Một số hệ thức mới trong dãy fibonacci suy rộng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.5 MB, 63 trang )
1
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HOÀNG ANH TUẤN
MỘT SỐ HỆ THỨC MỚI
TRONG DÃY FIBONACCI SUY RỘNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG
Thái Nguyên – 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Leonardo Pisano Bogollo (1170–1250), còn được biết đến với tên Leonardo
của Pisa. Fibonacci là nhà toán học người Ý tài ba nhất thời Trung Cổ.
Fibonacci đã có công giới thiệu hệ đếm Hindu – Ả Rập ở Châu Âu và đặc
biệt nổi tiếng với dãy số mang tên Ông, dãy Fibonacci, vì Ông là người đầu
tiên nghiên cứu dãy số này trong cuốn sách Liber Abbaci (sách về tính toán)
xuất bản năm 1202. Dãy Fibonacci là một trong dãy số đẹp nhất trong toán
học. Dãy Fibonacci xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của tự nhiên, với rất
nhiều tính chất đẹp và ứng dụng quan trọng. Một trong những phát triển
quan trọng của dãy Fibonacci là dãy Lucas. Sau Fibonacci, rất nhiều các
nhà khoa học nghiên cứu về dãy Fibonaci: Cassini (1625–1712), Catalan
(1814–1894), Lucas (1842–1891), Binet (1857–1911), D’Ocagne (1862–
1938),…Và rất nhiều hệ thức của dãy Fibonacci đã được mang tên các nhà
khoa học này. Hiện nay, tài liệu bằng tiếng Việt về dãy Fibonacci, dãy
Lucas và các ứng dụng chưa có nhiều, mặc dù đã có một vài luận văn về
dãy Fibonacci, tuy nhiên vẫn còn nhiều vấn đề thú vị của dãy Fibonacci và
dãy Fibonacci suy rộng chưa được đề cập. Vì vậy việc nghiên cứu và phổ
biến các kiến thức về đề tài này, theo chúng tôi là thú vị và cần thiết.
2. Mục đích nghiên cứu
Tập hợp và chứng minh các hệ thức mới cho dãy Fibonacci và dãy Fibonacci
suy rộng.
3. Bố cục của luận văn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
3
Luận văn Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci suy rộng gồm hai chương.
Chương 1 Dãy Fibonacci suy rộng
Chương 1 trình bày một số kiến thức của dãy Fibonacci, dãy Fibonacci suy
rộng và một số dãy số liên quan.
Chương 2 Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci suy rộng
Chương 2 tập hợp và chứng minh các hệ thức mới cho dãy Fibonacci và dãy
Fibonacci suy rộng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
4
Chương I
DÃY FIBONACCI SUY RỘNG
1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
Dãy Fibonacci và các dãy Fibonacci suy rộng thực chất chỉ là các phương trình sai
phân tuyến tính cấp hai thuần nhất. Vì vậy, mục này trình bày công thức nghiệm
của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất trong trường hợp hai
nghiệm của phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt. Kiến thức này là
đủ để áp dụng vào dãy Fibonacci và các dãy Fibonacci suy rộng.
1.1.1 Định nghĩa
Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất là phương trình có dạng
Aun 1
Bun
Cun 1
(1.1.1)
0, n 1,2,...,
trong đó A 0, B, C là những hằng số.
1.1.2 Công thức nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần
nhất
Phương trình (1.1.1) có phương trình đặc trưng là
A
2
B
C 0.
(1.1.2)
Mệnh đề 1.1 Giả sử phương trình (1.1.2) có hai nghiệm
và
phân biệt. Khi đó
phương trình (1.1.1) có nghiệm là
un
C1
n
C2
n
,
(1.1.3)
trong đó C1 và C2 là những số bất kì, được gọi là các hằng số tự do.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
5
Chứng minh. Vì
A
2
B
là hai nghiệm của phương trình (1.1.2) nên
và
2
C 0 và A
B
C 0.
Thay (1.1.3) vào phương trình (1.1.1) ta được:
Aun 1 Bun Cun 1
A C1
C1
n 1
n 1
A
n 1
C2
2
B
B C1
C
n
C2
n 1
C2
A
n
C C1
2
B
C
n 1
C2
n 1
0
C1, C2 .
Vậy (1.1.3) là nghiệm của phương trình (1.1.1).
Nếu biết điều kiện ban đầu u0 và u1 thì ta có thể tìm được hai hằng số tự do C1 và
C2 , khi ấy nghiệm hoàn toàn được xác định.
