Ren luyen ki nang giai toan to hop xac suat thi THPTQG

Tác giả: Nguyễn Thị Thu
MỤC LỤC
Tiêu mục
Mục lục

Trang
1

1. Lời giới thiệu

3

2. Tên sáng kiến

3

3. Tác giả sáng kiến

3

4. Chủ đầu tư sáng kiến

3

5. Lính vực áp dụng sáng kiến

3

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử

3

7. Mô tả bản chất sáng kiến

4

7.1.Nội dung sáng kiến

4

7.1.1. Hệ thống kiến thức sử dụng trong sáng kiến

4

7.1.2. Các dạng bài tập

6

7.1.2.1.

6

Các dạng toán tổ hợp

Dạng 1. Sắp xếp các chữ số

6

Dạng toán 1.1. Đếm các số tự nhiên với các điều kiện đơn giản

6

Dạng toán 1.2. Đếm các số tự nhiên có điều kiện liên quan đến tổng các 11
chữ số.
Dạng toán1.3: Đếm các số tự nhiên có điều kiện phải có mặt chữ số nào 14
đó.
Dạng toán1.4. Đếm các số tự nhiên với điều kiện có chữ số lặp lại

16

Dạng 1.5. Đếm các số tự nhiên với điều kiện các chữ số đứng cạnh nhau.

20

Bài tập tổng hợp về đếm số:

22

Dạng 2. Bốc đồ vật, phân chia

26

Dạng 3. Sắp xếp theo hàng, đường tròn.

32

Dạng 4. Bài toán có yếu tố hình học

33

7.1.2.2. Các dạng toán xác suất

41

Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
1


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Dạng 1: Mô tả không gian mẫu, xác định biến cố của phép thử

41

Dạng 2: Tính xác suất của biến cố

42

2.1. Một số bài toán tìm xác suất dựa vào việc mô tả không gian mẫu và 42
biến cố.
2.2. Sử dụng tổ hợp để giải toán xác suất

45

7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến:

55

8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):

55

9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

55

10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 55
sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã
tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các
nội dung sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 55
sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 56
sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp 56
dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):

Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
2


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:
ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
TỔ HỢP – XÁC SUẤT THI HSG, THPTQG
1. Lời giới thiệu:
Các bài toán về tổ hợp - xác suất, nhị thức Newton là một nội dung cơ bản
trong nhà trường phổ thông. Nó thường xuất hiện trong các kỳ kiểm tra, các kỳ
thi học kỳ, thi HSG và thi THPT QG. Đây là nội dung có sự liên hệ thực tiễn

cao, nhiều bài toán gắn với đời sống thực tế. Nhìn chung, không có một phương
pháp chung nào để giải các bài toán về tổ hợp - xác suất cụ thể mà chỉ có một số
phương pháp thường dùng để giải cũng như để xây dựng bài toán. Tài liệu tham
khảo đầy đủ về dạng bài tập này không nhiều, và còn nằm rải rác ở nhiều tài
liệu khác nhau và chưa hệ thống thành phương pháp giải. Vì vậy, mà không ít
học sinh cảm thấy lúng túng trước một bài tập về tổ hợp - xác suất. Hàng năm
trong đề thi học sinh giỏi cấp THPT, thi THPT QG có xuất hiện các bài toán liên
quan đến tổ hợp xác suất, có nhưng bài toán gây không ít khó khăn cho thí sinh.
Thậm chí, nhiều thí sinh phải bỏ hẳn câu này.
Vì vậy, từ kinh nghiệm của bản thân trong các năm luyện thi đại học và
bồi dưỡng học sinh giỏi cũng như tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu
Toán tôi hệ thống lại và đưa ra hướng giải quyết thông qua chuyên đề: “Định
hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tổ hợp – Xác suất thi HSG và
THPTQG” với mong muốn giúp đỡ các em học sinh nắm bắt được cách giải
dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của trường THPT
Đồng Đậu.
2. Tên sáng kiến: ĐỊNH HƯỚNG TƯ DUY – RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI TOÁN TỔ HỢP – XÁC SUẤT THI HSG, THPTQG
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thị Thu
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Đồng Đậu
- Số điện thoại: 0983973826. E_mail:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Nguyễn Thị Thu
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục THPT
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử, (ghi ngày nào
sớm hơn): 12/10/2015
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
3

Tác giả: Nguyễn Thị Thu
7.1. Nội dung sáng kiến:
7.1.1. Hệ thống các kiến thức sử dụng trong SKKN
7.1.1.1. Hai quy tắc đếm:
7.1.1.1.2 Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong 2
phương án A và B. Có n cách thực hiện theo phương án A, m cách thực hiện
theo phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện theo m+n cách.
Tổng quát: Giả sự một công việc có thể thực hiện theo 1 trong k phương án
A1 , A2 ,..., Ak . Trong đó:
+ Phương án A1 có n1 cách thực hiện
+ Phương án A2 có n2 cách thực hiện
…………………………………..
+ Phương án Ak có nk cách thực hiện
Khi đó số cách thực hiện công việc là : ( n1 + n2 + ... + nk ) cách.
7.1.1.1.3 Quy tắc nhân: Giải sử một công việc được hoàn thành bởi hai công
đoạn liên tiếp. Ở công đoạn 1 có m cách thực hiện. Ứng với mỗi cách thực hiện
công đoạn 1 có n cách thực hiện công đoạn 2. Khi đó có m.n cách hoàn thành
công việc.
Tổng quát: Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k công đoạn
A1 , A2 ,..., Ak , liên tiếp nhau. Trong đó:
+ Công đoạn A1 có n1 cách thực hiện
+ Công đoạn A2 có n2 cách thực hiện
+ Công đoạn A3 có n3 cách thực hiện
…………………………………..
+ Công đoạn Ak có nk cách thực hiện
Khi đó số cách thực hiện công việc A là : ( n1.n2 .n3 ...nk ) cách.
Chú ý: Sự khác biệt căn bẳn của hai quy tắc cộng và nhân ở chỗ: Quy tắc cộng
là công việc chỉ có một công đoạn, quy tắc nhân là công việc cần thực hiện từ 2

công đoạn liên tiếp trở lên.
7.1.1.2 Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp:
7.1.1.2.1. Hoán vị:
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
4


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
• Định nghĩa: Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phẩn tử của tập hợp A
được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
• Số các hoán vị của n phần tử kí hiệu là Pn = n ! = n ( n − 1) ...2.1
7.1.1.2.2. Chỉnh hợp:
• Định nghĩa: Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập A và
sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n
phần tử đã cho.
• Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử:
Ank = n ( n − 1) .... ( n − k + 1) =

n!
1 ≤ k ≤ n, k , n ∈ ¥
( n − k)! ,

7.1.1.2.3. Tổ hợp:
• Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi tập con gồm k phần tử
của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
n!

k
• Số các tổ hợp chập k của n ( 0 ≤ k ≤ n, k , n ∈ ¥ ) : Cn = k !. ( n − k ) !

