Bai tap nguyen ham, tich phan, ung dung co tom tat cong thuc

Netschool.edu.vn

TĨM TẮT CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
1/ Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
  U  V   U  V



  UV   UV  UV

  U   U.V 2U.V
V
V


{f[U(x)]}/ = f ' u . U x



2/ Các cơng thức tính đạo hàm:
Tên hàm số
Các hàm số
thường gặp

Cơng thức đạo hàm

C  =0

(C lµ h»ng sè)

x  =1

(kx)’=k (k lµ h»ng sè )

x  =n.x
n

Hàm số
lượng giác

Hàm số mũ
Hàm logarít

n-1

(n N, n  2)



 u  =n.u
n

.u/


1
u/ (u  0)


 
u2

u

u/
(u  0)
u 
2 u

 sin x   cos x
/
 cos x    sin x

 sin u   cos u.u /
/
 cos u    sin u.u /

1
 1  tan 2 x
cos 2 x
1
/
 cot x    2   1  cot 2 x 
sin x

 tan u 

 

/

/

/



1
.u /
cos 2 u
1
/
 cot u    2 .u /
sin u
/



(xα)/= α x α -1
(ex )’ = ex
(ax)’ = axlna

(uα)/= α u α -1u/
( eu)’ = u’ .eu
( au)’ = u’ .au.lna

1
(x>0)
x
1
(ln /x/ )’ =
(x≠0)

x
1
( log a x )’ =
(x>0, 0x ln a
1
( log a x )’ =
(x>0, 0x ln a

( lnu)’ =

(lnx )’ =

3. Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản
u là hàm số theo biến x,
tức là u  u( x)
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản

u'
(u>0)
u
u'
( ln /u/ )’ =
(u≠0)
u
u'
( log a u )’ =
(u>0, 0u ln a

u'
( log a u )’ =
(u>0, 0u ln a

*Trường hợp đặc biệt u  ax  b, a  0

 dx  x  C
 du  u  C
 k.dx  k.x  C , k là hằng số  k.du  k.u  C

 x dx 

n-1


1
1
    2 (x  0)
x
x
1
(x>0)
( x ) =
2 x

 tanx 

Hàm lũy thừa

Đạo hàm của hàm số hợp

x 1
C
 1


 u du 

u 1
C
 1

Netschool.edu.vn

 1
 .dx  1 . (ax  b)
(
ax

b
)
C

a
 1


Netschool.edu.vn
1

1

1

1

 x dx  ln x  C

 u du  ln u  C

 (ax  b) dx  a ln ax  b  C

1
1
 2 dx    C
x
x
1
 x dx  2 x  C

1
1
 2 dx    C
u
u
1
 u du  2 u  C



*Nguyên hàm của hàm số mũ
x
x
 e dx  e  C

e

e

 x dx  e x  C

ax
x
 a dx  ln a  C, 0  a  1

u du  eu  C

e

e

u du  eu  C

au
u
 a du  ln a  C

1

1

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C

1

 cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C

1

 sin 2 (ax  b) dx   a cot g (ax  b)  C

1

 cos2 u du  tan u  C

1

 sin 2 u du   cot u  C

 sin 2 x dx   cot x  C

1 amxn
.
 C, m  0
m ln a

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C

 sin u.du   cos u  C

 cos2 x dx  tan x  C

axbdx  1 eaxb  C
a

mxn dx 
a

*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
 cos x.dx  sin x  C
 cos u.du  sin u  C

