Chuyên đề giới hạn của dãy số Nguyễn Quốc Tuấn

Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
CHỦ ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số
I. Dãy số có giới hạn hữu hạn
1. Định nghĩa: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là L hay (un) dần tới L khi n
dần tới vô cực ( n   ), nếu lim  un  L   0. Kí hiệu:
n

lim  un   L hay u n  L khi n  +.

n

 Chú ý: lim  un   lim  u n  .
n 

2. Một số định lý:
 Định lí 1: Giả sử lim un  L , khi đó:
 lim un  L ,lim 3 un  3 L
 Nếu un  0, n  L  0 và lim un  L
 Định




lí 2: Giả sử lim un  L, lim vn  M , c  const

lim(un  vn )  L  M
lim(un  vn )  L  M
lim(un .vn )  L.M , lim c.un  c.L

u
L
 lim n  ( M  0)
vn M

 Định lí 3: Cho 3 dãy số (un ), (vn ),( wn ) . Nếu un  vn  wn , n và
lim un  lim wn  L  lim vn  L

 Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn. Dãy số giảm
và bị chặn dưới thì có giới hạn.
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
S = u1 + u1q + u1q2 + … =

u1
1 q

 q  1

II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Dãy số có giới hạn  : lim un    mọi số hạng của dãy số đều
lớn hơn một số dương tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi.
2. Dãy số có giới hạn  : lim un    mọi số hạng của dãy số đều
nhỏ hơn một số âm tùy ý cho trước kể từ số hạng nào đó trở đi.
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 1


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Chú ý: lim un    lim(un )  
3. Một vài qui tắc tìm giới hạn vô cực:
o Qui tắc 1:
lim un

lim vn

lim un .vn










Dấu của

lim un .vn

o Qui tắc 2:
lim un

lim vn  L










o Qui tắc 3:
lim un  L  0

Dấu của L
+
-

lim vn  0, vn  0
Dấu của lim vn



lim

un
vn




Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 2

Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ
Phương pháp: Xem xét bậc cao nhất của tư và mẫu. Sau đó, chia tử và
mẫu cho bậc cao nhất của tử và mẫu. Hoặc cũng có thể đặt nhân tử cao
nhất của từ và mẫu để được những giới hạn cơ bản. Tính giới hạn này.
Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau:
lim
a.

5n3  3n 2  6
4n 2  3n3  7n

b. lim

e. lim

lim

6n 4  2n 2  1
1  5n 2  3n4
4n  2017

2n2  n  3

c.

3n2  2n  1

d. lim

2n 2  3n  1
n2  1

n2  1  4n
f. lim
3n  2

2

4n  1  n

Hướng dẫn giải
a. Ta có biến đổi:

3 6

n3  5   3 
5n  3n  6
n n 
lim 2
 lim 
3
7 
4n  3n  7 n
4
n3   3  2 
n 
n
3


lim
0

n

lim 6  0
3

Vì khi n   thì  n
lim 4  0

n

7
lim 2  0

n
3

2

3 6
5  3
n n  5
 lim
4
7
3
3 2

n
n

b. Ta có biến đổi:
2 1 

2 1
n4  6  2  4 
6 2  4
6n  2n  1
6n  2n  1
n n 
n n =-2
lim
 lim
= lim
 lim 
2
4
2
4
1
5
5
1  5n  3n
1  5n  3n
 1

 2 3
n4  4  2  3 

4
n n
n
n

4

2

4

2

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 3


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

2

lim n2  0

1

Vì khi n   thì lim 4  0
n

5


lim n2  0


c. Ta có biến đổi:


1 3 
1 3 
n2  2   
2  

n n2 
n n2  2
2n  n  3
2n  n  3
lim
 lim 
 lim 

lim

2 1 
2 1  3
3n2  2n  1
3n2  2n  1
2
n 3   
3 n  2 
n n2 

n 


2

2

1

lim n  0

lim 3  0
2

Vì khi n   thì  n
lim 2  0

n

1
lim 2  0

n

d. Ta có biến đổi:
3 1 

n 2  2   2 
2n  3n  1
n n 

lim
 lim 
2
1 
n 1

n 2 1  2 
 n 

3 1

n n 2  2
1
1 2
n

2 

2

 lim

3

lim n  0
Vì khi n   thì 
lim 1  0

n2

e. Ta có biến đổi:
2017
4n  2017
4n  2017
4n  2017
4
n
lim
 lim
 lim
 lim

2
3
1
1
1 
4n  1  n

n 4 2 n
4  2 1
n2  4  2   n
n
n
n 

4

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 4


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

2017

lim n  0
Vì khi n   thì 
lim 1  0

n2

f. Ta có biến đổi:

