03A NGUYÊN hàm

3A. Nguyên hàm

NGUYÊN HÀM
 Hàm đa thức, phân thức
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f(x)  3x 2 
A. x 3 

x2
C
4

x
là:
2

x3 x 2
 C
3 4

B.

C. x 3 

 x3 
Câu 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x   1
 18 

x2
C
2

D. x 3 

x2
C
2

5

2

6

A.

6



 x3

f  x  dx    1  C
 18 



1  x3 
f  x  dx    1  C
6  18 

B.



 x3

f  x  dx  6   1  C
 18 



1  x3 
f  x  dx    1  C
2  18 

6

C.

6

D.

Câu 3. Nếu f ' ( x)  3( x  2) 2 , f (0)  8 thì hàm số y  f ( x ) là hàm số nào sau đây?
C. 6  x  2   4

B.  x  2   4

A. 2( x  2)3  8.

2

D.  x  2 

3

Câu 4. Giá trị m để hàm số F(x) =mx3 +(3m+2)x2-4x+3 là một nguyên hàm của hàm số
f ( x )  3 x 2  10 x  4 là:
A. m = 3
B. m = 0
C. m = 1
D. m = 2
Câu 5. Nguyên hàm của I 
A. 

1
C
2x2

1

x
B.

3

dx là

1
C
x4

C. 

Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x )
A.
C.

f (x )dx

x

f (x )dx

x2
2

1
x

1

ln x

C
1

C

Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) 

x2
C
x 1
x 1
f ( x)dx  ln
C
x2

x2

x
x

1
1

1 2
x C
2

D. ln3 | x | C

.

B.

f (x )dx

1

D.

f (x )dx

x2

1
(x

C

1)2

ln x

1

C

1
x 2  3x  2
x2
C
x 1
x 1
f ( x)dx  ln
C
x2

A.

 f ( x)dx  ln

B.

 f ( x)dx  ln

C.



D.



77


3A. Nguyên hàm

Câu 8. Cho hàm số f (x )

x3
A.
3
x3
C.
3

x

1
x
1
x

2

x2

x4

2x 3
x2

1

. Nguyên hàm F(x) của f(x) biết là F (1)

x3
B.
3
x3
D.
3

5
3
5
3

1
x
1
x

x2

x2

C. y

x2

x
x

x
x

1

B. y

1

2

D. y

1

Câu 10. Tìm hàm số f(x) biết rằng f '( x)  ax +

x2

x
x

x

2

1
x

x

1
1

b
, f '(1)  0, f (1)  4, f ( 1)  2
x2

x2 1 5
 
B.
2 x 2

x2 1 5
 
C.
2 x 2

D. Kết quả khác

6
ax  a 2  3
là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 
x2
 x  2 2
B. a  1 hoặc a  3
D. a  1 hoặc a  3

A. a  1
C. a  3
Câu 12. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f ( x ) 
A. F ( x )   ln x 
C. F ( x )  ln x 

1
C
x

1
C
x

x 1

x2
1
C
x
1
D. F ( x )   ln x   C
x

B. F ( x )  ln x 

Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)   3x  1

1
 3x  16  C

3
1
5
C.  f ( x)dx   3x  1  C
18
A.

f ( x)dx 

9

1

x2 1 5
 

A.
2 x 2

Câu 11. Tìm a để hàm số F ( x) 

5
3

x (2 x )
(x 1)2

Câu 9. Hàm số nào sau đây không là một nguyên hàm của hàm số y
A. y

2

5

B.



D.



1
 3x  16  C
18
1

6
f ( x)dx   3x  1  C
6

f ( x)dx 

Tài Liệu Chia Sẻ Cộng Đồng

78


3A. Nguyên hàm

 Hàm căn thức


  x

Câu 14. Nguyên hàm của hàm số

2



x3
4 3
 3ln x 
x C
3
3

x3
4 3
 3ln x 
x C
C.
3
3
A.

3

 2 x  dx là
x

x3
4 3
 3ln x 
x
B.
3
3
x3
4 3
 3ln x 
x C
D.
3
3

Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f  x    x 1  x 2 dx

3
3
2 2
1

x
C



2
3
2
C.  f  x dx  1  x 2  2  C
3

A.

f  x dx 

B.



