hàm số liên tục 2

KiÓm tra bµi cò:
 x 2 − 3x + 2

Cho hàm số f ( x ) =  x − 1
−1


víi x ≠ 1
víi x ≠ 1

f ( x ) , f(1) , so sánh lim f ( x ) và f(1).
Tính lim
x →1
x →1


1. Hàm số liên tục tại một điểm :
éịnh nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) và x0(a; b).
Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu

lim f ( x) = f ( x0 )

x x0

Hàm số không liên tục tại điểm x0 được gọi là gián đoạn
tại điểm x0.


Chỳ ý :

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) và x0(a; b).

Hàm số f được gọi là gián đoạn tại điểm x0 nu
Khụng tn ti lim f ( x ) hoc lim f ( x ) f ( x 0 )
xx
xx
0

0


2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn :
éịnh nghĩa:
a/ Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó J
là một khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói
rằng hàm số f liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi
điểm thuộc tập hợp đó.
b/ Hàm số f xác định trên [a; b] được gọi là liên tục
trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khong (a; b) và
lim+ f ( x) = f ( a) , lim f ( x) = f (b) .

xa

x b


Chú ý :
 Hµm sè f ®­îc gäi lµ liªn tôc trªn [a; b)

f(x) liªn tôc trªn ( a ; b )

⇔
lim
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
 x →a
 Hµm sè f ®­îc gäi lµ liªn tôc trªn (a; b]
f(x) liªn tôc trªn ( a ; b )
⇔
f ( x) = f (b)
−
 xlim
→b


2
f
(
x
)
=
1

x
Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số

trên đoạn [-1; 1].
Giải :
Hàm số đã cho xác định trên đoạn [-1; 1].
Vỡ với mọi x(-1; 1) ta có lim f ( x) = lim 1 x 2 = 1 x02 = f ( x0 )
x x0

x x0

nên hàm số f liên tục trên khoảng (-1; 1).

Ngoài ra, ta có
lim + f ( x) = lim + 1 x 2 = 0 = f (1)

x ( 1)

x ( 1)

lim f ( x) = lim 1 x 2 = 0 = f (1)

x 1

x 1

Do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn [-1; 1].


Chú ý :

 Hµm sè f ®­îc gäi lµ liªn tôc trªn [a; + ∞)


f(x)
liªn
tôc
trªn
a
;
b
(
)

⇔
lim
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+

 x →a
 Hµm sè f ®­îc gäi lµ liªn tôc trªn (- ∞; b]

f(x) liªn tôc trªn ( a ; b )

⇔
f ( x) = f (b)
−
 xlim
→b


Hđ3: Chứng minh rằng hàm số f ( x) = x + 1 liên tục
trên nửa khoảng [- 1;+ ).

Giải :

Vỡ với mọi x0(-1; + ) ta có
lim f ( x) = lim x + 1 = x0 + 1 = f ( x0 )

x x0

x x0

nên hàm số f liên tục trên khoảng (-1; + ) .

Ngoài ra lim f ( x) = lim
x ( 1)

+

x ( 1)

+

x + 1 = 0 = f (1)

Vy hàm số đã cho liên tục trên na khoảng [-1;+).


y=

y = 1− x2

1
x2 +

y

2

•

1

-1

O

1

x

O

1

x

y=
1

–


Củng cố bài học:
x2
Cho hàm số f ( x) =
x + m

với x > 0
với x 0

Xác định m để hàm số liên tục trên tập xác định của nó.


Dặn dò:
• Chuẩn bị các nội dung còn lại của bài.
• Làm các bài tập 46, 47 và 48 trang 171, 172 vµ 50,
51 trang 175, 176 SGK