Ôn tập Chương III. Nguyên hàm. Tích phân và ứng dụng

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỂ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

ĐĂNG KÍ NHẬN TÀI LIỆU MIỄN PHÍ TỪ HẢI:
/>HOẶC :
(Phần đăng kí ở góc phải màn hình nhé!)
I. Nhậnbiết
Câu 1: Tính ∫ sin xdx ta được kết quả là:
A. - cosx + C .
B. cosx .
1
Câu 2: Tính ∫ 2 dx được kết quả là:
sin x
−
cot
x
+
C
A.
.
B. cot x + C .
Câu 3: F ( x )

b
a

C. cosx + C .

D. - sinx + C .

C. - cosx + C .

D. - sinx + C .

bằng:

A. F (b) − F ( a) .

B. F (a ) − F (b) .

C. F ( x) − F (b) .

Câu 4: Nếu một nguyên hàm của hàm số y = f(x) là F(x) thì
1
A. F ( ax + b ) + C .
a

∫

D. F (a).F (b) .
f ( ax + b ) dx bằng

1
B. F ( ax + b ) .
a
1
C. F ( ax + b ) + C .
D. − F ( ax + b ) + C .
a
Câu 5: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[ a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b thì diện tích S được xác định bởi công thức:

b

A. S = ∫ f ( x) dx .
a

a

b

B. S = ∫ f ( x) dx .

C. S = ∫ f ( x)dx .

b

a

b

D. S = π ∫ f ( x) dx .
a

Câu 6: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[ a; b] , Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox ta được khối tròn xoay. Thể tích
V của khối tròn xoay là
b

b

A. V = π ∫ [ f ( x )] dx .

B. V = ∫ [ f ( x) ] dx .

2

a

2

a

b

b

C. V = π ∫ [ f ( x )] dx .

D. V = −π ∫ [ f ( x)] dx .

a

2

a

Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số y = cos x là:
A. sin x + C .
B. −cosx + C .
C. cosx + C .
x

Câu 8:Một nguyên hàm của hàm số f ( x) = e là:
A. e x + 3 .
B. xe x .
C. − e x .

D. -sinx + C .
D. e − x .
b

'
Câu 9:Nếucáchàmsố u ( x) và v( x) có đạo hàm liên tục trên [ a; b] thì: ∫ u ( x ).v ( x )dx được xác định
a

bởi công thức:
b

b

A. ∫ u ( x ).v ( x)dx = u ( x ).v( x) a − ∫ v ( x).u ( x)dx .
'

a
b

b

'

a
b

B. ∫ u ( x ).v ( x)dx = u ( x ).v( x) a + ∫ v ( x ).u ( x )dx .
'

a

b

'

a

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017
b

b

b

a
b

a

a

'

'
C. ∫ u ( x ).v ( x )dx = ∫ u ( x ).∫ v ( x )dx .
b

D. ∫ u ( x).v ( x)dx = u ( x).v ( x ) a − ∫ v ( x ).dx .
b

'

a

a

b

Câu 10: ∫ kf ( x ) dx bằng:
a

b

a

A. k ∫ f ( x ) dx .B. ∫ kf ( x ) dx .
a

b

a

b

C. −k ∫ f ( x ) dx .

D. −k ∫ f ( x ) dx

b

a

b

Câu 11: ∫ f ( x ) dx , (aa

c

b

A. ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
a

b

a

c

b

a

c

b

c

c

a

b

b

a

a

a

a

b

b

B. ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx .

c

c

c

C. ∫ f ( x ) dx.∫ f ( x ) dx .

D. ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx .

b

Câu 12: ∫ [f ( x ) ± g ( x ) ]dx bằng:
a

b

b

a

a

b

b

a

a

A. ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx .

B. ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx .

C. ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .

D. ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx .

Câu 13:Hàmsố F ( x) = e làmột nguyên hàmcủahàmsốnào?
A. f ( x) = e x
B. f ( x ) = xe x
C. f ( x ) = e x + e
x

D. f ( x) = e x ln a

Câu 14: ∫ cosxdx bằng:
A. sin x + C .
C. − sin x + C .
D. sin x .
B. cos 2 x + C .
Câu 15:Diệntíchcủahìnhphẳnggiớihạnbởiđồthịhaihàmsố y = f ( x ) , y = g ( x) vàhaiđườngthẳng
x = a, x = b vàtrục 0x là:
b

b

A. ∫ ( f ( x) + g ( x) ) dx .

B. ∫ f ( x ) − g ( x ) dx .

a

a

b

C. ∫

b

f ( x ) + g ( x ) dx .