D.



3
1

1  x2 2  C

3
3
1
f  x dx  1  x 2  2  C
3

f  x dx 

Câu 16. Tim
̀ nguyên hàm của hàm số f ( x)  3x+2

2

3x+2  C

B.

 f ( x)dx  3  3x  2 

9

3x+2  C

D.

 f ( x)dx  2  3x  2 

A.

 f ( x)dx  9  3x  2 

C.

 f ( x)dx  2  3x  2 

Câu 17. Một nguyên hàm của hàm số: f (x )
A. F (x )
C. F (x )

x 1

2
1
1 x2
2
2
x2
1 x2
2

2

3x+2  C

3

3x+2  C

x 2 là
B. F (x )
D. F (x )

1
3
1
3

1

x2

1

x2

3

2

Câu 18. Nguyên hàm của hàm số f ( x )  3 3 x  1 là:
A.

 f ( x)dx  (3x  1)

C.

 f ( x )dx  4 (3x  1)

3x  1  C

3

1

3

3x  1  C

Câu 19. Họ các nguyên hàm của hàm số y

53 5
x
3
33 5
C.
x
5
A.

14 ln 1

x

C

14 ln 1

x

C

Câu 20. Nếu gọi I 

1

1

x

x2

 f ( x )dx  3

D.

 f ( x )dx 

3

3x  1  C

3x  1  C

14
là:
1 x
33 5
B.

x
14 ln 1 x C
5
33 5
D.
x
14 ln 1 x C
5

dx , thì khẳng định nào sau đây là đúng?
B. I  2ln |

A. I  2 x  C.
C. I  2 x  2ln |

3

13

B.

x  1| C.

x  1| C.

D. I  2 x  2ln |

x  1 | C.

79

3A. Nguyên hàm
Câu 21. Nếu gọi I 

dx
, thì khẳng định nào sau đây là đúng?
2x  1  4




2x  1  4ln 


2x  1  4   C.

A. I  2x  1  2ln
C. I 

2x  1  4  C.

Câu 22. Tìm nguyên hàm I  
A. I  2 ln



B. I  2x  1  ln

D. I  2 2x  1  ln



2x  1  4  C.





B. I  2 ln

1 

C. I  2ln  x 
  C.
x


1
 C.
x 1

D. I  2 ln x  x  C.

dx
.
2x  x x  x

2
C

xx
2
C. I  
C
x  x 1

2
C
x 1
2
D. I  
C
2 xx

A. I  

B. I  

Câu 24. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f ( x)
x 2 k với k
x 2
k
1 2
x
x
k
ln x
x2 k
x
k

ln x
A. f ( x)
B. f ( x)
2
2
2
2
1
k
ln x
x2 k
C. f ( x )
D. f ( x)
2
2
x k
Câu 25. Nếu f ( x)
trên khoảng

(ax 2

1
;
2

bx

c) 2 x -1 là một nguyên hàm của hàm số g ( x)

B. 0

Câu 26. Xác định a, b, c sao cho g ( x)
3
20 x 2 - 30 x 7
trong khoảng ;
f ( x)
2
2x - 3
A. a  4, b  2, c  2
C. a  2, b  1, c  4
Câu 27. Trong các hàm số sau:

x2
x

2

C. 4
(ax 2

x2

k

10 x 2 - 7 x 2
2 x -1

D. 2

c) 2 x - 3 là một nguyên hàm của hàm số

bx

.
B. a  1, b  2, c  4
D. a  4, b  2, c  1

x2

(II) f ( x)

1
1

(III) f ( x)

1

-2

2

1

x2

1

x

ln x

1 5
1

(IV) f ( x)

Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F ( x)
A. Chỉ (I)
C. Chỉ (II)

0?

thì a+b+c có giá trị là

A. 3

(I) f ( x)



2x  1  4  C.

dx
.
x x

x  1  C.