Ví dụ1.1. Tìm nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
un 1 3un
với điều kiện ban đầu u0
7, u1
(1.1.4)
28un 1
6.
Giải: Phương trình đặc trưng của phương trình (1.1.4) là
2
3
28 0
7,
4.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.1.4) là
un
Với n 0 ta có u0
C1.7 n
C1 C2 hay C1 C2
C2
n
4 .
7.
Với n 1 ta có u1 C1.7 C2 . 4 hay 7C1 4C2
C1 C2 7
7C1 4C2
6
Giải hệ phương trình
ta được C1
2; C2
6.
5.
Vậy nghiệm của phương trình (1.1.4) với điều kiện ban đầu u0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
7, u1
6 là
6
n
un = 2.7 n + 5.
4 .
1.2 Các phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất đặc biệt
1.2.1 Dãy Fibonacci
1.2.1.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci là dãy cho bởi phương trình sai phân tuyến
tính cấp hai
un 1 un un 1 0, n = 1,2,...,
với điều kiện ban đầu u0
(1.2.1)
0, u1 =1.
Công thức (1.2.1) còn có thể viết dưới dạng
un 1 un un 1 , n = 1,2,...,
u0
0, u1 = 1.
1.2.1.2 Công thức số hạng tổng quát của dãy Fibonacci
Phương trình đặc trưng
2
1 0 của (1.2.1) có nghiệm là
1
5
2
1
,
5
2
.
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.1) là
un
C1
n
C2
n
,
trong đó C1 và C2 là những hằng số tự do.
Với u0
0, u1 1 ta có
C1 C2
C1
C2
0;
1
C1
C2
1
1
1
;
5
1
.
5
Vậy số hạng tổng quát của dãy Fibonacci có công thức là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
7
n
1
5
un
n
Ta sẽ chứng minh un
1
n
5
1
2
5
.
2
n
.
5
Thật vậy, với n 1 và n 2 ta có:
u1
2
1 1 5 1 5
2
2
5
5
2
1, u2
5
1.
5
Với n 3, theo định nghĩa dãy Fibonacci và theo qui nạp ta có
n 1
un
un 1 un
2
n 1
n 2
5
n 2
2
5
n 2
n 2
5
n 2
n 2
1
5
2
n
5
1
5
n
.
5
Như vậy, dãy un cũng chính là dãy Fibonacci Fn thỏa mãn F0
n
Fn
trong đó
,
n
n
5
0, F1 1 và
n
,
là nghiệm của phương trình bậc hai
2
1 0.
Để tôn vinh Fibonacci, người ta thường kí hiệu dãy Fibonacci dưới dạng dãy
Fn . Từ nay về sau ta cũng sử dụng kí hiệu Fn cho dãy Fibonacci.
1.2.2 Dãy Lucas
1.2.2.1 Định nghĩa Dãy Lucas là dãy được cho bởi phương trình sai phân tuyến
tính cấp hai thuần nhất
un 1 un un 1 0, n = 1,2,...,
với điều kiện ban đầu u0
2, u1 =1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
(1.2.2)
8
Như vậy, dãy Lucas cũng có phương trình đặc trưng là
2
1 0, hoàn toàn
trùng với phương trình đặc trưng của dãy Fibonacci. Hai dãy số này chỉ khác nhau
ở điều kiện ban đầu.
1.2.2.2 Công thức số hạng tổng quát của dãy Lucas
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.2) là
un
n
C1
n
C2
,
trong đó C1 và C2 là những hằng số tự do.
Với u0
2, u1 1 ta có
C1 C2 2
C1
C2
1
C1
1, C2 1.
n
Vậy công thức tổng quát của dãy Lucas là un
Kí hiệu
L0
2
Ln
n
.
là dãy Lucas. Khi ấy, số hạng tổng quát của dãy Lucas là
2, L1 1 và Ln
n
n
, trong đó
là nghiệm của phương trình
,
1 0.
1.2.3 Dãy Jacobsthal
1.2.3.1 Định nghĩa Dãy Jacobsthal là dãy được cho bởi phương trình sai phân
tuyến tính cấp hai thuần nhất
un 1 un
u0
2un 1 , n = 1,2,...,
0, u1 =1.
1.2.3.2 Công thức nghiệm tổng quát của dãy Jacobsthal
Phương trình đặc trưng của (1.2.3) là
Phương trình đặc trưng có nghiệm là
2
1
2 0.
