Chuong III 1 phuong trinh duong thang

Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG
MẶT PHẲNG Oxy

Tóm tắt nội dung:
A.Lý thuyết
B.Các dạng bài tập và ví dụ minh họa
C.Bài tập tự luyện
D.Bài tập dành cho học sinh khá, giỏi

A. LÝ THUYẾT
 Vectơ chỉ phương (vtcp) và vectơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng
r
r r
 Vectơ u ≠ 0 được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng ( d ) nếu giá của u song
r
(d )
u
song hoặc trùng với ( d )
r
r
r
 Vectơ n ≠ 0 được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng ( d ) nếu giá của n vuông góc
r
(d )
với ( d )
n

 Mối quan hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương:

r r
rr

n ⊥ u ⇔ n.u = 0
r

Nếu đường thẳng ( d ) có vtpt n = ( a; b )
r
r
thì ( d ) có vtcp là u = ( −b; a ) hoặc u = ( b; − a )
 Các dạng phương trình của đường thẳng
Phương trình tham số (PTTS) của đường thẳng
 x = x0 + tu1
→
Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtcp u = (u1 ; u 2 ) là 
 y = y0 + tu 2

(u12 + u 22 ≠ 0)

Chú ý
Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Khi cho t một giá trị cụ thể ta sẽ tìm được một điểm thuộc đường thẳng (d)
u2
r

( u1 ≠ 0 )
 Nếu ( d ) có vtcp u = ( u1 ; u2 ) thì (d) có hệ số góc là k =
u1

→

 Nếu đường thẳng (d) có hệ số góc là k thì (d) có vtcp là u = (1; k )
 Phương trình đường thẳng (d) đi qua M0(x0 ; y0) và có hệ số góc k là:
y – y0 = k ( x – x0 ) .
Phương trình chính tắc (PTCT) của đường thẳng:
x − x0 y − y0
 x = x0 + tu1
=
(u12 + u 22 ≠ 0) ⇔
Từ PTTS 
u
u2
y
=
y
+
tu
1
0
2


, u1 ≠ 0 và u2 ≠ 0

Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng.

Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtpt n = ( a ; b) là: a ( x – x0 ) + b ( y – y0 ) = 0
→

Chú ý:

r
→
 Phương trình ax + by + c = 0 (d) có vtpt là: n = (a ; b) và vtcp là: a = ( b; -a )
 Muốn tìm một điểm thuộc ( d ) thì chỉ cần cho x một giá trị cụ thể và thế vào pt của ( d )
sẽ tìm được y và ngược lại (cho y tìm x)
 Đường thẳng (d) cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b)
x y
Và có phương trình theo đoạn chắn là: + = 1 (a , b ≠ 0)
a b
 Cho (d) : ax + by + c = 0
Nếu ( ∆ ) song song với (d) thì phương trình ( ∆ ) là ax + by + m = 0 (m khác c)
Nếu ( ∆ ) ⊥ ( d) thì phươnh trình ( ∆ ) là : bx - ay + m = 0

 Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
∆ 1 : a1 x + b1 y + c1 = 0
Cho hai đường thẳng
∆ 2 : a 2 x + b2 y + c 2 = 0
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình
a1 x + b1 y + c1 = 0

a2 x + b2 y + c2 = 0

(I)

 Nếu (I) có một nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm

 Nếu (I) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau
 Nếu (I) vô số nghiệm thì hai đường thẳng nằm trên nhau (trùng nhau)
 Chú ý
Với a2 , b2 , c2 ≠ 0 ta có
Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 ∆1 ∩ ∆ 2 ⇔


a1 b1
≠
a2 b2

∆1 / / ∆ 2 ⇔

 ∆1 ≡ ∆ 2 ⇔

a1 b1 c1
= ≠
a2 b2 c2

a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2

 Góc giữa hai đường thẳng.
Góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 :
→

→

cos(∆1 , ∆ 2 ) = cos(n1 , n2 ) =

→

→

→

→

| n1 . n2 |

=

| n1 || n2 |

| a1a2 + b1b2 |
a12 + a22 . b12 + b22

 Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ một điểm M0(x0 ; y0) đến ∆ : ax + by + c = 0 là: d(M0, ∆ ) =

| ax 0 + by 0 + c |
a2 + b2

 Điểm thuộc đường thẳng
M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ ∆ : ax + by + c = 0 ⇔ ax0 + by0 + c = 0

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP
 Dạng toán 1: Viết phương trình đương thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương.
r
Đường thẳng (d) đi qua một điểm M ( x0 ; y0 ) và có vectơ chỉ phương u = (a; b) có dạng :
 x = x0 + at
(t ∈ R )
 Tham số: d : 
 y = y0 + bt
 Chính tắc:

x − x 0 y − y0
=
a
b

( Nếu a.b ≠ 0)

