Netschool.edu.vn
TĨM TẮT CƠNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
1/ Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
U V U V
UV UV UV
U U.V 2U.V
V
V
{f[U(x)]}/ = f ' u . U x
2/ Các cơng thức tính đạo hàm:
Tên hàm số
Các hàm số
thường gặp
Cơng thức đạo hàm
C =0
(C lµ h»ng sè)
x =1
(kx)’=k (k lµ h»ng sè )
x =n.x
n
Hàm số
lượng giác
Hàm số mũ
Hàm logarít
n-1
(n N, n 2)
u =n.u
n
.u/
1
u/ (u 0)
u2
u
u/
(u 0)
u
2 u
sin x cos x
/
cos x sin x
sin u cos u.u /
/
cos u sin u.u /
1
1 tan 2 x
cos 2 x
1
/
cot x 2 1 cot 2 x
sin x
tan u
/
/
/
1
.u /
cos 2 u
1
/
cot u 2 .u /
sin u
/
(xα)/= α x α -1
(ex )’ = ex
(ax)’ = axlna
(uα)/= α u α -1u/
( eu)’ = u’ .eu
( au)’ = u’ .au.lna
1
(x>0)
x
1
(ln /x/ )’ =
(x≠0)
x
1
( log a x )’ =
(x>0, 0
x ln a
1
( log a x )’ =
(x>0, 0
x ln a
( lnu)’ =
(lnx )’ =
3. Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản
u là hàm số theo biến x,
tức là u u( x)
*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản
u'
(u>0)
u
u'
( ln /u/ )’ =
(u≠0)
u
u'
( log a u )’ =
(u>0, 0
u ln a
u'
( log a u )’ =
(u>0, 0
u ln a
*Trường hợp đặc biệt u ax b, a 0
dx x C
du u C
k.dx k.x C , k là hằng số k.du k.u C
x dx
n-1
1
1
2 (x 0)
x
x
1
(x>0)
( x ) =
2 x
tanx
Hàm lũy thừa
Đạo hàm của hàm số hợp
x 1
C
1
u du
u 1
C
1
Netschool.edu.vn
1
.dx 1 . (ax b)
(
ax
b
)
C
a
1
Netschool.edu.vn
1
1
1
1
x dx ln x C
u du ln u C
(ax b) dx a ln ax b C
1
1
2 dx C
x
x
1
x dx 2 x C
1
1
2 dx C
u
u
1
u du 2 u C
*Nguyên hàm của hàm số mũ
x
x
e dx e C
e
e
x dx e x C
ax
x
a dx ln a C, 0 a 1
u du eu C
e
e
u du eu C
au
u
a du ln a C
1
1
sin(ax b)dx a cos(ax b) C
1
cos2 (ax b) dx a tan(ax b) C
1
sin 2 (ax b) dx a cot g (ax b) C
1
cos2 u du tan u C
1
sin 2 u du cot u C
sin 2 x dx cot x C
1 amxn
.
C, m 0
m ln a
cos(ax b)dx a sin(ax b) C
sin u.du cos u C
cos2 x dx tan x C
axbdx 1 eaxb C
a
mxn dx
a
*Nguyên hàm của hàm số lượng giác
cos x.dx sin x C
cos u.du sin u C
sin x.dx cos x C
1
1
du .2 ax b C
a
ax b
1
1
1
1
Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
*Trường hợp đặc biệt u ax b
1
cos kx.dx k sin kx C
1
sin kx.dx k cos kx C
e
kx dx 1 ekx C
k
1 (ax b) 1
(ax b) .dx a . 1 C
1
1
Ví dụ
1
cos 2 x.dx 2 sin 2 x C, (k 2)
1
sin 2 x.dx 2 cos 2 x C
e
2 x dx 1 e2 x C
2
1 (2 x 1)21
1
2
(2
x
1)
.
dx
.
