Hệ thức vi ét và áp dụng

ChTuoyåeânñaùeà


Bài 6 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. HÖ thøc vi- Ðt

Nếu phương trình bậc hai
ax2 + bx +c = 0 có nghiệm thì dù
đó là hai nghiệm phân biệt hay
nghiệm kép ta đều có thể viết các
nghiệm đó dưới dạng:

−b+ ∆
−b− ∆
x1 =
, x2 =
2a
2a

?1
H·y tÝnh : x1+x2 = .......... (H/s1)
x1. x2=..............(H/s2)


BÀI 6

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1. HÖ thøc vi- Ðt

−b + ∆ −b − ∆

x1 + x2 =
+
2a
2a

−b + ∆ + (−b) − ∆
2a
−2b - b
=
=
2a
a
=

 −b + ∆   −b − ∆ 
x1.x2 = 
÷
÷× 2a ÷
÷
2
a

 


b 2 − ∆ b 2 − (b 2 − 4ac)
=
=
2
4a

4a 2
c
4ac
=
=
2
a
4a


BÀI 6

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1. HÖ thøc vi- Ðt
§Þnh lÝ vi- Ðt

NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm cña
ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c= 0
(a≠0) th×

b

x1 + x 2 = −


a

x .x = c
1

2

a


F.Viète

Phrăng-xoa Vi-ét là nhà Toán học- một
luật sư và là một nhà chính trị gia nổi
tiếng người Pháp (1540 - 1603). Ông đã
phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm
và các hệ số của phương trình bậc hai
và ngày nay nó được phát biểu thành
một định lí mang tên ông .


BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
1. Hệ thức vi ét
Hoạt Động nhóm
Định lí Vi-ét:

Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 )

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng Cho phơng trình 2x2- 5x+3 = 0 .
trình ax2 + bx + c= 0(a0) thì
a) Xác định các hệ số a,b,c rồi tính a+b+c.

b

x1 + x 2 =

a

x .x = c
1
2

a

áp dụng

b) Chứng tỏ rng x1 = 1 là một nghiệm của
phơng trình.
c) Dùng định lớ Vi- ét để tìm x2..
Nhóm 3 (Làm ?3)
Cho phơng trình 3x2 +7x+4=0.
a) Chỉ rõ các hệ số a,b,c của phơng
trình v tính a-b+c
b) Chứng tỏ x1= -1 là một nghiệm của
phơng trình.
c) Tìm nghiệm x2.


BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. HÖ thøc vi Ðt
Ho¹t §éng nhãm
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai
Nhãm 1 +2: ( Lµm ?2 )
nghiÖm cña ph¬ng tr×nh

Trả lời:

ax2 + bx + c= 0 (a≠0)
th× :

b

x
+
x
=
−
2

 1
a

x .x = c
1
2

a


¸p dông

Phương trình 2x2 -5x + 3 = 0
a/ a =2 ; b = - 5 ; c = 3
a+b+c =2+(-5)+3=0
b/ Thay x1 = 1 vào phương trình ta được:

VT= 2.12_ 5.1+3= 2 – 5 +3 = 0 = VP

Tæng qu¸t 1 : NÕu ph¬ng tr×nh
ax2+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 Vậy x1 = 1 là một nghiệm của phương
trình
th× ph¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm
c c/ Theo hệ thức Vi-ét
x1=1, cßn nghiÖm kia lµ x2 =
a x .x = c ⇔ 1.x = c ⇔ x = c = 3
1

2

a

2

a

2

a

2


BÀI 6 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG
1. HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm
cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c= 0 (a≠0) th×

b

x
+
x
=
−
2

 1
a

x .x = c
1
2

a


¸p dông
Tæng qu¸t 1 : NÕu ph¬ng tr×nh
ax2+bx+c= 0 (a≠ 0 ) cã a+b+c=0 th× ph
¬ng tr×nh cã m«t nghiÖm x1=1, cßn
nghiÖm kia lµ x2 =

c
a

Tæng qu¸t 2: NÕu ph¬ng tr×nh
ax2+bx+c=0 (a≠0 ) cã a-b+c = 0 th× ph¬ng

tr×nh cã mét nghiÖm x1= -1, cßn
nghiÖm kia lµ x2 = −

c
a

Ho¹t §éng nhãm
Nhóm 3: (Làm ?3)
Phương trình 3x2 +7x + 4= 0
a/ a =3 ; b = 7 ; c = 4
a-b+c =3 - 7 + 4 = 0
b/ Thay x1 = -1 vào phương trình ta
được:
2
3
.(
−
1
)
+ 7.(−1) + 4 = 3 − 7 + 4 = 0
VT=
=VP
Vậy x1 = -1 là một nghiệm của phương
trình
c/ Theo hệ thức Vi-ét

c
c
x1.x2 = ⇔ (−1).x2 =
a

a
c
4
⇔ x2 = − = −
a
3


BI 6 H THC VI-ẫT V NG DNG
1. Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm
của phơng trình ax2 + bx + c= 0(a0) thì
b

x
+
x
=

2

1
a

x .x = c
1
2

a

áp dụng
Tổng quát 1 : Nếu phơng trình
ax2+bx+c= 0 (a 0 ) có a+b+c=0 thì ph
ơng trình có môt nghiệm x1=1, còn
nghiệm kia là x2 =

c
a

b/ 2004x2+ 2005x+1=0
Lời giải
a/ -5x2 +3x+2=0 có a=-5, b=3, c=2
=> a+b+c= -5+3+2= 0.
Vậy x1=1, x2 =
b/