 Tổng quát: b( x − x0 ) − a ( y − y0 ) = 0 hoặc −b( x − x0 ) + a ( y − y0 ) = 0
r

r
r
 Chú ý: Nếu (d) có vtcp u = (a; b) thì d có vtpt n = (b; −a ) hoặc n = (−b; a )

r
 ví dụ: Viết phương trình của đường thẳng ( ∆ ) biết nó đi qua M ( 1; −2 ) và có vtcp u = ( 2; −1)
Hướng dẫn
r
Đường thẳng ( ∆ ) đi qua điểm M(1;-3) và có vtcp u = ( 2; −1) có:
 x = 1 + 2t
(t ∈ R )
 Phương trình tham số của ( ∆ ) 
 y = −3 − t
x −1 y + 3
=
 Phương trình chính tắc của ( ∆ ) là:
2
−1
 Phương trình tổng quát của ( ∆ ) là: 1.( x − 1) + 2( y + 3) = 0 ⇔ x + 2 y + 5 = 0
 Dạng toán 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến.
r
Đường thẳng (d) đi qua một điểm M ( x0 ; y0 ) và có vectơ pháp tuyến n = ( A; B ) có dạng :
 x = x0 + Bt
 x = x0 − Bt
 Tham số: d : 
hoặc 
 y = y0 − At (t ∈ R )
 y = y0 + At (t ∈ R)
 Chính tắc:

x − x 0 y − y0
=
B
−A

hoặc

x − x 0 y − y0
=
−B
A

(Nếu A.B ≠ 0)

 Tổng quát: A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 ⇔ Ax + By + C = 0
 Chú ý:

r
r
r
 Nếu d có vtpt n = ( A; B ) thì d có vtcp u = ( B; − A) hoặc u = (− B; A)
r
 Nếu d có vtpt n = ( A; B ) thì d có PTTQ có dạng: Ax + By + m = 0

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

r
 Ví dụ: Viết phương trình của đường thẳng ( ∆ ) biết nó đi qua N ( 3; 2 ) và có vtpt n = ( −3;7 )
Hướng dẫn
r
r
( ∆ ) có véc tơ pháp tuyến: n = ( −3;7 ) ⇒ ( ∆ ) có véc tơ chỉ phương là u = ( 7;3)
 qua N ( 3; 2 )
có phương trình tham số là:
r
vtcp u = ( 7;3)



( ∆ ) : 



( ∆ ) : 



( ∆ ) : 

 x = 3 + 7t

 y = 2 + 3t

 qua N ( 3; 2 )
x−3 y −2

=
có phương trình chính tắc của ( ∆ ) là:
r
−3
7
vtcp u = ( 7;3)
 qua
vtpt

N ( 3; 2 )
r
có phương trình tổng quát là: −3 x + 7 y − 5 = 0
n = ( −3;7 )

 Dạng toán 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc

y − y0 = k ( x − x 0 )

Đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k là:

 Chú ý: Nếu (d) có hệ số góc k thì (d) có dạng: y = k.x + m (k ≠ 0, m ∈ R, k ∈ R)
 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(-5; -8) và có hệ số góc bằng -3
Hướng dẫn
phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(-5; -8) và có hệ số góc bằng -3 có dạng là:

y + 8 = −3( x + 5) ⇔ y = −3 x − 23

Nhận xét: Ta có thể viết phương trình đường thẳng này dưới dạng PTTS hoặc PTTQ
r
Hướng dấn: Vì ( ∆ ) có hệ số góc k = −3 nên ( ∆ ) có vtcp là u = ( 1; −3) rồi viết PTTS hoặc PTTQ

 Dạng toán 4: Viết PTĐT (d) đi qua hai điểm phân biệt A( x1; y 1 ) và B( x2 ; y 2 )

uuu
r

 Tính toạ độ vecto AB

uuu
r

 Khi đó AB cũng chính là một vtcp của đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B

uuu
r

 Trở lại bài toán dạng: viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm (A hoặc B) và có vtcp ( AB )
 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm phân biệt M ( 4;1) , N ( 4; 2 )
Hướng dẫn

uuuu
r
 Vì ( ∆ ) qua điểm M ( 4;1) , N ( 4; 2 ) nên có vtcp là MN = ( 0;1)


 qua M ( 4;1)
uuuu
r
nên có phương trình tham số là:
vtcp
MN

= ( 0;1)


( ∆ ) : 

 x=4

 y = 1+ t

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

uuuu
r
uuuur
 Chú ý: ( ∆ ) qua M ( 4;1) ; N ( 4; 2 ) nên có vtcp là MN hoặc NM ; khi viết ptts thì ( ∆ ) đi qua
điểm M hoặc điểm N đều được.
 Dạng toán 5: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và song song với
một đường thẳng (d’) cho trước có dạng là: Ax + By + C = 0
Cách 1:

r

r

 Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt n = ( A; B ) (hoặc vtcp u = (− B; A) ) của đường thẳng (d)

r

 Viết PTTS của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương u

r

 Hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến n
Cách 2:
 Vì (d) // (d’) nên (d) có dạng: Ax + By + m = 0 (*)
 Vì M0(x0;y0)∈ (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m
 Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm

 Chú ý: Hai đường thẳng song song với nhau thì
 VTCP của đường thẳng này cũng chính là VTCP của đường thẳng kia.
 VTPT của đường thẳng này cũng chính là VTPT của đường thẳng kia.
 Ví dụ: Viết PTĐT ( ∆) đi qua một điểm Q (2;1) và song song với đường thẳng (d) :
2x + y − 5 = 0
Hướng dẫn
Cách 1:
r
 ( d ) có vtpt là n = ( 2;1)

r
r
song song với (d) nên ( ∆ ) có vtpt là: n = ( 2;1) ⇒ ( ∆ ) có vtcp là: u = ( 1; −2 )



( ∆)