Chú ý: - Dấu hiệu nhận biết đặc trưng của Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp:
+) Hoán vị dùng khi: có bao nhiêu phần tử mang tất cả đi sắp xếp .
+) Chỉnh hợp dùng khi: Mang ít hơn số phần tử đang có đi sắp xếp.
+) Tổ hợp dùng khi: Mang ít hơn số phần tử đang có đi, nhưng không
có sắp xếp.
- Nhiều bài toán cần vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản kết hợp với 3 quy
tắc hoán vị chỉnh hợp, tổ hợp.
7.1.1.3. Phép thử và biến cố - xác suất của biến cố
7.1.1.3.1. Phép thử: Là một thí nghiệm hay một hành động mà ta không đoán
trước được kết quả của nó mặc dù ta đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể của
phép thử đó.
-Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian
mẫu. Kí hiệu là Ω
- Số các kết quả có thể của phép thử kí hiệu là n ( Ω )
7.1.1.3.2. Biến cố là một tập con của không gian mẫu
- Biến cố không thể chính là tập rỗng
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
5


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
- Biến cố chắc chắn là không gian mẫu.
7.1.1.4. Các phép toán trên các biến cố:
+ Biến cố đối của biến cố A kí hiệu là A
+Hợp của hai biến cố A và B kí hiệu là A ∪ B
+Giao của hai biên cố A và B kí hiệu là A ∩ B = A.B
+ Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu A ∩ B = ∅
Chú ý: Hai biến cố đối nhau thì xung khắc với nhau, nhưng điều ngược lại thì

không đúng.
7.1.1.5.Tính chất của xác suất:
+ P ( ∅ ) = 0; P ( Ω ) = 1
+ 0 ≤ P ( A ) ≤ 1, ∀A
+Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )
+)Nếu A và B không xung khắc nhau thì P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
+ P ( A) = 1 − P ( A )
7.1.1.6. Biến cố độc lập, công thức nhân xác suất.
+) Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nhau nếu sự xảy ra của biến cố này
không ảnh hướng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
+) A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P ( A.B ) = P ( A ) .P ( B )
7.1.2. Các dạng bài tập
7.1.2.1. Các dạng bài tập về tổ hợp.
Dạng 1. Sắp xếp các chữ số
Chú ý: Trường hợp có chữ số 0 và trường hợp không có chữ số 0.
Vận dụng linh hoạt các quy tắc cộng, nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Có nhiều
bài toán cần phải kết hợp các quy tắc trên.
Dạng toán 1.1. Đếm các số tự nhiên với các điều kiện đơn giản
Bài 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số sao cho:
a/ Các chữ số đều khác nhau;
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
6


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
b/ Chữ số đầu tiên là số 3;
c/ Các chữ số khác nhau và không tận cùng là 4.
HD: Để lập được số tự nhiên có 5 chữ số abcde ta thực hiện 5 động tác liên tiếp

là chon a, b, c, d, e từ các chữ số bài toán cho.
a/ Vì 5 chữ số đều khác nhau nên mỗi số tự nhiên có 5 chữ số tạo thành từ bộ 7
chữ số chính là một chỉnh hợp chập 5 của 7. Vậy có A 57 = 2520
b/ Do chữ số đầu là 3, nên ta chỉ thực hiện 4 động tác liên tiếp là chọn b, c, d, e
từ các chữ số bài cho.
Theo quy tắc nhân có 7 4 = 2401
c/ Do các chữ số là khác nhau và không tận cùng là 4 nên e có 6 cách chọn và ta
chon 4 chữ số trong 6 chữ số còn lại sắp vào 4 vị trí còn lại nên có A 64 cách. Vậy
có 6. A 64 =2160
Bài 2. Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên
chẵn có 5 chữ số khác nhau.
HD: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là abcde . Để lập được số tự nhiên có 5 chữ số ta
thực hiện động tác chon liên tiếp a, b, c, d, e từ bộ các chữ số bài cho.
Do là số chẵn và các chữ số khác nhau nên e chỉ có thể là 0, 2, 4, 6. Và do a
khác 0 nên ta có 2 trường hợp
TH1: e là 0. Khi đó ta chọn 4 số từ bộ 6 số sắp vào 4 vị trí ứng với a, b, c, d. Nên
có A 64 (số)
TH2: e khác 0. Như vậy e có 3 cách chọn ( 2,4,6). Sau đó chọn a, có 5 cách.
Ta chọn 3 chữ số từ bộ 5 chữ số còn lại sắp vào 3 vị trí b, c, d nên có A 35 . Vậy có
3.5. A 35 =900
Theo quy tắc cộng có A 64 +900=1260
Bài 3. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau, không
chia hết cho 10 từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
HD: Gọi số tự nhiên có 4 chữ số abcd
Do nó gồm các chữ số khác nhau và không chia hết cho 10 nên d khác 0. Vậy d
có 7 cách chọn, a có 6 cách chọn, và có A 62 cách sắp b, c. Vậy có 7.6. A 62 (số)
Bài 4. Cho 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 9. Hỏi từ các chữ số đã cho, lập được mấy số
tự nhiên đôi một khác nhau và
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG

7


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
a/ gồm 3 chữ số ? ; b/ gồm 3 chữ số và nhỏ hơn 400 ? ; c/ gồm 3 chữ số và
chẵn ?
d/ gồm 3 chữ số và chia hết cho 5 ?
HD: Gọi số tự nhiên có 3 chữ số là abc
a/ Có A 36 ; b/ Do số đó có 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 400 nên a chỉ có thể là
2 và 3. Vậy có 2 cách chọn a, sau đó có A 52 cách chọn b và c. Vậy có 2. A 52 (số)
c/ Do số đó có 3 chữ số khác nhau và là số chẵn nên c chỉ có thể là 2 và 6. Vậy c
có 2 cách chọn
tương tự cũng có A 52 cách chọn a và b. Nên có 2. A 52 (số)
d/ Do số đó có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 nên c chỉ có một cách chọn
duy nhất là 5. Và cũng có A 52 cách chọn a và b. Nên có A 52 (số).
Bài 5. Cho 10 chữ số 0, 1, 2, …, 7, 8, 9. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số
khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ các chữ số trên.
HD: Gọi số tự nhiên có 6 chữ số là abcdef . Theo giả thiết số tự nhiên có 6 chữ
số khác nhau, lẻ và nhỏ hơn 600000 nên a chỉ có thể thuộc bộ { 1, 2, 3, 4, 5},
còn f chỉ có thể thuộc tập {1;3;5;7;9}
Th1: f thuộc {1, 3, 5}, khi đó f có 3 cách chọn, a có 4 cách chọn, có A84 cách
chọn b, c, d, e.
Nên có 3.4. A84 số
Th2: f thuộc {7; 9}, khi đó f có 2 cách chọn, a có 5 cách chọn, có A84 cách chọn
b, c, d, e.
Nên có 2.5. A84 số
Theo quy tắc cộng có 3.4. A84 +2.5. A84 (số).
Bài 6. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và ≤ 46800
Giải: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là abcde . Theo giả thiết a ∈ { 1; 2;3; 4}
Th1. Nếu a ∈ { 1; 2;3} , vậy có 3 cách chọn a, khi đó chọn b, c, d, e có A 94 cách.

Khi đó có 3. A 94 (số)
Th2: Nếu a là 4. Khi đó b ∈ { 0;1; 2;3;5;6} . Nếu b ∈ { 0;1; 2;3;5} , thì b có 5 cách chọn,
và có A83 cách chọn c, d, e. Vậy có 5. A83 (số)

Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
8


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Nếu b là 6 thì c ∈ { 0;1; 2;3;5;7} tức c có 6 cách chọn, thì tương ứng có A 72 cách
chọn d, e. Vậy có 6. A 72 (số).
Vậy theo quy tắc cộng có 3. A 94 +5. A83 +6. A 72 =11004 (số)
Bài tập tự giải:
Bài 1. Với các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ
có 7 chữ số.
Giải: Gọi số tự nhiên có 7 chữ số là a1a 2 ...a 7 . Do là số lẻ nên a 7 có 5 cách chọn,
a1 có 9 cách chọn
Mỗi chữ số còn lại đều có 10 cách chọn. Nên có 9.5.10.10.10.10.10=4500000
(số)
Bài 2. Với các chữ số 0;1;2;3;6;9 lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3
có 5 chữ số khác nhau.
Giải: Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là abcde . Do yêu cầu bài toán thì a, b, c, d, e
thuộc vào các bộ sau:
{1,2,3,6,9}; {0,1,2,6,9}; {0,1,2,3,9}; {0,1,2,3,6}.
Nên có 5!+ 3.4.4! (số)
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ
các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Đ/s: 3.A 52
Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các

chữ số 1,2, 3,4,5,6 mà số đó nhỏ hơn 345.
Đ/s: 2.A 52 + 2.4 + 2
Bài 5. Với các chữ số 1,2, …,9. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số
khác nhau và không lớn hơn 789.
Đ/s: Xét 2 trường hợp a thuộc tập {1,2,3,4,5,6} và trường hợp a bằng 7
Bài 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có thể lập được từ các chữ số 2, 4, 6,8 nêu
a/ số đó nằm từ 200 đến 600.
b/ số đó gồm 3 chữ số khác nhau.
c/ số đó gồm 3 chữ số.
Đ/s: a/ 32; b/ A 34 ; c/ 43
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
9


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Bài 7. Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số
trong đó:
a/ 4 chữ số khác nhau và luôn có mặt chữ số 1;
b/ 4 chữ số bất kỳ.
c/ 4 chữ số khác nhau;
d/ 4 chữ số khác nhau và là số chẵn;
e/ 4 chữ số khác nhau và là số lẻ.
Đ/s: Xét 2 TH a=1 và a khác 1.
b/ Theo quy tắc nhân có 7.83
c/ áp dụng chỉnh hợp 7.A37
d/ Xét 2 trường hợp d=0 và d khác 0. Kq: A 37 + 3.6.A 62
e/ áp dụng chỉnh hợp có 4.6.A 62
Bài 8. Từ các chữ số 1, 2,...,9. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số khác
nhau, trong đó có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng chính giữa.

Đ/ s: Áp dụng quy tắc nhân 9!− 8!
Bài 9. Từ các chữ số 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số
phân biệt.
HD: Xét các trường hợp: Số tự nhiên có hai chữ số, 3 chữ số, 4 chữ số
A 24 + A 34 + A 44

Bài 10. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5
chữ số khác nhau.
HD: Xét 2 trường hợp chữ số cuối là số 0 và chữ số cuối khác 0. A 54 + 2.4.A34
Bài 11. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5.
HD: Xét 2 trường hợp chữ cuối cùng là 0 và chữ số cuối cùng là 5. A 94 + 8.A83
Bài 12. Từ các chữ số 1, 2, 3..., 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số
khác nhau sao cho 2 chứ số đầu là số lẻ, hai chữ số sau là số chắn.
Đ/s: 4.3.2.3
Bài 13. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
các chữ số khác nhau biết số đó lớn hơn 3000.
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
10


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Đ/s: Có 2 trường hợp: Số có 4 chữ số khác nhau và số có 5 chữ số khác nhau.
2.A 34 + 4.4!

Bài 14. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số biết rằng 2 số đứng cạnh nhau thì
khác nhau.
Đ/s: Áp dung quy tắc nhân có 95
Dạng toán 1.2. Đếm các số tự nhiên có điều kiện liên quan đến tổng các chữ
số.

*Dấu hiệu chia hết của số tự nhiên:
+dấu hiệu chia hết cho 2 là có chữ số tận cùng là số chẵn:0,2,4,6,8
+dấu hiệu chia hết cho 3 là tồng các chữ số là một số chia hết cho 3
+dấu hiệu chia hết cho 4 là có hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết
cho 4
+dấu hiệu chia hết cho 5 là có chữ số tận cùng là 0, 5
+dấu hiệu chia hết cho 6 là số chia hết cho cả 2 và 3
+dấu hiệu chia hết cho 9 là tổng các chữ số là một số chia hết cho 9
+dấu hiệu chia hết cho 10 là có chữ số tận cùng là 0
+dấu hiệu chia hết cho 11 là tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở
vị trí chẵn bằng 0
+dấu hiệu chia hết cho 25 là có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho
25
Bài 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng
3.
Giải: Gọi số tự nhiên có 2008 chữ số là a1a 2 ...a 2008 . Theo giả thiết
2008

∑a
i =1

i

= 3 ⇒ a i ∈ { 0;1; 2;3}

mà a1 ≠ 0

Ta có 3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 nên để lập được số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán ta
cần chon a i từ 3 bộ 2008 chữ số sau: { 3;0;...;0} ; { 1; 2;0;....;0} ; { 1;1;1;0;...;0}
Th1 bộ { 3;0;...;0} khi đó chỉ có duy nhất 1 số lập được.

