các hệ thức lượng trong tam giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (103.51 KB, 9 trang )
§ 4 : CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG
TAM GIÁC
1 – ĐỊNH LÝ CÔSIN Trong ∆ABC . Ta luôn có :
a2 = b2 + c2 - 2 b.c. cos A
b2 = a2 + c2 - 2 a.c. cos B
c2 = a2 + b2 - 2 a.b. cos C
A
b
c
B
C
a
BC = AC − AB
2
Chứng minh : a2 = b2 + c2 - 2 b.c. cos A
( ) (
2
⇒ BC = AC − AB
2
2
2
)
2
= AC + AB − 2. AC. AB = AC + AB − 2. AC . AB . cos A
⇒
Đặc biệt :
a2 = b2 + c2 - 2 b.c. cos A
(đpcm)
(đònh lý Pitago)
A = 900 ⇒ a2 = b2 + c2
Dùng công thức để tính góc tam giác .
Ví du :
Cho ∆ABC có :
BC = 8 ; AB = 3 ; AC = 7
Lấy D ∈ BC sao cho BD = 5 . Tính độ dài AD ?
Giải :
A
. Tính AD = ? ⇒ Xét ∆ ABD
3
Theo đl Côsin :
AD 2 = AB2 + BD2 - 2 AB.BD.cosB
. Mà ∆ ABC có :
. ⇒
cos B =
B
BA2 + BC 2
2.BA.BC
?
5
8
7
|
D
32 + 8 2
=
2.3.8
AD 2 = AB2 + BD2 - 2 AB.BD.cosB
1
AD 2 = 32 + 52 – 2. 3.5.
= 19 ⇒ AD = 19
2
C
1
=
2
(đvđd)
2 – ĐỊNH LÝ SIN
A
b
c
.
R
B
a
A’
Trong ∆ABC nội tiếp đường tròn
bán kính R. Ta luôn có :
a
b
c
=
=
= 2R
sinA sinB sinC
Chứng minh :
O
C
a
= 2R
sinA
Nối BO kéo dài cắt đtròn tại A’
sđ A = sđ A' = sđ BC
2
BC
⇒ sin A = sin A’ . Mà ∆BCA’ vuông tại C nên : BA' =
sin A'
a
a
2
R
=
=
⇒
Vậy có đpcm .
sin A'
sin A
⇒
∧
∧
Các công thức khác chứng minh tương tự
Ví du :
Cho ∆ABC coù :
Chöùng minh :
b + c = 2a
2.sin A = sin B + sin C
Giaûi :
. Coù b + c = 2 a
⇒ 2R.sin B +2R. sin C = 2.2R. sin A
⇔ sin B +sin C = 2 sin A
• 3 – CÁC CÔNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH
a) Đònh lý :
Cho ∆ABC cạnh a ; b ; c ; R bán kính
đtròn ngoại tiếp ; r bán kính đtròn
nội tiếp ; p là nửa chu vi tam giác có :
1
1
1
S = a.h a = b.h b = c.h c
2
2
2
1
1
1
S = a.b.sinC = b.c.sinA = c.b.sinB
2
2
2
a+b+c
abc
p
=
S=
S = p.r
2
4R
uur
uur
y uAB
1 x uAB
S = p ( p − a) ( p − b ) ( p − c) S =
uuu
r
uuuu
r
y AC
2 x uAC
1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2
S = . AB .AC - AB. AC
2
(
)
b) Vớ du : Cho ABC coự : a = 13 ; b = 14 ; c = 15
Tớnh : S ; R ; r ?
Giaỷi :
. Tớnh S =
1
.a.b. sin C
2
maứ c2 = a2 + b2 - 2.ab. cos C
a2 + b2 c2
132 + 14 2 152
cos C =
=
2a.b
2.13.14
35
=
91
35
2
2
2
. Coự sin C + cos C = 1 sin C = 1 cos C = 1
91
. Vaọy S =
1
.a.b. sin C
2
1
84
= .13.14.
2
91
2
84
=
91
= 84 ( ủvdt )
abc
abc 13.14.15 65
( ủvủd )
=
=
. Tớnh R Coự S =
R=
4R
4S
4.84
8
a+b+c
2.84
2S
.r r =
=
. Tớnh r Coự S = p.r =
= 4ự
2
a + b + c 13 + 14 + 15
• 4 – CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Trong ∆ABC
a) Đònh lý :
có :
A
2
2
2
b
+
c
a
ma2 =
−
2 2 42
2
mb2 = a + c − b
2
4
2
2
2
2
b
+
a
c
mc =
−
2
4
⇒
c
b
ma
.
a
M
B
2
b + c =
2
2
Chứng minh :
C
(
) (
)
+ 2. AM .( MB + MC )
2
AC + AB = AM + MC + AM + MB
2
2
2
= 2. AM + MC + MB
(
)
2
2
(qt3đ)
(véctơ đối)
BC
= 2. AM + MC + MB − 2.MB.MC = 2. AM + 2.
4
2
2
2
2
2
⇒
b2 + c2 = 2.ma2
a2
+
2
b + c = 2.m +
2
2
2
a
a
2
2
2
⇒
m
2
a
=
b +c
a
−
2
4
2
b) Ví du 1:
Cho 2 điểm A và B cố đònh . Tìm quỹ tích những
điểm M thoã điều kiện MA2 + MB2 = k2 ( k là số cho trước)
Giải :
. Gọi O là trung điểm AB
. M thoã đk MA2 + MB2 = k2
nên MO là trung tuyến ∆MAB
⇒ MA + MB = 2.MO +
2
2
2
. ( 2k
.(
.(
− AB
2
AB 2
2
2
)
>0 ⇒
.MO =
1
2
( 2k
..
.
k
AB
1
=
2k 2 − AB 2 )
−
(
4
2
4
⇒ .MO2 =
2
2
.
A
2
− AB 2
O
M
.
B
)
⇒ Quỹ tích của M là đường tròn tâm O bán kính MO
⇒ Quỹ tích của M là điểm
2
2
⇒
.MO
=
0
⇒
M
≡
O
2k − AB = 0
O
⇒ Quỹ tích của M là không xác đònh .
2k 2 − AB 2 < 0
)
)
c) Ví du 2:
Cho 2 điểm A và B cố đònh . Tìm quỹ tích những
điểm M thoã điều kiện MA2 - MB2 = k ( k là số cho trước)
Giải :
. Gọi O là trung điểm AB
. M điểm tuỳ ý ; H là hình
chiếu của M trên AB
. Tính MA2 - MB2
uuur uuur uuur
=
=
uuur
MA − MB MA + MB
uuu
r
uuuu
r
BA 2.MO
(
( )(
)(
)
)
.
.
.
A
O
. p dụng đònh lý hình chiếu ⇒ 2. AB.OM = 2. AB. OH
k
2
2
⇒
OH =
. Vậy MA - MB = 2. AB. OH = k
2. AB
. Vậy
điểm H được xác đònh
.
B H
⇒ Quỹ tích điểm M là đường thẳng
vuông góc với AB tại H với OH =
M
k
2. AB