( ∆ ) : 

 qua Q ( 2;1)
nên có ptts là:
r
vtcp u = ( 1; −2 )

 x = 2+t

 y = 1 − 2t

Cách 2:
 Vì (∆) // (d) nên (∆) có dạng: 2 x + y + m = 0 (*)
 Mặt khác Q (2;1) ∈ (∆) nên 2.2 + 1+m = 0 ⇔ m= -5
 Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: 2 x + y − 5 = 0
Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Dạng toán 6: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và vuông với một
đường thẳng ∆ cho trước có dạng là: Ax + By + C = 0
Cách 1:

r

r

 Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt n = ( A; B ) (hoặc vtcp u = (− B; A) ) của đường thẳng (d)

r

 Viết PTTS của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương u

r

 Hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến n
Cách 2:
 Vì d ⊥ ∆ nên phương trình (d) có dạng: Bx − Ay + m = 0 (hoặc − Bx + Ay + m = 0 ) (*)
 Vì M0(x0;y0)∈ (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m
 Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm

 Chú ý :
 Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì: vtcp (vtpt) của đường thẳng này
chính là vtpt (vtcp) của đường thẳng kia.
 Nếu d vuông với một đường thẳng : y = kx + m thì đường thẳng d có phương
1
trình dạng: y = − x + n (Vì hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc
k
bằng -1)


Ví dụ: Viết PTĐT( d) đi qua một điểm P (-1;1) vuông góc với đường thẳng (∆): 2 x − 3 y + 1 = 0
Hướng dẫn

Cách 1:
r
 ( ∆ ) có vtpt là n = ( 2; −3)

r
 (d) vuông góc với đường thẳng ( ∆ ) nên ( d ) có vtcp là: u = ( 2; −3)
 qua P ( −1;1)
 x = −1 + 2t
nên có PTTS là: 
r
vtcp u = ( 2; −3)
 y = 1 − 3t

( d ) : 

Cách 2:
 Vì (d) ⊥ (∆) nên (d) có dạng: 3 x + 2 y + m = 0 (*)
 Mặt khác P (-1;1) ∈ (d) nên 3.(-1) + 2.1+m = 0 ⇔ m= 1
 Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: 3 x + 2 y + 1 = 0
Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh


Dạng toán 7: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và tạo với đường
thẳng ∆ một góc α cho trước (Bài toán liên quan đến góc)
 Gọi phương trình đường thẳng (d) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng là:

y − y0 = k ( x − x0 ) ⇔ kx − y + y0 − kx0 = 0 ( 2 )
 Sau đó áp dụng công thứ tính góc giữa hai đường thẳng d và ∆ từ đó suy ra giá trị k cần tìm
 Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (d)



Ví dụ: Cho đường thẳng (∆) : 3x-2y+1=0. Viết PTĐT (d) đi qua điểm M (1;2) và tạo với (∆) một
góc 450
Hướng dẫn

 PTĐT (d) được viết dưới dạng: y – 2 = k ( x-1) ⇔ kx – y +2 – k = 0

| 3k + ( −1).( −2) |
k 2 + 1. 32 + (−2) 2

0

 Vì (d) hợp với (∆) một góc 450 nên: cos 45 =

⇔

2
2

| 3k + 2 |
13. k 2 + 1

=

9k 2 + 12k + 4
⇔ =
4
13.( k 2 + 1)
2

⇔ 5k 2 + 24k − 5 = 0
1

k=

⇔
5

 k = −5
 Vậy phương trình (d) là:

1
1
x − y + 2 − = 0 ⇔ x − 5y + 9 = 0
5
5

hay −5 x − y + 2 − (−5) = 0 ⇔ 5 x + y + 7 = 0

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)

/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh


Dạng toán 8: Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M0(x0;y0) và cách điểm ( N( x1; y1 )
một khoảng bằng a. (Bài toán liên quan đến khoảng cách)

 Gọi phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng là:

y − y0 = k ( x − x0 ) ⇔ kx − y + y0 − kx0 = 0 ( 2 )
 Áp dụng công thức: d(N,∆)=a. Từ đó suy ra giá trị k cần tìm
 Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (∆)



Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(2;7) và cách N(1;2) một khoảng bằng 1.
Hướng dẫn

 PTĐT (∆) đi qua điểm M(2; 7) và có hệ số góc k có dạng là:

y − 7 = k ( x − 2) ⇔ kx − y + 7 − 2k = 0
 Vì (∆) cách N(1;2) một khoảng bằng 1 nên:
Ta có: d(N, ∆) =1

⇔

| k .1 − 2 + 7 − 2.k |
| −k + 5 |
=1⇔
= 1 ⇔ ( − k + 5) 2 = ( k 2 + 1) 2
k2 +1

k2 +1

⇔ k 2 − 10k + 25 = k 2 + 1 ⇔ k =
 Vậy phương trình (∆) là:



12
5

12
12
x − y + 7 − 2. = 0 ⇔ 12 x − 5 y + 11 = 0
5
5

 x = 2 + 2t
; t ∈ R .Tìm điểm M ∈ d sao cho khoảng cách
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có ptts: 
y = 3+t
từ M đến điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.
Hướng dẫn

 x = 2 + 2t
 Điểm M ( x; y ) ∈ d 
nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình của d
y = 3+t
 Gọi M (2 + 2t;3 + t ) ∈ d .
uuur
 Ta có: AM = (2 + 2t; 2 + t ) .