Th2 bộ { 1; 2;0;....;0} khi đó a1 có 2 cách chọn. sau đó còn 1 chữ số khác 0 có
2007 vị trí để sắp chữ số khác 0 đó. Vậy có 2.2007=4014 (số).

Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
11


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Th3 bộ { 1;1;1;0;...;0} , khi đó a1 = 1 , ta chọn 2 vị trí trong 2007 vị trí còn lại để sắp
số 1. Nên có C22007 cách. Tương ứng có C22007 số
Vậy có 1+2.2007+ C22007 =2017036 (số)
Bài 2. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1,
2, 3, 4, 5 mà số đó không chia hết cho 3.
Giải: Trước tiên ta tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ bộ số bài
toán cho, sau đó ta tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3.
Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là: 5.A52
Để số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 thì tổng 3 chữ số đó phải chia hết cho
3. Từ tập các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có bộ các chữ số chia hết cho 5 là: {0,1,2};
{0,1,5}; {0,2,4};{0;4;5}; {1,2,3}; {1,3,5}; {2,3,4}; {3,4,5}. Áp dụng quy tắc
nhân và hoán vị ta có số các số tự nhiên chia hết cho 3 được tạo thành là:
4.2.2+4.3!. Vậy có 5.A 52 -4.2.2+4.3! (số)
*Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi
số là một số lẻ.
Giải:
Cách 1. Trước hết ta có 9.106 số khác nhau gồm 7 chữ số.
Gọi số có 7 chữ số là a1a 2a 3a 4a 5a 6a 7 , xét số b1b2 b3b 4 b5b6 b7 sao cho bi = 9 − a i ,i = 1, 7
được gọi là số “bù” của số a1a 2a 3a 4a 5a 6a 7 . Khi đó tổng các chữ số của hai số này
là 63. Đây là số lẻ. Suy ra nếu số này có tổng các chữ số là số chẵn thì số còn lại
có tổng các chữ số là số lẻ. Mà mỗi số tự nhiên đều có duy nhất một số bù với

nó. Vậy số các số có tổng chẵn bằng số các số có tổng lẻ. Vậy số các số có tổng
lẻ là 4500000
Cách 2. Số các số có 6 chữ số

a1a2a3a4a5a6

là 9.105 số

Với mỗi số có 6 chữ số a1a2a3a4a5a6 ta lập được 5 số có 7 chữ số a1a2a3a4a5a6a7
mà tổng các chữ số là một số chẵn.Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số.
Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số khác nhau và có tổng 8 chữ số đó
là số chẵn.
Giải: Vì với bộ 10 số tự nhiên có 5 số chẵn và 5 số lẻ nên Số tự nhiên đó phải
gồm 4 số chẵn và 4 số lẻ biểu diễn qua 8 ô.
TH1: có chứa số 0.

Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
12


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Chọn ô sắp số 0 có 7 cách chọn, lấy 3 số chẵn từ 4 số chẵn có C34 , lấy 4 số lẻ từ
5 số lẻ có C54 . Sau đó đem 7 chữ số này sắp vào 7 vị trí còn lại có 7! Cách. Suy
ra có 7.C34 .C54 .7!
TH 2. Không có chứa số 0.
Lấy 4 số chẵn từ 4 số và 4 số lẻ từ 5 số sắp vào 8 vị trí có số cách lấy là:
C44 .C54 .8!

Vậy có: 7.C34 .C54 .7! + C44 .C54 .8!

Bài 5. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ
số đôi một khác nhau mà tổng của ba chữ số đó bằng 10.
Giải: Ta có 10=1+3+6=1+4+5=2+3+5, từ các chữ số 1,2,3,4,5,6.
Vây để có được số có 3 chữ số đôi một khác nhau mà tổng của chúng bằng 10
thì ta phải lập từ bộ {1;3;6}; {1;3;5}; {2;3;5}.
Vậy số các chữ số lập được là: 3.3!=18
Bài 6. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3
chữ số khác nhau không chia hết cho 9.
Giải: Để một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9 từ các chữ số
0,1,2,3,4,5 thì tổng của ba chữ số đó phải bằng 9. Như vậy ta có các bộ số sau:
{0,4,5}; {1,3,5}; {2;3;4}
Vậy có 2.2+2.3!=16
Bài 7. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số và chia hết cho 9.
Giải: Các số gồm 6 chữ số và chia hết cho 9 là: 100008;100017; 100026;
100035;...;999999.
Trong đó các số lẻ là: 100017;10035;...;999999. Lập thành cấp số cộng với có số
hạng đầu u1 = 100017 , công sai d = 18 , số hạng cuối un = 999999 .
Mà ta có U n = u1 + ( n − 1) d suy ra n =

un − u1
999999 − 100017
+1 =
+ 1 = 50000 .
d
18

Vậy có 50000 số lẻ và chia hết cho 9.
Bài 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số là lẻ.
Giải: Trước hết ta có 9.104 số khác nhau gồm 5 chữ số.
Gọi số có 5 chữ số là a1a 2a 3a 4a 5 , xét số b1b2 b3b 4 b5 sao cho bi = 9 − a i ,i = 1,5 được

gọi là số “bù” của số a1a 2a 3a 4a 5 . Khi đó tổng các chữ số của hai số này là 45.
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
13