D.

a

∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx .
a

II. Thônghiểu
cos x
Câu 1:Nguyênhàmcủahàmsố y = −e
sin x là:
A. y = ecos x .
B. y = −esin x .
Câu 2: Tìmkhẳngđịnhđúng:
A.

1

∫ cos
∫

2

x

C. e dx =
x

C. y = esin x .

D. y = −ecos x .

1

1

∫ x dx = − x

dx = − cot x + C .

B.

1
+C.
e− x

D. a dx = a ln a + C .

∫

x

2

+C.

x

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017

∫

3

Câu 3: Tính x dx ta đượckếtquả là

x4
A.
+C.
4

x4
.
C. 3x 2 + C .

D. x 4 + C .
4
π

Câu 4: Tính ∫ sin  2 x + ÷dx ta đượckếtquả là
2

1
π
1
π


A. − cos  2 x + ÷+ C .
B. cos  2 x + ÷+ C .
2
2
2
2


π
π


C. 2cos  2 x + ÷+ C .
D. − cos  2 x + ÷ + C .
2
2



e2 −1

Câu 5:

∫

e −1

B.

1
dx bằng:
x +1
2
B. 3 ( e − e ) .

A. 1 .

x4
Câu 6: Tính
4

C.

1 1
− .
e2 e

D. 2 .

4

ta đượckếtquả là:
2

A. 60.
Câu 7:

B. 64.

C. 16.

Cho f ( x ) liêntụctrênđoạn [0 ; 10] thỏamãn:

D. 2.

10

6

10

0

0

6

∫ f ( x ) d x=7 , ∫ f ( x ) d x=3 .Tính ∫ f ( x ) d x ta

đượckếtquả:
A. 1.
B. 4 .
C. 2.
Câu 8:
Gọi S là diệntíchcủahìnhphẳnggiớihạnbởicácđường
(Hìnhvẽ)

D. 3.

y = x3 , y = 2 − x 2 , x = 0, x = 1
S đượctínhbằngcôngthức
1

A.

2

∫x

3

∫x

3

− 2 − x dx .
2

B.

0
1

C.

∫x

3

− 2 − x 2 dx .

0
2

− 2 + x 2 dx .

0

D.

∫x

3

− 2 + x 2 dx .

0

Câu 9:Nguyênhàmcủahàmsố f ( x ) = 1 − x + x 2 là:
x 2 x3
A. x − + + C .
2 3
C. −1 + 2x + C .

x 2 x3
B. − + + C .
2 3
D. x − x 2 + x 3 + C .

Câu 10:Hàmsố F ( x) = e x + tan x + C lànguyênhàmcủahàmsố f ( x) nào?
1
1
x
x
A. f ( x) = e − 2 .
B. f ( x ) = e + 2 .
sin x
sin x

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017
e− x 
x
f
(
x

)
=
e
1
+
C.

2 ÷.
 cos x 

e− x 
x
f
(
x
)
=
e
1
−
D.

2 ÷.
 cos x 

Câu 11:Nguyênhàmcủahàmsố f ( x ) = 3 x là:
3 2
3x 3 x
A. F ( x ) = 3 x + C .
B. F ( x ) =

+C .
4
4
4x
4x
C. F ( x ) = 3 + C .
D. F ( x ) = 3 2 + C .
3 x
3 x
dx
Câu 12: ∫
bằng:
2 − 3x
1
3
+C .
+C .
A.
B. −
2
( 2 − 3x )
( 2 − 3x ) 2
1
1
C. ln 2 − 3 x + C .
D. − ln 3 x − 2 + C .
3
3
3−5x
Câu 13 : ∫ e dx bằng

1 3−5 x
+C .
A. e
B. e3−5x + C .
5
1 3+ 5 x
1 3 −5 x
+C .
+C .
C. − e
D. − e
5
5
0
1
dx bằng:
Câu 14: ∫
x−2
−1
4
2
A. ln .
B. ln .
3
3
5
3
C. ln .
D. 2 ln .
7

7
Câu 15: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 − x 2
S được tính bằng công thức
1

A.

2

∫x

3

∫x

3

− 2 − x dx .
2

B.

