Bài phương trình đường thẳng

CHÀO MỪNG QUÝ
THẦY CÔ ĐẾN DỰ GIỜ
THĂM LỚP


MỘT SỐ KIẾN THỨC CŨ

y

∆
r

u
M

o

2.PT tham số, PT chính tắc của
đường thẳng ∆ trong mặt phẳng :

ur
u1


Qua M ( x0 ; y0 )
r
-Đường thẳng ∆: 

VTCP u (a1 ; a2 )

x

a) PT tham số của ∆có dạng:

 x=x 0 +a1t
2
2
(
a
+
a

1
2 ≠ 0)
 y=y0 +a 2 t

∆
1)Vectơ chỉ phương(VTCP) của b) PT chính tắc của có dạng:
đường thẳng ∆ trong mặt phẳng: x − x
y − y0
r r
0
=
(a1.a2 ≠ 0)
Vectơ u ≠ 0 ,có giá song song
a1
a2
hoặc trùng với đường thẳng ∆
được gọi là VTCP của đường
thẳng ∆ .

Hãy nhắc lại định nghĩa VTCP của đường thẳng
trong không gian?
r
r
Vectơ u khác 0 được gọi là VTCP của đường thẳng nếu
nó có giá song song hoặc trùng với đường thẳng ấy.
y

r
u'

∆

z

r
u

r
u

∆
ur
u'

x
O

o

x

y


y

Trong không gian cho vectơ,
r đi
r córbao nhiêu đường thẳng
u qua
≠ 0 M và nhận vec tơ u là
một vec tơ chỉ phương ?

∆

r
u
M
O

x

z


§3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
I. Phương trình tham số của đường thẳng.

II. Điều kiện để hai đường thẳng song song,
cắt nhau, chéo nhau.


Bài toán:

z

Trong không gian Oxyz cho
đường thẳng ∆ đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

r
nhận a = (a1 ; a2 ; a3 ) làm vectơ chỉ

phương. Tìm điều kiện để điểm

∆?
M(x; y; z) nằm
uuuuutrên
ur

O

r
a

∆
M

*

M0

x

Giải: Ta có: M 0 M ( x − x0 ; y − y0 ; z − z0 )
uuuuuur
M ∈ ∆ ⇔ M 0 M cùng phương với

r
a

x = x0 + a1t
x − x0 = ta1


uuuuuur r 

⇔ ∃ t ∈ ¡ sao cho M 0 M = ta ⇔  y − y0 = ta2 ⇔  y = y0 + a2t
 z − z = ta
z = z + a t
0
3

0
3


y

Bài 3 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG
KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

1.Định lí:
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
r
nhận a = (a1 ; a2 ; a3 ) làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và
đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên ∆ là có một số thực t sao cho

 x = x0 + a1t

 y = y0 + a2t
z = z + a t
0
3



Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

2. Định nghĩa:
PTTS của đường thẳng
∆
đi
qua
M
(x

;y
;z
)
và
có
0
0
0
0
r
vectơ chỉ phươnga = (a1; a2 ; a3 ) là phương trình có dạng:

 x = x0 + ta1

 y = y0 + ta2
 z = z + ta
0
3

trong đó t là tham số.


x = 1 − 2t
*Ví dụ 1:

Cho đường thẳng d có phương trình: y = 2 + t
z =


2t

a) Hãy r
tìm tọa độ một vectơ chỉrphương của d.

a = (−2;1; 2)

b = (−4; 2; 4)

b) Xác định tọa độ của các điểm thuộc d ứng với giá
trị t = 0, t = 1, t = -2.

M0(1; 2; 0)

M1(-1; 3; 2)

M2(5; 0; -4)

c) Trong các điểm: A(3; 1; -2), B(-3; 4; 2), C(0; 2,5; 1)
điểm nào thuộc d, điểm nào không thuộc d.

A∈ d

B∉ d

C∈ d


Tiết 35: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Chú ý:
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ
r
phương a = (a1 ; a2 ; a3 )
(với a1, a2, a3 đều khác 0) có
phương trình chính tắc dạng:

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a1
a2
a3


*Ví dụ : 2

a ) Cho đường thẳng d có phương trình:

x −2 y −3 z + 4
=
=
1
2
2
a) Tọa độ một vectơ chỉ phương của d là:
r
r
r
a ) a = ( −2; −1; 2) b) a = (1; 2; 2) c) a = (2;1; 2)

b) Tọa độ của một điểm thuộc d là:

a) M0(-2; -3; 4)

b) M0(1; 2; 2)

c) M0(2; 3; -4)


*Ví dụ : 2

b) Cho đường thẳng d có phương trình:

−x − 1 3 − y 2 z − 4
=
=
2
−1
2
a) Tọa độ một vectơ chỉ phương của d là:
r
r
r
a ) a = ( −2;1;1) b) a = (2; −1;1) c) a = (2; −1; 2)
b) Tọa độ của một điểm thuộc d là:

a) M0(-1; -3; 4)

b) M0(-1; 3; 4) c) M0(-1; 3; 2)

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz .Viết pt tham số, pt chính
tắc của biết:

V

r
a, Đi qua điểm M(1;-2;3) và có vectơ chỉ phương ra (2;3; −4)
b, Đi qua điểm N(-1;1;3) và có vectơ chỉ phương a (3; 0; 4)
 x = 1 + 2t
Giải: a, Pt tham số của đường thẳng ∆ là: 
 y = −2 + 3t
 z = 3 − 4t

x−1 y + 2 z − 3
=
=
Pt chính tắc :
2
3
−4
b, PT tham số:  x = −1 + 3t


 y =1
 z = 3 + 4t


Không có PT chính tắc vì a2 = 0

Bài tập 1
Trong không gian Oxyz cho hai
điểm A(1; -2; 3) và B(3; 1; 1).
Viết PTTS của đường thẳng AB.

Bài tập 2
Trong không gian Oxyz.
Viết PTTS của đường thẳng ∆
qua M( -1;3;2) và song song với
đường thẳng d có phương trình:

 x =1−t

 y = −2 − 3t
 z = 3 − 2t



Ví dụ 4:
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; -2; 3) và B(3; 1; 1).
Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
Giải
Đường thẳng AB uuu
córvectơ chỉ phương là

B

AB = (2;3; −2)

Pt tham số của đường thẳng AB là:

 x = 1 + 2t

 y = − 2 + 3t
 z = 3 − 2t


A


Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz. Viết phương trình tham số
của đường thẳng ∆ qua M( -1;3;2) và song song
với đường thẳng d có phương trình:

Giải:

 x =1−t

 y = −2 − 3t
 z = 3 − 2t


uur
Đường thẳng d có VTCP : ad (− 1; − 3; − 2)
uur uur
∆ Pd suy ra ∆
có VTCP a∆ = ad (− 1; − 3; − 2)

d

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:

x =−1 −t

y = 3 −3t
z = 2 −2t


uur
ad
M
∆


Ví dụ 6:
Trong không gian Oxyz cho (P): 2x + 4y + z + 9 = 0 và A(1; -2; 3)
a.Viết PTTS của đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với mp(P).
b.Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp(P).
A

Giải

uur
a) Ta có: (P) có VTPT nP (2; 4;1)
P)
uur uur
Vì ∆ ⊥ ( P) nên ∆ có VTCP a∆ = n p (2;4;1)
Pt tham số của đường thẳng ∆ là :
 x = 1 + 2t


 y = −2 + 4t
z = 3 + t


H

∆

uur
nP


Ví dụ 6:
Trong không gian Oxyz cho (P): 2x + 4y + z + 9 = 0 và A(1; -2; 3)
a.Viết PTTS của đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với mp(P).
b.Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp(P).
A

Giải
a) Pt tham số của đường thẳng∆ là :
 x = 1 + 2t

 y = −2 + 4t
z = 3 + t


P)

∆

uur
nP

H

b) Gọi H là hình chiếu của A lên (P).
Ta có H ∈ ∆ nên H(1+2t;-2+4t;3+t)
và H ∈ ( P) ⇔ 2(1+2t) + 4(-2+4t) + 3+t + 9 = 0
2
3 22 19
⇔ 21t = − 6 ⇔ t = − ⇒ H ( ; − ; )
7
7
7 7


Bài tập trắc nghiệm:
1)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua M(3;2;-2) và

r
có VTCP a (2;3;3) pt tham số của đường thẳng d là:
 x =3 +2t

A  y = 2 +3t
z =−2 +3t


x =2 +3t

B y =3 +2t

z =3 −2t


x = −3 + 2t

C  y = 2 + 3t
z = −2 + 3t


 x = 3 + 2t

D y = −2 +3t
z = −2 +3t



2)Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua M(3;4;-2) và
vuông góc với mp(Q):3x-4y-z+2=0 .Phương trình tham số của
đường thẳng d là:

 x = 3 + 3t

A  y = − 4 + 4t
 z = − 1 − 2t

 x = 3 + 3t

C  y = 4 − 4t
 z = −2 + t


 x = 3 − 3t

B  y = 4 − 4t
 z = −2 − t


 x = 3 − 3t

y = 4 + 4t
D 
z = −2 + t