C .(2 x 1)3 C
2 1
2
1
1
(ax b) dx a ln ax b C
3x 1 dx 3 ln 3x 1 C
1
1
du .2 ax b C
a
ax b
1 axb
axb
C
e dx a e
mxn
mxn du 1 . a
a
C, m 0
m ln a
1
cos(ax b)dx a sin(ax b) C
6
1
1
2
du .2 3x 5 C
3x 5 C
3
3
3x 5
1
e2 x1dx e2 x1 C
2
1 52 x1
2
x
1
5 dx 2 . ln 5 C
1
cos(2 x 1)dx sin(2 x 1) C
2
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
1
1
sin(ax b)dx a cos(ax b) C
1
sin(3x 1)dx 3 cos(3x 1) C
1
1
cos2 (ax b) dx a tan(ax b) C
1
1
cos2 (2 x 1) dx 2 tan(2 x 1) C
1
1
sin 2 (ax b) dx a cot(ax b) C
1
sin 2 (3x 1) dx 3 cot(3x 1) C
*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương
pháp đổi biến số đặt u ax b du .?.dx dx .?.du
Ví dụ: Chứng minh cos(ax b)dx
1
sin(ax b) C , a 0
a
1
Giải: Đặt u ax b du (ax b) ' dx a.dx dx .du
a
1
a
1
a
1
a
Suy ra cos(ax b)dx cos u. .du cos u.du .sin u C
1
sin(ax b) C
a
PHẦN BÀI TẬP
I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
A/ Tìm ngun hàm của các hàm số.
Bài 1: Sử dụng bảng nguyên hàm và tính chất
x10 1
kq: F ( x)=
x C
5 2
3x x 2
kq: F ( x)
xC
ln 3 2
1
a) f ( x) 2 x9 2
b) f ( x) 3x x 1
2
c) f ( x) +3
x
d ) f ( x) 2sin x
cos x
e) f ( x)
3
kq: F ( x) 2ln x 3x C
kq: F ( x) 2cos x C
1
kq: F ( x) sin x C
3
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số
a. f(x) = x2 – 3x +
1
x
ĐS. F(x) =
x3 3x2
ln x C
3
2
2 x4 3
b f(x) =
x2
2x3 3
C
ĐS. F(x) =
3
x
c. f(x) =
ĐS. F(x) = ln x C
d. f(x) =
x 1
x2
( x 2 1)2
x2
1
x
ĐS. F(x) =
Netschool.edu.vn
x3
1
2x C
3
x
Netschool.edu.vn
e. f(x) =
f. f(x) =
g. f(x) =
x 3 x 4 x
1
2
x 3x
( x 1)2
x
x 1
h. f(x) =
3x
i ) f ( x ) x5 3 x 2 4
j ) f ( x)
x3
2
5x2 2 x 1
2
k ) f ( x ) x 6 3 x5 3 x 2 2
3
1
l ) f ( x) (2 x 3x 2 )( x 2 ) 3x 3
x
3
2x 2
5
4x 4
C
4
5
3
ĐS. F(x) = 2 x 3 x2 C
ĐS. F(x) =
3
4
3x 3
ĐS. F(x) = x 4 x ln x C
5
2
3
3
ĐS. F(x) = x x C
kq : F ( x)
x6
x3 4 x C
6
1
5
kq : F ( x) x 4 x3 x 2 x C
8
3
2
1
kq : F ( x) x7 x6 x3 2 x C
21
2
1
kq : F ( x) x 4 x C
2
* HD: nếu gặp hằng đẳng thức thì khai triễn hằng đẳng thức, ví dụ: (a b)2 a2 2ab b2
Bài 3 : Tìm
a) ( x 2)( x 4)dx
b) ( x 2 3)( x 1)dx
c) 3( x 3)2 dx
x2 5x
g )
dx
x
2 x3 5 x 2 1
h)
dx
x
2 x3 5 x 2 1
g )
dx
2
x
( x 2)2
h)
dx
x
( x 4)2
i)
dx
x2
Bài 4 Tìm
1
kq: F ( x) x3 x 2 8 x C
3
1
1
3
kq: F ( x) x3 x 2 x 2 3x C
3
2
2
3
2
kq: F ( x) x 9 x 27 x C
kq: F ( x)
1 2
x 5x C
2
kq: F ( x)
2 3 5 2
x x ln x C
3
2