0
1

C.

∫x

3

− 2 − x 2 dx .

0
2

− 2 + x 2 dx .

0

D.

∫x

3

− 2 + x 2 dx .

0

Câu 16: ∫ ( x + x)dx bằng:
1 4 1 2
A. x + x + C .
4
2
3

C. x 4 + x 2 + C .

1 3 1

B. x + x + C .
4
2
1 2
D. x + x + C .
2

III. Vận dụng thấp
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:
1
3

A. cos3 x + C .

B. − cos3 x + C .

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017
1
3

1
3

C. - cos3 x + C .

D. sin3 x + C .

Câu 2. Một nguyên hàm của hàm số: f (x) = x 1 + x 2 là:

)

(

1 2
x 1 + x2 .
2
3
x2
1 + x2
C. F (x) =
3

A. F (x) =

(

(

)

3
1
1 + x2
3
1
D. F (x) = x 2 1 + x 2
3

B. F (x) =

)

(

)

3

.

x
Câu 3. Nguyên hàm ∫ 2 x.e dx =

A.
C.

2 xe x − 2e x + C

B.

2 xe x − 2e x

D.

Câu 4. Tính ∫ ( 1 + tan x ) .
4

(1 + tanx)5
+C .
5
(1 + tanx)5
+C
C.
5

2 xe x + 2e x
2 xe x + 2e x + C

.

1
dx bằng:
cos 2 x
5
B. (1 + tanx) + C

A. -

(1 + tan x)4
+C .
D.
4

Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = 0, x = π và đồ thị hàm số
y = cos x, y = s inx .
A. 2 + 2 .
B. 2.

C. 2 .
D. 2 2 .
Câu 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 , trục Ox và đường thẳng x = 2.
8
16
A. 8.
B. .
C. 16.
D. .
3
3
Câu 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y = x 2 − 2 x và y = −x 2 + x .
A. 8.

9
B. .
8

C. 9.

9
D. − .
8
1

x

Câu 8: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 .e 2 ,
x=1, x=2, y=0 quanh trụcOx là:
A. π (e 2 + e) .

B. π (e 2 − e) .
C. π e 2
D. π e
2

2
Câu 9: Giátrịcủatích phân I = ∫ ( x − 1) ln xdx là:

2 ln 2 + 6
A.
9
2 ln 2 − 6
C.
9

1

6 ln 2 + 2
9
6 ln 2 − 2
D.
9

B.

e

Câu 10: Giátrịcủatích phân I = ∫
1

e −1
.
2

x 2 + 2 ln x
dx là:
x

2

A.

C. e 2 + 1 .
IV. Vậndụngcao

B.
D.

e2 + 1
.
2
e2 .

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017

Câu 1.Tínhtíchphân I =


π
sin  x + ÷
4

dx :
2sin x cos x − 3

π
2

∫

π
4

1
1
A. − arctan
2
2

1
1
B. arctan
2
2

2
1

arctan
2
2

C. −

2
1
arctan
2
2

D. −

Câu 2.Tínhtíchphân I =

π
4

x2

∫ ( x sin x + cos x)2 dx

.

0

B. 4 − π
4+π

A. 4 + π
4 −π

C. 3π + 4
4+π

D. 3π − 4
4+π

Câu 3. Cho hàmsốf(x) liên tục trên R và f ( x ) + f (− x ) = 2 + 2 cos2 x ,với mọi x ∈ R.
3π
2

I=

Tính:

∫

f ( x )dx .

−3π
2

A. 3

C. 5

B. 4

a

Câu 4. Cho hàm số f ( x) =

( x + 1)

3

D. 6

+ bx.e x Tìm a và b biết rằng f ' ( 0 ) = −22 và

1

∫ f ( x)dx = 5
0

A. a = 8, b = 2 B. a = −8, b = 2
1
0 (1 +

1
3

2

B.