1
n 2  1  4n
1 2  4
2
n  1  4n
1 4 5
n
n
lim
 lim
 lim


3n  2
2

3n  2
3
3
3
n
n
1

lim n2  0
Vì khi n   thì 
lim 2  0

n

Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau:
a. lim

n 4  3n 2  2
n3  2

8n 4  3n 2  2n  1
lim
b)
3  4n  2n 2

c. lim

2n 4  n2  3
3n3  2n 2  1

3n 4  2n  5
d. lim
2n 3  4

Hướng dẫn giải
a. Ta có biến đổi:
3 2
3
2 


n 1  2  4 
n 4 1  2  4 
n  3n  2
n
n 
 n n   
lim
= lim
 lim 
3
2
2 
n 2

1 2
n3 1  2 
n
 n 
3 2


1  2  4 
 n n  1
Vì lim n  . và lim
2
1 2
n
4

2

b) Ta có biến đổi:

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 5


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

 8n 4 3n 2 2n 1 
n  4  4  4  4
n
n
n 
8n 4  3n 2  2n  1  lim  n
lim
4n 2n 2 
2 3
3  4n  2n 2

n  2 2 2 
n
n 
n
4

3 2 1

8 2  3  4

n n n
 lim n 2 
3 4

 2
 n2 n



  



3 2 1

8 2  3  4

Do lim n 2   và lim  n n n
3 4


 2
 n2 n


 8000
 4  0

002



c. Ta có biến đổi:

1
3 
1
3 

n2 
 
n4  2  2  4 
2
2n  n  3
2n  n  3
n
n4 
n
n   lim 



lim

lim
lim 3
2 1 


2 1 
3n3  2n2  1
3n  2n 2  1
n3  3   3 
3  

n n 
n n3 


4

2

4

2

lim n  

1
3 


n2 
 
1
3



n2 n4   
2 2  4  2
lim 

n n 

  0 . Nên

2 1 
Vì lim 
3  
2 1  3


n n3 
3  3 

n
n




d. Ta có biến đổi:
3n 4  2n  5
lim
 lim
2n 3  4

2
5 

2
5

n 4  3  3  4 
3  3  4

n
n 

n n
 lim n. 
4
4


 2 3
n3  2  3 

n
n 


2 5

 3  n 3  n 4
Do lim n   và lim 
4
 2 3

n



  




 3  0  0
3
 0

20
2



Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 6

Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Bài tập mẫu 3: Tính các giới hạn sau:
a. lim

2n  1
n  2n  4

b. lim

2

n5
3n3  1

Hướng dẫn giải
a. Ta có biến đổi:
2n 1
2 1
 2
 2
2
2n  1
n
n
n
n  0 0
lim 2
 lim 2

 lim
2
4 1
n 2n 4
n  2n  4
1




n n2
n2 n2 n2

2

lim n  0

1

Vì khi n   thì lim 2  0
n

4

lim n 2  0


b. Ta có biến đổi:
n 5
1 5

 3
 3
3
2
n5
n
n
n
n  0 0
lim 3
 lim 3
 lim
1
3n
1
3n  1
3
3 3
 3
3
n
n
n

1

lim n 2  0

5


Do : Vì khi n   thì lim 3  0
n

1

lim n3  0


Trích dẫn: Qua 3 bài toán ở trên dạng dãy số dạng hữu tỉ ta rút ra nhận
xét như sau.
+ Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 
+ Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao
nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 7


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

+ Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0.
Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu
tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn
toàn có thể biết được kết quả ngay lập tức. Thật vậy những bài toán sau
các em hoàn toàn biết được kết quả một cách nhanh chóng và chính xác.
Thật vậy, sử dụng nhận xét đó ta thực hiện nhanh các bài tập trắc
nghiệm sau:

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài tập 1: Giới hạn lim
a.

2
3

2n3  n 2  3n 1
bằng:
3n  2
c. 

b. 0

d. 3

Đáp án: C

Vì bậc cao nhất của tử là bậc 3 có hệ số dương và bậc cao nhất của mẫu
là bậc 1 nên giới hạn này bằng 
Bài tập 2: Giới hạn lim
a. 

b. 