Câu 23. Tìm nguyên hàm I  



B. Chỉ (III)
D. Chỉ (III) và (IV)

80


3A. Nguyên hàm

Câu 28. Một nguyên hàm của hàm số f ( x)
A. F ( x)

3 3 2
x x
5

C. F ( x)

x3 x

12 6 5
x
5

3

1
x

x

ln x

2

là hàm số nào sau đây:

B. F ( x)

2

D. F ( x)

x

Câu 29. Một nguyên hàm của hàm số f ( x) 

x
a2  x2

1 3
x
3
3 3 2
x x
5

1

x

3

ln x

12 5 6
x
5

là :

A.

1  x2

B. ln a  x 2

C.

a2  x2

D. ln a 2  x 2

Tài Liệu Chia Sẻ Cộng Đồng
 Hàm lượng giác
Câu 30. Nguyên hàm của hàm số f  x   sin 2 x là:
A.

x sin 2 x


C
2
2

B.

x sin 2 x

C
2
4

C.

x sin 2 x

C
2
4

Câu 31. Tim
̀ nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(2x + 1)
A.

 f ( x)dx  cos(2 x  1)  C

C.

 f ( x)dx  2 cos(2 x  1)  C

1

D.

x sin 2 x

C
2
2

1
cos(2 x  1)  C
2

B.

 f ( x)dx 

D.

 f ( x)dx   cos(2 x  1)  C


Câu 32. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x bieát F ( )  0 .

1

3
6

1

C. F ( x)  x  cos3x 
3
6
A. F ( x)  x  cos3x 

6
1

B. F ( x)   cos3x 
3
6
1

D. F ( x)  x  cos3x 
3
6

Câu 33. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f  x   2x 3  3x 2  1  sin 2x khi F(0)=1 là:

x4
x3
1
1
 3  x  .cos 2x 
4
3
2
2

4
3
x
x
1
1
 3  x  .cos 2x 
C. F  x   2
4
3
2
2
A. F  x   2

x4
x3
1
1
 3  x  .cos 2x 
4
3
2
2
4
3
x
x
1
1
 3  x  .cos 2x 

D. F  x   2
4
3
2
2
B. F  x   2

81


3A. Nguyên hàm
Câu 34. Cho f ' ( x)  3  5sin x và f (0)  10 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:
A. f ( x)  3x  5cos x  2
B. f    3

   3

2 2

D. f ( x)  3x  5cos x

C. f 

Câu 35. Chọn công thức sai trong những công thức sau đây:
A.

cos x dx

C.

e x dx

sin x
ex

Câu 36. Kế t quả của
A. tan x  C

C

C

 1  cot x dx là

B.

sin x dx

D.

1
dx
sin2 x

cos x

C

tan x

C

2

B.  tan x  C

C. cot x  C

D.  cot x  C



Câu 37. J = x cos xdx có kết quả là
A. xsinx – cosx + C
C. xsinx + cosx + C

B. -xsinx – cosx + C
D. xsinx - cosx

Câu 38. Nguyên hàm của hàm số f ( x)  sin 3 x.cos5 x là
1
1
A.  f ( x)dx  cos2 x  cos8 x  C
4
16
1
1
B.  f ( x)dx  sin 2 x  cos8 x  C
4
16

1
1
C.  f ( x)dx  cos2 x  sin 8 x  C
4
16
1
1
D.  f ( x)dx   cos2 x  cos8 x  C
4
16

1
1
1
sin cos dx.
2
x
x
x
1
1
B. I  sin  C .
4
x

Câu 39. Tìm nguyên hàm I  
A. I 

1
2

cos  C.
4
x

Câu 40. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số y
A. –tanx

B. 1-tanx

C. I 

1
1
cos  C.
4
x

D. I 

1
2
sin  C .
4
x

1
và F(0)=1. Khi đó F(x) là:
cos2x
C. 1+tanx

D. tanx-1

x
dx .
cos2 x
A. I  x tan x+ ln cosx  C

B. I  x tan x+ ln sin x  C

C. I  x tan x-ln sin x  C

D. I  x tan x-ln cosx  C

Câu 41. Tìm nguyên hàm I  

82


3A. Nguyên hàm
Câu 42. Nguyên hàm F(x) của hàm số f  x  

sin 3 x
là:
cos 4 x

1
1

C
3

3cos x cos x
1
1
C.

C
3
3cos x cos x

1
1

C
3
3cos x cos x
1
1
D.

C
3
3cos x cos 2 x
B. 

A.

