) tương ứng .

y = f1(x)

D

Khi đó diện tích D sẽ là :
b

b

a

a

S = S1 − S 2 = ∫ f1 ( x ) dx − ∫ f 2 ( x ) dx

y = f2(x)

trường hợp tổng quát và có
b

O

Chú ý :

a

S=

x

b

∫ f ( x ) −f ( x )
1

2

dx

( 4)

a

Khi áp dụng công thức (4) , cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích
phân . Ta phải giải phương trình : f1(x) – f2(x) trên đoạn [a ; b] . Giả sử có 2 nghiệm c
< d . Khi đó f1(x) – f2(x) không đổi dấu trên các đoạn [a ; c] ; [c ; d] ; [d ; b]. Ví dụ trên
[a ; c] thì :
c
c

∫ f ( x) − f ( x)
1

a

2

dx =

∫( f ( x ) − f ( x ) ) .dx
1

a

2


Ví dụ 2 :

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x ; y
= sin x , và hai đường thẳng x = 0 , x = π .

Giải :
Đặt f1 (x) = cos x ; f2 (x) = sin x
Ta có : f1 (x) - f2 (x) = cosx - sin x = 0

⇔x =

π

4

⇒x ∈[ 0 ; π ]

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là :
π

S = ∫ cos x −sin x dx
0

=

π/ 4

∫

cos x −sin x dx +

0

=

π

∫
π

cos x −sin x dx

/4

π/ 4

π

∫ ( cos x −sin x ) dx + π∫ ( cos x −sin x ) dx
0

= ( cos x −sin x )
=2 2

/4

π/4
0

π

+ ( cos x −sin x ) π / 4


Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong
y = x3 – x và y = x – x2

Ví dụ 3 :

Giải :
3
2
Ta có : f1 (x) - f2 (x) = (x3 – x) – (x – x2 ) = 0 ⇔ x + x − 2 x = 0 ⇔ x1 = −2; x2 = 0; x3 = 1

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là :
1

S = ∫ x 3 + x 2 − 2 x dx
0 −2
3

1

= ∫ x + x −2 x dx + ∫ x 3 + x 2 − 2 x dx
2

−2
0

=

∫( x

−2

0

3

1

+ x − 2 x ) dx + ∫( x 3 + x 2 − 2 x ) dx
2

0

0

1

 x4
 x4

x3
x3
2 
=
+
−x ÷ + 
+
− x2 ÷
3
3
 4
 −2
 4
0
=

8
5
37
+
=

3 12 12


II - TÍNH THỂ TÍCH


Hoạt động 2
Nhắc lại công thức tính thể tích hình lăng trụ có diện tích đáy bằng B , đường cao h ?
V=Bh

1. Thể tích của vật thể :

Q

P

Cho một vật thể (Hình vẽ)
Cắt vật thể bởi hai mặt phẳng
(P) và (Q) vuông góc với trục
Ox lần lượt tại x = a và x = b (
a < b)
Một mặt phẳng tùy ý vuông
góc với Ox tại điểm x
( a ≤ x ≤ b) , cắt hình đã cho
theo thiết diện có diện tích
S(x) .
Giả sử S(x) liên tục trên
đoạn [a ; b]

S(x)

O

x

a

b

x

Người ta đã chứng minh được : Thể tích V của phần vật thể trên giới hạn bởi hai mặt phẳng (P)
và (Q) được tính bởi công thức :
b

V=

∫S ( x )
a

dx

( 5)


Tính thể tích khối lăng trụ , biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h .

Ví dụ 4 :

Giải :

Chọn trục Ox song song đường cao của khối
lăng trụ , còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng
vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h .
Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox .cắt
lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi
bằng B ( S(x) = B với 0 ≤ x ≤ h )

x

h

Áp dụng công thức (5) có :
h

h

V = ∫ S ( x ) dx = ∫ Bdx
0

0

S(x) = B
x

h

= Bx 0 = Bh

O

2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :
a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B .
Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I
sao cho điểm O trùng với đỉnh của khối chóp và
O
uur
hướng xác định bởi véc tơ OI Lúc đó OI = h
Một mặt phẳng (α) vuông góc với Ox tại x
( 0 ≤ x ≤ h) cắt khối chóp theo thiết diện có
diện tích là S(x) .
Ta có :
x2
S ( x ) = B. 2
x

α

S(x)

h

Và thể tích V của khối chóp là :
h

x2
V = ∫ B. 2 dx
h
0
=

h

h

B x 

÷
h2  3  0
3

Bh
=
3

B
I
x


2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :
b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S , có diện tích đáy là B , B’ và đường cao h
Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy lớn
(P) tại điểm I . Mp đáy nhỏ (Q) tại I’ .
Đặt đỉnh S trùng với O . OI = b ; OI’ = a ( a < b)

S≡ O

Gọi V là thể tích khối chóp cụt , ta có :
b

x2
V = ∫ B. 2 dx
b
a

Q

B’
I’

B
= 2 ( b3 −a 3 )
3b
b −a a 2 + ab +b 2
= B.
.
3
b2
a2
Vì : B ' = B. 2
và h = b – a
b
h
nên V =
B + B '+ BB '
3

(

)

h
P

B
I
x


III - THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Bài toán :
Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường
thẳng x = a , x = b ( a < b) , quay xung quanh
trục Ox tạo thành một khối tròn xoay .

y
y = f(x)

Hãy tính thể tích V của nó .

Giải :
Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại x (a ≤ x ≤ b) là
hình tròn có bán kình : |f(x)|
Nên diện tích thiết diện là : S(x) = π .f 2 (x)
Vậy theo công thức (5) có :
b

V = π∫f 2 ( x ) dx
a

( 6)

O

a

x

b

x


Ví dụ 5 :

Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin x , trục hoành và hai
đường thẳng x = 0 , x = π . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay
hình này xung quanh trục Ox .

Giải :

y
y = sinx

Áp dụng công thức (6) có :
π

V =π ∫sin 2 x dx
0

=

ππ
2

∫( 1 −cos 2 x ) dx
0

π

π

1

=  x − sin 2 x ÷
2
2
0

=

π2
2

O

x

π

x


Ví dụ 6 :

Tính thể tích hình cầu bán kính R .
y

Giải :
Hình cầu bán kính R là khối tròn thu
được khi quay nửa hình tròn giới hạn
bởi đường y = R 2 − x 2
( - R ≤ x ≤ R ) , và đường thẳng y = 0
xung quanh trục Ox .
Vậy

R

V =π ∫

−R

(

R −x
2

2

)

2

R

=π ∫ ( R 2 − x 2 ) dx
−R

R

 2
x3 
=π  R x −
÷
3

 −R

=

4
πR 3
3

dx

-R

O

R

x


Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức
tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị
tuyệt đối)

S2

S1

5

S1 =

∫ f ( x)dx.

−1

5

S 2 = ∫ [− f ( x)]dx.
−1

a

2

b

c

0

a

2

b

S = ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx + ∫ [-f(x)]dx + ∫ f(x)dx


y

b

f(
x)
y

y

=

=

f(
x

)

Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x); các
em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng
sau (không còn dấu trị tuyệt đối)

=

y
g(
x)

S = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx
a

=

g(

x)

a

b

0

a

S = ∫ [ g ( x) − f ( x)] + ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx


THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

y
y = f(x)

b

V = π∫f 2 ( x ) dx
a

O

a

x

b