 sin x.dx   cos x  C

1
1
du  .2 ax  b  C
a
ax  b

1

1

1

1

Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt

*Trường hợp đặc biệt u  ax  b

1

 cos kx.dx  k sin kx  C
1

 sin kx.dx   k cos kx  C
e

kx dx  1 ekx  C
k

1 (ax  b) 1

 (ax  b) .dx  a .   1  C

1

1

Ví dụ

1

 cos 2 x.dx  2 sin 2 x  C, (k  2)
1

 sin 2 x.dx   2 cos 2 x  C

e

2 x dx  1 e2 x  C
2

1 (2 x  1)21
1
2
(2
x

1)
.
dx

.
 C  .(2 x  1)3  C

2 1

2

1

1

 (ax  b) dx  a ln ax  b  C

 3x 1 dx  3 ln 3x 1  C

1
1
du  .2 ax  b  C
a
ax  b
1 axb
axb
C
 e dx  a e
mxn
mxn du  1 . a
a
 C, m  0

m ln a
1
 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C







6

1
1
2
du  .2 3x  5  C 

3x  5  C
3
3
3x  5
1
e2 x1dx  e2 x1  C
2

1 52 x1
2
x

1
 5 dx  2 . ln 5  C
1
 cos(2 x  1)dx  sin(2 x 1)  C
2

Netschool.edu.vn


Netschool.edu.vn
1

1

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C
1

 sin(3x 1)dx   3 cos(3x 1)  C

1

1

 cos2 (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C
1

1

 cos2 (2 x  1) dx  2 tan(2 x  1)  C

1

1

 sin 2 (ax  b) dx   a cot(ax  b)  C

1

 sin 2 (3x  1) dx   3 cot(3x  1)  C

*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương
pháp đổi biến số đặt u  ax  b  du  .?.dx  dx  .?.du
Ví dụ: Chứng minh  cos(ax  b)dx 

1
sin(ax  b)  C , a  0
a

1
Giải: Đặt u  ax  b  du  (ax  b) ' dx  a.dx  dx  .du
a

1
a

1
a

1
a

Suy ra  cos(ax  b)dx   cos u. .du   cos u.du  .sin u  C 

1
sin(ax  b)  C
a

PHẦN BÀI TẬP
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
A/ Tìm ngun hàm của các hàm số.
Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất

x10 1
kq: F ( x)=
 x C
5 2
3x x 2
kq: F ( x) 


 xC
ln 3 2

1
a) f ( x)  2 x9 2
b) f ( x)  3x  x  1

2
c) f ( x)  +3
x
d ) f ( x)  2sin x
cos x
e) f ( x) 
3

kq: F ( x)  2ln x  3x  C
kq: F ( x)  2cos x  C
1
kq: F ( x)  sin x  C
3

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số

a. f(x) = x2 – 3x +

1
x

ĐS. F(x) =

x3 3x2

 ln x  C
3
2

2 x4  3
b f(x) =
x2

2x3 3
 C
ĐS. F(x) =
3
x

c. f(x) =

ĐS. F(x) = ln x   C

d. f(x) =

x 1
x2
( x 2  1)2
x2

1
x

ĐS. F(x) =

Netschool.edu.vn

x3
1
 2x   C
3
x


Netschool.edu.vn

e. f(x) =
f. f(x) =
g. f(x) =

x 3 x 4 x

1
2

x 3x
( x  1)2
x

x 1
h. f(x) =
3x

i ) f ( x )  x5  3 x 2  4
j ) f ( x) 

x3
2

 5x2  2 x  1

2
k ) f ( x )   x 6  3 x5  3 x 2  2
3
1
l ) f ( x)  (2 x  3x 2 )( x 2  )  3x 3
x

3
2x 2

5
4x 4


C
4
5
3
ĐS. F(x) = 2 x  3 x2  C
ĐS. F(x) =

3



4
3x 3

ĐS. F(x) = x  4 x  ln x  C

5
2
3
3
ĐS. F(x) = x  x  C

kq : F ( x) 

x6
 x3  4 x  C
6

1
5
kq : F ( x)  x 4  x3  x 2  x  C
8
3
2
1
kq : F ( x)   x7  x6  x3  2 x  C
21
2

1
kq : F ( x)  x 4  x  C
2

* HD: nếu gặp hằng đẳng thức thì khai triễn hằng đẳng thức, ví dụ: (a  b)2  a2  2ab  b2

Bài 3 : Tìm

a)  ( x  2)( x  4)dx
b)  ( x 2  3)( x  1)dx
c)  3( x  3)2 dx
x2  5x
g )
dx
x
2 x3  5 x 2  1
h) 
dx
x
2 x3  5 x 2  1
g )
dx
2
x
( x  2)2
h) 
dx
x
( x  4)2
i) 

dx
x2
Bài 4 Tìm

1
kq: F ( x)  x3  x 2  8 x  C
3
1
1
3
kq: F ( x)  x3  x 2  x 2  3x  C
3
2
2
3
2
kq: F ( x)  x  9 x  27 x  C
kq: F ( x) 

