TAI LIEU ON THI DAI SO LOP 9 VAO 10 NANG KHIEU

MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI
1. Chứng minh 7 là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

a+b
≥ ab .
2

bc ca ab
+ +
≥a+b+c
a
b
c

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a + b > a − b
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
10. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
2
2
2
2
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a + b + c + d = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ
nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

(

15. Rút gọn biểu thức : A = 2 2 − 5 + 3 2

)(

16. Chứng minh rằng, ∀n ∈ Z+ , ta luôn có : 1 +
17. Trục căn thức ở mẫu : a)

1
1+ 2 + 5

)

18 − 20 + 2 2 .
1
1
1
+
+ .... +

>2
2
3
n
1
b)
.
x + x +1

(

)

n +1 −1 .

18. Tính :

5 − 3 − 29 − 6 20

a)

b) 6 + 2 5 − 13 + 48

(

)(

19. Cho a = 3 − 5. 3 + 5
20. Cho b =

3− 2 2
17 − 12 2

−

(

c)

( 5 − x)

)

3+ 2 2
17 + 12 2

)

3 −1 x − x + 4 − 3 = 0
5 − x + ( x − 3) x − 3
5−x + x −3

. b có phải là số tự nhiên không ?

b)
=2

22. Tính giá trị của biểu thức : M =
23. Rút gọn : A =

5 − 3 − 29 − 12 5

10 − 2 . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.

21. Giải các phương trình sau :

a)

c)

(

)

3 −1 x = 2

(

)

3 +1 x − 3 3

d) x + x − 5 = 5

12 5 − 29 + 25 + 4 21 − 12 5 + 29 − 25 − 4 21

1
1
1
1

+
+
+ ... +
.
1+ 2
2+ 3
3+ 4
n −1 + n


1
1
1
1
−
+
− ... +
2− 3
3− 4
4− 5
2n − 2n + 1

24. Cho biểu thức : P =
a) Rút gọn P.

b) P có phải là số hữu tỉ không ?

1
1
1

1
+
+
+ ... +
.
2 1 +1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4
100 99 + 99 100
1
1
1
+
+ ... +
> n.
26. Chứng minh : 1 +
2
3
n
25. Tính : A =

27. Chứng minh các đẳng thức sau :

(

) ( 10 − 6 ) 4 − 15 = 2
5 ( 3 + 5 ) ( 10 − 2 ) = 8 d)

a) 4 + 15
c) 3 −

b) 4 2 + 2 6 =

7 + 48 =

2
2

(

2

(

)

3 +1

)

3 + 1 e) 17 − 4 9 + 4 5 = 5 − 2

28. Chứng minh các bất đẳng thức sau :

5+ 5 5− 5
+
− 10 < 0
5− 5 5+ 5


5 +1
5 − 1 
1

c) 
+
+ 2 ÷ 0, 2 − 1,01 > 0
÷ 3 − 4
3
 1 + 5 + 3 1 + 3 − 5 

2 + 3 −1
2− 3
3
3  1
d)
+
+
+ 3− 2 > 0

÷−
2+ 6
2 6 2− 6 2+ 6 
2
27 + 6 > 48

a)

2 +2

e)
h)

(

3+

b)

2 −1 +
5+

2 −2

)

7 −

(

2 − 1 > 1,9

)

3+ 5+ 7 <3

g)
i)

17 + 12 2 − 2 > 3 − 1
2 + 2 + 3 2− 2
< 0,8
4

1
< 2 n − 2 n − 1 . Từ đó suy ra:
n
1
1
1
2004 < 1 +
+
+ ... +
< 2005
2
3
1006009
2+ 3+ 4
3
b)
30. Trục căn thức ở mẫu : a)
.
3
2+ 3+ 6+ 8+4
2+ 2 + 3 4
3+ 2
3− 2
và y=
31. Cho x =
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
3− 2
3+ 2
2002
2003

+
> 2002 + 2003 .
32. Chứng minh bất đẳng thức sau :
2003
2002
x 2 − 3xy + y 2
A
=
33. Tính giá trị của biểu thức :
với x = 3 + 5 và y = 3 − 5 .
x+y+2
1
34. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A =
.
2 − 3 − x2
2
1
+
35. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
với 0 < x < 1.
1− x x
y−2
x −1
36. Tìm GTLN của : a) A = x − 1 + y − 2 biết x + y = 4 ;
b) B =
+
x
y
29. Chứng minh rằng : 2 n + 1 − 2 n <