Câu 6. Tính tích phân I =

2
π
4

∫

−

A. 2 π + 2
4
2

3

x 3 ). 1 + x 3

1
3

π
4

sin x
2

1+ x + x

B. 0

Câu 7.Tính tích phân I =

D. a = −8, b = − 2

dx

Câu 5.Tính tích phân I = ∫

A. −

C. a = 8, b = − 2

π
6

∫

−

π
6

C. 3 2

D. − 3 2

C. 2 π − 2
4

D. 2 π − 2
4

2

dx

sin 4 xdx
2− x + 1

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017
B. = 4π − 7 3
32

A. = 4π − 7 3
64

Câu 8. Tính nguyên hàm sau I = ∫

1
A. arctan  x + ÷+ C
x


1 
C. arctan  x 2 − ÷+ C
x2 

5

Câu 9.Tínhtích phân I = ∫
2

x2 + 1
x4 − x2 + 1

e x ( x − 1) + x − 1

D. = 4π + 7 3
32

dx

e x ( 3x − 2 ) + x − 1

2e 5 + 1
A. 3 + 2 ln 2
e +1

C. 3 + 2 ln

C. = 2π − 7 3
64


1 
B. arctan  x 2 + ÷+ C
x2 



1
D. arctan  x − ÷+ C
x

dx

2e 5 + 1
B. 3 + ln 2
e +1

e5 + 1
2e 2 + 1

D. 3 − 2 ln

2e 5 + 1
e2 + 1

Câu 10. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f ( x ) + f (− x ) = cos4 x với mọi x ∈ R.
Tính:

I=

π
2

f ( x )dx .

∫

−π
2

A. I = 5π
4

B. I = 5π
16

C. 3π
4

D. 3π
16

HƯỚNG DẪN GIẢI CHỦ ĐỂ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I. Nhận biết
II. Thông hiểu
III. Phần vận dụng thấp
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:
Đặt cosx = t ⇒ sinx.dx = - dt
1
3

1
3

I= I = ∫ cos2 x.sinx.dx = − ∫ t 2dt = − t 3 + C = − cos 3 x + C
1
3

Chọn : C. - cos3 x + C
Câu 2. Một nguyên hàm của hàm số: f (x) = x 1 + x 2 là:
Đặt 1 + x 2 = t ⇒ xdx = tdt
I = ∫ x 1 + x 2 = ∫ t 2dt =

Chọn: B. F (x) =

1
3

(

1
(1 + x 2 )3 + C
3

1 + x2

)

3

x
Câu 3. Nguyên hàm ∫ 2 x.e dx =

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017

u = 2 x


u = 2dx


Đặt dv = e x dx ⇒ v = e x

x
x
x
x
I = 2 x.e − ∫ 2e dx = 2 x.e − 2e + c

Chọn: A.

2 xe x − 2e x + C

Câu 4. Tính

∫ ( 1 + tan x )

1 + tanx = t ⇒

Đặt

∫ ( 1 + tan x )
Chọn: C .

4

.

4

.

1
dx bằng :
cos 2 x

1
dx = dt
cos2 x

1
1
dx = ∫ t 4 dt = tan 5 x + C
2
cos x
5

(1 + tanx)5
+C
5

.

Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = 0, x = π và đồ thị hàm số
y = cos x, y = s inx .

π
π
π

S = ∫ s inx − cos x dx = 2 ∫ sin  x − ÷dx
0
0
4

π
 34π
π
π 


= 2  ∫ sin  x − ÷dx − ∫3π sin  x − ÷dx ÷ = 2 2
0
4
4 


4

Chọn: D. 2 2 .
2
Câu 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x , trục Ox và đường thẳng x = 2.
2

x3
8

S = ∫ x dx =
=
0
3 0 3
8
Chọn B.
3
Câu 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y = x 2 − 2 x và y = −x 2 + x .
2

2

x = 0
Xét phương trình x − 2 x = − x + x ⇔ 
x = 3

2
3
3
9
S = ∫ 2 2 x 2 − 3x dx = ∫ 2 (3x − 2 x 2 )dx =
0
0
8
9
Chọn B.
8
2

2

1

x

Câu 8: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 2 .e 2 ,
x=1, x=2, y=0 quanh trục Ox là:
2

2
2
 1 x
V = π ∫  x 2 .e 2 ÷ dx = π ∫ ( x.e x ) dx = π ( x.e x − e x ) = e 2
1
1
1