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Đây là số lẻ. Suy ra nếu số này có tổng các chữ số là số chẵn thì số còn lại có
tổng các chữ số là số lẻ. Mà mỗi số tự nhiên đều có duy nhất một số bù với nó.
Vậy số các số có tổng chẵn bằng số các số có tổng lẻ. Vậy số các số có tổng lẻ là
45000.
Cách 2: Số các số có 4 chữ số a1a2 a3a4 là 9.103 số
Với mỗi số có 4 chữ số a1a2 a3a4 ta lập được 5 số có 5 chữ số a1a2 a3a4 a5 mà tổng
các chữ số là một số chẵn.
Vậy có tất cả: 9.103.5 = 45.103 số.
Dạng toán1.3: Đếm các số tự nhiên có điều kiện phải có mặt chữ số nào đó.
Bài 1. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi
một khác nhau sao cho nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Giải: Do số tự nhiên nhất thiết phải có mặt chữ số 5 nên ta chọn 1 vị trí trong 4
vị trí để sắp số 5. Có 4 cách chọn. Sau đó ta chon 3 chữ số trong 5 chữ số sắp
vào 3 vị trí có A 35 . Vậy số các chữ số lập được là 4. A 35
Bài 2. Từ các chữ số 0,1,...,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi
một khác nhau và có mặt chữ số 5.
Giải: Vì bộ có chứa chữ số 0 nên ta chia ra 2 TH
Th1: Số 5 ở vị trí đầu tiên. Khi đó ta chọn 5 chữ số trong 7 chữ số sắp vào 5 vị
trí có A 57 (cách)
Th2: Số 5 không ở vị trí đầu tiên. Có 6 cách chọn 1 chữ số sắp vào vị trí đầu
tiên.
Chọn 1 vị trí trong 5 vị trí còn lại sắp số 5 nên có 5 cách chọn. Sau đó chọn 4
chữ số trong 6 chữ số sắp vào 4 vị trí còn lại có A 64 . Vậy có 6.5. A 64

Vậy có A 57 +6.5. A 64
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho luôn có
mặt chữ số 0 và không có mặt chữ số 1.
Giải: Có 5 cách chọn vị trí để sắp số 0. Sau đó chọn 5 chữ số trong 8 chữ số
2,3,4,5,6,7,8,9 sắp vào 5 vị trí có A85 Vậy có 5. A85 (số)
Bài 4. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho
a/ Có mặt chữ số 0; b/ Có mặt chữ số 1; c/ Có mặt chữ số 1 nhưng không có mặt
chữ số 0.
d/ Có mặt cả chữ số 1 và 0; e/ Có mặt cả chữ số 1 và 2.
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
14


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Giải: a/ 3.A 39 ; b/ A 39 +8.3. A82 ; c/ 4. A83 ; d/ 3. A82 + 8. A32 .7 ; e/ 2.3. A82 + 7. A32 .7
Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau mà không có đồng thời
số 0 và số 1.
Giải: Một số có 7 chữ số khác nhau thì có các tình huống sau:
Số có cả hai chữ số 0 và 1.
Số có chữ số 1 và không có chữ số 0
Số có chữ số 0 và không có chữ số 1
Số không có cả hai chữ số 0 và 1.
Câu hỏi của bài toán có thể hiều theo 2 ý.
Ý 1. Chính là 2 tính huống số 2 và số 3.
Ý 2. Là 3 tính huống 2,3,4.
Trước tiên ta tìm số các số có 7 chữ số khác nhau: có A107 − A96 = 9. A96
Số các số có 7 chữ số khác nhau có mặt chữ số 1 và không có mặt chữ số 0 là:
A97 − A87 = 7. A86

Số các số có 7 chữ số khác nhau có mặt chữ số 0 và không có mặt chữ số 1 là:
A97 − A86 − A87 = 6. A86

Số các số có 7 chữ số khác nhau không có mặt cả hai chữ số 0 và 1 là: A87
Bài 6. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số 0, 1,
2,..., 7 trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Giải:
Cách 1. Số các số có 6 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 là:
A86 − A75

Số các số có 6 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0,1,2,3,5,6,7 là: A76 − A65
Suy ra số các số có 6 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 trong đó
6
5
6
5
luôn có mặt chữ số 4 là: A8 − A7 − ( A7 − A6 )
Cách 2. Chọn vị trí cho chữ số 4.
TH1. Nếu chữ số 4 ở vị trí đầu tiên, khi đó chọn 5 chữ số trong 7 chữ số còn lại
sắp vào 5 vị trí còn lại có A75
Th2: Số 4 không ở vị trí đầu tiên
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
15


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Có 6 cách chọn chữ số sắp vào vị trí đầu tiên, sau đó có 5 cách chọn vị trí sắp
chữ số 4, còn lại chọn 4 chữ số từ 6 chữ số còn lại sắp vào 4 vị trí còn lại có A64 .
Vậy có 6.5.A64

Theo quy tắc cộng có A75 + 6.5. A64 (số)
Bài 7. Với các chữ số 0,1,2..., 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5.
Giải: tương tự . Số các số có 5 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt
4
3
5
4
5
4
chữ số 5 là: A6 + 5.4. A5 = A7 − A6 − ( A6 − A5 )
Bài 8. Từ các chữ số 1,2,...,7 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau trong đó phải có mặt chữ số 2 và 7.
Giải: Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho là: A75
Trong đó, số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó có mặt 1 trong 2
5
5
chữ số 2 và 7 là: 2 ( A6 − A5 )
Và số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau trong đó không có mặt cả hai chữ
số 2 và 7 là: A55
Suy ra số các số có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho trong đó nhất thiết
có mặt 2 chữ số 2 và 7 là:
A75 − 2 ( A65 − A55 ) − A55

Cách 2. Chọn 2 vị trí trong 5 vị trí sắp 2 chữ số 2 và 7 có A52 cách.
Sau đó chọn 3 chữ số trong 5 chữ số còn lại sắp vào 3 vị trí còn lại nên có A53
cách.
Suy ra có A52 . A53
Dạng toán1.4. Đếm các số tự nhiên với điều kiện có chữ số lặp lại
Bài 1. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số mà

chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.
Giải: Giả sử số có 8 chữ số được viết vào 8 ô như hình
TH1. Nếu 1 ở ô đầu tiên.
Khi đó ta cần chọn 2 vị trí trong 7 vị trí còn lại để sắp chữ số 1 có C72 cách.
Sau đó sắp 5 chữ số còn lại vào 5 vị trí có 5! Cách
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
16


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Suy ra có C72 .5!
TH2. Ô đầu tiên khác 1. Khi đó có 4 cách chọn chữ số sắp vào vị trí ô đầu tiên
Sau đó có C73 cách chọn vị trí để sắp chữ số 1.
Sau đó sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại nên có 4! Cách
Suy ra có 4.C73 .4!
Theo quy tắc cộng có C72 .5!+ 4.C73 .4!
Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số trong đó chữ số 9 có mặt 3 lần các
chữ số còn lại khác nhau.
Giải: Giải sử số có 8 chữ số được sắp vào 8 ô như hình