1 2
x  5x  C
2

kq: F ( x) 

2 3 5 2
x  x  ln x  C
3
2

1
kq: F ( x)  x 2  5 x   C
x
1
2

kq: F ( x)  x 2  4 x  4ln x  C
kq: F ( x)  x  8ln x 

Netschool.edu.vn

16
C
x


Netschool.edu.vn
3
1
4
a)  ( x  x 2  5)dx
b)  ( x 3  2 x 2  4 x  1)dx
c)  x ( x  2 x)( x  1)dx
1
d )  (2 x  1)(1  )dx
x

7
1
4 4

kq: F ( x)  x  2 x 2  5 x  C
7
1
2
kq: F ( x)  
  2 x2  x  C
2 x2 x
x3
1
kq: F ( x ) 
 2x   C
3
x
kq: F ( x)  x 2  ln x  x  C

Bài 5: Tìm

a)  (2.3x  4 x )dx
b)  (2.a x  5 x )dx
1
c)  (3e x  5sin x  )dx
x

x
e
d )  e x (2 
)dx
2
cos x

e)  2 x.3x dx
f )  2 x.32 x.5 x dx
g )  e x (2  e x )
ex
h)  x dx
2

2.3x 4 x
kq: F ( x) 

C
ln 3 ln 4
2.a x 5 x
kq: F ( x) 

C
ln a ln 5
kq: F ( x)  3e x  5cos x  ln x  C

kq: F ( x)  2.e x  tan x  C
6x
C
ln 3
90 x
kq: F ( x) 
C
ln 90

kq: F ( x) 

kq: 2e x  x  C
ex
kq:
C
(1  ln 2)2 x

Bài 6 Tính nguyên hàm của các hàm số
x
1
a)  sin 2 dx
kq: F ( x)  ( x  sin x)  C
2
2
x
b)  (2 x  sin 2 )dx
2
x
1
c)  cos 2 dx
kq: F ( x)  ( x  sin x)  C
2
2
x
d )  (2 x 2  cos 2 )dx
2
1  cos2 x
1  cos2 x
HD : sin 2 x 
; cos 2 x 
2

2

Netschool.edu.vn


Netschool.edu.vn
e)  (1  tan 2 x)dx

kq: F ( x)  tan x  C

d )  (1  cot 2 x)dx
e) tan 2 xdx

kq: F ( x)   cot x  C


f )  cot 2 xdx

kq: F ( x)  tan x  x  C
kq: F ( x)   cot x  x  C

HD :1  tan 2 x 

1
1
;1  cot 2 x 
cos2 x
sin 2 x

g )  (tan x  cot x)2 dx

h)  (2 tan x  cot x)2 dx
HD : (a  b)2  a 2  2ab  b2
h) 

1

kq: F ( x)  tan x  cot x  4 x  C
kq: F ( x)  4 tan x  cot x  x  C

kq: F ( x)  tan x  cot x  C

dx
sin 2 x.cos 2 x
cos2 x
h) 
dx
2
sin x.cos 2 x

kq: F ( x)   tan x  cot x  C

HD : sin 2 x  cos2 x  1; cos2 x  cos 2 x  sin 2 x
Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng

a) f '( x)  2 x  1; f (1)  5
b) f '( x)  2  x 2 ; f (2) 

c) f '( x)  x 

7

3

1
 2; f (1)  2
x2

d ) f '( x)  4 x  x; f (4)  0
e) f '( x)  4 x3  3 x 2  2; f (1)  3
f ) f '( x)  3 x  x3  1; f (1)  2
g ) f '( x)  ( x  1)( x  1)  1; f (0)  1
h) f '( x)  3( x  2)2 ; f (0)  8
Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng
a) f '( x)  ax 

b
; f (1)  2, f (1)  4
x2

15 x
b) f '( x) 
; f (1)  4, f (4)  9
14

kq: f ( x)  x2  x  3
x3
kq: f ( x)  2 x 
1
3
x2 1
3

kq: f ( x) 
  2x 
2 x
2
8 x x x 2 40
kq: f ( x) 


3
2
3
kq: f ( x)  x 4  x3  2 x  3
4
3 3 x4
kq: f ( x)  x 
x
4
4
x3
kq: f ( x) 
1
3
kq: f ( x)  ( x  2)3
kq: f ( x) 

x2 1 5
 
2 x 2

5 x3 23

kq: f ( x) 

7
7

II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.