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

uuuur
 Theo giả thiết: AM = 5 ⇔ (2 + 2t ) 2 + (2 + t ) 2 = 5 ⇔ (2 + 2t ) 2 + (2 + t ) 2 = 25
t = 1
⇔ 5t + 12t − 17 = 0 ⇔ 
.
t = −17
5

2

−24 −2
; ).
5 5
Dạng toán 9: Viết phương trình đường thẳng ( d1 ) đối xứng với đường thẳng ( d ) qua điểm I

 Vậy có 2 điểm M thỏa ycbt M1 (4; 4) và M 2 (


 Lấy một điểm A thuộc ( d ) ; gọi A’ là điểm đối xứng của A qua I (tức I là trung điểm của AA’)
 Viết pt của đường thẳng ( d1 ) đi qua điểm A’ và song song với ( d )
Ví dụ: Cho điểm I ( 1;1) và đường thẳng ( d ) : x − 2 y + 2 = 0 . Viết phương trình tổng quát của



đường thẳng ( d1 ) đối xứng với đường thẳng ( d ) qua điểm I.

d1

A’

Hướng dẫn
 Lấy điểm A ( 0;1) ∈ ( d ) ; gọi A′ là điểm đối xứng với A qua I suy ra A′ ( 2;1)
(với I là trung điểm của AA’)
 Vì ( d1 ) / / ( d ) nên phương trình ( d1 ) có dạng: x − 2 y + c = 0


( d1 ) đi qua

 I
d
A

A′ ( 2;1) nên: 2 − 2.1 + c = 0 ⇒ c = 0

 Vậy PTTQ của ( d1 ) là x − 2 y = 0


Dạng toán 10:Tìm hình chiếu của điểm A xuống đường thẳng ∆ (Tìm tọa độ điểm H ∈ ( ∆ ) sao
cho MH ngắn nhất); tìm điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆

Cách 1:
 Viết pt đường thẳng d đi qua A và vuông góc với ∆

 Gọi H là hình chiếu của A trên ∆. Khi đó H = ∆ ∩ d
 A′ là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của AA′
 x = x0 + u1t
Cách 2: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tham số: 
 y = y0 + u2t
uuur
 Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ thì H ∈ ( ∆ ) ⇒ H ( x0 + u1t ; y0 + u2t ) ⇒ tọa độ AH
uuur r
uuur r
 Do AH ⊥ ∆ nên AH ⊥ u∆ ⇔ AH .u∆ = 0 ⇒ t ⇒ tọa độ H
 A′ là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của AA′

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Cách 3: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tổng quát: ax + by + c = 0
 Gọi H ( xH ; yH ) là hình chiếu của điểm A trên ∆
 H ∈∆
H ∈ ∆ ⇒ axH + byH + c = 0 (1)
 Khi đó 
 AH ⊥ ∆
uuur
r
 AH ⊥ ∆ ⇔ AH = ( xH − xA ; yH − y A ) cùng phương với n = ( a; b )
 Do đó: b ( xH − xA ) − a ( yH − y A ) = 0 (2)Giải (1) và (2) ta được tọa độ điểm H
Ví dụ: Cho đường thẳng ( ∆ ) : x − 2 y + 4 = 0 và điểm A ( 4;1)

a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên ( ∆ )
b) Tìm điểm A′ là điểm đối xứng của A qua ( ∆ )
Hướng dẫn
a) Tọa độ hình chiếu của A trên ( ∆ )
 Gọi H là hình chiếu của A trên ( ∆ )
 Đường thẳng AH ⊥ ( ∆ ) ⇒ pt AH có dạng: 2 x + y + c = 0
 AH đi qua A nên: 2.4 + 1 + c = 0 ⇒ c = −9
 Vậy phương trình AH là 2 x + y − 9 = 0
14

x=

2 x + y − 9 = 0

 14 17 
5
⇔
⇒H ; ÷
 Tọa độ H là nghiệm hệ: 
5 5
x − 2 y + 4 = 0
 y = 17

5
b) Tọa độ điểm A′ đối xứng của A qua ( ∆ )
 A′ là điểm đối xứng của A qua ( ∆ ) ⇔ H là trung điểm của AA′

8
x A + x A′


x A′ =
 xH =


 8 29 
5
2
⇔
⇔
⇒ A′  ; ÷
5 5 
 y = y A + y A′
 y ′ = 29
H
A


5
2

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Dạng toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng ( d ) qua đường



thẳng ( ∆ )
Để giải các bài toán này, trước tiên ta nên xét chúng cắt nhau hay song song.
 Nếu (d)// ( ∆ )
 Lấy A∈ (d). Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua ( ∆ )
 Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và song song với (d)
 Nếu (d) cắt ( ∆ ) tại điểm I
 Lấy A∈ (d) (A≠I). Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua ( ∆ )
 Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và I.
Ví dụ: Cho hai đường thẳng (d1) : x + y − 1 = 0 và (d 2 ) : x − 3 y + 3 = 0 . Lập phương trình



đường thẳng ( d3 ) đối xứng với (d1) qua (d2).
Hướng dẫn



1 1
≠
. Vậy ( d1 ) cắt ( d 2 ) tại điểm I
1 −3
 x + y -1 = 0
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ 
=> I(0;1)
x − 3y + 3 = 0
Lấy A(1;0) ∈ (d1)
 1 12 
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (d2) nên A’  ; ÷ (tìm tọa độ A’ dựa vào dạng 10)
5 5 

Vậy phương trình của ( d3 ) là phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm I và A’

 Xét (d1) và (d2) , Ta có:





( d3 ) : 7 x − y + 1 = 0

 Dạng toán 12: Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng (d1) và (d2).
Với: (d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0 và (d2): A2 x + B2 y + C2 = 0

ur uu
r

 Tính tích vô hướng của 2 vecto n1 , n2 lần lượt là vtpt của (d1) , (d2)
 Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2):

Ax + By + C
A2 + B 2

=

A' x + B' y + C
A '2 + B '2

 Khi đó: tồn tại 2 đường phân giác vuông góc với nhau của góc tạo bởi (d1) và (d2):

(∆1 ):

Ax + By + C
A2 + B 2

=

A' x + B'y + C
A '2 + B '2

(∆2 ):

Ax + By + C
A2 + B 2

 A' x + B'y + C 
÷
= −

2
2 ÷
A' + B' 


Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Tùy theo yêu cầu bài toán ta phải biết cách phân biệt đường phân giác góc nhọn, góc tù, đường
phân giác trong, ngoài của tam giác để suy ra PTĐT mà ta cần tìm. Dựa vào bảng sau:

ur uu
r
n1.n2

Phương trình phân giác góc nhọn

Phương trình phân giác góc tù

−

(∆1)

(∆2 )

+

(∆2 )

(∆1)

Chú ý 1: Vị trí tương đối của hai điểm đối với đường thẳng:
Cho đường thẳng d : ax + by + c = 0 và 2 điểm A( x A ; y A ), B ( xB ; y B )
Đặt TA = ax A + by A + c, TB = axB + by B + c khi đó nếu:

 TA .TB = ( ax A + by A + c ) . ( axB + by B + c ) > 0 thì A, B cùng phía đối với đường thẳng d .

 TA .TB = ( ax A + by A + c ) . ( axB + by B + c ) < 0 thì A, B khác phía đối với đường thẳng d .

Chú ý 2:
 Nếu phương trình đường thẳng cho dưới dạng tham số, chính tắc thì ta trước hết phải đưa về
dạng tổng quát
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm tùy ý trên đường
thẳng này đến đường thẳng kia.
 Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x + 3 y − 6 = 0; d ′ : 3x + y + 2 = 0
a) Chứng minh d cắt d’
b) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’
Hướng dẫn
1 3
≠ nên d cắt d’
3 1
b) Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:
a) Vì:

 x + 3 y − 6 = 3x + y + 2
x − y + 4 = 0
x + 3y − 6
3x + y + 2
=±
⇔
⇔
10
10
 x + y −1 = 0
 x + 3 y − 6 = − ( 3x + y + 2 )

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly

Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví dụ 1: Cho 2 đường thẳng (d1):3x+4y - 1=0 và (d2): 4x+3y+5 = 0 . Viết phương trình đường
phân giác góc nhọn tạo bởi (d1) và (d2)
Hướng dẫn
r
 (d1) có vtpt là n1 = ( 3; 4 )
r
 (d2) có vtpt là n2 = ( 4;3)

ur uu
r

 Ta có: n1.n2 =3.4+4.3=24 >0
 Ta có phươngtrình :

3x + 4 y − 1
2

3 +4

2

=

4 x + 3y + 5
2

2

4 +3

⇔ 3 x + 4 y − 1 = 4 x + 3y + 5

ur uu
r
 Vì n1.n2 >0 nên phương trình đường phân giác góc nhọn cần tìm là:
3 x + 4 y − 1 = −( 4 x + 3y + 5) ⇔ 7 x + 7 y + 4 = 0

 Dạng toán 13: Viết phương trình đường trung tuyến, đường cao, trung trực, phân giác và cạnh
của tam giác
Dựa vào bảng sau để hinh thành nên cách viết PTĐT cần tìm
Bài toán viết
PT
Cạnh AB tam
giác
Trung tuyến
AM
Đường cao
AH

Đường trung
trực ∆
Đường phân
giác

Hình

A
B

C
A
M

B

C

A
C

BH

A
B

∆

C
I

Phương trình tham số

Phương trình tổng quát

qua A( x0 ; y0 )
r

AB :  r uuu
u
=
AB


qua A( x0 ; y0 )
AB :  

u = AB ⇒ n

qua A( x0 ; y0 )
AM :  
u = AM

qua A( x0 ; y0 )
AM :  

u = AM ⇒ n

qua A( x0 ; y0 )
AH :  

n = BC ⇒ u

qua A( x0 ; y0 )
AH :  
n = BC



 xB + xc y B + yc 
qua I  2 ; 2 


∆:


n = BC ⇒ u


 xB + xc y B + yc 
 qua I  2 ; 2 


∆ :

 n = BC

Dựa vào dạng toán 12

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với A ( 4;5 ) ; B ( −6; −1) ; C ( 1;1) . Viết phương trình tổng quát của
cạnh AB, đường trung tuyến AM, đường cao AH của tam giác ABC; đường trung trực của cạnh
AB.