1
4

n3  n 2  3n  1
bằng:
4n  2

c. 

d. 0

Đáp án: A

Vì bậc cao nhất của tử là bậc 3 có hệ số âm và bậc cao nhất của mẫu là
bậc 1 nên giới hạn này bằng 
Bài tập 3: Giới hạn lim
a.

3
2

b. 

1
4

3n 2  n 1
bằng:
2n3  1
c. 

d. 0

Đáp án: D

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 8


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Vì bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba.
Nên giới hạn này có giới hạn bằng 0.
Bài tập 4: Giới hạn lim
a.

3
2

b. 

3n 2  5n  1
bằng:
2n 2  n  3
d. 

c. 0

3
2

Đáp án: B
Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng -3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc
hai có hệ số bằng 2 . Nên giới hạn này bằng 

Bài tập 5: Giới hạn lim

a. 4

b.

3
2

n4  n2  5
bằng:
2n3  7 n
c. 

1
2

d. 

Đáp án: C

1 5
1
5 


n 1  2  4 
n 4 1  2  4 
n n 5
n
n 
 n n   

Ta có: lim
= lim
 lim 
3
7
7
2n  7 n

2
n3  2  
n
n

4

2

1 5

1  2  4  1
 n n 
Vì lim n  . và lim
7
2
2
n
Bài tập 6: Giới hạn lim
a.

2

3

b. 3

2n 2  n  3
3n2  2n  1

bằng:
c. 

1
2

d. 0

Đáp án: A

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 9


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11
Bậc cao nhất của tử là bậc hai có hệ số bằng 2 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc
hai có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng

2n  1

Bài tập 7: Giới hạn lim
a. 

3

n  4n2  3

b. 0

2
3

bằng:
c. 2

d.

1
3

Đáp án: B
Bậc cao nhất của tử là bậc 1 và bậc cao nhất của mẫu là bậc ba có hệ số bằng 3 .
Nên giới hạn này bằng 0.

Bài tập 8: Giới hạn lim
a.

3
4

b.

3n3  2n2  n
n3  4

bằng:
c. 

1
3

d. 3

Đáp án: D
Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng 3 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc
ba có hệ số bằng 3 . Nên giới hạn này bằng 3.

Bài tập 9: Giới hạn lim
a. 4

b.

n4
(n  1)(2  n)(n2  1)

bằng:

c. 1

1
2

d. 

Đáp án: C
Bậc cao nhất của tử là bậc bốn có hệ số bằng 1 và bậc cao nhất của mẫu cũng là bậc
bốn có hệ số bằng 1 . Nên giới hạn này bằng 1.

Bài tập 10: Giới hạn lim

n2  1
2n 4  n  1

bằng:

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 10


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

a.

c. 

b. 0

1
2

d. 1

Đáp án: B
Bậc cao nhất của tử là bậc hai và bậc cao nhất của mẫu là bậc 4 nên giới hạn này
bằng 0
Bài tập 11: Giới hạn lim
a.-3

b.

2n4  n2  3
3n3  2n2  1

bằng:

4
3

c. 

d. 

1
2

Vì bậc cao nhất của tử là bậc 4 và bậc cao nhất của mẫu là bậc 3 nên giới hạn
này bằng 
Bài tập 12: Giới hạn lim
a. 2

4n2  1  2n  1

n 2  4n  1  n

bằng:

c. 

b. 4

d. 0

Đáp án: A

Sau khi biến đổi ta có bậc cao nhất của tử là bậc nhất có tổng các hệ số bằng
4 và bậc cao nhất của mẫu là bậc nhất có tổng các hệ số bằng 2. Nên giới hạn
này bằng 2.
Thật vậy ta cần chứng minh :
4n2
2

lim

4n  1  2n  1
n2  4n  1  n

Bài tập 13: Giới hạn lim
a. 0

 lim



n2

1
n2



2n 1

n n

n2 4n 1 n



n2 n2 n 2 n

n2  3  n  4
n2  2  n

b. 1

4
 lim

1

2

1
n

4
n2
 2
2
4 1
1  2 1
n n

bằng:
c. 2

d. 4

Đáp án: B
Thực hiện tương tự câu trên
3

Bài tập 14: Giới hạn lim

n2  1  n6
4

n 1  n

2

bằng:

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 11


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11
a. 0

b. 1

c. 2

d. 4

Đáp án: B
Thực hiện tương tự câu trên

(2n n  1)( n  3)
bằng:
(n  1)(n  2)
3
2
b.
c.
2
3

Bài tập 15: Giới hạn lim
a. 

d. 2

Đáp án: D

Ta có biến đổi:
(2n n  1)( n  3)
2 n 2  7n n  3
lim
 lim
(n  1)(n  2)
n2  3n  2
Do đó: Bậc cao nhất của tử là bậc hai hệ số bằng 2. Bậc cao nhất của mẫu là
bậc hai hệ số bằng 1. Nên giới hạn này bằng 2.
n2  4n  4n 2  1

Bài tập 16: Giới hạn lim
a.

3
3 1

3n2  1  n
1
3 1

b.

c.

bằng:

1
3

d.

4
3

Đáp án: A

Thực hiện tương tự như những bài trên.
Bài tập 17: Giới hạn
a. 1

b.

n2  2

lim

2

bằng:

4n  2

1
4

c.

1
2

d. -1

Đáp án: C

Thực hiện tương tự như những bài trên.

8n3  1
lim
2n  5
3

Bài tập 18: Giới hạn

bằng:

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 12


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11
b. 

a. 4

c. 

d. 1

1
5

Đáp án: D

Thật vậy, bậc cao nhất của tử là bậc nhất hệ số bằng 3 8  2 và bậc cao
nhất của mẫu là bậc nhất hệ số bằng 2. Do đó, giới hạn này có giới hạn
bằng 1.
Bài tập 19: Giới hạn lim
a.

4
3

b.

4n 4  n 2  3
bằng:
3n  2
c. 

1
3

d. 4

Đáp án: C

Bậc lớn nhất của tử là 2 hệ số bằng 4  2 , bậc lớn nhất của mẫu là bậc
nhất nên giới hạn này có giới hạn bằng 
Bài tập 20: Giới hạn lim
a. -3

3n 4  2n 2  3n  1
n4  n2 1

b. 

bằng:

c. 2

d. 1

Đáp án: B

Bậc lớn nhất của tử là bậc 4 hệ số bằng -3, bậc của mẫu là bậc 2 nên
giới hạn này bằng 
Bài tập 21: Giới hạn lim
a.

3

b. 1

3n 1

bằng:

3n 2  2n  2
c. 3

d.0

Đáp án: A

Thực hiện tương tự như những bài trên
Bài tập 22: Giới hạn lim

3n 2  2n 1
4n 2  n  2

bằng:

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 13


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

a.

3
2

b.

3
4

c.

d. 

1
2

Đáp án: D

Thực hiện tương tự như những bài trên
4n  1

Bài tập 23: Giới hạn lim

a.

4
3

b.

3n  2n 1  2n
2

bằng:

c. 0

4
32

d. 2

Đáp án: B

Thực hiện tương tự như những bài trên

3n 4  n3  4n 2  n
bằng:
3n 2  2

Bài tập 24: Giới hạn lim
a. 
b.

c. 

3
3

d. 

1
3

Đáp án: B

Thực hiện tương tự như những bài trên
n  n 1

Bài tập 25: Giới hạn lim
a. 1

n n

b. 

bằng:

c. -1

d.

1
2

Đáp án: A

Thực hiện tương tự như những bài trên
3

8n 3  4 n  2
Bài tập 26: Giới hạn lim
bằng:

5n  1
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 14


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

a.

8
5

b. 

c.

2
5

d.

4
5

Đáp án: C

Thực hiện tương tự như những bài trên
Bài tập 27: Giới hạn lim
a.2

b. 4

n 2n 4 n
bằng:
n 1
c. 

d. 0

Đáp án: D

Thực hiện tương tự như những bài trên
Bài tập 28: Giới hạn lim
a. 0

b.

1
4

1  2  3  ...  n
bằng:
2n 2  n  1
c.

1
2

d. 

Đáp án: B

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học ta có:
n  n  1
n  n  1
1  2  3  ...  n
n2  n
2
lim
 lim 2
 lim
 lim 2
2n 2  n  1
2n  n  1
4n  2n  2
2  2n 2  n  1
1
Áp dụng các nhận xét ở giới hạn dãy hữu tỉ ta có giới hạn này bằng 4

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 15


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Loại 2: Giới hạn của dãy có căn thức.
Phương pháp : Nếu dãy số có chứa căn thức mà không có dạng hữu tỉ để
xét bậc, thì ta tiến hành nhân thêm lượng liên hiệp để tính giới hạn.

