phương trình mặt phẳng

Vấn đề véc tơ pháp tuyến trong hệ Oxyz

Trong hệ tọa độ Oxy

n ( A;B;C )

n ( A;B )


Định lý:Trong hệ tọa độ
Oxy,mi ng thng
đều có phơng trình dạng:
Ax +By + C = 0,A2+ B2 0



P

Mặtsao
phẳng
đờngtrong
thẳng
không
trong không
Và ngợc lại mọi phơng trìnhTại
gian
không
thể chọn
thể chọn
đợc một

đợc một
véc véc
Ax +By +C = 0, với A2 +B2gian
0 có
tơ
tơ pháp
pháp tuyến?
tuyến?
đều là ph trinh một dng thẳng
ng thng Ax + By + C =0 cú vect phỏp tuyn l

n ( A;B )


vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng
ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt ph¼ng
1.VÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng
n

n ( A;B;C )

( A;B;C ) lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mp (P)


{

≠

n

n

0

⊥ (P)



{

A2 + B 2 + C 2 ≠ 0
n ⊥ (P)

P
kn

C¸c vÐc t¬ k n còng lµ vÐc t¬ ph¸p tuyÕn
Bài toán:
Trong không gian Oxyz cho mp (P) và 2 vectơ không cùng phương
a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)

có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P)
Vectơ n = (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 – a2b1)gNgheđược gọi là vectơ pháp tuyến của mp (P).
Kí hiệu:

n

=

a

^ b hoặc = [ a

, b ]

hi t

óm

là tích có hướng của 2 vectơ

t ắt

:


HĐ1: Trong không gian Oxyz cho A(2; -1; 3), B(4;
0; 1), C(-10; 5; 3).
Hãy tính vectơ pháp tuyến của mp(ABC).
Bµi gi¶i
Vtpt n = [AB;AC]
AB = ( 2; 1 ; -2)
AC = ( -12; 6 ; 0)
Vtpt n = [AB;AC] = (12 ; 24 ; 24)
Hay n = (1; 2; 2)


II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
Bài toán 1:Trong hÖ täa ®é Oxyz
(P) tháa m·n

{

n ( A;B;C )

Qua M0 ( x0;y0 ;z0)
Vtpt n ( A;B ;C)
P

CMR: M (x ;y;z) ∈ (P)
⇔ A(x– x0) +B(y– y0)+ C (z-z0) = 0
Giải
M (x ;y;z) ∈ (P) ⇔ n ⊥ M0M

•
M(x0 ;y0;z0)

•
M (x ;y;z)

Bài toán 2:
M (x ;y;z) tháa m·n pt

Ax +B y + Cz + D = 20 (*)
A +B2+C2 ≠ 0
Chän M0(x0 ; y0 ; z0) tháa (*)

Cã: Ax0 +B y0 + Cz0 + D = 0 (**)
⇔ Ax + By+ C z - Ax0 -B y0 - C z0 = 0 =>
A(x– x0) +B(y– y0)+ C (z-z0) = 0

§Æt b»ng D
=> n ( A;B;C ) ⊥ M0M
⇔ Ax + By+ C z + D = 0
Vậy
n là vectơ pháp tuyến của (P)


1.

Định nghĩa:
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0, A2 +
B2+C2 ≠0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt
phẳng.
*) Nhận xét:
a) Nếu mp (P) có phương trình tổng quát là Ax + By +
Cz + D = 0 thì nó có 1 vtpt là n = ( A; B ; C)
b) Phương trình mp đi qua điểm M0(x0, y0, z0) nhận
vectơ
n = ( A; Bkhác
; C) vectơ không làm vectơ
pháp tuyến là A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.