1
kq: F ( x) x 2 5 x C
x
1
2
kq: F ( x) x 2 4 x 4ln x C
kq: F ( x) x 8ln x
Netschool.edu.vn
16
C
x
Netschool.edu.vn
3
1
4
a) ( x x 2 5)dx
b) ( x 3 2 x 2 4 x 1)dx
c) x ( x 2 x)( x 1)dx
1
d ) (2 x 1)(1 )dx
x
7
1
4 4
kq: F ( x) x 2 x 2 5 x C
7
1
2
kq: F ( x)
2 x2 x C
2 x2 x
x3
1
kq: F ( x )
2x C
3
x
kq: F ( x) x 2 ln x x C
Bài 5: Tìm
a) (2.3x 4 x )dx
b) (2.a x 5 x )dx
1
c) (3e x 5sin x )dx
x
x
e
d ) e x (2
)dx
2
cos x
e) 2 x.3x dx
f ) 2 x.32 x.5 x dx
g ) e x (2 e x )
ex
h) x dx
2
2.3x 4 x
kq: F ( x)
C
ln 3 ln 4
2.a x 5 x
kq: F ( x)
C
ln a ln 5
kq: F ( x) 3e x 5cos x ln x C
kq: F ( x) 2.e x tan x C
6x
C
ln 3
90 x
kq: F ( x)
C
ln 90
kq: F ( x)
kq: 2e x x C
ex
kq:
C
(1 ln 2)2 x
Bài 6 Tính nguyên hàm của các hàm số
x
1
a) sin 2 dx
kq: F ( x) ( x sin x) C
2
2
x
b) (2 x sin 2 )dx
2
x
1
c) cos 2 dx
kq: F ( x) ( x sin x) C
2
2
x
d ) (2 x 2 cos 2 )dx
2
1 cos2 x
1 cos2 x
HD : sin 2 x
; cos 2 x
2
2
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
e) (1 tan 2 x)dx
kq: F ( x) tan x C
d ) (1 cot 2 x)dx
e) tan 2 xdx
kq: F ( x) cot x C
f ) cot 2 xdx
kq: F ( x) tan x x C
kq: F ( x) cot x x C
HD :1 tan 2 x
1
1
;1 cot 2 x
cos2 x
sin 2 x
g ) (tan x cot x)2 dx
h) (2 tan x cot x)2 dx
HD : (a b)2 a 2 2ab b2
h)
1
kq: F ( x) tan x cot x 4 x C
kq: F ( x) 4 tan x cot x x C
kq: F ( x) tan x cot x C
dx
sin 2 x.cos 2 x
cos2 x
h)
dx
2
sin x.cos 2 x
kq: F ( x) tan x cot x C
HD : sin 2 x cos2 x 1; cos2 x cos 2 x sin 2 x
Bài 7: Tìm hàm số f(x) biết rằng
a) f '( x) 2 x 1; f (1) 5
b) f '( x) 2 x 2 ; f (2)
c) f '( x) x
7
3
1
2; f (1) 2
x2
d ) f '( x) 4 x x; f (4) 0
e) f '( x) 4 x3 3 x 2 2; f (1) 3
f ) f '( x) 3 x x3 1; f (1) 2
g ) f '( x) ( x 1)( x 1) 1; f (0) 1
h) f '( x) 3( x 2)2 ; f (0) 8
Bài 8: Tìm hàm số f(x) biết rằng
a) f '( x) ax
b
; f (1) 2, f (1) 4
x2
15 x
b) f '( x)
; f (1) 4, f (4) 9
14
kq: f ( x) x2 x 3
x3
kq: f ( x) 2 x
1
3
x2 1
3
kq: f ( x)
2x
2 x
2
8 x x x 2 40
kq: f ( x)
3
2
3
kq: f ( x) x 4 x3 2 x 3
4
3 3 x4
kq: f ( x) x
x
4
4
x3
kq: f ( x)
1
3
kq: f ( x) ( x 2)3
kq: f ( x)
x2 1 5
2 x 2
5 x3 23
kq: f ( x)
7
7
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
Tính I =
f [u( x)].u' ( x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x) dt u' ( x)dx
I=
f [u( x)].u' ( x)dx f (t )dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
1. (5 x 1)dx
2.