Th1. Chữ số 9 ở ô đầu tiên. Khi đó cần chọn 2 vị trí nữa để sắp chữ số 9 nên có
C72 . Tiếp theo ta chọn 5 chữ số từ 9 chữ số còn lại sắp vào 5 vị trí còn lại nên có
A95 cách.
Suy ra có C72 . A95 (số).
Th2. Chữ số 9 không ở ô đầu tiên. Khi đó ô đầu tiên có 8 cách chọn chữ số sắp
vào đó.
Tiếp theo ta chọn 3 ô để sắp chữ số 9 có C73 cách, và chọn 4 chữ số từ 8 chữ số
còn lại sắp vào 4 vị trí nên có A84
Suy ra có 8. A73 . A84

Theo quy tắc cộng có: C72 . A95 + 8. A73 . A84 (số)
Bài 3. Từ hai chữ số 1, 2 lập được bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó có mặt ít
nhất 3 chữ số 1 và ít nhất 3 chữ số 2.
Giải: Gọi số có 10 chữ số được viết vào 10 ô như hình

Th1. Số đó có 3 chữ số 1 và 7 chữ số 2. Khi đó ta chọn 3 ô để sắp chữ số 1 có
C103 , còn lại ta sắp chữ số 2. Nên có C103 số.
Th2. Số có 4 chữ số 1 và 6 chữ số 2. Tương tự ta có C104
Th3 : Số có 5 chữ số 1 và 5 chữ số 2. Tương tự ta có C105
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
17


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Th4: Số có 6 chữ số 1 và 4 chữ số 2 Tương tự ta có C106
Th5: Số có 7 chữ số 1 và 3 chữ số 2. Tương tự ta có C107
Vậy có C103 + C104 + C105 + C106 + C107
Bài 4. Có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số trong đó chữ số
1 và chữ số 6 có mặt 2 lần, các chữ số 2,3,4,5,có mặt đúng 1 lần.
Giải: Giả sử số có 8 chữ số được sắp vào 8 ô như hình
Chọn 2 ô để sắp chữ số 1 nên có C82 , sau đó chọn 2 ô để sắp chữ số 6 nên có C62
Sau đó sắp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại nên có 4! Cách.
Vậy có C82C62 .4!
Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2
lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt tối đa một lần.
Giải: giải sử số có 7 chữ số được sắp vào 7 ô
như hình
Th1: Ô đầu tiên chứa chữ số 2. Khi đó ta có 6 cách chọn 1 vị trí sắp chữ số 2 còn
lại.

Sau đó ta có C53 cách chọn 3 ô để sắp chữ số 3. Chọn 2 chữ số từ 8 chữ số còn
lại sắp vào 2 vị trí còn lại có A82
Nên có 6.C53 A82 (số).
Th2. Ô đầu tiên chứa chữ số 3. Khi đó chọn 2 vị trí nữa sắp chữ số 3 có C62 , sau
đó chọn 2 vị trí để sắp chữ số 2 có C42 cách, tiếp theo chọn 2 chữ số trong 8 chữ
số sắp vào 2 vị trí còn lại có A82 cách.
Nên có C62 .C42 . A82
Th3. 2 và 3 không ở ô đầu tiên. Khi đó có 7 cách chọn chữ số sắp vào ô đầu tiên.
Chọn 2 ô trong 6 ô sắp chữ số 2 nên có C62 . Sau đó chọn 3 ô trong 4 ô để sắp
chữ số 3 nên có C43 . Chọn 1 chữ số còn lại trong 7 chữ số còn lại sắp vào vị trí
còn lại có 7 cách. Nên có 7.C62 .C43 .7
Vậy có 6.C53 A82 + C62 .C42 . A82 + 7.C62 .C43 .7 (số)
Bài 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho không có chữ số nào có mặt
3 lần.
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
18


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Giải: Số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.103 (số)
Ta tìm số các số tự nhiên có 4 chữ số trong đó có chữ số lặp lại 3 lần.
Cách 1.
Th1. Số 0 lặp lại 3 lần ứng với số tự nhiên dạng a000 , khi đó
a ∈ { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} , suy ra có 9 số
Th2. Số 1 lặp lại 3 lần.
Nếu số 1 ở vị trí đầu tiên, khi đó ta cần chọn 2 vị trí nữa để sắp số 1 có C32 , ô
còn lại có 9 cách chọn 1 chữ số sắp vào vị trí đó. Nên có 9.C32 = 27
Nếu 1 không ở ô đầu tiên, khi đó ô đầu tiên có 8 cách chọn chữ số để sắp, 3 ô
còn lại sắp chữ số 1 nên có 8 số

Vậy có 27+8=35 (số)
Tương tự các chữ số 2,3,4,5,6,7,8,9 lặp lại 3 lần cũng đều có 35 số
Suy ra có 9 + 35.9 = 324
Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3
lần là: 9000 − 324 = 8676
Suy ra số các số tự nhiên có 4 chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại quá 3
lần là: 8676-9=8667
Cách 2.
Th1. Nếu số 0 lặp lại 3 lần thì có 9 số
Th2. Số lặp lại 3 lần không phải là số 0.
Khi đó ta chọn 3 vị trí trong 9 vị trí đế sắp chữ số lặp lại

Bài 7. Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2
lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần các chữ số khác có mặt không quá 1 lần.
Giải: giải sử số có 9 chữ số được sắp vào 9 ô như hình
Th1: Ô đầu tiên chứa chữ số 2. Khi đó ta có 8 cách chọn 1 vị trí sắp chữ số 2 còn
lại.
Sau đó ta có C73 cách chọn 3 ô để sắp chữ số 3. Chọn 4 chữ số từ 8 chữ số còn
lại sắp vào 4 vị trí còn lại có A84
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
19


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Nên có 8.C73 A84 (số).
Th2. Ô đầu tiên chứa chữ số 3. Khi đó chọn 2 vị trí nữa sắp chữ số 3 có C82 , sau
đó chọn 2 vị trí để sắp chữ số 2 có C62 cách, tiếp theo chọn 4 chữ số trong 8 chữ
số sắp vào 2 vị trí còn lại có A84 cách.
Nên có C82 .C62 . A84