37. Cho a = 1997 − 1996 ; b = 1998 − 1997 . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?


38. Tìm GTNN, GTLN của : a) A =
39. Tìm giá trị lớn nhất của
40. Tìm giá trị lớn nhất của
41. Tìm GTNN, GTLN của
42. Tìm GTNN, GTLN của
43. Giải phương trình :

1
5 + 2 6 − x2

b) B = − x 2 + 2x + 4 .

A = x 1− x2 .
A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.
A = x x + y y biết
x + y = 1.

1 − x + x 2 − 3x + 2 + (x − 2)

x −1
= 3.
x−2

44. Giải phương trình : x 2 + 2x − 9 = 6 + 4x + 2x 2 .

1

1
1
1
+
+
+ ... +
< 2.
2 3 2 4 3
(n + 1) n
1
1
1
1
+
+
+ ... +
46. Cho A =
. Hãy so sánh A và 1,999.
1.1999
2.1998
3.1997
1999.1
3+ 2
− 2 6 ; b = 3 + 2 2 + 6 − 4 2 . CMR : a, b là các số hữu tỉ.
47. Cho a =
3− 2
 a +1

a −1
1 

−
+ 4 a ÷ a −
48. Chứng minh : 
÷ = 4a . (a > 0 ; a ≠ 1)
a
−
1
a
+
1
a




1
1
1
+
+ ... +
< 2 n − 2 với n∈ N ; n ≥ 2.
49. Chứng minh 2 n − 3 <
2
3
n
45. CMR, ∀n ∈ Z+ , ta có :

50. Tìm phần nguyên của số

6 + 6 + ... + 6 + 6

(có 100 dấu căn).

1
1
1
1
+
+
+ ... +
<2
2 3 2 4 3
(n + 1) n
1
1
1
1
+
+
+ ... +
= 9 . Chứng minh
52. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :
a1
a2
a3
a 25
51. CMR, ∀n ≥ 1 , n ∈ N :

rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.

Híng dÉn gi¶i
m
m2
1. Giả sử 7 là số hữu tỉ ⇒ 7 =
(tối giản). Suy ra 7 = 2 hay 7n 2 = m 2 (1). Đẳng thức này
n
n
2
7 mà 7 là số nguyên tố nên m M7. Đặt m = 7k (k ∈ Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và
chứng tỏ m M
(2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 M7 và vì 7 là số nguyên tố nên n M7. m và n
m
cùng chia hết cho 7 nên phân số
không tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 không phải là số hữu tỉ;
n
do đó 7 là số vô tỉ.
2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) ⇒ b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2 ⇔ x = y = 1.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ⇔ 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S ⇔ S ≥ 2. ⇒ mim S = 2 khi x = y = 1


bc
ca bc
ab
và
;
và
a

b a
c
bc ca
bc ca
bc ab
bc ab
ca ab
lần lượt có:
+ ≥2
. = 2c;
+
≥2
. = 2b ; +
≥2
a
b
a b
a
c
a c
b
c
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương

ca
ab
và
, ta
b
c

ca ab
. = 2a
b c

;

cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

3a + 5b
≥ 3a.5b .
2
12
12
⇔ (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) ⇔ 122 ≥ 60P ⇔ P ≤
⇒ max P =
.
5
5
c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :

Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 ⇔ a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=” xảy ra khi a = ½ .
Vậy min M = ¼ ⇔ a = b = ½ .
6. Đặt a = 1 + x ⇒ b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).
8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | ⇔ a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2
⇔ 4ab > 0 ⇔ ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu.
9. a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.

b) Ta có : (a + 1) 2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này có hai vế đều dương,
nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta được :
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).