Netschool.edu.vn


Netschool.edu.vn
Tính I =

 f [u( x)].u' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)

Đặt t = u(x)  dt  u' ( x)dx
I=

 f [u( x)].u' ( x)dx   f (t )dt
BÀI TẬP

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
1.  (5 x  1)dx
2. 
(3  2 x) 5
5.
9.
13.

17.
21.

 (2 x

 1) 7 xdx

2

3x 2



5  2x3

 sin

4

dx 10.

x cos xdx

3

 5) 4 x 2 dx
dx



sin x
dx
5
x

 cos

e 3

25.

2
2
 x 1  x .dx

26.

dx
 1 x2

29.

 cos

30.

x

3

x sin 2 xdx

2x 1
x
8.  2
dx
x 5

x 2  1.xdx

16.

19.

 tan xdx

23.



27.



x 2 1

dx

tan xdx

 cos
20.

1  x 2 .dx

24.

2

x



e



x

x
dx

dx

4  x2
dx
28.  2
x  x 1

x 2 dx

1 x2
dx
31.  x
e 1

x  1.dx

 x.e

12.

 cot xdx

15.

18.

x



dx



4.

ln 3 x
 x dx

11.

x (1  x ) 2

14.

5  2 x dx

7.

dx
 cos x
e tgx
dx
22. 
cos 2 x

dx
 sin x
e x dx



 (x

6.



3.

x

32.

x 2  1.dx

3

2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
 u( x).v' ( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u' ( x)dx
Hay

 udv  uv   vdu ( với du = u’(x)dx,
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.  x. sin xdx
2.  x cos xdx
3.
5.

 x sin 2 xdx

6.

9.

 x ln xdx

10.

13.

 cos

x
2

dx

x
x
17.  e . cos xdx

21.

 x lg xdx

14.

 ln

 xtg

2

2

x e

3

15.
x2

 5) sin xdx

 x.e dx
ln xdx
11. 
x

xdx

xdx

2

 sin
19.

 2 x ln(1  x)dx

23.

4  ( x 2  2 x  3) cos xdx

x

7.

dx

18.
22.

 x cos 2 xdx

 (x

dv = v’(x)dx)

x dx

12.

 ln( x

16.

 x ln(1  x )dx
ln(1  x)
 x dx
2

2

TÍCH PHÂN
1. Tính tích phân bằng định nghóa:
Bài 1: Tính các tích phân sau:

Netschool.edu.vn

 ln xdx

8.

20.
24.

x

2

2
2

e

x

dx

 1)dx
x

xdx

cos 2 xdx

Netschool.edu.vn
1

e

1 3
1 2 x dx ;

b)

0

1

16

1
3

1

i)  (x  1)dx ;

4

0

1 1


 1)dx .
x x2

l)  (4 x 3 
2

x 1
dx ;
x

8 3

c) K =


1

1

1
)dx ;
x
1
Bài 3: Tính các tích phân sau:

e) 

1

1

k)  ( x  ) 2 dx ;
x
2
1
1
b) J =  (t 
 2 )dt ;
t t
1

d) L =  ( 1  x  3

0

2

4

2

1

h)  ( x  1) 2 dx ;

4

x

Bài 2: Tính các tích phân sau:
2

3
a) I =  (2 x  3  cos x)dx ;
x
0,5

a)  (2x  1)3 dx ;

1

1
g)  3 dx ;
x
1

0

1

d) 

8

j)  (e  2)dx ;

3

1
dx ;
x3
2

c) 

e)  (2 x  1)dx ;f)  x dx ;
1

1

dx
;
x
1

2

a)  4x 3 dx ;

e) M =  (3s  2 s ) 2 ds .
0

2

dx
;
2
(
2
x

1

)
1

3

c) 

b) 