Th3. 2 và 3 không ở ô đầu tiên. Khi đó có 7 cách chọn chữ số sắp vào ô đầu tiên.
Chọn 2 ô trong 8 ô sắp chữ số 2 nên có C82 . Sau đó chọn 3 ô trong 6 ô để sắp
chữ số 3 nên có C63 . Chọn 3 chữ số còn lại trong 7 chữ số còn lại sắp vào vị trí
còn lại có A73 cách. Nên có 7.C82 .C63 . A73
Vậy có 8.C73 A84 + C82 .C62 . A84 + 7.C82 .C63 . A73 (số)
Bài 8. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số từ những chữ số 0,1,2,3,4
trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.
Đ/s: C62 .4!+ 3.C63 .3!
Bài 9. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiên 3
lần, các chữ số còn lại xuất hiện đúng 1 lần.
Đ/s: C62 . A94 + 8. A63 . A83
Bài 10. Từ các chữ số 0,2,4,6,8,9 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số mà
trong đó chữ số 9 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác xuất hiện đúng 1 lần.
Đ/s: Tương tự C72 .5!+ 4.C73 .4!
Dạng 1.5. Đếm các số tự nhiên với điều kiện các chữ số đứng cạnh nhau.
Bài 1. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số
khác nhau mà 2 chữ số 3 và 5 không đứng cạnh nhau.
Giải: Số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho là 6!
Ta tìm các số có 6 chữ số khác nhau trong đó 2 chữ số 3 và 5 đứng cạnh nhau là:
2.5!
Suy ra số các số có 6 chữ số khác nhau mà 2 chữ số 3 và 5 không đứng cạnh
nhau là 6!− 2.5! = 480
Bài 2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau có mặt đồng thời hai
chữ số 1 và 2 và 2 số đó không đứng cạnh nhau.
Giải: Giả sử số có 7 chữ số được viết vào 7 ô của hình sau
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
20

Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Trước tiên ta tìm số các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau trong đó có 2 chữ số
1 và 2.
(Cách 1. Ta 2 ô để sắp 2 chữ số 1 và 2 trong 7 ô thì có A72 cách. Sau đó chọn 5
chữ số từ 8 chữ số còn lại sắp vào 5 vị trí còn lại nên có A85 . theo quy tắc nhân
có A72 A85 , trong đó gồm cả những số có 7 chữ số nhưng chữ số 0 ở ô đầu tiên.
Ta tìm số các số có 7 chữ số mà chữ số 0 ở vị trí ô đầu tiên. Khi đó chọn 2 ô
trong 7 ô để sắp 2 chữ số 1 và 2 có A62
Chọn 4 chữ số từ 7 chữ số còn lại sắp vào 4 ô còn lại nên có A74 . theo quy tắc
nhân có A62 A74
Vậy có A72 . A85 − A62 . A74 số.
Cách 2. TH1: Số 1 hoặc 2 ở vị trí đầu tiên. Nên có 2 cách chọn.
Sau đó chọn 1 vị trí sắp chữ số còn lại nên có 6 cách.
Chọn 5 chữ số còn lại từ 8 chữ số còn lại sắp vào 5 ô còn lại nên có A85 . Theo
quy tắc nhân có 2.6. A85
TH2. Ô đầu tiên không phải là 2 chữ số 1 và 2 nên có 7 cách chọn.
Chọn 2 ô trong 6 ô còn lại sắp 2 chữ số 1 và 2 nên có A62 . Sau đó chọn 4 chữ số
trong 7 chữ số còn lại sắp vào 4 vị trí còn lại nên có A74 . Theo quy tắc nhân có
7. A62 . A74
Theo quy tắc cộng ta có 2.6. A85 + 7. A62 . A74 )
Số các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau trong đó có mặt cả hai chữ số 1 và 2
là: A72 . A85 − A62 . A74 hoặc 2.6. A85 + 7. A62 . A74
Coi 2 chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau là 1 chữ số a.
Ta thực hiện việc tìm số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó có chữ số a.
1
5
1
4
Tương tự như trên ta có 2 ( A6 . A8 − A5 . A7 ) số

Vậy số các chữ số có 7 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2.6. A85 + 7. A62 . A74 2 ( A61. A85 − A51. A74 )

Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải
có các số 1, 2, 3 và chúng đứng cạnh nhau.

Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
21


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
HD: 1,2,3 đứng cạnh nhau ta coi là 1 chữ số a hình thức. Như vậy ta cần lập ra
số có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số a, 4,5,6,7,8,9,0. Trong đó nhất thiết phải
có mặt a.
TH1. a ở vị trí đầu tiên, khi đó 4 vị trí còn lại chọn 4 chữ số từ 7 chữ số sắp vào
nên có A74 suy ra có 3! A74 ( vì 3 chữ số 1,2,3 có 3! Cách sắp)
TH2. a không ở vị trí đầu tiên
Có 6 cách chọn chữ số sắp cho vị trí đầu tiên, sau đó chọn 1 vị trí để sắp chữ số
a có 4 cách, có A63 cách chọn 3 chữ số sắp vào 3 vị trí còn lại nên theo quy tắc
nhân có 6.4.3! A63 số.
Vậy có 3! A74 + 6.4.3! A63 (số).
Bài 4. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số
khác nhau. Trong đó có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh
nhau.
Đ/s: Tương tự . Có 480 số
Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số
còn lại là 2,4,6,8 mà 5 chữ số 1 đứng liền nhau.
Giải: 5 chữ số 1 đứng liền nhau được coi như 1 số.
Như vậy số có 9 chữ số được coi như số có 5 chữ số 1,2,4,6,8. Vậy số các số có
9 chữ số như yêu cầu bài toán là 5!

Bài tập tổng hợp về đếm số:
Bài 1. Cho các chữ số 1,2,3,4,5,6 từ đó lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6
chữ số khác nhau, tính tổng các chữ số đó.
Giải: Gọi số có 6 chữ số là abcbde . Số các số có 6 chữ số khác nhau lập từ các
chữ số bài cho là 6!
Nếu e=1, khi đó có 5! Số có 6 chữ số khác nhau có hàng đơn vị bằng 1.
Tương tự cũng có 5! Số có 6 chữ số khác nhau có hàng đơn vị là 2,3,4,5,6.
Vậy tổng tất cả các chữ số hàng đơn vị của các số có 6 chữ số là:

( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) .5! = 2520

Lập luận tương tự ta có tổng tất cả các chữ số hàng chục của các số có 6 chữ số
của bài là: 2520.10;...
Vậy ta có tổng của tất cả các số có 6 chữ số của bài là
2520 ( 1 + 10 + 100 + 1000 + 10000 + 100000 ) =279999720
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
22