Hướng dẫn

Phương trình cạnh AB:
 Đường thẳng AB đi qua A ( 4;5 ) ; B ( −6; −1)
uuur
 Nên có vtcp là AB = ( −10; −6 )
r
 ⇒ đường thẳng AB có vtpt là: n = ( 6; −10 )
 Phương trình tổng quát của AB là: 6 ( x − 4 ) − 10 ( y − 5 ) = 0 ⇔ 6 x − 10 y + 26 = 0
Phương trình đường trung tuyến AM:
 5 
 M là trung điểm của BC nên M  − ;0 ÷
 2 
uuuu
r  13
 5 

 Vì AM đi qua A ( 4;5 ) ; M  − ;0 ÷ nên AM có vtcp là AM =  − ; −5 ÷
 2 
 2

13 
r 
 ⇒ AM có vtpt là n =  5; − ÷
2

 Phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM là:
13
5 ( x − 4 ) − ( y − 5 ) = 0 ⇔ 10 x − 13 y + 25 = 0
2

Phương trình đường cao AH:
uuur
 Đường cao AH đi qua A ( 4;5 ) và có vtpt BC = ( 7; 2 )
 Phương trình tổng quát của đường cao AH là:
7 ( x − 4 ) + 2 ( y − 5 ) = 0 ⇔ 7 x + 2 y − 38 = 0
Phương trình đường trung trực của AB:
 Gọi K là trung điểm của AB nên K ( −1; 2 )
 Gọi ( ∆ ) là đường trung trực của AB

uuur
 ⇒ ( ∆ ) đi qua điểm K ( −1; 2 ) và có vtpt AB = ( −10; −6 )
 Phương trình tổng quát của ( ∆ ) là

−10 ( x + 1) − 6 ( y − 2 ) = 0 ⇔ −10 x − 6 y + 2 = 0 ⇔ 5 x + 3 y − 1 = 0

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví dụ 1: Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của ∆ABC biết của ∆ABC biết
A ( 2;0 ) ; B ( 4;1) ; C ( 1; 2 )
Hướng dẫn
 Phương trình cạnh AB: x − 2 y − 2 = 0
 Phương trình cạnh AC: 2 x + y − 4 = 0
 Phương trình hai đường phân giác của góc A
 x + 3y − 2 = 0
x − 2y − 2

2x + y − 4
=±
⇔
5
5
3 x − y − 6 = 0

(d)
( d ′)

 Xét đường phân giác ( d ) : x + 3 y − 2 = 0
 Thế tọa độ điểm B vào vế trái của d : t1 = 4 + 3.1 − 2 = 5 > 0
 Thế tạo độ điểm C vào vế trái của d : t2 = 1 + 3.2 − 2 = 5 > 0
 Vì t1.t2 > 0 nên B và C nằm cùng phía đối với d ⇒ d là đường phân giác ngoài
 Vậy đường phân giác trong của góc A là: d ′ : 3 x − y − 6 = 0

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

C.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ( ∆ ) trong mỗi trường hợp sau:
r
a) Qua M ( 1;3) và có vtpt n = ( 2;5 )
r
b) Qua M ( 1; 2 ) và có vtcp u = ( 3;7 )
c) Qua M ( 4;1) ; N ( 5;3)

d) Qua M ( −5; −8 ) và có hệ số góc k = −3
e) Qua M ( 2;5 ) và song song với đường thẳng d : 3 x + 4 y − 7 = 0
f)

Qua M ( 2;5 ) và vuông góc với đường thẳng d : 3 x + 4 y − 7 = 0

g)

Qua A ( 5;0 ) ; B ( 0; 2 )

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 3) và C(1; -5).
a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác.
c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC.
e) Lập phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A của ∆ABC.
Bài tập 3: Viết PTĐT d1 đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆ biết:
a, (d) : x + 2y − 1 = 0;( ∆) : 2x − y + 3 = 0
b, (d) : 2x + 3y + 5 = 0;( ∆) : 5x − y + 4 = 0
Bài tập 4: Cho A(1;1), B(3;6). Viết PTĐT (d) đi qua A và cách B một đoạn bằng 3
Bài tập 5: Viết phương trình đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng
∆1 : 4 x − 10 y + 1 = 0; ∆ 2: x + y + 2 = 0
Bài tập 6: Cho I(1;2) và đường thẳng (∆ ) : 3x − 5 y + 1 = 0
a) Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A và song song với ( ∆ ).
b) Tìm phương trình đường thẳng ( ∆ ’ ) đối xứng với ( ∆ ) qua A.
Bài tập 7: Cho đường thẳng ∆ : x + 2 y − 6 = 0 . Lập phương trình đường thẳng d đi qua M ( −6;1) và tạo
với ( ∆ ) một góc 450

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly

Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

D.BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
Bài tập 1*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng

3
,
2

A(2;–3), B(3;–2). Tìm toạ độ điểm C, biết điểm C nằm trên đường thẳng d: 3x – y – 4 = 0.
Hướng dẫn

x = t
. Giả sử C(t; –4 + 3t) ∈ d.
 y = −4 + 3t

PTTS của d: 

uuu
r uuur
1
1
AB. AC .sin A =
AB 2 .AC 2 − AB.AC
2
2
⇒ C(–2; –10) hoặc C(1;–1).

(

S=

)

2

=

3
⇔
2

 t = −2
4t 2 + 4 t + 1 = 3 ⇔  t = 1


Bài tập 2*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm của cạnh
BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng
d1: x + y − 2 = 0 và d2: 2 x + 6 y + 3 = 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
Hướng dẫn
 15 7 
x + y − 2 = 0
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 
⇒ A  ; − ÷.
 4 4
2 x + 6 y + 3 = 0
 −3 − 2 c 

Giả sử: B(b;2 − b) ∈ d1, C  c;
÷∈ d2.