2

7

1
dx ;
2x  1

d)  x  3dx ;
3



dx
;
25  3x

2

1

1

x 1

f)  e 2 dx ;

2

h)  sin( 2 x  2)dx ;

g)  212 x dx ;

1

2

0





3

i)  cos(  x)dx ;
3
0

1

1
j) 
dx ;
2
cos (1  x)
0

2

k)  (5 x 2  x  e 0,5 x )dx ;
1


2

l)  (2 cos x  2 sin 2 x)dx .
0

3. Tính tích của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Bài 1:
1

2

3

0

2

2

2

e)  x  1 dx ;
0

d)  x 2  2 x  3 dx ;
2

1
3

2

g)  x  x  2 dx ;

f)  x  x dx ;

2

2

c)  x  2 dx ;

b)  x  2 dx;

a)  x  1dx ;

2

h)  x 2  2 x  3 dx .

2

2

0

4

Bài 2:
1

2

a) I =



( x  1) 2 dx ;

b) J =



1

4 x 2  4 x  1dx ;

c) K =



5

0

0

1  2x  x 2
dx .
1 x

4. Tính tích phân bằng phương pháp biến đổi:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
2

ln x
dx , đặt t = lnx;
x
1

2

a) A =  x(1  x) dx , đặt t = 1 - x;

b) B = 

5

1

e2

3

dx
, đặt t = lnx;
x
ln
x
e

d) D =  xe x dx , đặt t = -x2;

2

2

c) C = 

0

x

e dx
, đặt t = 2 + ex;
x
2


e
1

e) E = 

2

f) E =


1

đặt t  2 x  3
dx
,
;
2x  3 (hoaëc t  2 x  3)

Netschool.edu.vn


Netschool.edu.vn


đặt t  1  x
;
(
hoặ
c

t

1

x
)
1
Bài 2: Tính các tích phân sau:
g) G =  x3 1  x dx ,
1

a)  x(x  1)

2

2007

dx ;



b)

2

1
1

h) H =  (2 sin x  3) cos xdx , đặt t = 2sinx + 3.
0

3

x  2 .x dx ;
2

3

c)

0

0

d) 

2

3

9

x2
x3  2


0

x 3 dx
x2 1

;

dx ;
2x  1

1

f) 

e)  x 2 8 1  xdx ;
0

x2  x  1

1

dx .

Bài 3: Tính các tích phân sau:




2

4

a)  e cos 2 x sin 2 x dx;



b)

0





sin 2x
dx ;
2
4

cos
x
0

2

c) 

tan xdx ;

4


2

d)  sin 2 x cos 3 xdx ;
0




e

2

ln x
dx ;
x
1
Bài 4: Tính các tích phân sau:

e) 

3
2

a)



f)  sin 5 xdx ;

1

0

2

dx
;
2
1

x
0

1
2

g)  2 1  4 sin 3x cos x3xdx .

0

b)) 

1  x 2 dx ;

6

2

c)  4  x 2 dx ;
0

1

d) 
0

dx
4  x2

dx .

5. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1

2

2

b)  x 2 ln xdx . c)  x cos xdx ;

a)  xe x dx ;
0

1



2

0

1

3

e)  (x  3)e dx ;

5

h)  x 2 ln( x  1)dx .

g)  (1  x ) ln xdx ;

0

1

1
e

f)  4x ln xdx ;

x

d)  (2 x  1) ln xdx .
2

2

1

Bài 2: Tính các tích phân sau:

ln 2

2

a) A =  x cos 2 xdx ;

b) B =

0

2 x
 xe dx ;
0

1

c) C =  ln( 2 x  1)dx ;
0


3

1

d) D =  ( x  2)e dx ;

e) E =  ( x 2  1)e 2 x dx ;

2x

0

0

2

f) F =  ( x 2  2 x  3) sin xdx .
0

Bài 3: Tính các tích phân sau:

3

a) I =

3

x

e dx
 x ;
2

b) J =

e

x 1

. x  1dx ;

