giới hạn của dãy số

Chương IV: GIỚI HẠN
§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

TiÕt 49, tuần 20


I.GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN


I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ


Câu hỏi 1> Cho dãy số ( un ) với



a/ Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển :

un

1
=
n

1 1 1 1
1
1
1
1, , , , ,...,
,...,

,...,
,...
2 3 4 5
10
100
2008





b/ Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số:
Hãy tính các khoảng cách từ u4 ; u10 ; u100; u2008; … đến
0
Em có nhận xét gì về các khoảng cách này khi n trở
nên rất lớn ?


Câu hỏi 2: Bắt đầu từ số hạng thứ bao nhiêu thì
khoảng cách này nhỏ hơn 0,001; nhỏ hơn 0,00001 ?


Vậy khi n lớn dần đến vô cùng thì khoảng cách này tiến
dần đến 0, hay ta nói rằng un dần đến 0.



Ta ký hiệu: un

→0

ĐỊNH NGHĨA 1:
Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương
vô cực nếu có thể u
nhỏ
hơn một số dương bé tuỳ
n
ý ,kể từ một số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu:
lim u n =0
hay un n →+0∞khi n


→
→

→∞


VÝ dô 1: Cho d·y sè (un) víi un



n
(
− 1)
=

u n =0
Chøng minh r»ng nlim

→+∞



n2

 ĐỊNH NGHĨA 2:
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a ( hay vn dần tới a ) khi n

lim (vn −a ) =0
n →+∞
Kí hiệu: lim vn = ahay vn
Nếu

n →+∞

a khi n

6n − 1
Ví dụ 2: Cho dãy số ( un) với
un =
3n + 2
6n −1
Chứng minh rằng lim
=2
n →+∞ 3n + 2

+∞

+∞



.Một vài giới hạn đặc biệt:
1
1
= 0; lim k = 0
n → +∞ n
n → +∞ n
b) lim q n = 0
a) lim

n → +∞

c) lim c = c
n → +∞

Víi k lµ sè nguyªn d­¬ng vµ /q/<1, c : hằng số
= a ta viết tắt là: lim un = a
Chú ý: Thay cho nlim
→ +∞


II* ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN


ĐINH LÝ 1:

a ) NÕu lim un = a vµ lim vn = b thi :

+ / lim( un + vn ) = a + b
+ / lim(un −vn ) = a −b
+ / lim(un .vn ) = a.b
un
a
+ / lim
= ( NÕu b ≠ 0 )
vn
b
b) NÕu u n ≥ 0 víi mäi n vµ lim u n = a thi a ≥ 0
vµ lim u n = a


C¸c vÝ dô:




VÝ dô 3:
3n 2 − n
T×m lim 1 + n 2
giải: Chia c¶ tö vµ
mÉu cho n2 th×:
3−

1
n

3n 2 − n
=

2
1
1 +n
+1
2
n

Lµm thÕ nµo ®Ó t×m ®­îc
giíi h¹n nµy ?

 1
 1

Ta cã lim 3 -  = 3 vµ lim  2 + 1 = 1
 n
n

 1
lim 3 − 
2
3n − n
n 3

Nª n lim
=
= =3
2
1+ n
 1  1
lim 2 + 1

n






VÝ dô 4:
T×m

1 + 4n
lim
1 − 2n

2

Ta cã lim

= lim

Cã thÓ t×m ®­îc giíi h¹n
mµ kh«ng ph¶i dïng phÐp
chia hay kh«ng? NÕu ®­îc,
H·y tr×nh bµy lêi gi¶i ?
1 + 4n 2
1 - 2n

1
+4
2

n
= lim
1

n −2 
n

n

1
+4
2
2
n
=
= −1
1
−2
−2
n


Bài tập 3C/121: Tìm
Bài tập vận dụng
Bài tập 2/121 (SGK): Biết dãy số (un) thoả mãn:
Chứng minh rằng : lim un = 1
Lời giải:

3n + 5.4 n
lim n n

4 +2

1
un − 1 < 3 ; ∀ n ∈ N *
n

1
§ Æt v n = un − 1 vµ w n = 3 .
n
Ta cã v n = un − 1 , limw n = lim

1
=0
3
n

Do đó |Wn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ một số hạng
nào đó trở đi. (1)
v n = u n −1 ≤ w n ≤ wn
(2)
Mặt khác theo giả thiết
Từ (1) và (2) suy ra lim an = 0. Vậy lim un = 1 (đpcm)


Hướng dẫn học ở nhà:






1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về
giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn
2/ Nhớ 3 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức
của định lý về giới hạn hữu hạn
3/ Làm bài tập 1; bài 3 ( Các câu a, b, d ) trang 121.