Chọn : C. π e 2
2

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017
2

2
Câu 9: Giá trị của tích phân I = ∫ ( x − 1) ln xdx là:
1

1

 du = x dx
u = ln x
⇒

2
3
 dv = ( x − 1) dx v = x − x
Đặt

3
2

2
2 x
 x3


6 ln 2 + 2
I =  − x ÷ln x − ∫  − 1÷dx =
1
9
 3

 3

1
6 ln 2 + 2

Chọn: B.
9
e 2
x + 2 ln x
dx là:
Câu 10: Giá trị của tích phân I = ∫
x
1
e

e
 x2
x 2 + 2 ln x
2 ln x 
e2 + 1

2 
I =∫
dx = ∫  x +
dx
=
+
ln
x
=

÷
÷
x
x 

2
 2
1
1
1
e

e2 + 1
Chọn: B.
2
IV. Phần vận dụng cao
Câu 1. Tính tích phân I =

π
2

∫

π
4


π
sin  x + ÷
4

dx
2sin x cos x − 3

Giải:

• Ta có: I = −

1

π
2

∫
2

π
4

sin x + cos x

( sin x − cos x )

Đặt t = 2 tan u ⇒ I = − 1
2

Câu 2. I =

π
4

x2

∫ ( x sin x + cos x )2 dx

2

arctan

∫

0

+2

dx . Đặt t = sin x − cos x ⇒ I = −

1

1

1

dt
∫
2 t2 + 2
0

1
2

2(1 + tan2 u)

1
1
du = − arctan

2
2
2 tan u + 2
2

.

0

Giải:
• I=

π
4

∫

0


x
u = cos x
x
x cos x
⇒
x cos x
.
dx . Đặt 
dx
dv =

cos x ( x sin x + cos x )2
( x sin x + cos x )2



cos x + x sin x
dx
du =
2
cos
x

−1
v =
x sin x + cos x


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017

⇒ I =−

π
4

x
+
cos x( x sin x + cos x ) 0

π
4

dx

∫ cos2 x
0

4 −π
dx = 4 + π .

Câu 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f ( x ) + f (− x ) = 2 + 2 cos 2 x , với mọi x ∈ R.
I=

Tính:

3π
2

f ( x )dx .

∫

−3π
2

Giải:
• Ta có : I =

+ Tính :

I1 =

3π
2

f ( x )dx =

∫

3π
−
2
0

∫

0

∫

3π
−
2

f ( x )dx

3π
−

2

3π
2

∫

0

= 2  ∫ cos xdx −
0


3π
2

∫

π
2

f ( x )dx

(1)

0

 f (− x ) + f ( x ) dx =






cos xdx  = 2 sin x





Câu 4. Cho hàm số f ( x) =

∫

. Đặt x = −t ⇒ dx = −dt ⇒ I =
1

Thay vào (1) ta được: I =
π
2

f ( x )dx +

3π
2

a

( x + 1)

3

Tìm a và b biết rằng f ' ( 0 ) = −22 và

π
2

− sin x

0

3π
2

3π
2

π
2

∫

0

3π
2

∫

f (−t )dt =

0

3π
2

∫

f (− x )dx

0

2 ( 1 + cos 2 x ) = 2

3π
2

∫

cos x dx

0



=6



+ bx.e x
1

∫ f ( x)dx = 5
0

GIẢI
Ta có:

f ( x) = −

3a

( x + 1)

3

+ bxe x

 −3a 
f
(
x
)
=
+ be x ( x + 1) ⇒ f '(0) = −3a + b = −22

*
4
 ( x + 1) 
1

1

1

0

0

0

(1)

−3
x
* ∫ f ( x ) dx = ∫ a ( x + 1) dx + b ∫ xe dx =

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017
 − a  1 3a
=
=
+b = 5
2
 2 ( x + 1)  0 8
Từ (1) và (2) suy ra a = 8; b = 2
1

(2)

dx

Câu 5. Tính tích phân I = ∫

0 (1 +
3

2

3

t2

∫

• Đặt t = 3 1 + x 3 ⇒ I =

3

x 3 ). 1 + x 3

2
1 4 3
t .(t − 1) 3

dt =

2

∫

1

dt
2

t .(t

3

2
− 1) 3
−

3

=

2

∫

1

3

dt
2
 3

1
t

⇒ du =

3

Câu 6. Tính tích phân I =

• I=

−

π
4

⇒ I=
∫

4

sin x
2

1+ x + x

π
4

π
4

∫

−

+ Tính I1 =

π
4

∫

−

2
−
u 3

0

∫

1 + x 2 sin xdx −

∫

1
2

π
4
−

π
4


1 3
t 4 1 − 3 ÷
 t 

3dt
t

dt
2

1

 
1
t 2 . t3  1 − 3 ÷
  t 

Đặt u = 1 −

2

∫

=

π
4

2


1 3
3
2 1 − 3 ÷
= ∫  t  dt
t4
1

3

du =

1
2 −2
u 3 du

1
3 0∫

 1
1  u3

1
2


1
÷
3
=  ÷ =u
3 1 ÷
 ÷
 3 0

1
2
0

=

1
3

2

dx

x sin xdx = I1 − I 2

1 + x 2 sin xdx . Sử dụng cách tính tích phân của hàm số lẻ, ta tính được

π
4

I1 = 0 .

