Ôn tập hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Ôn tập:
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
Giáo viên :
Lớp :

Đặng Thu Hà
12A8


A. Kiến thức cần nhớ.
I. Quy tắc đếm: Cho n đối tượng x1, x2, ... , xn
1. Quy tắc cộng.


* Nếu có: m1 cách chọn đối tượng x1, m2, cách chọn đối
tượng x1, mn cách chọn đối tư
ợng xn và không có cách chọn đối tượng xi nào trùng với
bất kỳ một cách chọn đối tượng xj ( i ≠ j, i, j = 1, 2, ... ,
n) th× cã (m1 + m2 + ... + mn) c¸ch chän một trong các
đối tượng đà cho.
* Cách khác:
Để hoàn thành một công việc, có thể thực hiện theo một
trong những phương pháp A1, A2, ...., An.
Có m1 cách thực hiện phương án A1, m2 thực hiện phư
ơng án A2, ..., có mn cách thực hiện phương án An.
Vậy có (m1 + m2 + ... + mn) cách để hoàn thành công
việc đó .


2. Quy tắc nhân.
* Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1. ứng với một cách

chọn đối tượng x1 có m2 cách chọn đối tượng x2 ,......... .
ứng với một cách chọn bộ đối tượng x1, x2, ... , xn 1 có mn
cách chọn đối tượng xnthì có (m1 . m2 ... mn) cách chọn
bộ đối tượng x1, x2, ... , xn
* Cách phát biểu khác.
để hoàn thành một công việc phải qua n công đoạn A1,
A2, ...., An độc lập có m1 cách thực hiện công đoạn A1, có
m2 cách thực hiện công đoạn A1,.... , có mn cách thực hiện
công đoạn An.
Vậy có (m1 . m2 ... mn) cách hoàn thành công việc đó.


II. Khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n N*)
1. Hoán vị:
* Một hoán vị của n phần tử của tập A là một
cách xếp thứ tự n phần tử ®ã.
2. ChØnh hỵp: Cho k ∈ N, 1 ≤ k n
* Một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A là 1
cách sắp xếp k phần tử trong số n phần tử thuộc A
thành 1 sắp thứ tù.


3. Tỉ hỵp: Cho k ∈ N, 0 ≤ k n
* Một tổ hợp chập k của n phần tử của A là 1
tập con gồm k phần tử cña tËp A.


III. Các công thức: Cho n N*
1. Giai thừa:

n ! = n(n − 1)(n − 2)...3.2.1

n ! = n(n − 1)! = n(n − 1)(n − 2)! = ...
Quy ­íc :

0! = 1

Chó ý: víi m, n ∈ N* cã m! = n! ⇔ m = n


2. Số hoán vị của n phần tử Pn = n!
3. ChØnh hỵp
* Sè chØnh hỵp chËp k cđa n phần tử là:

A = n(n 1)(n 2)....(n k + 1)
1 4 4 4 42 4 4 4 43
K
n

( 1 ≤ k ≤ n; k∈ N )

TÝch cña k số

K
n

A

*đặc biệt

n!
=
( n k )!

A = Pn = n !
n
n

(0 ≤ k ≤ n; k∈ N )


4. Tổ
hợp
* Số tổ hợp chập k của n phần tư lµ :

n!
C =
k !(n − k )!
k
n

( 0 ≤ k ≤ n; k∈ N )

* HƯ thøc liªn hƯ :
k
n
Cn = Cn − k

C =C

k
n

k
n −1

+C

( 0 ≤ k ≤ n; k∈ N )
k −1
n −1

( 1 ≤ k n; k N )

Hằng đẳng thức Pascal

k
An
k
Cn =
k!

( 0 ≤ k ≤ n; k∈ N )


B. Một số bài tập
Bài 1 : Tính giá trị cđa biĨu thøc sau

a.

b.

P .Pn +1
6
A= 2
( n + n).(n − 1)! P4

A +A
A +A
B=
−
12
8
A49
A17
12
49

11
49

10
17

9
17


§¸p sè
a. Víi n ≥ 1, n∈ N cã A = 30

b. B = 392 - 92 = 30 * 48 = 1440

* Bằng phương pháp tương tự khi rút gọn biểu thức
B, nêu kết quả rút gọn bt.
k
k
An + 2 + An +1
'
B =
k
An

* đáp số:

B = (n k )
'

2


* Bằng phương pháp tương tự khi rút gọn biểu
thức B, nªu kÕt qđa rót gän bt.