1,
2
2.
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.3) là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
(1.2.3)
9
un
Với u0
C1
n
n
C2
.
0, u1 1 ta có
C1 C2
C1
C2
0
1
2
1
, C2
3
C1
1
3
Vậy công thức tổng quát của dãy Jacobsthal là un
Kí hiệu J n
J0
n
n
.
là dãy Jacobsthal. Khi ấy, số hạng tổng quát của dãy Jacobsthal là
0, J1 1 và J n
2
1
.
3
1
3
n
n
, trong đó
là nghiệm của phương trình
,
2 0.
1.2.4 Dãy k
Fibonacci
1.2.4.1 Định nghĩa Dãy k
Fibonacci là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi
Fn 1 kFn
F0
Fn 1 , n =1,2,...,
(1.2.4)
0, F1 =1.
1.2.4.2 Công thức tổng quát của dãy k
Fibonacci
Phương trình (1.2.4) có phương trình đặc trưng là
k2
2
k
Phương trình đặc trưng có nghiệm là
2
4
k
,
1 0.
k2
2
k
4
.
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.4) là
Fn
Với F0
C1
n
n
C2
.
0, F1 1 ta có
C1 C2 0
C1
C2
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
C1
1
k2
4
, C2
1
k2
.
4
10
1
Vậy Fn
2
k
k
n
2
n
4
, trong đó
1
là nghiệm của phương trình
,
1 0. Với k 1 ta trở về dãy Fibonacci.
1.2.5 Dãy k
Lucas
1.2.5.1 Định nghĩa Dãy k
Lucas là dãy đuợc cho bởi hệ tthức truy hồi
Ln 1 kLn
L0
Ln 1 , n =1,2,...,
(1.2.5)
2, L1 = k.
1.2.5.2. Công thức hệ số tổng quát của dãy k
Phương trình đặc trưng của (1.2.5) là
2
k
Lucas
1 0.
Phương trình đặc trưng có nghiệm là
k2
2
k
4
k2
2
k
,
4
.
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.5) là
Ln
Với L0
2, L1
C1 C2
C1
C2
Vậy Ln
n
C2
n
.
k ta có
2
k
n
C1
n
C1 1, C2 1.
, trong đó
,
là nghiệm của phương trình
2
k
1 0.
Với k 1 ta trở về dãy Lucas.
1.2.6 Dãy k
Jacobsthal
1.2.6.1 Định nghĩa Dãy k
Jacobsthal là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi
J n 1 kJ n
J0
2 J n 1 , n = 1,2,...,
0, J1 = 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
(1.2.6)
11
1.2.6.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy k
Jacobsthal
Phương trình đặc trưng của (1.2.6) là
2 0.
2
k
Phương trình đặc trưng có nghiệm là
k
k2 8
,
2
k2 8
.
2
k
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.6) là
Jn
Với J 0
2
k
n
C2
.
0, J1 1 ta có
C1 C2 0
C1
C2
1
Vậy J n
n
C1
1
k
n
2
n
8
1
C1
k
, trong đó
2
8
, C2
1
k
2
.
8
là nghiệm của phương trinh
,
2 0.
1.2.7 Dãy k
Jacobsthal – Lucas
1.2.7.1 Định nghĩa Dãy k Jacobsthal–Lucas là dãy được cho bởi hệ thức truy
hồi
J n 1 kJ n
J0
2 J n 1 , n = 1,2,...,
(1.2.7)
2, J1 = k.
1.2.7.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy k
Jacobsthal – Lucas
Phương trình đặc trưng của (1.2.7) là
2 0.
2
k
k2 8
,
2
k
Phương trình đặc trưng có nghiệm là
k
k2 8
.
2
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.7) là
Jn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
C1
n
C2
n
.
12
Với J 0
2, J1
k ta có
C1 C2
C1 1 C2
Vậy J n
n
n
, trong đó
0
C1 1, C2 1.
k
2
là nghiệm của phương trình
,
2
k
2 0.
Với k 1 ta trở về dãy Jacobsthal.
1.2.8 Dãy Fibonacci suy rộng
1.2.8.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci suy rộng là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi
Gn 1 Gn Gn 1 , n
G0
1,2,...,
(1.2.8)
a, G1 b.