6 
b + c

1
 2 = −1
b = 4

−3 − 2 c
M(–1; 1) là trung điểm của BC ⇔ 
⇔
2 − b + 6
c = − 9
=1


4

2
1 7
 9 1
⇒ B  ; ÷, C  − ; ÷.
4 4
 4 4
Bài tập 3*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; –2); P(2;0); Q(1;2)
lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông.
Hướng dẫn

r

Giả sử đường thẳng AB qua M và có VTPT là n = ( a; b) (a2 + b2 ≠ 0)

r

=> VTPT của BC là: n1 = (−b; a ) .
AB có dạng: a(x –2) +b(y –1)= 0 ⇔ ax + by –2a –b =0
BC có dạng: –b(x – 4) +a(y+ 2) =0 ⇔ – bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P, AB) = d(Q,BC)
Phương trình

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

−b

⇔

a 2 + b2

=

3b + 4a

b = −2a

⇔
a2 + b2
b = − a

• b = –2a: AB: x – 2y = 0 ; CD: x – 2y –2 =0; BC: 2x +y – 6= 0;
AD: 2x + y – 4 =0
• b = –a: AB: –x + y+ 1 =0; BC: –x –y + 2= 0; AD: –x –y +3 =0;
CD: –x + y+ 2 =0
Bài tập 4*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam giác ABC có diện tích bằng

3
;
2

trọng tâm G của ∆ABC nằm trên đường thẳng d: 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn
nội tiếp ∆ ABC.

Hướng dẫn
Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C, AB) =

a − b = 8
a − b = 2

⇒ a−b−5 =3⇔ 

a−b−5
2

=

2S∆ABC
AB

 a +5 b −5
(1)
;
; Trọng tâm G 
÷∈ d
(2)
3 
 3

⇒ 3a –b =4 (3)
• (1), (3) ⇒ C(-2; -10) ⇒ r =
• (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒

r=

S
3
=
p
2 + 65 + 89

S
3
=
p
2 +2 5

Bài tập 5*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình
d1: x + y + 1 = 0 . Phương trình đường cao vẽ từ B là
d 2:

x − 2 y − 2 = 0 . Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên
của tam giác ABC.

Hướng dẫn

uuur
B(0; –1). BM = (2; 2) ⇒ MB ⊥ BC.
Kẻ MN // BC cắt d2 tại N thì BCNM là hình chữ nhật.

8 1
 3 3

phương trình đường thẳng MN: x + y − 3 = 0 . N = MN ∩ d2 ⇒ N  ; ÷.
NC ⊥ BC ⇒ phương trình đường thẳng NC: x − y −

7
= 0.
3

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

2
3

5
3

C = NC ∩ d1 ⇒ C  ; − ÷ .
AB ⊥ CM ⇒ phương trình đường thẳng AB: x + 2 y + 2 = 0 .
AC ⊥ BN ⇒ phương trình đường thẳng AC:

6x + 3y + 1 = 0

Bài tập 6* :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 và điểm
M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt sao cho
MA = 3MB.
Hướng dẫn
M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.
Mặt khác:

uuur uuur
MA.MB = 3MB 2 ⇒ MB = 3 . Gọi H là hình chiếu của I lên AB ⇒ BH = 3

⇒ IH = R 2 − BH 2 = 4 = d ( I ,( d ) )
Ta có: phương trình đường thẳng d: a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).

d ( I ,( d ) ) = 4 ⇔

a = 0
=4⇔
.

2
2
 a = − 12 b
a +b

5

−6a − 4b

Vậy d: y – 3 = 0 hoặc d: 12x – 5y – 69 = 0.
Bài tập 7*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho D ABC có cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1).
Biết AB = 2AM, phương trình đường phân giác trong AD: x – y = 0, phương trình đường cao
CH: 2x + y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của D ABC .
Hướng dẫn
Gọi d là đường thẳng qua M vuông góc với AD cắt AD, AB lần lượt tại I và N, ta có:

 1 1
(d ) : x + y + 1 = 0, I = ( d ) ∩ ( AD) ⇒ I  − ; − ÷ ⇒ N ( −1; 0)
 2 2
(I là trung điểm MN).

AB ⊥ CH ⇒ pt ( AB ) : x − 2 y + 1 = 0, A = ( AB ) I ( AD ) ⇒ A(1; 1) .
AB = 2AM ⇒ AB = 2AN ⇒ N là trung điểm AB ⇒ B ( −3; −1) .

 1

pt ( AM ) : 2 x − y − 1 = 0, C = ( AM ) I (CH ) ⇒ C  − ; −2 ÷
 2

Bài tập 8*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1: x − 7 y + 17 = 0 ,

d2:

x + y − 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 một tam

giác cân tại giao điểm của d1, d2.
Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Hướng dẫn
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d1, d2 là:
x − 7 y + 17
x + y −5
 x + 3 y − 13 = 0 ( ∆1 )
=
⇔
12 + (−7) 2
12 + 12
3 x − y − 4 = 0 ( ∆2 )
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với ∆1 , ∆2
KL: x + 3 y − 3 = 0 và 3 x − y + 1 = 0
Bài tập 9*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho D ABC cân có đáy là BC. Đỉnh A có tọa độ là các số
dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh

AB : y = 3 7(x - 1) .

Biết chu vi của D ABC bằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

Hướng dẫn

B = AB I Ox ⇒ B (1;0) , A ∈ AB ⇒ A ( a;3 7(a − 1) ) ⇒ a > 1 (do x A > 0, y A > 0 ).