Nhưng đồng thời các em cũng sử dụng nhận xét ở tính giới hạn hữu tỉ.
Lưu ý :
+ Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc hai :  A  B  A  B   A2  B 2
+ Biểu thức nhân lượng liên hiệp bậc ba :

 A  B   A2  AB  B 2   A3  B3
 A  B   A2  AB  B 2   A3  B3
Sau khi nhân thêm lượng liên hiệp ta cũng có thể sử dụng nhận xét về
giới hạn của dãy số hữu tỉ để có thể tinh giới hạn nhanh hơn.
Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau:
a. lim  n2  2n  n 
c. lim



3

n2  3 n



b. lim



e. lim n  1  n 2  2n  5



f. lim





1
3n  2  2n  1

d. lim



n2  2n  3  n

3

n3  3n 2  1  n 2  4n



Hướng dẫn giải
a. Ta có biến đổi:
lim



 lim





2

n 2  2n  n

n  2n  n  lim
n2  2 n  n 2
2

n  2n  n

 lim



n 2  2n  n



n2  2n  n
2n
2

n  2n  n

 lim

2
1

2
1 1
n

b. Ta có biến đổi:

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 16


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11


lim  n  2n  3  n   lim

n 2  2n  3  n

2

 lim

n 2  2n  3  n 2
n 2  2n  3  n



n2  2n  3  n



n 2  2n  3  n

2n  3

 lim

n 2  2n  3  n
3
2
2n  3
2
n
 lim
 lim

1


11
2 3
2 3
1  2 1
n  1   2  1
n n
n
n


n2  2n  3  n là biểu thức liên hợp của

n2  2n  3  n

c. Ta có biến đổi:

lim



3

3



n  2  n  lim



 lim
3

3

2

3

2
n  2  3 n  3  n  2   3 n  2. 3 n  3 n 2 






3

n2

 n  2



3

  


3

n

 n  2

3

 n  2

2

 3 n  2. 3 n  3 n2

3

n2n

 lim

 3 n  2. 3 n  3 n2

2

 lim

2

3

 n  2

2

 3 n  2. 3 n  3 n2

0

3

3

3

 n  2. n  n

2

d. Ta có biến đổi:

lim

 lim

1
 lim
3n  2  2n  1

3n  2  2n  1



3n  2  2n  1
 lim
3n  2  2n  1

3n  2  2n  1





3n  2  2n  1





3n  2  2n  1  

e. Ta có biến đổi:

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 17


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11



2

lim n  1  n  2n  5

 n  1

 lim

2





n 1
 lim

  n 2  2n  5 

 lim

n  1  n 2  2n  5
2 n  5
 lim
 1
n  1  n 2  2n  5

n 2  2n  5 n  1  n 2  2n  5



n  1  n 2  2n  5

n 2  n 2  2n  5
n  1  n 2  2n  5

f. Ta có biến đổi:

lim



3



n3  3n 2  1  n 2  4n  lim

 lim



 lim



3

n3  3n 2  1  n  n  n 2  4n

 

3

n3  3n 2  1  n  n  n 2  4n



3







n3  3n 2  1  n  lim n  n 2  4n




 L  lim 3 n3  3n 2  1  n
 1
Đặt: 
 L2  lim n  n 2  4n










Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc ba.


 n  3n  1  n    n  3n  1  n n  3n  1  n 
 lim
 n  3n  1  n n  3n  1  n

L1  lim
3



3

3

n3  3n 2  1  n
2

3

3

 lim

 lim

3

2

3

2

2

2

3

3

3

2

3

2

2

2

n3  3n 2  1  n3



3



2

n3  3n 2  1  n 3 n3  3n 2  1  n 2
3n 2  1



3



2

n3  3n 2  1  n 3 n3  3n 2  1  n 2

Với L1 ta sử dụng nhân lượng liên hiệp bậc hai.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 18


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11



L2  lim n  n 2  4n
n 2  n 2  4n

 lim

Vậy: lim



3

n  n 2  4n



n 
 lim

 lim



n 2  4n n  n 2  4n



n  n 2  4n

4 n
n  n 2  4n

 2



n3  3n 2  1  n 2  4n  L1  L2  1   2   1

Bài tập mẫu 2: Tính các giới hạn sau:

1
n 1  n  3

a) lim( n2  3n  2  n 1)

b) lim

c) lim( n2  3n 1  n 1)

d) lim 


 4n 2  n  4  n 


2
n

1



Hướng dẫn giải
a) Ta có biến đổi:


lim  n  3n  2  n 1  lim
2


 lim



2

n2  3n  2 n 1

2

n2  3n  2  n 1
5n 1
5
 lim

n2  3n  2  n 1 2



n2  3n  2 n 1

 lim



n2  3n  2  n 1

n2  3n  2  n 1
n2  3n  2  n2  2n 1

n2  3n  2  n 1

b)Ta có biến đổi:
lim

1
 lim
n 1  n  3

 lim



n 1  n  3
n 1  n  3



n 1  n  3



n 1  n  3
n 1  n  3
 lim
 
n  1 n  3
2

c) Ta có biến đổi:

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 19


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

lim



n2  3n 1 

 lim


n 1  lim

n2  3n 1 n 1
n2  3n 1  n 1



n2  3n 1  n 1



n2  3n 1  n 1

n2  3n 1  n 1
n2  3n  2

 lim

n2  3n 1  n 1

 

d) Ta có biến đổi:

 4n2  n  4  n 

  lim
lim 


2n  1

 lim



4n 2  n  4  n



4n 2  n  4  n

2n 1 4n 2  n  4  n 

4n 2  n  4  n

2n 1 4n 2  n  4  n 

 lim

4n 2  4

2n 1 4n 2  n  4  n 



1

Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Bài tập 1: Giới hạn lim
a. 1

b.

1
2

n 2  3n 1  n
bằng:
n 1
c. 

d. 0

Đáp án: D
Ta có biến đổi:

n 2  3n 1  n
lim
 lim
n 1
 lim



n 2  3n 1 n 2

n 2  3n  1  n

n 1 n2  3n 1  n



n 2  3n 1  n

n 1 n2  3n 1  n
 lim

3n 1



n 1 n2  3n 1  n

0

Vì bậc của tử là bậc nhất và bậc lớn nhất của mẫu là bậc hai. Nên giới
hạn này bằng 0.
3n 2  2n  n
Bài tập 2: Giới hạn lim
bằng:
3n  2
a.

3



2



32

b.

3



2



3 1

c.

3
3

d.

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

1
2

Trang số 20


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11
Đáp án: B

Ta có biến đổi:
3n 2  2n  n
lim
 lim
3n  2
 lim



3n 2  2n  n



3n 2  2n  n

3n  2 3n2  2n  n

2n 2  2 n

3n  2 3n2  2n  n


3



2





3 1

2
2
Bài tập 3: Giới hạn lim( 2n 1  2n 1) bằng:
b. 4
c. 

a. 1

d. 0

Đáp án: D

Ta có biến đổi:

lim



 lim


2n 1  lim

2n 1 
2

2

2n2 1 2n2 1
2n2 1  2n2 1

 lim



2n2 1  2n2 1



2n2 1  2n2 1

2n2 1  2n2 1
2
2n2 1  2n2 1

0

Bậc lớn nhất của tử là bậc 0 và bậc lớn nhất của mẫu là bậc nhất. Do đó,
giới hạn này bằng 0.
Bài tập 4: Giới hạn lim( 3n  2  3n  2) bằng:
b. 

a. 9

c. 0

d. 6

Đáp án: C
Ta có biến đổi:

lim



 lim



3n  2  3n  2  lim



3n  2  3n  2



3n  2  3n  2



3n  2  3n  2

3n  2  3n  2
4
 lim
0
3n  2  3n  2
3n  2  3n  2

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 21


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Bài tập 5: Giới hạn lim n( n  3  n  2) bằng:
a. 

b. 5

c.

d. 0

3
2

Đáp án: A

Ta có biến đổi:
lim n



 lim



n  3  n  2  lim
n n  3  n  2
n 3  n  2

 lim

Bài tập 6: Giới hạn lim

a. 

n



n 3  n  2



n 3  n  2



n 3  n  2
n
 
n 3  n  2

n 2n  1  n 3  n 2  1
4n 3  3n

b. 0

c.

bằng:

1
2

1

d.