1.2.8.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy Fibonacci suy rộng
Công thức hệ số tổng quát của phương trình (1.2.8) là
Gn
bFn
aFn 1 ,
trong đó Fn là số hạng của dãy Fibonacci.
Chứng minh Với n 2, vì F2
G2
F1 1, nên ta có
G1 G0
b a bF2
aF1
Tương tự, với n 3, ta có
G3
G2
G1
b F2 1
b.F2
a. F1
a.F1 b
F0
b F2
F1
a. F1
F0
bF3
aF2 .
Vậy công thức trên đúng với n 3.
Giả sử công thức đúng với k
Gn 1
Gn
b Fn
3, k . Theo qui nạp ta có
Gn 1
Fn 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
bFn
aFn 1
a Fn 1
Fn
bFn 1
2
bFn 1
aFn
2
aFn .
13
Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên n 1 .
1.2.9 Dãy k
Fibonacci suy rộng
1.2.9.1 Định nghĩa Dãy k
Fibonacci suy rộng được cho bởi hệ thức truy hồi
Fn 1 kFn
F0
2 Fn 1 , n = 1,2,...,
(1.2.9)
2, F1 = 0.
1.2.9.2 Công thức hệ số tổng quát của dãy k
Fibonacci suy rộng
Phương trình (1.2.9) có phương trình đặc trưng là
k
2 0.
k2 8
,
2
k
Phương trình đặc trưng có nghiệm là
2
k2 8
.
2
k
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.9) là
Fn
Với F0
n
C1
C2
n
.
2, F1 0 ta có
C1 C2
C1
C2
2
2
0
C1
k2 8 k
k
2
2
8
k
2
2
8
, C2
k2 8
k
k
2
8
2
k
2
1
.
8
Vậy
Fn
trong đó
,
4
k
2
n 1
n 1
, n 2,
8
là nghiệm của phương trình
2
k
2 0.
Thật vậy, ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
14
Fn
C1
n
2
k
2
k
2
2
n
C2
k2
n 1
n 1
n 1
n 1
2
n
n
k2
8
8
8
2
4
2
8
k
n 1
2
n 1
.
8
Ta cũng có thể chứng minh công thức trên theo qui nạp như sau:
Fn 1
kFn
4
k
2
n 2
k
4
k
k
k
2
n 1
n 1
8
n 2
2
k
4
2
n 2
2
4
2
8
4
2
2 Fn 1
k
n
n
2
k
n 2
2
n 2
8
n 2
2
n 2
2
8
.
8
Vậy công thức được chứng minh.
1.2.10 Dãy Fibonacci tổng quát
1.2.10.1 Định nghĩa Dãy Fibonacci tổng quát là dãy được cho bởi hệ thức truy hồi
un 1
u0
pun
qun 1 , n = 1,2,...,
a, u1 = b.
(1.2.10)
Chọn p, q, a, b thích hợp ta sẽ được các dãy: Fibonacci, Lucas, Jacobsthal,…
1.3 Các đẳng thức tiêu biểu trong dãy Fibonacci tổng quát
1.3.1 Công thức Binet
1.3.1.1 Công thức Binet cho dãy Fibonacci
Công thức Binet’s của dãy Fibonacci được cho bởi
n
Fn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
n
,
(1.31)
15
1
trong đó
2
5
2
1
,
5
2
1
là các nghiệm của phương trình đặc trưng
1 0.
1.3.1.2 Công thức Binet cho dãy Lucas
Công thức Binet của dãy Lucas được cho bởi công thức
n
Ln
1
trong đó
2
5
2
1
,
5
2
n
,
(1.3.2)
là các nghiệm của phương trình đặc trưng
1 0.
1.3.1.3 Công thức Binet cho dãy Fibonacci suy rộng
Đặt c a
a b
và d
c
Gn
1
trong đó
2
5
2
a
n 1
1
,
a b
n 1
d
5
5
2
. Ta có công thức sau:
c
n 1
n 1
d
,
(1.3.3)
là các nghiệm của phương trình đặc trưng
1 0.
Chứng minh Theo công thức đã chứng minh trong Mục 1.2.8, ta có
Gn
Mặt khác, vì
1,
2
bFn
aFn 1.
là nghiệm của phương trình bậc hai
,
1;
2
2
1 0 nên ta có
1.
n
Hơn nữa, ta lại có (xem Mục 1.2.1): Fn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
n
5
. Suy ra
16
5Gn
b
n
n
n 1
b
a
n 1
b
a
n 1
n 1
a
2
n 1
a
b
n 1
a
2
n 1
b
n 1
2
2
a
n 1
1
a ( a b)
b
n 1
b
a
1
a ( a b)
n 1
c
n 1
d
.