Gọi AH là đường cao

∆ABC

⇒ H (a;0) ⇒ C (2a − 1;0) ⇒ BC = 2( a − 1), AB = AC = 8(a − 1) .
Chu vi ∆ ABC = 18 ⇔ a = 2 ⇒ C (3;0), A ( 2;3 7 ) .
Bài tập 10*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 4 điểm A(1;0), B(–2;4), C(–1;4), d(3;5). Tìm toạ độ
điểm M thuộc đường thẳng ( ∆) : 3 x − y − 5 = 0 sao cho hai tam giác MAB, MCD
có diện
Hướng dẫn

tích bằng nhau.

Phương trình tham số của ∆:

x = t
. M ∈ ∆ ⇒ M(t; 3t – 5)

 y = 3t − 5

S MAB = S MCD ⇔ d (M , AB ). AB = d (M , CD ).CD
⇔ t = −9 ∨ t =

7
7
⇒ M (−9; −32), M ( ; 2)

3
3

Bài tập 11*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác có phương trình hai cạnh là
5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng
trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.
Hướng dẫn
Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 ⇒ A(0;3)
Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0 ⇒ B(–4; –7)
A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy ⇒ BC: y + 7 = 0
Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)
/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Bài tập 12*:Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng

đường
Hướng dẫn

d1 : 2 x − y + 5 = 0 .

d2: 3x + 6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai
thẳng d1, d2.

r

r

d1 có VTPT a1 = (2; −1) ; d2 có VTPT a2 = (3;6)

ur uu
r

Ta có: a1 .a2 = 2.3 − 1.6 = 0 nên d1 ⊥ d 2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường
thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình:
đường thẳng d : A( x − 2) + B ( y + 1) = 0 ⇔ Ax + By − 2 A + B = 0
d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I ⇔ khi d tạo với d1 (hoặc d2) một góc 450

⇔

2A − B
A2 + B 2

 A = 3B
= cos 450 ⇔ 3 A2 − 8 AB − 3B 2 = 0 ⇔ 
22 + (−1)2
 B = −3 A

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3 x + y − 5 = 0
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x − 3 y − 5 = 0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d : 3x + y − 5 = 0 ; d : x − 3 y − 5 = 0
Bài tập 13*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ ABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung
tuyến BM: 2 x + y + 1 = 0 và phân giác trong CD: x + y − 1 = 0 . Viết phương trình
đường
thẳng BC.
Hướng dẫn

Điểm C ∈ CD : x + y − 1 = 0 ⇒ C ( t ;1 − t ) .

 t +1 3 − t 
;
÷.
2 
 2
Từ A(1;2), kẻ AK ⊥ CD : x + y − 1 = 0 tại I (điểm K ∈ BC ).
Suy ra trung điểm M của AC là M 

Suy ra AK : ( x − 1) − ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0

x + y −1 = 0
⇒ I ( 0;1)
x − y + 1 = 0

Tọa độ điểm I thỏa hệ: 

Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK ⇒ tọa độ của K ( −1;0 ) .
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:

x +1 y
= ⇔ 4x + 3y + 4 = 0
−7 + 1 8

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly


Biên Soạn: Nông Công Kiên (0984.094.618)

/>Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Bài tập 14*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là giao điểm của
2 đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD
thuộc đường thẳng ∆: x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.
Hướng dẫn
I (6; 2); M (1; 5)
∆: x + y – 5 = 0, E ∈ ∆ ⇒ E(m; 5 – m); Gọi N là trung điểm của AB

 xN = 2 xI − xE = 12 − m
I trung điểm NE ⇒ 
⇒ N (12 – m; m – 1)
 y N = 2 yI − yE = 4 − 5 + m = m − 1
uuuu
r
uur
MN = (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; 5 – m – 2) = (m – 6; 3 – m)
uuuu
r uur
MN .IE = 0 ⇔ (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0

⇔ m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0 ⇔ m = 6 hay m = 7
uuuu
r
+ m = 6 ⇒ MN = (5; 0) ⇒ phương trình (AB) là y = 5
uuuu
r

+ m = 7 ⇒ MN = (4; 1) ⇒ phương trình (AB) là x – 1 – 4(y – 5) = 0
⇒ x – 4y + 19 = 0

Bài tập 15*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác
trong góc A là d1: x + y + 2 = 0, phương trình đường cao vẽ từ B là d2: 2x – y + 1 = 0,
cạnh
AB đi qua M(1; –1). Tìm phương trình cạnh AC.
Hướng dẫn
uuuu
r
Gọi N là điểm đối xứng của M qua d1 ⇒ N ∈ AC . MN = ( xN − 1, y N + 1)
uuuu
r

Ta có: MN cùng phương

r
n d1 = (1; 1)

⇔ 1( xN − 1) − 1( y N + 1) = 0 ⇔ xN − y N = 2

(1)

1
1
Tọa độ trung điểm I của MN: xI = (1 + xN ), y I = (−1 + y N )
2
2

I ∈ (d1 ) ⇔

1
1

(1 − xN ) + (−1 + y N ) + 2 = 0 ⇔ xN + y N + 4 = 0
2
2

(2)

Giải hệ (1) và (2) ta được N(–1; –3)
Phương trình cạnh AC vuông góc với d2 có dạng: x + 2y + C = 0.

N ∈ ( AC ) ⇔ 1 + 2.(−3) + C = 0 ⇔ C = 7.
Vậy, phương trình cạnh AC: x + 2y + 7 = 0.

Mong muốn có thành công mà không làm việc chăm chỉ cũng giống như cố gắng thu hoạch khi chưa hề gieo trồng. –
David Bly