+ Tính I 2 =

π
4

∫

−

π
4

x sin xdx . Dùng pp tích phân từng phần, ta tính được: I = − 2 π + 2
2
4

Suy ra: I =

Câu 7. I =

π
6

∫

π
−
6

2
π − 2.
4

sin 4 xdx
2− x + 1

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017
π
6

∫

• Ta có: I =

+ Tính

⇒I =

I1 =
π
6

sin xdx

∫

x

2 +1

+

π
6

∫

∫

4

2 sin xdx
x

2 +1

x +1

t2 + 1

Câu 9. I = ∫
2

2

x − x +1

dt

5

2

0

80

⇒ I =∫

5

= ∫ sin 4 xdx =

∫ (3 − 4 cos2 x + cos 4 x )dx =

4

x4 − x2 + 1

1+
=

x2 +

e x ( 3x − 2 ) + x − 1
e x ( x − 1) + x − 1

e x ( 3x − 2 ) + x − 1

= I1 + I 2

0
0
2−t sin 4 (−t )
sin 4 t
sin 4 x
dt = ∫
dt = ∫
dx
t
x
2− t + 1
π 2 +1
π 2 +1
6

π
6

1
(1 − cos2 x )2 dx
4 0∫

dx

1
x2
1
x2

−1

. Đặt t = x −


1
1 
⇒ dt =  1 + ÷dx
x
x2 


du


1
I
=
du
=
u
+

C
=
arctan
x
−
⇒

÷+ C
∫
x
cos2 u


dx

5

dx = ∫
2

e x ( x − 1) + x − 1 + e x ( 2 x − 1)
e x ( x − 1) + x − 1

⇒ I = 3+

x

2 e5 +1

∫

e 2 +1

5

e x ( 2 x − 1)

5

5

2

x
x −1
2 e ( x − 1) +

dx = ∫ dx + ∫

5
e ( 2 x − 1)
e ( 2 x − 1)
= x +∫
dx = 3 + ∫
dx
x
2 2 x − 1(e x − 1 + 1)
x − 1(e x x − 1 + 1)
2
e x ( 2 x − 1)

x
dx
Đặt t = e x − 1 + 1 ⇒ dt =
2 x −1
5

6

4π − 7 3
64

x2 + 1

. Đặt t = tan u ⇒ dt =

e x ( x − 1) + x − 1

2x + 1

0

π
6

π
16

• Ta có:

∫

2 x sin 4 xdx

π
6

2

I =∫

2x + 1

+

0

Câu 8. Tính nguyên hàm sau I = ∫

•

2 sin xdx

π
6

⇒ I1 = − ∫
. Đặt x = −t

x

0

4

x

π
−
6

2x + 1

π
−
6

0

=

2x + 1

2 sin 4 xdx

4

0

=

2 sin xdx

π
−
6
0 x

∫

4

x

x

2e5 + 1
2
2e 5 + 1
dt ⇒ I = 3 + 2 ln t 2
= 3 + 2 ln 2
t
e +1
e +1

Câu 10. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f ( x ) + f (− x ) = cos4 x với mọi x ∈ R.
Tính:

I=

π

2

∫

f ( x )dx .

−π
2

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017

dx


tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017

• Đặt x = –t ⇒

⇒ 2

π
2

∫

π
2

Chú ý: cos4 x =

f ( x )dx =

∫

−π
2
π
2

f ( x )dx =

−π
2

−

∫

−

π
2

π
2

∫

f (−t )(−dt ) =

π
2

 f ( x ) + f (− x )  dx =

π
2

∫

π
−
2
π
2

∫

−π
2

f (−t )dt =

π
2

∫

f (− x )dx

π
−
2

cos 4 xdx ⇒ I =

3π
16

3 1
1
+ cos 2 x + cos 4 x .
8 2
8

tailieu87.blogspot.com – Website cập nhật các tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia 2017