Vậy
n 1
c
Gn
n 1
d
5
n 1
c
d
n 1
.
1.3.2 Hệ thức Catalan cho dãy Fibonacci
Cho k là số nguyên dương và n k .Ta có
Fn k Fn
Fn2
k
1
n k 1
Fk2 .
(1.3.4)
1.3.3 Hệ thức D’Ocagne cho dãy Fibonacci
Fm .Fn 1
n
Fm 1.Fn
1 Fm n .
(1.3.5)
1.3.4 Hệ thức Cassini cho dãy Fibonacci
n
Fn2 1
Fn 2 .Fn
1 2n 3.
(1.3.6)
1.4 Các đẳng thức liên quan giữa dãy Fibonacci và dãy Lucas
Hệ thức 1.4.1 (Hoggatt, 1969)
Ln Ln
2
4
n
1
5 Fn 1Fn 3 .
(1.4.1)
Chứng minh. Ta có:
Ln Ln
2
4
1
n
n
n
2n 2
2n 2
n
n 2
2n 2
2n 2
n
n
2n 2
2n 2
L2 n
n 2
2
n
n
2
n 2
2
n
2
2
4
4
2
2
n 2
n
4
n
n
4
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
L2 n
2
7
n
1 .
17
Mặt khác,
n 1
5 Fn 1 Fn 3 =
=
2n 2
2n 2
=
2n 2
2n 2
n 1
n 3
n 1
n 3
2
= L2 n
2
n 3
n 1
n
= L2 n
n 3
4
4
2
2
n
1
n 1
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
= L2 n
n
7
2
1 .
Vậy
Ln Ln
4
2
1
n
5 Fn 1Fn 3 .
Hệ thức 1.4.2
5 Fn2
L2 n
n
2
1 .
(1.4.2)
Chứng minh. Ta có:
L2 n
2n
2n
n
n
n
2
n
2
n
2
5
n
2
n
5Fn2
2 1 .
Hệ thức 1.4.3 (Blazej, 1975)
2Fm
Fm Ln
n
(1.4.3)
Fn Lm .
Chứng minh. Ta có:
m
Fm Ln
m
n
n
Fn Lm
m n
=
2
m n
m n
n
n
m
m
n
n
m
m n
m
m n
n
m
m
n
m n
2 Fm n .
Hệ thức 1.4.4 (Ruggles, 1963)
Fm
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
Fm Ln
n
1 Fm n .
(1.4.4)
18
Chứng minh. Ta có:
m
Fm Ln
m
m n
n
1 Fm
n
m n
n
n
n
m n
m
n
n
m
m n
m n
m
n
n
m
m n
n
m
n
m n
n
n
m
m n
m n
m n
Fm n .
Hệ thức 1.4.5 (Hoggatt, 1967)
(1.4.5)
F4 n 1 1 L2 n 1F2 n .
Chứng minh. Ta có:
2n
L2 n 1 F2 n
2n 1
2n 1
4n 1
4n 1
2n
4n 1
4n 1
2n 1
2n
2n
2n 1
2n
F4 n 1 1.
Hệ thức 1.4.6 (Carlitz, 1967)
Fn 1Ln
2
Fn 2 Ln
F2 n 1.
Chứng minh. Ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
(1.4.6)
19
n 1
Fn 1 Ln
2
n 1
n 2
n 2
Fn 2 Ln
2n 3
n 1
2n 1
n 2
n 2
2
2n 1
2n 1
2n 1
n
n 1
2n 1
2n 1
n 2
n 2
2n 3
2n 2
n
n 2
n
n
n 1
2
n 2
n
2n 2
2
2
n
F2 n 1 . (do
0)
Hệ thức 1.4.7
L2n
L2n 1
(1.4.7)
5F2 n 1.
Chứng minh. Ta có:
L2n
L2n 1
n
2n
n
2
2n
2n 1
2n 2
1
2n 1
n 1
2n 2
2n 1
1
2n 1
2n 1
=
n 1 2
n 1
n
2n 1
2n 1
2n
2n
2n 2
2n 1
2n 1
2n 1
2
5F2 n 1.
Vậy
L2n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
L2n 1
5F2 n 1.