Tổng quát 2: Nếu phơng trình
ax2+bx+c=0 (a0 ) có a-b+c = 0 thì phơng
trình có một nghiệm x1= -1, còn
nghiệm kia là x2 =

?4:Tính nhẩm nghiệm của phơng trình
a/ - 5x2+3x +2 =0;

c
a

2
2
=

5
5

2004x2+2005x +1=0
có a=2004 ,b=2005 ,c=1
=> a-b+c=2004-2005+1=0
Vậy x1= -1, x2 =

1
2004


BÀI 6

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1.HÖ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai nghiÖm
cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c= 0(a≠0) th×

¸p dông

b

x
+
x
=
−
2


 1
a

x .x = c
1
2

a


Tæng qu¸t 1 :(SGK)
Tæng qu¸t 2:(SGK)

2. T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch
cña chóng :

Hệ thức Vi-ét cho ta biết cách
tính tổng và tích của hai nghiệm
phương trình bậc hai
Ngược lại nếu biết tổng của
hai số bằng S và tích của chúng
bằng P thì hai số đó là nghiệm
của phương trình nào?


BI 6

H THC VI-ẫT V NG DNG

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm
của phơng trình ax2 + bx + c= 0(a0) thì

áp dụng

b

x
+
x
=

2

1
a

x .x = c
1
2

a


Tổng quát 1 :(SGK)

+ Cho hai số có tổng bng S và tích
bằng P. Gọi một số là x thì số kia là S -x .
Theo giả thiết ta có phơng trình

x(S - x) = P <=> x2 - Sx + P= 0 (1)

Nếu = S2- 4P 0,
thì phơng trình (1) có nghiệm.Các nghiệm nà
chính là hai số cần tìm.
áp dụng

Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng
bằng 27, tích của chúng bằng 180.
2. Tìm hai số biết tổng và tích
Giải :
của chúng :
Hai số cần tìm là nghiệm của phơng trình.
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P
x2_ 27x +180 = 0 ( a = 1,b = -27,c = 180)
thì hai số đó là hai nghiệm của phơng
= (-27)2- 4.1.180 = 729-720 = 9 >0
trình
x2 - Sx + P = 0
= 9 =3
2
Điều kiện để có hai số đó là S -4P 0
Tổng quát 2:(SGK)

x1 =

(27) + 3
(27) 3
= 15, x2 =
= 12

2.1
2.1

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12


BI 6

H THC VI-ẫT V NG DNG

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm
của phơng trình ax2 + bx + c= 0(a0) thì
b

x
+
x
=

2

1
a

x .x = c
1
2

a

áp dụng
?5. Tìm hai số biết tổng của chúng
bằng 1, tích của chúng bằng 5.

Giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phơng trình
: x2- x + 5 = 0 (a=1, b=-1, c=5)
áp dụng
= (-1)2 4.1.5 = 1-20= -19 < 0.
Tổng quát 1 :(SGK)
Phơng trình vô nghiệm.
Tổng quát 2:(SGK)
Vậy không có hai số nào có tổng bằng 1
2. Tìm hai số biết tổng và tích và tích bằng 5.
của chúng :
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phơng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P trình x2-5x+6 = 0.
thì hai số đó là hai nghiệm của phơng
Giải.
trình
x2 -Sx + P = 0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P 0

= (-5)2 - 4.1.6=25 24 = 1>0

Vì:

2+3 =5; 2.3 = 6,
nên x1= 2, x2= 3 là


Hệ thức vi-ét và ứng dụng
Định lí Vi-ét
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương
trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
-b

x
+
x
=
2

 1
a

 x .x = c
1
2

a


Áp dụng:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
a+b+c=0

c
⇒ x1=1 ; x2=
a

a-b+c=0

-c
⇒x1=-1 ;x2=
a

Tìm hai số biết tổng là S và
tích là P

Hai số cần tìm là hai nghiệm của
phương trình x2 – Sx + P = 0
Điều kiện: S2 – 4P ≥ 0


Qua bi hc ta cú th nhm nghim ca phng trỡnh
x2 6x + 5 = 0 bng my cỏch?
* Dựng iu kin a+b+c=0 hoc a-b+c=0 tớnh nhm nghim
Giải
Ta có a=1, b= - 6, c=5