B =
'

k +2
n

A

k +1
n

+A
k
An

* ®¸p sè:

B = (n − k )
'

2


Bài 02 : Chứng minh đẳng thức sau.

C + 3C
K
n

K −1
n

+ 3C

K −2
n

+C

K −3
n

=C

K
n +3


Chú ý: Để chứng minh 1 đẳng thức hay 1 BĐT, tiến hành:
+ Tìm điều kiện để đẳng thức ( BĐT ) xác định.
+ Chứng minh đẳng thức ( BĐT) theo 1 trong các phương
pháp sau:
Biến đổi vế trái thành vế phải hoặc ngược lại.
Biến đổi để sử dụng tính chất bắc cầu.
Biến đổi điều đà có ra đẳng thức ( BĐT) phải chứng minh
Biến đổi đẳng thức ( BĐT) tương đương với đẳng thức
( BĐT) đúng.
Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng, quy nạp.


Bằng phương pháp chứng minh tương tự hÃy chứng minh :

C + 4C
k
n

k −1

n

+ 6C

k −2
n

+ 4C

k −3
n

+C

k −4
n

=C

k
n+4


Bài 03: Giải các phương trình, bất phương trình sau víi
x lµ Èn sè .
a.

1
1
1

− x = x
x
C4 C5 C6

b.

1 2
6 3
2
A2 x − Ax ≤ C x + 10
2
x


Chú ý: Các bước giải phương trình, bất phương trình.
Tìm điều kiện của ẩn để phương trình, bất phương trình
xác đinh ( hay là tìm TXĐ).
Biến đổi phương trình, bất phương trình tương đương với
phương trình, bất phương trình quen thuộc.
Giải phương trình, bất phương trình quen thuộc để tìm
nghiệm, ®èi chiÕu víi ®iỊu kiƯn ®Ĩ kÕt ln vỊ nghiƯm
cđa phương trình, bất phương trình đà cho.


đáp số câu a:
a. đK :

x [ 0; 4] , x ∈ N

x = 2

pt  x − 17 x + 30 = 0 ⇔ 
 x = 15
2

Ph­¬ng trình có nghiệm duy nhất là:

x=2


C¸ch kh¸c :
Do

x ∈ [ 0; 4] , x ∈ N

Nên

x { 0;1; 2;3; 4}

+ Kiểm tra ta được x=2 thoả mÃn pt
+ x=2 là nghiệm duy nhất.


đáp số câu b:
đk:

x 3, x N
1 (2 x)!
x!
6x!
pt ⇔ .

−
≤
+ 10
2 (2 x − 2)! ( x − 2)! x.3!.( x − 3!)
⇔ x ≤ 4.

Do

x ≥ 3, x ∈ N

VËy: x = 3; x = 4 lµ nghiƯm cđa BPT


Bài 04: Chi đoàn 12A8 có 25 đoàn viên nam và 15 đoàn
viên nữ. Có bao nhiêu cách lập thành 01 nhóm TNTN
gồm 04 người của chi đoàn sao cho có ít nhất 01 nam.
Đáp số : Có các khả năng như sau:
1
25

3
15

- Có 1 nam, 3 nữ Có C .C
- Cã 2 nam, 2 n÷ Cã
- Cã 3 nam, 1 nữ Có
- Có 4 nam:
Vậy có :

Có

2
2
C25 .C15

3
25

1
15

cách lập.
cách lËp.

C .C

c¸ch lËp.

4
0
C25 .C15

c¸ch lËp.

2
2
1
3
3
1

4
0
C25 .C15 + C25 .C15 + C25 .C15 + C25 .C15

= 90025 cách thoả mÃn.


Cách khác :
-Có

C

4
40

cách chọn ngẫu nhiên 4 người trong chi đoàn.

-Những cách chọn không thoả mÃn điều kiện là cách
chọn số nam nhỏ hơn 1.
4
Có C15

Vậy có

cách.

C

4
40

-

4
15

C

= 90025 cách thoả m·n.


C. Củng cố toàn bài:
* Nắm được 2 quy tắc đếm, khái niệm hoán vị, chỉnh
hợp, tổ hợp.
* Nhớ và vận dụng thành thạo các công thức về giai thừa,
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
* Kỹ năng làm bài tập:
- Các bài tập sử dụng công thức: Chú ý đến điều kiện,
kỹ năng khai triển công thức, biến đổi biểu thức.
- Các bài tập về toán đếm số, thực tế: Ký năng phân
tích các tình huống sảy ra, huy động kiÕn thøc vËn
dơng ®óng.


D - Mét sè bµi tËp tù lµm.