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Bài 2. Xét dãy có 7 chữ số là các số tự nhiên từ 0 đến 9 thỏa mãn các đk sau:
Chữ số thứ 3 là số chẵn, Chữ số cuối cùng là số không chia hết cho 5, ba chữ số
thứ 2,4,6 đôi một khác nhau.
Giải: Giả sử dãy 7 chữ số là a1a2 a3a4 a5a6 a7 . Theo giả thiết a3 ∈ { 0; 2; 4;6;8} ,
a7 ∈ { 1, 2,3, 4, 6, 7,8,9}

Và a2 , a4 , a6 đôi một khác nhau.
Để tạo thành 1 dãy số như vậy ta lần lượt chọn các chữ số sắp vào các vị trí.
a7 có 8 cách chọn; a3 có 5 cách chọn; chọn 3 chữ số sắp vào 3 vị trí a2 , a4 , a6 có

A103 , với các chữ số a1 , a5 đều có 10 cách chọn. Vậy có 8.5. A103 .10.10 (số)

Bài 3. Người ta viết các chữ số 0,1,2,3,4,5 lên các tâm phiếu và xếp chúng vào
một hàng ngang.
a/ Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành.
b/ Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được tạo thành.
Giải: Gọi số có 6 chữ số là a1a2 a3a4 a5a6
Để có được số tự nhiên có 6 chữ số lẻ khác nhau ta làm như sau:
Chọn a6 có 3 cách chọn, sau đó chọn a1 có 4 cách chọn, 4 chữ số còn lại mang
sắp vào 4 vị trí còn lại nên có 4! Cách. Vậy có 3.4.4! (số).
b/ Cách 1: Gọi số có 6 chữ số là a1a2 a3a4 a5a6
Để lập được số tự nhiên có 6 chữ số theo yêu cầu bài toán ta đi chọn các chữ số
sắp vào các vị trí
Th1. a6 = 0 , khi đó đem 5 chữ số sắp vào 5 vị trí nên có 5! ( số).
Th2. a6 ≠ 0 . Khi đó có 2 cách chọn a6 , có 4 cách chọn chữ số sắp vào a1 . Còn
lại 4 chữ số đem sắp vào 4 vị trí nên có 4! Cách. Suy ra có 2.4.4! (số).
Vậy có 5!+ 2.4.4! = 312
Cách 2. Số các số có 6 chữ số( kể cả trường hợp số 0 ở vị trí đầu tiên ) là: 6!
Số các số có 6 chữ số mà số 0 ở vị trí đầu tiên có 5!
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho là 6!− 5! = 5.5! = 600
Theo phần a/ Số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho là
số lẻ là: 288

Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
23


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau là số chẵn từ các chữ số bài cho là: 600288=312

Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau xếp theo thứ tự tăng
dần.
Giải: Gọi số tự nhiên có 7 chữ số là a1a2 a3a4 a5 a6 a7 , theo giả thiết
Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn
và 3 số lẻ.
Giải: Trường hợp 1. Có chữ số 0. Có 5.C42 .C53 .5!
Trường hợp 2. Không có chữ số 0. Có: C43 .C53 .6!
Bài 6. Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau, tính tổng các số
đó.
Giải: Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau kể cả các số có 3 chữ số với số
0 ở vị trí đầu tiên là A103
Ta đi tìm tổng của tất cả các số đó, sau đó trừ đi tổng của các số có 2 chữ số
khác nhau lập được từ các chữ số khác 0.
Mỗi chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 đứng ở các vị trí hàng đơn vị, chục, trăm trong
các số có 3 chữ số khác nhau là A92
Khi đó tổng của các số có 3 chữ số kể cả số có chữ số 0 ở đầu là:
A92 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) ( 1 + 10 + 100 )

Ta tìm tổng của các số có 3 chữ số khác nhau có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên.
Mỗi chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 đứng ở các vị trí hàng đơn vị, chục trong các số có
3 chữ số đó là A81
Khi đó tổng của các chữ số có 3 chữ số khác nhau, có chữ số 0 ở vị trí hàng trăm
là:
A81 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) ( 1 + 10 )

Suy ra tổng các số có 3 chữ số khác nhau là:
A92 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) ( 1 + 10 + 100 ) − A81 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) ( 1 + 10 ) =35

5680
Cách 2. Gọi số có 3 chữ số là abc .

Các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 đứng ở vị trí a có A92 lần, đứng ở vị trí b và c có 8.8
lần.
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
24


Tác giả: Nguyễn Thị Thu
Suy ra tổng số các số có 3 chữ số khác nhau là
A92 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) .100 + 8.8 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) ( 1 + 10 ) =355680

Bài 7. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các
chữ số 1,2,3,4,5.
Giải: Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số 1,2,3,4,5 chính là một
hoán vị của 5 phần tử.
Suy ra số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ 5 chữ số chính là số các hoán
vị của 5 phần tử nên có 5! (số)
Xét số có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho mà chữ số hàng đơn vị là 1.
Khi đó có 4! số như vậy.
Tương tự cũng có 4! Số có 5 chữ số khác nhau từ các chữ số bài cho mà chữ số
1 ở hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn, hàng chục nghìn.
Nên tổng cách chữ số hàng đơn vị của các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lập
được là:

( 1 + 2 + 3 + 4 + 5) .4! = 360 .
Tương tự ta có tổng các chữ số hàng chục của các số tự nhiên có 5 chữ số khác
nhau lập được là 360.10,...
Vậy ta có tổng tất cả các số tự nhiên là: 360 ( 1 + 10 + 100 + 1000 + 10000 ) = 3999960
Bài 8. Có bao nhiêu số tự nhiên có nhiều nhất là n chữ số mà tổng các chữ số
bằng 3.

Giải:
Bài toán có 3 trường hợp:
TH1: Số tự nhiên có chứa 1 chữ số 3 còn lại là số 0. Vì số này có thể có từ 1 chữ
số đến n chữ số nên có C1n số tự nhiên như thế ( số có 1 chữ số hay số có n chữ
số đều có 1 số)
TH2: Số tự nhiên có chứa 1 chứ số 1, 1 chữ số 2 còn lại là số 0. Khi đó bắt buộc
số tự nhiên thỏa mãn có tổng bằng 3 lập từ các chữ số trên phải có từ 2 chữ số
trở lên. Từc n ≥ 2
Khi đó có A 2n số tự nhiên thỏa mãn.
TH3: Có 3 chữ số 1 còn lại là 0. Khi đó n ≥ 3 . Khi đó có C3n số tự nhiên thỏa
mãn.
Định hướng tư duy – rèn luyện kỹ năng giải toán Tô hợp - Xác suất thi HSG,
THPT QG
25