2

c) K =  (x  sin 2 x) cos xdx ;
0

0

Netschool.edu.vn


Netschool.edu.vn


3

e) M =  [ln( x  1)  ln( x  1)]dx .

d) L =  (e cos x  x) sin xdx ;
0

2

6. Tính tích phân của các hàm phân thức:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
2

a) 

1

3

e) 
2

1

x3  x
dx ;
x2

x 3
;
2x  1
3

4

b) 
1

x2  2 x  3 x2
dx ;
x

1

4x  3

dx ;
2x  1
0

1

3

1

2

d) 
0

2

x 1
dx ;
x 1
2

g) 

f) 

1

x2
dx ;

x3
2
4

c) 

h) 
1

2x  1
dx ;
x 1

2

x  2x  1
dx ;
x 3

0

x  x 1
x 1
x3  2x 2  1
x  x 1
;
j)
;
k)
;

l)
dx
dx
dx
1 x  1
 x 2  1 dx .
0 x  1
 x 1
1
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1
3
4
1
1
2
dx
a)  (
b) 
c) 
dx ;

)dx ;
dx ;
( x  1)( x  2)
x 1 x 1
x ( x  1)
0
2

2
2

3

i)

0

4
d)  2
dx ;
x  2x  3
2
3

2
dx ;
2x  x  3
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
0
1
a) I = 
dx ;
3
1 ( x  1)

g) 

2

1

d) L = 
0

dx
;
x  2x  2
2

1

xdx
e)  2
;
x  5x  6
0

x 1
dx ;
x x2
1
0

h) 

2

0

x
b) J =  4
dx ;
x  2x 2  1
1
1

e) M = 
0

dx
;
x  x2
2

Netschool.edu.vn

5

f) 
4

4

i) 
2

3x  1

dx ;
x  4x  3
2

2
dx .
 3x  x  2
2

2

c) K = 
1
2

f) N = 
0

1
dx ;
x  2x 1
2

6x  2
dx .
x  x 1
2


Netschool.edu.vn

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
1. Tính diện tích hình phẳng:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x;
b) y = x2 - 2x + 3, y = 5 - x;
2
2
c) y = x - 2x + 2, y = -x - x + 3;
d) y = x3 - 3x, y = x;
e) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x;
f) y = 2x - x2, x + y = 2;
3
2
g) y = x - 12x, y = x ;
h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 6.
2x 2  10x  12
Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
và đường
x2
thẳng y = 0.
 x2  x
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
và trục hồnh
x 1
Bài 4: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + 3x2, trục hoành và các
đường thẳng x = -2, x = -1.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi giới hạn trục hoành , trục tung, đồ thị hàm số y = x3 - 3x
+ 1 và đường thẳng x = -1.
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi giới hạn trục hoành , trục tung, đồ thị hàm số y =
2x  1

.
x 1
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = ex, y = 2 và x = 1.
Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x và y = x + sin2 x với x  [0; ].
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx trên đoạn [0; 2], trục hoành,
trục tung và đường thẳng x = 2.
Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x3, x + y = 2, y = 0;
b) y = x, y = 0, y = 4 - x;
1
c) y = 2 x , y = e-x, x = 1;
d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1.
e
Bài 11: : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:
a) y = x3 - 1 và tiếp tuyến tại điểm (-1; -2).
b) (P): y = -x2 + 6x - 8, và tiếp tuyến của nó tại giao điểm với trục tung.
1
c) y = x3 - 3x và tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = - .
2
2. Thể tích vật thể trịn xoay:
Bài 1: Tính thể tích của hình trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay
quanh trục Ox.
a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2;
b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1.
Bài 2: Tính thể tích của hình trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay
quanh trục Ox.
a) y = 5x - x2, y = 0;
b) y = -3x2 + 3, y = 0.
Bài 3: Tính thể tích của hình trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay
quanh trục Ox.

a) y = 2 - x2, y = 1;
b) y = 2x - x2, y = x;
c) y = x3, y = 8 vaø x = 3.
Bài 4: Tính thể tích của hình trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C) y = x2 + 1,
x = 0 và tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục Ox.

Netschool.edu.vn