 2x − 3 = 1 − x
⇔
11. a) 2x − 3 = 1 − x ⇔ 
2x
−
3
=
x
−
1


3x = 4
x = 2 ⇔


4

x
=

3

x = 2

b) x2 – 4x ≤ 5 ⇔ (x – 2)2 ≤ 33 ⇔ | x – 2 | ≤ 3 ⇔ -3 ≤ x – 2 ≤ 3 ⇔ -1 ≤ x ≤ 5.
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 ⇔ (2x – 1)2 ≤ 0. Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên chỉ có thể : 2x – 1 = 0
Vậy : x = ½ .
12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai vế của (1)
với 4 rồi đưa về dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có :
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
2
13. 2M = (a + b – 2) + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥ 1998.

a + b − 2 = 0

Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời : a − 1 = 0
Vậy min M = 1998 ⇔ a = b = 1.
b − 1 = 0

14. Giải tương tự bài 13.

16. Ta có :
Vậy : 1 +

1
2
2
=
>
=
k 2 k
k + k +1

2

(

(

k +1 − k

k +1 + k

)(

)

k +1 − k

)

=2

(

)

k +1 − k .

1
1
1
+

+ ... +
> 2( 2 − 1) + 2( 3 − 2) + 2( 4 − 3) + ... + 2( n + 1 − n ) =
2
3
n
= 2( n + 1 − 1) (đpcm).

22. Đưa các biểu thức dưới dấu căn về dạng các bình phương đúng. M = -2
23. Trục căn thức ở mẫu từng hạng tử. Kết quả : A = n - 1.


24. Ta có :

1
a − a +1

= −( a + a + 1) ⇒ P = −( 2 + 2n + 1) .

P không phải là số hữu tỉ (chứng minh bằng phản chứng).

1
1
1
9
=
−
⇒ A=
10
(n + 1) n + n n + 1
n

n +1
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
>
.n = n .
26. 1 +
2
3
4
n
n
1
2
34. Ta phải có | A | ≤ 3 . Dễ thấy A > 0. Ta xét biểu thức : B = = 2 − 3 − x . Ta có :
A
25. Ta hãy chứng minh :

0 ≤ 3 − x2 ≤ 3 ⇒ − 3 ≤ − 3 − x2 ≤ 0 ⇒ 2 − 3 ≤ 2 − 3 − x2 ≤ 2 .
1
= 2+ 3 ⇔
min B = 2 − 3 ⇔ 3 = 3 − x 2 ⇔ x = 0 . Khi đó max A =
2− 3
1
⇔ max B = 2 ⇔ 3 − x 2 = 0 ⇔ x = ± 3 . Khi đó min A =

2
2x 1 − x
+
35. Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B =
. Khi đó :
1− x
x
 2x 1 − x
=
(1)
2x 1 − x

B≥2
.
= 2 2 . B = 2 2 ⇔ 1 − x
x
1− x x
0 < x < 1 (2)
Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 ⇔ | x 2 | = | 1 – x |. Do 0 < x < 1 nên x 2 = 1 – x ⇔

1
= 2 − 1.
2 +1
Như vậy min B = 2 2 ⇔ x = 2 - 1.
1   2x 1 − x  2 − 2x 1 − 1 + x
 2
+ ÷− 
+
+
= 2 +1 = 3

Bây giờ ta xét hiệu : A − B = 
÷=
x  1− x
x
1− x x  1− x
⇔ x=

Do đó min A = 2 2 + 3 khi và chỉ khi x = 2 - 1.
36. a) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng :

a+b
≥ ab . Ở đây ta muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức : a + b ≤ 2(a 2 + b 2 )
2
A = x − 1 + y − 2 ≤ 2(x − 1 + y − 3) = 2
x − 1 = y − 2
 x = 1,5
max A = 2 ⇔ 
⇔ 
x + y = 4
 y = 2,5

Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Cauchy.
b) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội một tích :
Ta xem các biểu thức

x − 1 , y − 2 là các tích :

x − 1 = 1.(x − 1) , y − 2 =

x − 1 1.(x − 1) 1 + x − 1 1

=
≤
=
x
x
2x
2
y−2
2.(y − 2) 2 + y − 2
1
2
=
≤
=
=
y
4
y 2
2y 2
2 2

Theo bất đẳng thức Cauchy :

a+b
2
2(y − 2)

ab ≤

2

x − 1 = 1
x = 2
1
2 2+ 2
+
=
⇔ 
⇔ 
2 4
4
y − 2 = 2
y = 4
1
1
,b=
37. a =
. Ta thấy 1997 + 1996 < 1998 + 1997
1997 + 1996
1998 + 1997
max B =

Nên a < b.
38. a) min A = 5 - 2 6 với x = 0. max A =
b) min B = 0 với x = 1 ±

5 . max B =

1

với x = ±
5

6.