2n 2
20
Chương 2
MỘT SỐ HỆ THỨC MỚI TRONG DÃY FIBONACCI SUY RỘNG
Trong chương này, để cho tiện, ta kí hiệu dãy Fibonacci như sau:
Fn 1
F0
Fn
Fn 1 , n = 1,2,...,
0, F1 =1.
2.1 Dãy Fibonacci
Ta đã biết một số hệ thức về các số Fibonacci sau đây
(Sharpe, 1965) : Fn2 2 k + Fn2 = Fn
Fn
2k 1
(Sharpe, 1965) : Fn2 2 k 1 + Fn2 = F2 k 1F2 n
2k 1
(Sharpe, 1965) : Fn2 2 k
(Sharpe, 1965) : Fn2 2 k
(Tadlock, 1965) : Fn2 k
2k 2
+ F2 k 1F2 n
2k 1
.
(2.1.1)
.
(2.1.2)
Fn2 = F2 k F2 n 2 k .
Fn2 = Fn 1Fn
1
(2.1.3)
F2 k F2 n
2
2k 2
.
(2.1.4)
Fn2 k = F2 n 1F2 k 1.
1
(2.1.5)
Các hệ thức trên được thiết lập từ các hệ thức:
Fn
1
5
n
n
n
, Ln
n
,
=
1
5
2
,
=
1
5
2
,
=
1.
Chứng minh công thức (2.1.1) Ta có
2
n 2k
F
1
5
1
5
1
+F =
5
2
n
2
n 2k
1
5
n 2k
2n 4k
2n 4k
2n
2n
2
2n 4k
2n 4k
2n
2n
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
2
n
n 2k
n
n
n
2
2k
1
1
L2 n
5
4k
L2 n 4 1
n
.
21
Mặt khác
Fn
2k 2
Fn
2k 1
+ F2 k 1F2 n
2k 1
1 n 2k 2
1
n 2k 2
n 2k 1
n 2k 1
5
5
1
2n 4k 1
2n 4k 1
2n 4k 2
2n 4k 2
5
1
1
n
L2 n 4 k 1 +L2 n 4 k 2 L2 n 4 1
L2 n
5
5
2k 1
2k 1
1
5
2n 2k 1
n 2k 2
L2 n 4 1
4k
2n 2k 1
3
n
3
2k 1
.
Vậy
Fn2 2 k +Fn2 = Fn
2k 2
Fn
2k 1
+F2 k 1F2 n
2k 1
.
Chứng minh công thức (2.1.2) Ta có
2
n 2k 1
F
2
n
+F =
1
2n 4k
5
1
L2 n 4 k 2
5
F2 k 1 F2 n
2k 1
2
2
1
5
n 2k 1
2n 4k 2
1
5
n 2k 1
2n
2n
2
n
n
n
2
2k 1
1
L2 n .
1
5
2k 1
1
2n 4k
5
1
L2 n 4 k 2
5
2
2k 1
1
5
2n 4k 2
2n 2k 1
2k 1
2n 2k 1
2n
2n
L2 n .
Vậy
Fn2 2 k 1 + Fn2 = F2 k 1F2 n
2k 1
.
Chứng minh công thức (2.1.3) Ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
2n
2n
22
2
n 2k
F
2
1
5
2
n
F =
n 2k
1
2n 4k
2n
5
1
= L2 n 4 k L2 n .
5
2
1
5
n 2k
4k
2n
n
n
2n
n
2
2k
1
Mặt khác,
F2 k F2 n
1
5
1
5
1
5
2k
2k
1
5
2k
2n 4k
2n 4k
2n 4k
2n 4k
2n 2k
2k
2n 2k
2n 2k
2k
2n 2k
2n
2k
1
L2 n
5
2n
4k
L2 n .
Vậy
Fn2 2 k
Fn2 = F2 k F2 n 2 k .
Chứng minh công thức (2.1.4) Ta có
2
n 2k 1
2
n
5 F
F
2
1
5
=5
n 2k 1
2n 4k 2
L2 n
4k 2
2n 4k 2
L2 n
1
n 2
n 2
2n
n 1
2
1
5
n 2k 1
2n
n
n
n
2
2k 1
1
L3 .