Câu 43. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

 f  x  dx  cot x  tan x  C.
C.  f  x  dx   cot x  tan x  C.

A.

Câu 44. Tìm nguyên hàm I  

1
.
sin x cos 2 x
B.  f  x  dx   cot x  tan x  C.
2

dx
.
(cos x  sin x) 2

1


tan  x    C.
2
4

1


D. I  tan  x    C.
2
4


1



A. I   tan  x    C.
2
4

1


C. I   tan  x    C.
2
4

Câu 45. Biết I 

 f  x  dx  cot x  tan x  C.

D.

B. I 

 cos x  sinx 
sinx
dx

A

B

dx . Kết quả của A, B lần lượt là

 cos x  sinx 
 cos x  sinx 

A. A  B 

1
.
2

1
2

B. A  B   .

1
2

C. A   , B 

1
.
2

D. A 

1
1
,B   .
2
2

Câu 46. Một nguyên hàm của hàm số: f ( x)  x sin 1  x 2 là:
A. F ( x)   1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2
C. F ( x)  1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2
Câu 47. Xét các mệnh đề

B. F ( x)   1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2
D. F ( x)  1  x 2 cos 1  x 2  sin 1  x 2

x
x
sin - cos
2
2
4
3
x
6 x là một nguyên hàm của f ( x) x 3
(II) F ( x)
4
x
(III) F ( x) tan x là một nguyên hàm của f ( x) - ln cos x

(I) F ( x)

x

Mệnh đề nào sai ?
A. (I) và (II)
C. Chỉ (II)

Câu 48. Tìm nguyên hàm
f ( x)

ex

2

tan 3 x trên khoản

A. F ( x)
C. F ( x)

2

cos x là một nguyên hàm của f ( x)

1
e x 2 ( tan 2 x
2
1
e x 2 ( tan 2 x
2

B. Chỉ (III)
D. Chỉ (I) và (III)
F ( x)

e x 2 (a tan 2 x

b tan x

c) là một nguyên hàm của

;
2 2
2
tan x
2
2
tan x
2

2
)
2
1
)
2

B. F ( x)
D. F ( x)

1
e x 2 ( tan 2 x
2
1
e x 2 ( tan 2 x
2

2

tan x
2
2
tan x
2

1
)
2
2
)
2

83


3A. Nguyên hàm
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  tan 2 x là :
A. tan x  x  C
B. tan x  x  C
C.  tan x  x  C
D.  tan x  x  C
Câu 50. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)  xcos(x 2 ) là :
1
1
A. s inx  C
B.  s inx  C
2
2
1

1
C.  s in(x 2 )  C
D. s in(x 2 )  C
2
2
Câu 51. Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f(x)=

 x sin

1 2
1
x  x sin 2 x  cos 2 x  C
2
2
1
1

C. F  x   x 2   x   cos 2 x C
4
2


A.

xdx

1 2
1
x  x sin 2 x  cos 2 x  C
4

2
1
1
D. F ( x)  x 2  x sin 2 x  cos 2 x  C
4
2

A. F ( x) 

Câu 52. Cho a

2

B. F ( x) 

0 , C là hằng số, kết quả nào sau đây sai :
1

 sin  ax  b dx   a cos  ax  b   C

1
B.  cos  ax  b dx   sin  ax  b   C
a

1
 1
C.   ax  b  dx 
 ax  b   C
   1
1

D.  e ax  b dx  e ax  b  C
a

Câu 53. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x )
A. F (x )
C. F (x )

cos 2x

sin 2x

sin x

cos 2x




B. F (x )

sin x

Câu 54. Kết quả của I   x 2 

cos x là

D. F(x)

1
cos 2x sin x

2
sin2 x sin x

1

 sin 2 x dx là :
x


x3
1
 ln | x |  cos 2 x  C
A.
3
2
3
x
1
 ln | x |  cos 2 x  C
C.
3
2

x3
1
 ln | x |  cos 2 x  C
B.
3
2
3

x
1
 ln | x |  cos 2 x
D.
3
2

 Hàm mũ – lôgarit
Câu 55. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai:
x
x
A. y  e  F ( x )  e  C
x
x
C. y  e  F ( x )  e  C

1
 F ( x )  e  x  C
x
e
1
x
D. y   x  F ( x )  e  C
e
B. y 

84


3A. Nguyên hàm

Câu 56. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.ex

 f ( x)dx = x.ex – ex + C
C.  f ( x)dx = x.ex – ex

 f ( x)dx = xex + ex + C
D.  f ( x)dx = ex - x.ex + C

A.

