Chương III. §3. Phương trình đường thẳng trong không gian

CẦU NGỌC TRAI- ĐẢO ĐIỆP SƠN(KHÁNH HÒA)

Cầu Tràng Tiền – Huế


Đường biên giới Mỹ-Canada


Câu hỏi: Hãy nhắc lại định nghĩa vectơ chỉ phương (vtcp)
của đường thẳng?
r
r

Vectơ u khác 0 được gọi là vtcp của đường thẳng nếu nó
có giá song song hoặc trùng đường thẳng ấy.
y

r
u'

∆

z

r
u

r
u

∆
ur
u'

x
O

o

x

y


KIỂM TRA KIẾN THỨC
1/Trong mặt phẳng Oxy, nhắc lại phương trình tham số của đường
thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương
r
u = (a;b) ?

r
2/Tìm một vec tơ chỉ phương u và một điểm M thuộc đường thẳng
d có phương trình tham số
Đáp án:

x = 2 − t

 y = −3 + 2t

 x = x 0 + at
1/ Phương trình tham số: 
 y = y0 + bt

r
2/ Điểm M(2,-3)∈ d và vec tơ chỉ phương u = ( −1; 2)


 x = x 0 + at
PTTS: 
 y = y 0 + bt
y
Ta cần vectơ chỉ
phương và một
điểm thuộc đường Nêu các yếu tố xác định
phương trình tham số M
của
thẳng
đường thẳng trong mặt phẳng?

r
u

O

x


Tiết: 33
PHƯƠNG TRÌNH

ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN


Cầu Hàm Rồng – TP Vinh


CẦU BẮC BÀN GIANG(TRUNG QUỐC)

Cầu sông Hàn TP Đà
NẵngCẦU


NHẬT THỰC


Trong
không gian cho vectơ
r
r
u ≠ 0 , có bao nhiêu đường
thẳng đi qua M và song
song(hoặc trùng) với giá của
r
y
vec tơ u ?

r
u

∆
M

O

z

M

r
u


Bài toán:
Trong không
r gian Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0)
và nhận a = (a1;a 2 ;a 3 ) làm vec tơ chỉ phương. Hãy tìm điền kiện để
điểm M(x;y;z) năm trên d
d
z
GIẢI
uuuuur
M

M 0 M = ( x − x 0 ; y − y0 ; z − z 0 ) r
uuuuur
Điểm M ∈ d ⇔ M 0 M cùng phương với a
uuuuur r
⇔ M 0 M = ta, t ∈ R

 x − x 0 = ta1  x = x 0 + ta1


⇔  y − y 0 = ta 2 hay  y = y 0 + ta 2
z − z = ta
z = z + ta
0
3

0
3


Đây là PTTS của d

r
a

0

y
M0

x


I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

1. Định lý:
Trongr KG Oxyz cho đường thẳng ∆ đi qua M0(x0;y0;z0)

nhận a = (a1;a 2 ;a 3 ) làm vectơ chỉ phương(vtcp). Điều kiện
cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên ∆ là có một số
thực t sao cho

 x = x 0 + a1t

 y = y0 + a 2 t , t ∈ R
z = z + a t
0
3


Nhớ: điểm M∈∆⇒


Tiết 33: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

2. Định nghĩa:
PTTS của đường thẳng
∆
đi
qua
M
(x
;y
;z
)
và
có

0
0
0
0
r
vectơ chỉ phươnga = (a1;a 2 ;a 3 ) là phương trình có dạng:

 x = x 0 + ta 1

 y = y 0 + ta 2
z = z + ta
0
3

trong đó t là tham số thực


Ta chỉ cần một
vec tơ chỉ phương
và một điểm thuộc
đường thẳng đó

y

r
u

Theo em ta cần
những yếu tố nào để
xác định được một

đường thẳng trong
không gian ?
M

∆

O
x

z


Tiết 33: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Các bước viết PTTS của đường thẳng :

 x = x 0 + a1t
+ PTTS của đt có dạng:  y = y 0 + a 2 t ; t ∈ R
z = z + a t
0
3

+ Điểm thuộc đường thẳng
+vtcp của đường thẳng
+ PTTS của đt là:


Tiết 33: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường
thẳng ∆ đi qua hai điểm M(1;-2;3) và N(3;1;-1)
Giải
 x = x 0 + a1t
+ PTTS của đt ∆ có dạng: 
 y = y0 + a 2 t ; t ∈ R
z = z + a t
0
3


+ M ( 1; −2;3) ∈ ∆
uuv uuuur
+vtcp u ∆ = MN = (2;3; −4)

 x = 1 + 2t

+ PTTS của đt ∆:  y = −2 + 3t
z = 3 − 4t


.

N

.
M

Tiết 33: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:
Ví dụ 2: Viết PTTS của đ.thẳng ∆ qua M( -1;3;2) và song song
với đ.thẳng d có phương trình:
 x = 3 + 2t

x
=
x
+
a
t

0
1
Giải:

+PTTS:  y = y 0 + a 2 t , t ∈ R
z = z + a t
0
3

+ M ( −1;3;2uur) ∈ ∆


 y = −1 + 3t
z = 2 − t


+ VTCP u d = ( 2;3; −1)

uur
Vì ∆ / /d ⇒ vtcpu ∆ = ( 2;3; −1)

 x = −1 + 2t

+ PTTS của đ thẳng ∆ là:  y = 3 + 3t
z = 2 − t


d

r
u

∆
M


Tiết 33: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Ví dụ 3: Viết PTTS của đường thẳng ∆ đi qua A(1; -2; 3) và
vuông góc với mặt phẳng (P): 4x – 5y + 3z + 9 = 0

x
=
x
+
t

a

0
1
Giải:

+ PTTS của đt ∆ có dạng:  y = y 0 + ta 2
z = z + ta
0
3


+ A ( 1; −2;3) ∈ ∆

uur
+ Mp (P) có VTPT n P = ( 4 ; − 5 ; 3)
uur
Vì ∆ ⊥
⇒ vtcpu ∆ = (4; − 5; 3)
(P)

 x = 1 + 4t
+ PTTS của đt ∆ là: 
 y = −2 − 5t
z = 3 + 3t


P)

∆

.A

uur
nP


Tiết 33: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Từ phương trình tham số
của đường thẳng ∆
với
a1, a2, a3 đều khác 0 hãy
biểu diễn t theo x, y, z ?


Tiết 33: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

 x = x 0 + a1t

Từ phương trình tham số  y = y 0 + a 2 t
z = z + a t
0
3


khử t , ta được

z − z 0 a .a .a ≠ 0
y − y0
x − x0
( 1 2 3 )
; t=
t=
; t=
a3
a2
a1
x − x 0 y − y0 z − z0
⇒
=
=
a1
a2
a3

(*)

(*) là phương trình chính tắc của đường thẳng ∆


Tiết 33: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Chú ý:
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ

r

phương a = (a1;a 2 ;a 3 ) (với a1, a2, a3 đều khác 0) có phương trình
chính tắc dạng:

x − x 0 y − y0 z − z 0
=
=
a1
a2
a3


Tiết 33: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG:

Ví dụ 4:
Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆  x = 4 + 2t


y = −1 + 3t

có phương trình tham số
z = 2 − 5t


Giải

Phương trình chính tắc của đường thẳng∆ là:

x − 4 y +1 z − 2
=

=
2
3
−5


Tiết 33: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
Ví dụ 5: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua hai
điểm A(1; -2; 3) và B(3; 0; 0)
Giải

r
r uuu
Vectơ chỉ phương của đường thẳng: a = AB
r
⇒ a = (2;2; −3)

r
a

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(1,-2,3)( hoặc B)
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:

x -1 y + 2 z −3
=
=
2
2
−3

A

B