=>a + b + c = 1+(- 6) + 5 = 0.
Nờn phng trỡnh cú hai nghim l:

c
x1 = 1; x2 = = 5
a

* Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm.
Giải
= 9 5 = 4>0

Vì : 1 + 5 = 6 và 1. 5 = 5
nên x1=1 ,x2= 5 là hai nghim ca ph
ơng trình


BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Chọn câu trả lời đúng :
Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào:

A

x2 - 2x + 5 = 0

B

x + 2x – 5 = 0
2

C

x2 - 7x + 10 = 0

D

x2 + 7x + 10 = 0

sai
Đúng

Sai


Tit 58 BI 6

H THC VI-ẫT V NG DNG

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng
ax2 + bx + c= 0 (a0) thì

áp dụng

Luyện tập
trình

b

x
+
x
=

2

1

a

x .x = c
1
2

a


Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)

2.Tìm hai số biết tổng và tích
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phơng trình x2 Sx
+P=0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P 0

Bài tập 25: Đối với mỗi phơng trình sau, kí
hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có).
Không giải phơng trình, hãy điền vào
những chỗ trống (...).
17

a/ 2x2- 17x+1= 0, =......
281, x1+x2=......
2
1

x1.x2=...........
1
2
2
701 x1+x2=......
b/ 5x - x- 35 = 0, =......
5
-7
x1.x2=...........
Khụng cú
c/ 8x2- x+1=0, =......
-31 x1+x2=......
Khụng cú
x1.x2=...........

2
0 x1+x2=......
d/ 25x2 + 10x+1= 0, =......

1
5
x1.x2=...........
25


Tit 58 BI 6

H THC VI-ẫT V NG DNG

1.Hệ thức vi ét

Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm
của phơng trình ax2 + bx + c= 0(a0) thì

áp dụng

b

x
+
x
=

2

1
a

x .x = c
1
2

a


Tổng quát 1 :(SGK)
Tổng quát 2:(SGK)

Bài 27/ SGK.Dùng hệ thức Vi-ét
để tính nhẩm các nghiệm của ph
ơng trình.

a/ x2 7x+12= 0 (1)
b/ x2+7x+13=0 (2)
Nửa lớp làm câu a .
Nửa lớp làm câu b.
Giải

2.Tìm hai số biết tổng và tích
a/
=(7)2 4.1.12 = 49 48 =1 > 0.
của chúng :
Vì : 3 + 4 = 7 và 3. 4 = 12
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
nên x1=3, x2= 4
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phơng trình x2 Sx
là hai nghim ca phơng trình
+P=0
(1)
b/ =(-7)2 4.1.13 = 49 52 = -3 < 0.
Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P 0

Vy: Phơng trình (2) vô nghiệm.


Tiết 58 BÀI 6

HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

1.HƯ thøc vi Ðt
§Þnh lÝ Vi-Ðt: NÕu x1, x2 lµ hai nghiƯm

cđa ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c= 0(a≠0) th×

¸p dơng

b

x
+
x
=
−
2

 1
a

x .x = c
1
2

a


Tỉng qu¸t 1 :(SGK)
Tỉng qu¸t 2:(SGK)

2.T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch
cđa chóng :
NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch
b»ng P th× hai sè ®ã lµ hai nghiƯm cđa

ph¬ng tr×nh x2 - Sx +
P=0
§iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè ®ã lµ S2 -4P ≥0

Bài tập: 28 (a) /SGK.
Tìm hai số u và v biết u +
v=32, u.v = 231.
Gi¶i
Hai số u và v là hai nghiệm của
phương trình: x2 – 32x + 231 = 0
∆’ = 256 – 231 = 25 > 0
⇒ 25 = 5
x1 = 16 + 5 = 21
x2 = 16 – 5 = 11
Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11,v =
21


BI 6

H THC VI-ẫT V NG DNG

1.Hệ thức vi ét
Định lí Vi-ét:
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng
ax2 + bx + c= 0 (a0) thì

Hng dn t hc:

a) Bi va hc:

-Hc thuc nh lớ Vi-ột v
cỏch tỡm hai s bit tng v tớch.
b

x + x2 =
-Nm

1
a

vng cỏch nhm nghim: a+b+c=0;
c
x .x =
a-b+c=0
1
2

a

-Trng hp tng v tớch
áp dụng
ca hai nghim ( S v P) l nhng s
Tổng quát 1 :(SGK)
nguyờn cú giỏ tr tuyt i khụng quỏ
Tổng quát 2:(SGK)
BTVN: 25 /tr52, 26,27,28/tr53 (SGK)
2.Tìm hai số biết tổng và tích ln.
của chúng :
Nếu hai số có tổng bằng S và tích
bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

phơng trình x2 Sx
+P=0
Điều kiện để có hai số đó là S2 -4P 0
trình