Hàm số liên tục

1, f (x) = x

2

2x nếu x ≠ 1
2, f (x) = 
3 nếu x = 1

Đối với các
hàm số trên
các em hãy

 x nếu x ≥ 1
3, f (x) = 
2 nếu x < 1
Tính f(1) và lim f (x)
x →1

So sánh f(1) và lim f (x) (nếu có)
x →1

Vẽ phác đồ thò của hàm số .
Đồ thò này có là một đường liền nét không ?


f ( x) = x
y

f (1) = 1

2

lim f ( x) = lim x = 1
2

(P)

x →1

1
o

M
1

x

x →1

lim f ( x) = f (1)
x →1

Đồ thị là một đường liền nét


2 x neáu x ≠ 1
f ( x) = 
3 neáu x = 1

lim f ( x) = lim(2 x) = 2

y
3
2

x →1

•
M
x

o
1

(d)

f (1) = 3
x →1

lim f ( x) ≠ f (1)
x →1

Đồ thị không là một đường liền nét


 x neáu x ≥ 1
f ( x) = 
2 neáu x < 1
y=x

y

f (1) = 1

lim− f ( x) = lim− 2 = 2

x →1

lim+ f ( x) = lim+ x = 1

x →1
y=2

2
1
o

x

x →1

x →1

khoâng toàn taïi lim f ( x )
x→1

1

Đồ thị không là một đường liền nét

Đồ thị là một đường liền nét

y
1
o 1

Đồ thị không là một đường liền nét
Hàm số không liên
tục tại x=1

y
3
2

x

•

x
o 1

Hàm số liên tục tại
x=1

lim f ( x) ≠ f (1)

lim f ( x) = f (1)
x →1

x →1

y
Theo các em thì
hàm số phải thỏa
mãn điều kiện gì
thì liên tục tại
x=1 ?
Đồ thị không là một đường liền nét

Hàm số không liên
tục tại x=1

2
1
o 1

x

f (1) = 1
khoâng toàn taïi lim f ( x)
x→1


Hàm số phải thỏa điều kiện

lim
f
(
x
)

→
x 1

=

f (1)


Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K
Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục tại x 0 nếu
lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0

Hµm sè y = f(x) kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm x0 ®îc gäi lµ gi¸n
®o¹n t¹i ®iÓm ®ã.


 x2 −1
neáu x ≠ 1

Ví dụ : Cho hàm số f ( x ) =  x − 1
2
neáu x = 1

Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x 0=1
Ta có:

f (1) = 2
x2 −1
lim

f
(x)
=
lim
x →1
x →1
x −1
(x + 1)(x − 1)
= lim
x →1
x −1
= lim(x
+
1)
=
2
x →1

⇒ lim
f
(
x
)
=
f
(1)
x →1
Vậy f(x) liên tục tại x=1

 x2 −1
neáu x ≠ 1

f ( x) =  x − 1
2 neáu x = 1


Minh họa
y

•

2

x

o
1


Ví dụ:

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0=0

x 2 + 1 neáu x > 0
f ( x) = 
neáu x ≤ 0
x
Ta có:

f(0)=0

lim− f ( x) = lim− x = 0

x →0

x →0

lim+ f ( x) = lim+ ( x 2 + 1) = 1

x →0

⇒

x →0

không tồn tại

lim f ( x )
x→ 0

Vậy f(x) không liên tục tại x=0


x 2 + 1 neáu x > 0
f ( x) = 
neáu x ≤ 0
x

Minh họa

y

1

y=x

o

y=x2+1

x


Dựa vào các ví dụ vừa
thực hiện các em hãy nêu
quy trình xét tính liên tục
của hàm số tại một điểm
thành từng bước


Phương pháp xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại một
điểm x0
Bước 1: Tính f(x0)
f(x0) không xác định

f không liên tục tại x 0

f(x0) xác định
Bước 2: Tìm

tiếp tục bước 2

lim
f (x)
x→x
0

Giới hạn không tồn tại
Giới hạn tồn tại

f không liên tục tại x 0
tiếp tục bước 3

Bước 3: So sánh
Không bằng nhau
Bằng nhau

f không liên tục tại x 0
f liên tục tại x 0


II. Hm s liờn tc trờn mt khong, trờn mt an:
(
)
nh ngha 2:

a
b
Hm s f(x) xỏc nh trờn khong (a;b) c gi
l liờn tc trờn khong ú, nu nú liờn tc ti mi

im ca khong y.

[
a



]
b

Hm s f(x) xỏc nh trờn an [a;b] c gi
l liờn tc trờn an ú, nu nú liờn tc trờn
khong (a;b) v

lim+ f ( x) = f (a ) vaứ lim f ( x) = f (b)

xa

x b

Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, nh
(a;b], [a;+), đợc định nghĩa tơng tự.


Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số
f(x) = x2 trên (-2;2)

∀x0 ∈ (−2;2) ta có: f(x0)=x02
và

lim f ( x) = lim x 2 = x02

x → x0

x → x0

(1)
(2)

(1) ∧ (2) ⇒ lim f ( x) = f ( x0 )
x → x0

Theo định nghĩa ta suy ra:

f liên tục trên (-2;2)


y
4

x
-2

0

2

Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là
một “đường liền” trên khoảng đó

Các em hãy cùng
nhóm của mình thực
hiện bài toán sau


HOẠT ĐỘNG NHÓM

 2x + 5 − x + 7

1, f (x) = 
x−2

a


neáu x ≠ 2
neáu x = 2

Tìm a để hàm số f liên tục tại x0=2

2,

 3x 2 − 4 x + 1

f ( x) = 
x −1
mx + 1

khi x ≠ 1

khi x = 1

Tìm m để hàm số f liên tục tại x0=1


 2x + 5 − x + 7

f ( x) = 
x−2

a

Ta có:

f(2)=a

(1)

neáu

x≠2

neáu x = 2

và:

2x + 5 − x + 7
( 2x + 5 − x + 7)( 2x + 5 + x + 7)
= lim
x →2

x−2
(x − 2)( 2x + 5 + x + 7)
(2x + 5) − (x + 7)
x−2
= lim
= lim
x →2
(x − 2)( 2x + 5 + x + 7) x →2 (x − 2)( 2x + 5 + x + 7)
1
1
= lim
= (2)
x →2
2x + 5 + x + 7 6

limf
(x)
=
lim
x →2
x →2

Từ (1) và (2) theo định nghĩa ta suy ra:
Để f liên tục tại x=2 ta phải chọn:

a=1/6


 3x 2 − 4 x + 1


f ( x) = 
x −1
mx + 1


khi

x ≠1

khi

x =1

Ta có:
f(1)= m+1
3x 2 − 4 x +1
( x −1)(3x −1)
lim f ( x) = lim
= lim
x→1
x →1 x −1
x →1 ( x −1)

= lim (3x −1) = 3.1−1 = 2
x→1
Với m = 1 thì hàm số liên tục tại x = 1


Dặn dò:
Học thuộc định nghĩa của hàm số liên tục tại

một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn.
Nắm vững các bước chứng minh hàm số liên
tục tại một điểm.
Làm các bài tập 1,2,3 SGK – 140, 141


Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau liên tục tại điểm chỉ ra
 x+3 −2
khi x ≠ 1

a. f ( x ) =  x − 1
tại x0 = 1
m+1
khi x = 1

m 2 x 2 khi x ≤ 2
b. f ( x ) = 
( 1 − m ) x khi x > 2

tại x0 = 2

 x2 − x − 2
khi x ≠ 2

tại x0 = 2
c. f ( x ) =  x − 2
m 2 + 1
khi x = 2