Mặt khác,
5 Fn 1 Fn
1
5
5
2n 1
L2 n
4k 2
L2 n
4k 2
F2 k F2 n
2
n 1
2k 2
1
5
n 1
2n 1
2n 4k 2
L2 n 1
L2 n
L2 n
1
1
2
n 1
2n 4k 2
n 1
1
5
2k
n 1
1
5
2k
3
3
2n 2k 2
2k
2n 2k 2
2n 2
L3
L3 .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
2n 2
23
Vậy
Fn2 2 k
Fn2
1
Fn 1Fn
F2 k F2 n
2
2k 2
.
Chứng minh công thức (2.1.5) Ta có
n k 1
2
n k 1
F
2
n k 1
n k
n k
2
2
n k
F
2n 2k 2
2n 2k 2
n k 1
2
2
n k
2n 2k
2n 2k
2
2n 1
2k 1
2k 1
2n 1
2k 1
2
2k 1
n k
2
2k
2
Ta đã biết
2k 1
2
1
2k 1
n k
2k 1
2k 1
và
2k 1
1
2k 1
2k 1
2k 1
.
2k
Do
0 nên biểu thức trên trở thành
2
2n 1
2
n k 1
F
2k 1
2k 1
2
n k
F
2n 1
2k 1
2k 1
2
2n 1
2n 1
2k 1
2k 1
F2 n 1 F2 k 1.
Vậy
Fn2 k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
1
Fn2 k = F2 n 1F2 k 1.
.
24
2.2 Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci
Mục này chứng minh một số hệ thức trong dãy Fibonacci, tuy đã được John H.
Halton trình bày trong [3] từ năm 1965, nhưng chúng còn chưa được trình bày
trong các tài liệu bằng tiếng Việt. Từ “ Hệ thức mới ” ở đây được hiểu theo nghĩa
như vậy.
2.2.1 Một số hệ thức mới trong dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci cho bởi hệ thức truy hồi
Fn 1
F0
Fn
Fn 1 , n = 1,2,...
(2.2.1)
0, F1 =1.
Để thuận tiện trong việc chứng minh các hệ thức, chúng ta đưa thêm vào khái niệm
số Fibonacci với chỉ số âm như sau:
Từ công thức (2.2.1), ta suy ra
Fn 1
Fn 1 Fn .
Từ công thức trên, lần lượt cho n 0, 1, 2,..., ta được :
F1
F0 1
F1 F0 1 0 1,
F2
F11
F0
F3
F2 1
F1 F2 1
F4
F3 1
F2
F5
F4 1
F3
F1 0 1
1,
1
2,
F3
1 2
3,
F4
1 2 2
3
5,
...,
Fn
1
n 1
Fn .
Ta có thể chứng minh công thức trên bằng quy nạp như sau:
Với n 1 ta có F 1 1
1
1 1
F1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
F1.
25
Giả sử đẳng thức F n
1
n 1
Fn đúng với n 2. Ta sẽ chứng minh đẳng thức
đúng tới n 1. Thật vậy theo công thức (2.2.1) và giả thiết quy nạp, ta có
F
=
F
n 1
1
n 2
Vậy công thức F n
Fn
1
1
n
Fn
n 1
n 1
1 Fn 1
n 2
Fn 1
1
1
n 2
n 1
Fn
Fn
Fn 1
1
n 2
Fn 1.
Fn được chứng minh.
Xét hàm số
S0 n
Fn
(2.2.2)
Fn 1 Fn 2 .
Theo (2.2.1), với mọi số nguyên n ta có
S0 n
Fn
Fn 1 Fn 2 . Fn
Fn
2
(2.2.3)
0.
2
Tiếp theo ta đi xét hàm số
S1 m, n
Fm Fn
Fm 1Fn 1 Fm
n 1
(2.2.4)
.
Theo (2.2.1) với mọi m, n tùy ý ta có
S1 m 1, n
S1 m, n
(2.2.5)
S1 m 1, n .
Thật vậy
S1 m 1, n
S1 m, n
Fm 1Fn
Fm 2 Fn 1 Fm
S1 m 1, n = Fm Fn
n 2
.
Fm 1Fn
Fm
1
= Fm Fn
Fm 1 Fn
Fm 1Fn
= Fm
Fm 1 Fn
Fm
Fm 1 Fn
Fm 2 Fn
1
Fm 1Fn
n 1
1
Fm
Fm Fn
1
Fm Fn
n 2
Fm Fn
Fm
1
1
Fm
n 1
n 1
Fm
1
Fm
Fm
n
n
n
.
Vậy
S1 m 1, n
S1 m, n
S1 m 1, n .
Từ (2.2.1), (2.2.2), (2.2.3) ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