5 với x = 1

x 2 + (1 − x 2 ) 1
39. Xét – 1 ≤ x ≤ 0 thì A ≤ 0. Xét 0 ≤ x ≤ 1 thì A = x (1 − x ) ≤
= .
2
2
2
2
x = 1 − x
1
2
max A = ⇔ 
⇔ x=
2
2
x > 0
2

2

40. A = | x – y | ≥ 0, do đó A lớn nhất khi và chi khi A2 lớn nhất. Theo bđt Bunhiacôpxki :
2

1

5

  1
A = (x − y) = 1.x − .2y ÷ ≤ 1 + ÷(x 2 + 4y 2 ) =
2
4

  4
2

2



2 5
2 5
1
 2y
x=−
x=


5
 =−


5
5
max A =
⇔ x

⇔ 
2
hoặc 
2
 x 2 + 4y 2 = 1
y = 5
y = − 5



10
10
41. a) Tìm giá trị lớn nhất : Từ giả thiết :

 x 3 ≤ x 2
0 ≤ x ≤ 1
⇔  3
⇔ x 3 + y3 ≤ x 2 + y 2 = 1

2
 y ≤ y
0 ≤ y ≤ 1
 x 3 = x 2
max A = 1 ⇔  3
⇔ x = 0, y = 1 V x = 1, y = 0
2
y
=
y


x+y
≤ 1 . Do đó :
b) Tìm giá trị nhỏ nhất : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = 2 ⇒ x + y ≤ 2 ⇒
2
x 3 + y3 ) ( x + y )
(
3
3
. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
x +y ≥
2
2
2
2
2
2


(x 3 + y3 )(x + y) =  x 3 + y 3   x + y  ≥ x 3 . x + y 3 . y = (x2 + y2) = 1


 
1
2
min A =
⇔ x=y=
2
2

( ) ( ) ( ) ( ) (

42. Đặt

)

x = a ; y = b , ta có a, b ≥ 0, a + b = 1.

A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = 1 – 3ab.
Do ab ≥ 0 nên A ≤ 1. max A = 1 ⇔ a = 0 hoặc b = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1, y = 0.

(a + b) 2 1
1
1
1
1
Ta có ab ≤
= ⇒ ab ≤ ⇒ 1 − 3ab ≥ . min A = ⇔ x = y =
4
4
4
4
4
4

43. Điều kiện : 1 – x ≥ 0 , 2 – x ≥ 0 nên x ≤ 1. Ta có :

1 − x + (x − 1)(x − 2) − x − 2

x −1
=3

x−2


⇔

1 − x + (x − 1)(x − 2) − (x − 1)(x − 2) = 3 ⇔

1 − x = 3 ⇔ x = −8 .

44. Ta có : 6 + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + 4 = 2(x + 1)2 + 4 > 0 với mọi x. Vậy phương trình xác
định với mọi giá trị của x. Đặt x 2 + 2x + 3 = y ≥ 0, phương trình có dạng :

y = 3 2

y2 - y 2 - 12 = 0 ⇔ (y - 3 2 )(y + 2 2 ) = 0 ⇔ 

 y = −2 2 (loai vì y ≥ 0

2
x 2 + 2x + 3 = 3 2 ⇔ x + 2x + 3 = 18 ⇔ (x – 3)(x + 5) = 0 ⇔ x = 3 ; x = -5 .
1
1
1 
1  1
1 
 1
1
= k.
= k −
+

