Chương III. §3. Phương trình đường thẳng trong không gian

CHÀO MỪNG ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
LỚP 12A13


Bài cũ:
1. Nhắc lại định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng ?

r
r
Vectơ ukhác 0được gọi là vectơ chỉ phương của đường

thẳng nếu nó có giá song song hoặc nằm trên đường
thẳng ấy.
z

∆
r
u

O

x

ur
u'

y


2.a) Nhắc lại phương trình tham số và phương trình chính tắc
của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy ?

r
b) Tìm một vec tơ chỉ phươngu và một điểm M thuộc đường
thẳng ∆ có phương trình tham số
x = 2 − t
(t ∈ R)

 y = −3 + 2t

Đáp án:

 x = x0 + at
1/ Phương trình tham số: 
 y = y0 + bt

Phương trình chính tắc:

x - x0 y − y0
=
a
b

trong đó

M ( x0 ; y0 ) ∈ (∆)
r
u = (a; b) là VTCP

trong đó

M ( x0 ; y0 ) ∈ (∆)
r
u = (a; b) là VTCP

2/ Điểm M(2,-3) ∈ ∆ và vec tơ chỉ phương

r
u

(-1,2)

có a.b ≠ 0


3. Nêu các yếu tố xác định phương trình tham số và phương
trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng?
y

Ta cần vec tơ chỉ phương

r
u

và một điểm thuộc đường
thẳng

M
O

x

Tiết 32:
§3 PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG
GIAN
------------------


Cầu sông Hàn tp Đà Nẵng


Cầu Tràng Tiền – Huế


Cầu Hàm Rồng -Vinh


Cầu Cổng vàng (Mỹ)


Bài toán :
Trong không gian Oxyzr cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0,y0,z0)
alàm
= (avec
a3 )chỉ phương. Hãy tìm điền kiện để
và nhận
1 ; a2 ;tơ
điểm M(x,y,z) năm trên d

uuuuuu
r Giải
M 0 Mr = ( xo − x, y0 − y, z0 − z )
a = (a1; a2 ; a3 )

z
M

r
uuuuuu
r
Điểm M ∈ d ⇔ M M cùng phương với a
uuuuuu
r r
0

⇔ M 0 M = ta

 x − x0 = ta1

⇔  y − y0 = ta2
 z − z = ta
0
3


hay

 x = x0 + ta1


 y = y0 + ta2
 z = z + ta
0
3


0

y
M0

x

r
a

d


I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1. Định lý (SGK)
Trong không gianr Oxyz cho đường thẳng ∆ đi qua
điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận a = (a1; a2 ; a3 ) làm vectơ chỉ phương.
∆ có
Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên là
một số thực t sao cho
 x = x0 + a1t

 y = y0 + a2t

z = z + a t
0
3



2. Định nghĩa (SGK)
Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm

M ( x0 ; y0 ; z0 )

r
và có vectơ chỉ phương a = (a1; a2 ; a3 ) có dạng:  x = x0 + a1t


( I )  y = y0 + a 2 t
z = z + a t
0
3


Nhận xét:
1) Với đường thẳng (d) có phương trình tham số (I)rkhi đó có 1
điểm thuộc (d) làM ( x0 ; y0r; z0 ) và một VTCP làa = (a1; a2 ; a3 )
2) Trong trường hợp VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) có a1.a2 .a3 ≠ 0
khử t trong PT (I) ta được PT (II) như sau

x − x0 y − y0 z − z0
=
=

( II )
a1
a2
a3
PT (II) được gọi là PT chính tắc của đường thẳng (d)


Nhận xét 3
Để xác định một đường thẳng trong không gian ta cần
1. Một điểm thuộc đường thẳng
2. Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
z

r
u

∆
M

O
x

y


Ví dụ 1: a) Trong các điểm sau đây điểm nào nằm trên đường thẳng d

 x = 3 + 2t

 y = −3 + 4t (t ∈ R)

z = 4 + t


Trả lời:

a. (3; -3; 4)
b. (2; 4; 1)
b) Hãy lấy thêm một điểm và hai véc tơ chỉ phương
khác của đường thẳng (d)?
a) Điểm thuộc (d) là điểm A(3;-3;4) ứng với t = 0
b) Chọn t khác 0, ví dụ t = 1 suy ra C(5;1;5) thuộc (d)

r
r
Véc tơ chỉ phương u = (2;4;1) và −u = (−2; −4; −1)