B.

Câu 57. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  2 xe x .
2

 f ( x)dx 2e  C
C.  f ( x)dx e  C

 f ( x)dx 2x e
D.  f ( x)dx 2 xe

x2

A.

x2

x2

Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

 f  x  dx  x  ln  e  1  C
C.  f  x  dx   x  ln  e  1  C

1
.
e 1

 f  x  dx   x  ln  e  1  C
D.  f  x  dx  x  ln  e  1  C

x

x

x

Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

 f  x  dx  2e

C

B.

x

A.

C

x

x

A.

2 x2

B.

e

x

x

.

C

B.

 f  x  dx  e

2 x

C

e x

D.  f  x  dx  e x  C
C

2
Câu 60. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng ?
xdx
1
(I)
ln( x 2 4) C
2
x 4 2
1
C
(II) cot xdx - 2
sin x
1
(III) e 2cos x sin xdx - e 2cos x C
2
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (III)
C. Chỉ (I) và (II)
D. Chỉ (I) và (III)
f  x  dx 

C.

Câu 61. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 
A.

ln 2  ln 2 x 

C. 

2

x ln x

là :

C

ln 2  ln 2 x 
2

ln  ln x 

C

B.

ln 2  ln x 
2



ln 2 ln 2 x
D.

2

C

 C

Câu 62. Cho hàm số f ( x)   xe x . Định a, b để F ( x)  (ax  b)e x là một nguyên hàm của f(x)
A. a  1, b  1
B. a  1, b  2
C. a  2, b  1
D. a  1, b  1
Câu 63. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f ( x)  xe x

2

1

thỏa F  0  

e x 1
A.
e
2
2

e x 1
B.
e
2

e x 1
C.

e
4

e x 1
D.
e
4

2

3e
là:
2

2

2

85


3A. Nguyên hàm
Câu 64. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x )
A.

f (x )dx

2xe x

2e x

C.

f (x )dx

2xe x

2e x

1 4x
e
4
1 4x
e
4

ex (2x

e 3x )

C

B.

f (x )dx

2xe x

2e x

C

D.

f (x )dx

2xe x

2e x

1 4x
e
4
1 4x
e
4

C
C

Câu 65. Cho a  0 và a  1 . C là hằng số. Phát biểu nào sau đây đúng ?

a2x
C
B.  a dx 
2ln a
D.  a 2 x dx  a 2 x .ln a  C

 a dx  a .ln a  C
C.  a dx  a  C

A.

x

2x

x

2x

2x

 Bài tập tổng hợp
Câu 66. Không tồn tại nguyên hàm:
A.
C.

x2

x
x

1
1

dx

x2

B.

sin 3xdx

D.

2x

2dx

e 3x xdx

Câu 67. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Giả sử G(x) cũng là một
nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Khi đó:
A. F(x)= G(x) trên khoảng (a;b).
B. G(x) = F(x) – M trên khoảng (a;b) với M là một hằng số nào đó.
C. F(x) = G(x) + C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định.
D. F(x)và G(x)là hai hàm số không có sự liên quan.
Câu 68. Không tồn tại nguyên hàm của hàm số nào dưới đây

x2  x  2
A. f  x  
x3
C. f  x   sin3x

B. f  x    x 2  2 x  2
D. f  x   xe3x

Tài Liệu Chia Sẻ Cộng Đồng
1A
11B

21C
31B
41A
51B
61B

2A
12C
22A
32C
42C
52B
62D

3D
13D
23B
33A
43C
53B
63B

4C
14A
24A
34B
44B
54A
64D

5A
15B
25D
35D
45D
55D
65B

6C
16A
26D
36D
46B
56A
66B

7A
17C
27B
37A
47B
57C
67B

8A
18C
28A
38A
48B
58D

68B

9D
19C
29C
39A
49A
59A

10B
20C
30C
40B
50D
60D

86