−
45. Ta có :
÷= k 
÷
÷
(k + 1)k
(k + 1) k
k + 1  k
k +1 
 k k +1
 k

k  1
1 
1
1 
 1
−
< 2
−
= 1 +
÷
÷. Do đó :
÷.
k
+
1
k
k
+

1
(k
+
1)
k
k
k
+
1






1
1
1
1
1 
1 
1 
 1

 1
+
+
+ ... +
< 2 1 −
+ 2

−
+ ... + 2 
−
Vậy :
÷
÷
÷
2 3 2 4 3
(n + 1) n
2
3
n +1 

 n
 2
1 

= 2 1 −
÷ < 2 (đpcm).
n +1 

1
2
>
46. Dùng bất đẳng thức Cauchy
(a, b > 0 ; a ≠ 0).
ab a + b
1
1
1

+
+ ... +
49. Đặt A =
.
2
3
n
a) Chứng minh A > 2 n − 3 : Làm giảm mỗi số hạng của A :
1
2
2
=
>
= 2 k +1 − k .
k
k+ k
k +1 + k
Do đó A > 2  − 2 + 3 + − 3 + 4 + ... + − n + n + 1  =


= 2 n +1 − 2 = 2 n +1 − 2 2 > 2 n +1 − 3 > 2 n − 3 .

Do đó

(

(

(

)

) (

)

)

(

)

b) Chứng minh A < 2 n − 2 : Làm trội mỗi số hạng của A :

(

)

1
2
2
=
<
= 2 k − k −1
k
k+ k
k + k −1
Do đó : A < 2  n − n − 1 + ... + 3 − 2 + 2 − 1  = 2 n − 2 .



(

)

(

) (

)

50. Kí hiệu a = 6 + 6 + ... + 6 + 6 có n dấu căn. Ta có :
n

a1 = 6 < 3 ; a 2 = 6 + a1 < 6 + 3 = 3 ; a 3 = 6 + a 2 < 6 + 3 = 3 ... a100 = 6 + a 99 < 6 + 3 = 3
Hiển nhiên a100 >

6 > 2. Như vậy 2 < a100 < 3, do đó [ a100 ] = 2.
205. a) Cách 1 (tính trực tiếp) : a2 = (2 + 3 )2 = 7 + 4 3 .
Ta có 4 3 = 48 nên 6 < 4 3 < 7 ⇒ 13 < a2 < 14. Vậy [ a2 ] = 13.
Cách 2 (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + 3 )2 thì x = 7 + 4 3 .
Xét biểu thức y = (2 - 3 )2 thì y = 7 - 4 3 . Suy ra x + y = 14.
Dễ thấy 0 < 2 - 3 < 1 nên 0 < (2- 3 )2 < 1, tức là 0 < y < 1. Do đó 13 < x < 14.
Vậy [ x ] = 13 tức là [ a2 ] = 13.
b) Đáp số : [ a3 ] = 51.


x + y = b (1) thì a và b là số hữu tỉ. Xét hai trường hợp :
x−y
a

a
= ⇒ x − y = là số hữu tỉ (2). Từ (1) và (2) ta có :
b
x+ y b

206. Đặt x – y = a ;
a) Nếu b ≠ 0 thì

1
a
1
a
x =  b + ÷ là số hữu tỉ ; y =  b − ÷ là số hữu tỉ.
2
b
2
b
b) Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên x , y là số hữu tỉ.
1
n
1 
1  1
1 
 1
1
=
= n −
+
−
÷= n 

÷
÷=
(n + 1) n n(n + 1)
n + 1  n
n +1 
 n n +1
 n

n  1
1 
1 
 1
= 1 +
−
−
÷
÷< 2 
÷. Từ đó ta giải được bài toán.
n +1  n
n +1 
n +1 
 n


51. Ta có

52. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng
nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < …. < a25. Suy ra : a1 ≥ 1 , a2 ≥ 2 , …
a25 ≥ 25. Thế thì :

1
1
1
1
1
1
+
+ .... +
≤
+
+ .... +
a1
a2
a 25
1
2
25

(1). Ta lại có :

1
1
1
1
2
2
2
+
+ .... +
+

=
+
+ .... +
+1 <
25
24
2
1
25 + 25
24 + 24
2+ 2
2
2
2
<
+
+ .... +
+ 1 = 2 25 − 24 + 24 − 23 + .... + 2 − 1 + 1 =
24 + 24
23 + 23
2+ 2

(

=2
Từ (1) và (2) suy ra :

(

)

25 − 1 + 1 = 9

)

(2)

1
1
1
+
+ .... +
< 9 , trái với giả thiết. Vậy tồn tại hai số bằng nhau
a1
a2
a 25

trong 25 số a1 , a2 , … , a25.