HĐ2: Cho mp (P): 4x – 2y – 6z + 7 = 0
Tìm 1 vtpt của (P)?
Giải:
n = ( 4; -2 ; -6)


HĐ3: Lập phương trình tổng quát của mp(MNP)

với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1)
Giải:
Vtpt n = [MN;MP]
MN = ( 3; 2 ; 1)
MP = ( 4; 1 ; 0)
Vtpt n = [MN;MP] = (-1 ; 4 ; -5)
Pt mp (MNP) qua M(1; 1; 1 ) nhận n = (-1 ; 4 ; -5) làm vtcp
Pt.(ABC) lµ : -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0
hay - x + 4y - 5z + 2 = 0


2. Các trường hợp riêng:
Trong không gian Oxyz cho mp(P):
Ax + By + Cz +D= 0(1)
a) Nếu D = 0  (P) đi qua gốc toạ độ O.
b) Nếu hệ số A bắng 0  (P) // Ox hoặc (P) chứa trục Ox
HĐ4: Nêu trường hợp nếu B = 0 hoặc C = 0?
) ĐA: B = 0  (P) // Oy hoặc chứa trục Oy
C = 0  (P) // Oz hoặc chứa trục Oz.
c) Nếu A = B = 0, C ≠ 0  (P) // hoặc trùng mp(Oxy
HĐ5: Nếu A = C = 0, B ≠ 0  (P) // hoặc trùng mp(Oxz)
Nếu B = C = 0, A ≠ 0  (P) // hoặc trùng mp(Oyz)


*) Nhận xét:
Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a; 0; 0),
B(0; b; 0), C(0; 0; c) là:
z =1
x + y
+

a
b c
Ví dụ : ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
§i
§iqua
qua 33 ®iÓm
®iÓm
A(-1;0;0)
A(-1;0;0) ,, B(0;2;0),C
B(0;2;0),C (0;0;-5)
(0;0;-5)
Bµi gi¶i
z
x + y
+
-1
2 -5

=1

Ph.tr×nh mp (ABC) :
10 x -5y + 2z -10 = 0


III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song,
vuông góc
HĐ6: cho hai mp (P): x – 2y + 3z + 1 = 0
(Q): 2x – 4y + 6z + 1= 0
Có nhận xét gì về vectơ pháp tuyến của chúng?
Trả lời: n(P) = (1; -2; 3)

n(Q) = (2; -4; 6) = 2(1; -2; 3) = 2 n(P)
Hai mp (P) và (Q) được gọi là hai mp song song.


n(P)

n(Q)


1. Điều kiện để hai mp song song
Cho 2 mp:
(P): A1x + B1y + C1z + D1= 0 có vtpt
n(P) = (A1; B1; C1)
(Q): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 có vtpt
n(Q) = (A2; B2; C2)
(P) // (Q)





{
{

n(P) = k n(Q)
D1 ≠ kD2

(A1; B1; C1) = k(A2; B2; C2)
D1 ≠ kD2

(P) trùng (Q)




(P) cắt (Q)

{

n(P) = k n(Q)
D1 = kD2
(A1; B1; C1) = k(A2; B2; C2)

{

D1 = kD2

 n(P) ≠ k n(Q)
 (A1; B1; C1) ≠ k(A2; B2; C2)


Trong hệ tọa độ Oxyz
Qua M0 ( x0;y0 ;z0)
Viết phơng trình mặt phẳng
(P) thỏa mãn
1Vtpt n ( A;B ;C) đi qua điểm M (3;0 ;-1) và song song
0
A2+B2+C2 0
với mặt phẳng (Q) có phơng trình:

Phơng trình
4x -3y +7z +1 = 0

{

Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 C z0 = 0

n

Bài giải
Mặt phẳng ()
Qua M0( 3;0;-1)
1vtpt ( 4;-3;7)
=> Phơng trình ():
4x 3y +7z -5 = 0

P
Q

( 4;-3; 7 )


2. Diều kiện để hai mp vuông góc
(P) vuông góc (Q)
n(P).n(Q)= 0

 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0


Vớ d:

Đi qua A(2;-3;1) và B ( 0 ; 1 ; -2)
Viết pt mặt phẳng (P) thỏa mãn :

(Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0

Bài giải
Vì (P) (Q) v (P) qua A, B => hai vect khụng cựng phng cú giỏ
song song hoc nm trờn (P) l
AB ( -2;4; -3)
n(Q)(3;5;-4)

=> Véc tơ n(P) = [ n(Q) ,AB] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P)
(P) Qua A(2;-3;1)
=> Phơng trình (P) là 1(x 2) + 17(y+3) + 22(z-1) = 0
Hay x + 17y + 22 z + 27 = 0


Đi qua A(2;-3;1) và B ( 0 ; 1 ; -2)
Cho mặt phẳng (P) thỏa mãn :

(Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0
Kết luận nào sau đây đúng?
a) Véc tơ u = ( 3 ; 5 ; -4) là véc tơ pháp tuyến của (P).
b) Véc tơ v = ( -2 ; 4 ; -3) là véc tơ pháp tuyến của (P).
c) Véc tơ n = [ u ,v] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P).


Trong hệ tọa độ Oxyz

{

Bài 1: Trong hệ toạ độ Oxyz cho
(P) thỏa mãn
A( -1; 3; 0),B( 5; -7 ; 4)
1Vtpt n ( A;B ;C)
2
2
2
A +B +C 0
Viết phơng trình mặt phẳng trung
Phơng trình
trực của đoạn AB
A(x x0) + B(y y0)+ C(z z0) = 0 Bài giải
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực AB
Ng
ợc
lại
Ngợc lại
Qua I ?(2;-2;2)
(P) thỏa mãn
Từ pt: Ax + By+ C z + D = 0
1Vtpt AB
n =?
(6;-10;4)
Với: A2+B2+C2 0
Phơng trình (P):
Chọn đợc: M (x ; y ; z ) thỏa (*)
Qua M0 ( x0;y0 ;z0)

{

0

0

0

0

Và một véc tơ pháp tuyến
n ( A;B;C )

3x-5y +2z 20 = 0


Bài tập :
Trong hệ tọa độ Oxyz
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q)_ lần
Qua M0 ( x0;y0 ;z0) lợt có phơng trình:
(P) thỏa mãn
1Vtpt n ( A;B ;C) 3x + 2y -5z +4 = 0, x-7y +6z -1 = 0
A2+B2+C2 0
Một điểm M0 ( 1;-4;0).
Viết phơng trình mặt phẳng( ) qua M0
Phơng trình
và đồng thời vuông góc với cả hai mặt
Ax + By+ Cz -Ax0 - B y0 C z0 = 0
phẳng (P) và (Q).
* Mặt phẳng (P) (Q)
Bài giải:

{

n(P).n(Q)= 0
*) (P) // (Q) chung vtpt

Vì () (P) => () có 1 vtcp u (3;2;-5)
Vì () (Q) => () có 1 vtcp v (1;-7;6)
[u,v] = (- 23; -7 ; -23) 0
Chọn vtpt của () là n (23; 7;23)
() qua M0(1;-4 ; 0)
=> Ph.trình () là 23x +7y +23z +5 = 0


H×nh thøc thø nhÊt :Cho trùc tiÕp

n

( A;B;C )


TH1:

• A(x1;y1;z1)
• B(x2;y2;z2)

P
n

= AB

⊥ (P)

H×nh thøc thø hai :cho gi¸n tiÕp


Hình thức thứ hai :cho gián tiếp
TH2:

u

v
P
u // hoặc nằm trên (P)
v // hoặc nằm trên (P)
u và v không cùng phơng
n =[u ;v]

n =[u ;v]


H×nh thøc thø hai :cho gi¸n tiÕp

TH3:

nQ = ( A,B,C) ⊥ (Q)
Q

nP = ( A,B,C) ⊥ (Q)
P

(P) // (Q)
Ph.tr×nh (Q) :Ax + By +Cz + D1 = 0
=> Ph.tr×nh (P) : Ax +By +Cz +D2 = 0


Chó ý:

nQ = ( A,B,C) ⊥ (Q)
Q
nQ = ( A,B,C) // (P)

P