TÍCH vô HƯỚNG

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG

Wellcome !

Đà Nẵng, 15/09/2008


Tích vô hướng của hai véctơ

Tổ: Toán - Tin


Kiểm tra bài cũ

Khi nào góc giữa hai véctơ bằng
00 ? Bằng 1800 ? Bằng 900 ?


Kiểm tra bài cũ
Bài toán:
Cho tam giác đều ABC, tính các góc:
( AB , AC ) ; ( BA , CA ) ; ( AB , BC )
A

B

C


Kiẻm tra bài cũ
Bài toán

Cho tam giác đều ABC, tính các góc:
( AB , AC ) ; ( BA , CA ) ; ( AB , BC )
A

B

C


Kiểm tra bài cũ
Bài toán
Cho tam giác đều ABC, tính các góc
( AB , AC ) ; ( BA , CA ) ; ( AB , BC )
A

B

C


TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI
VÉCTƠ
Nội dung bài học:
1) Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ
2) Các tính chất của tích vô hướng
3) Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
4) Ứng dụng


1) Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ

a) Định nghĩa: ( SGK_41 )
Cho hai véctơ a và b khác véctơ 0. Tích vô
hướng của hai véctơ a và b là một số, kí hiệu
là a . b , được xác định bởi công thức sau:
a . b = a. bcos( a , b )
Trong trường hợp ít nhất một trong hai véctơ a
và b bằng véctơ 0 ta quy ước a . b =0


1) Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ

Cho a và b khác 0 . Khi nào
a. b = 0 ?
a. b = a . b ? a. b = - a . b ?
a. b = 0  a ⊥ b
a. b = a . b  a , b cùng hướng
a. b = - a . b  a , b ngược hướng


1) Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ

Tích a . a ?

Tích a . a = a 2, kí hiệu a 2, được gọi là
bình phương vô hướng của véctơ a


1) Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ

b) Ví dụ :

Cho tam giác đều ABC có cạnh a và trọng
tâm G. Tính các tích vô hướng sau:
AB . AC

;

AC . BC

;

AC . AC

CB . BG

;

GB . GC

;

GA . BC


1) Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ
A

b) Ví dụ
AB . AC
= AB . AC cos(AB , AC)
= a.a.cos600

=(1/2)a2
B

.
G
C


1) Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ
AC . BC =
= AC . BC cos(AC,BC)

A

= a.a.cos600

.
G
B

C


1) Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ

AC . AC
= AC 2

A

= a2

.
G
B

C


1) Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ

Ta có
3
BG = AG=(2/3)AM=
a
3
Suy ra
CB. BG =
= CB . BG cos(CB , BG)
3
= a.
a.cos1500
3

B

A

.
G

M

C


1)Tích vô hướng của hai véctơ
Ta có

A

(GB , GC) = 1200
Suy ra

.

GB . GC

G

B

M

C


1) Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ

GA . BC

A

.G
B

M

C


1) Định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ
Cho tam giác đều ABC có cạnh a và trọng
tâm G. Tính các tích vô hướng sau
AB . AC

;

AC . BC

;

AC . AC

CB . BG

;

GB . GC

;

GA . BC

Tính: AB . AC + AC . BC
CM . BG (M là trung điểm của cạnh BC)


2) Các tính chất của tích vô hướng

Với ba véctơ a, b, c bất kì và mọi số k ta có:
a . b = b. a

( Tính chất giao hoán )

a ( b ± c ) = a . b ± a . c ( Tính chất phân phối )
(ka ). b = k ( a . b )
a2≥0 , a2 = 0  a = 0


2) Các tính chất của tích vô hướng

Nhận xét:
( a + b)2 = a 2 + b2 + 2 a . b
( a – b ) 2 = a2 + b2 – 2 a . b
( a + b )( a – b ) = a2 – b2


2) Các tính chất của tích vô hướng
Ứng dụng

F1

Hình 2.10

F
A

α

F2

Công của lực F làm vật di chuyển từ A
đến B là: A = F . AB

B


2) Các tính chất của tích vô hướng
Ứng dụng
F1

F
A

α

F2

Nhận xét: Cho hai véctơ OA và OB. Gọi
B’ là hìnhchiếu của B trên đường thẳng

OA. Ta có: OA.OB = OA.OB’

B


Củng cố
+) Tính góc giữa hai véctơ
+) Tính tích vô hướng của hai véctơ
+) Các tính chất của tích vô hướng
+) BTVN: Bài 1, 2, 3 SGK_45
+) Bài tập: Chứng minh rằng điều kiện
cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A
là BA . BC = AB2


3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Trên mặt phẳng toạ độ (O; i, j ) cho hai véctơ

a (a1 , a2 ) b (b1 , b2 )

Khi đó a.b = (a1 i + a2 j ) (b1 i + b2 j )
2

Vì
nên

= a1b1 i + a1b2 i j + a2b1 j i + a2b2 j
2
2
i = j = 1 ; i. j = j.i = 0

2

a.b = a1b1 + a2b2
rr
Kết luận: a.b = a1b1 + a2b2
Nhận xét a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 = 0


3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Ví dụ 1: Trên mp toạ độ Oxy cho ba điểm A(2,4),
B(1,2), C(6,2). Chứng minh:
AB ⊥ AC

Giải

Vậy

AB = (-1,-2); AC = (4,-2)
⇒AB.AC = (-1).4 + (-2).(-2)
=-4+4 =0
AB

⊥

AC