Ví dụ 2: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của
đường thẳng (d) đi qua điểm M(1,-2,3) và có vec tơ

r
chỉ phương a ( 2,3, −4 )

Giải
*) Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:

 x = 1 + 2t

 y = −2 + 3t
 z = 3 − 4t


*) Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là:

x −1 y + 2 z − 3
=
=
2
3
−4


Ví dụ 3: Viết phương trìnht tham số và chính tắc của đường thẳng
(d) đi qua hai điểm A(1; -2; 3) và B(3; -2; 0)
Giải
Điểm thuộc đường thẳng (d) là A(1;-2;3)uuu
r
r
Vectơ chỉ phương của đường thẳng: a = AB

r
⇒ a = (2;0; −3)

Suy ra
*) Phương trình tham số của đường thẳng là:

 x = 1 − 2t

 y = −2
 z = 3 − 3t


r
a

( t ∈ R)

*) Phương trình chính tắc của đường thẳng là:

x -1 y + 2 z −3
=
=
2
2
−3

A

B


Củng Cố
Để xác định một đường thẳng trong không gian ta cần
1. Một điểm thuộc đường thẳng
2. Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng
z

r
u

∆

M

O
x

y


Củng cố 2. Phương trình tham số của đườngr thẳng (d) đi qua
điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a ( a1 ; a2 ; a3 ) là

 x = x0 + a1t

( d )  y = y 0 + a2 t
z = z + a t
0
3


Củng cố 3. Phương trình tham số của đườngrthẳng (d) đi qua
điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a ( a1 ; a2 ; a3 )
a1.Với
a2 .a3 ≠ 0
là

x − x0 y − y0 z − z0
(d )
=
=
a1

a2
a3


Ví dụ 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆qua
điểm M( -1,3,2) và song song với đường thẳng d có phương
trình:
 x = 3 + 2t


(d )  y = −1 + 3t
z = 2 − t


Giải
uu
r
Đường thẳng d có vtcp ud = ( 2,3 − 1)

r
u

uu
r uu
r
do ∆ / /( d ) ⇒ u∆ = ud ( 2,3, −1)
Nên Phương trình tham số của

đường thẳng ∆ là  x = −1 + 2t


 y = 3 + 3t
z = 2 − t


M
d

∆


Ví dụ 5: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của
đường thẳng (d) đi qua A(1; -2; 3) và vuông góc với mặt phẳng
(P) có phương trình (P): 2x + 4y + 6z + 9 = 0
Giải
*)Ta có (d) uu
vuông
r uur góc với
uu
r (P) nên véc tơ chỉ phương của (d) là
ud = nP ⇒ ud = ( 2 ; 4 ; 6) = 2(1;2;3)
Lại có (d) đi qua A(1; -2; 3) suy ra Phương
trình tham số của đường thẳng (d) là:

x = 1+ t

 y = −2 + 2t
 z = 3 + 3t


*) Phương trình chính tắc của (d) là: P)

x −1 y + 2 z − 3
=
=
1
2
3

d

uur
nP


Bài tập củng cố
Bài tập 1
Cho đường thẳng d có phương trình tham số

 x = −5 + t

 y = 3 − 2t
 z = 1 + 3t


a) Hãy tìm một vec tơ chỉ phương và một điểm thuộc
đường thẳng trên
b) Hãy viết phương trinh chính tắc của đường thẳng d

Bài tập củng cố
Bài tập 2
Viết phương trình tham số của đường thẳng có phương
trình chính tắc là:
x −1 y − 2 z − 3
(d )
=
=
2
−4
5
Bài tập 3
Chứng minh rằng đường thẳng d có phương trình

x = 1+ t

(d )  y = 3 − 2t
 z = 2 + 4t

vuông góc với mặt phẳng ( α ) : x − 4 y + 8 z + 7 = 0


BÀI HỌC TẠM DỪNG TẠI ĐÂY
CẢM ƠN QUÝ THẦY CÔ VÀ
CÁC EM ĐÃ THAM GIA BÀI
HỌC