TiÕt 50, tuàn 21



III/ Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n



IV/ Giíi h¹n v« cùc


III/ Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n

H·y nª u nhËn xÐt vÒ cÊp sè sau :
1h¹n
1 lµ cÊp
1 sè nh©n v« h¹n
CÊp sè nh©n lïi1v«
, , ,..., n ,...
2 4béi8 q víi2 / q / < 1
cã c«ng



1) Kh¸i niÖm:

*/ D·y sè lµ mét cÊp sè nh©n.
*/ C«ng béi lµ q = 1/ 2, /q/ < 1
*/ D·y sè lµ cÊp sè nh©n v« h¹n.


III/ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Dãy số sau đây có phải là cấp số nhân lùi vô hạn không?
Nếu phải hãy chỉ ra công bội của cấp số đó?

1 1 1
1
1,- , , ,...,
3 9 27
3

n 1

,...

Hóy nờu cụng thc tớnh tng Sn ca cp s nhõn
lựi vụ hn bit u1 v Cụng bi q, vi /q/ < 1.
Tỡm gii hn ca tng Sn khi n > + ?


Lêi gi¶i:

u1 (1 − q n )
Ta cã Sn = u1 + u 2 + ... + u n =
1− q
 u1  n
u1
q
* ViÕt vÒ d¹ng : Sn =
− 
1 − q 1 − q 
 u1
 u1  n 
u1
q  =
Suy ra limSn = lim 
− 
1 − q  1 − q   1 − q
Do limq n = 0

u1
2) Tæng Sn = u1 + u 2 + ... + u n + ... =
1− q


III/ Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n

u1
Tæng Sn =
, ( q < 1)
1− q

C¸c vÝ dô:


VÝ dô 5: TÝnh tæng cña c¸c cÊp sè nh©n lïi v« h¹n
(un), sau:
1
1/ Víi u n = n
3

§¸p sè: S = 1/ 2

1 1 1
 1
2/ Víi 1,− , ,− ,+ ... +  − 
2 4 8
 2

§¸p sè: S = 2/ 3

n −1

+ ...


IV/ Giới hạn vô cực

1) Định nghĩa
Câu hỏi 3: Cho dãy số tự nhiên un= n
Định nghĩa về giới hạn vô cực:(SGK)

1/ ChoKí
un hiệu:
là mộtlimu
số tự=nhiên
bấtukỳ,
có
thểkhi
chỉnra
được
những
+
hay

>+

>+

n
n
số lớn hơn un không?
Limun =- hay un >- khi n >+
2/ Hãy nêuNhận
nhậnxét:
xét về
dãy=+
số vừa
xét?
Khoảng
cách giữa 0
limu

<=>
lim(-u
)
=
-
n
và un như thế nào khi nn > + ?



2/ Một vài giới hạn đặc biệt:



a) Lim nk = + với k nguyên dương
b) Lim qn = + nếu q>1

Các định lý về giới hạn hữu hạn có còn đúng khi áp dụng
vào giới hạn vô cực không? Ta xét các ví dụ sau.
Ví dụ 7: Tính các giới hạn lim 2 + 5 và lim3 n


n

2n + 5
Làm thế nào suy ra giới hạn sau : lim
n.3 n


Ví dụ 8:

3/ §Þnh lý:
§Þnh lý 2:

un
a) NÕu limu n = a vµ limv n = +∞ thi lim = 0
vn
b) NÕu limu n = a > 0 vµ limv n = 0 víi ∀ n thi
un
lim = +∞
vn
c) NÕu limu n = +∞ vµ limv n = a > 0 thi limu n vn = +∞


Hướng dẫn học ở nhà:


1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về
giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn, và định nghĩa về

giới hạn vô cực





2/ Nhớ 5 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức
của định lý về giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực.
3/ Làm bài tập 5,6,7,8 trang 122.

4/ Làm bài tập trong sách bài tập gồm bài 1.9,

1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14.