2





2 1

Đáp án: D
Ta có biến đổi:

lim

n 2n  1  n 3  n 2  1


 lim
 lim

4n 3  3n

 lim

2n 3  n 2  n 3  n 2  1
4n3  3n





2n3  n 2  n 3  n 2  1
4n3  3n
2n 3  n 2  n 3  n 2  1

2n3  n 2  n3  n 2  1

2n3  n 2  n 3  n 2  1
4n 3  3n



2n 3  n 2  n 3  n 2  1






n3  1

 lim
4n 3  3n



2n 3  n 2  n 3  n 2  1



Bậc cao nhất của tử là bậc ba có hệ số bằng 1 và bậc cao nhất của mẫu sau khi nhân
phân phối ta được bậc ba hệ số bằng 2





2  1 . Nên giới hạn này có giới hạn bằng

1
2





2 1

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 22


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

3

Bài tập 7: Giới hạn lim
a. 0

n 3  2n  4  n
bằng:
n 1

b. 1

d. 

c. 2
Đáp án: A

Ta có biến đổi:
2
 3 3

3
n

2
n

4

n
n


2
n

4
 n 3 n3  2n  4  n 2 
3 3

n  2n  4  n


lim
 lim
2
n 1
 3 3

 n  1  n  2n  4  n 3 n3  2n  4  n2 


3
3
n  2n  4  n
 lim
2
 n  1  3 n3  2n  4  n 3 n3  2n  4  n2 


2n  4
 lim
0

2
 3 3
3 3
2
 n  1  n  2n  4  n n  2n  4  n 







3















Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 23


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Dạng 3: Dãy số chứa lũy thừa – Mũ
Phương pháp: Tương tự như dãy hữu tỉ, ta tiến hành chia tử và mẫu cho mũ với cơ số
lớn nhất
Một số công thức lưu ý:

an  a 
+ n  
b
b

n

1
+ n  an
a

+

n

a a

1
n

+ 1n  1

Giới hạn của lũy thừa: lim a n  0 với 0  a  1 .

Bài tập mẫu 1: Tính các giới hạn sau:
2n  5n
a. lim n
2.3  3.5n

3n1  2n 1
b. lim n
5.3  4.2n 1

3n1  2n 1  5n
c. lim n
5.5  3.2n  3n 1

10n  1
d. lim n n
2 5

e. lim

9n  1
3n  1

Hướng dẫn giải
a. Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 5n ta được
n

2
2 n 5n
 n
  1 1
n
5
5
5
lim
 lim   n

n
n
3
5
3
3


2. n  3. n
2.    3
5
5
5
  2 n
2

lim    0
0  5  1
 5



n
Vì 0  3  1 nên ta có   3 

lim  5   0
5


b. Ta có biến đổi:
lim

3n1  2n 1
3n.3  2n.2
3.3n  2.2n

lim

lim
2n
5.3n  4.2n 1
5.3n  2.2n
n
5.3  4.
2

Ta có biến đổi: Chia tử và mẫu cho 3n ta được

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 24


Chuyên đề: Giới hạn dãy số- Chương IV: Đại số và Giải tích 11
n

2
3n
2n
3  2.  
3. n  2. n
3  3
3  lim
lim 3n
n
n
2
5
3
2
5. n  2. n
5  2.  
3
3
3
n

Vì 0 

2

2
 1 nên lim    0
3
3

c. Ta có biến đổi:
lim

3n1  2n1  5n
3n.3  2n.2  5n
3.3n  2.2n  5n

lim

lim
5.5n  3.2n  3n 1
5.5n  3.2n  3n.3
5.5n  3.2n  3.3n

Chia tử và mẫu cho 5n ta được:
n

n

 3
2
3n
2n 5n
3.    2.    1
3. n  2. n  n

1
5
5 5  lim  5 
lim 5n

n
n
n
n
5
2 3
5
2
 3
5. n  3. n  n .3
5  3.    3.  
5
5 5
5
5
  2 n
2

lim    0
0  5  1
 5


n
Vì 0  3  1 nên ta có   3 

lim

  5   0
5


d. Ta có biến đổi: chia tử và mẫu cho 10n ta được
n

1
10n
1
1  
 n
n
n
10  1
 10   
lim n n  lim 10n 10n  lim
n
n
2
5
2 5
1
1






   
10n 10n
5  2
  1 n
1

lim    0
0  10  1
  10 

n

1

 1
0


1
lim

   0
Vì  5
nên ta có   5 
n
1


1


0


1
lim    0

2

  2 
e. Chia tử và mẫu cho 3n ta được:
Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232

Trang số 25