(3 2 x) 5
5.
9.
13.
17.
21.
(2 x
1) 7 xdx
2
3x 2
5 2x3
sin
4
dx 10.
x cos xdx
3
5) 4 x 2 dx
dx
sin x
dx
5
x
cos
e 3
25.
2
2
x 1 x .dx
26.
dx
1 x2
29.
cos
30.
x
3
x sin 2 xdx
2x 1
x
8. 2
dx
x 5
x 2 1.xdx
16.
19.
tan xdx
23.
27.
x 2 1
dx
tan xdx
cos
20.
1 x 2 .dx
24.
2
x
e
x
x
dx
dx
4 x2
dx
28. 2
x x 1
x 2 dx
1 x2
dx
31. x
e 1
x 1.dx
x.e
12.
cot xdx
15.
18.
x
dx
4.
ln 3 x
x dx
11.
x (1 x ) 2
14.
5 2 x dx
7.
dx
cos x
e tgx
dx
22.
cos 2 x
dx
sin x
e x dx
(x
6.
3.
x
32.
x 2 1.dx
3
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u( x).v' ( x)dx u( x).v( x) v( x).u' ( x)dx
Hay
udv uv vdu ( với du = u’(x)dx,
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. x. sin xdx
2. x cos xdx
3.
5.
x sin 2 xdx
6.
9.
x ln xdx
10.
13.
cos
x
2
dx
x
x
17. e . cos xdx
21.
x lg xdx
14.
ln
xtg
2
2
x e
3
15.
x2
5) sin xdx
x.e dx
ln xdx
11.
x
xdx
xdx
2
sin
19.
2 x ln(1 x)dx
23.
4 ( x 2 2 x 3) cos xdx
x
7.
dx
18.
22.
x cos 2 xdx
(x
dv = v’(x)dx)
x dx
12.
ln( x
16.
x ln(1 x )dx
ln(1 x)
x dx
2
2
TÍCH PHÂN
1. Tính tích phân bằng định nghóa:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
Netschool.edu.vn
ln xdx
8.
20.
24.
x
2
2
2
e
x
dx
1)dx
x
xdx
cos 2 xdx
Netschool.edu.vn
1
e
1 3
1 2 x dx ;
b)
0
1
16
1
3
1
i) (x 1)dx ;
4
0
1 1
1)dx .
x x2
l) (4 x 3
2
x 1
dx ;
x
8 3
c) K =
1
1
1
)dx ;
x
1
Bài 3: Tính các tích phân sau:
e)
1
1
k) ( x ) 2 dx ;
x
2
1
1
b) J = (t
2 )dt ;
t t
1
d) L = ( 1 x 3
0
2
4
2
1
h) ( x 1) 2 dx ;
4
x
Bài 2: Tính các tích phân sau:
2
3
a) I = (2 x 3 cos x)dx ;
x
0,5
a) (2x 1)3 dx ;
1
1
g) 3 dx ;
x
1
0
1
d)
8
j) (e 2)dx ;
3
1
dx ;
x3
2
c)
e) (2 x 1)dx ;f) x dx ;
1
1
dx
;
x
1
2
a) 4x 3 dx ;
e) M = (3s 2 s ) 2 ds .
0
2
dx
;
2
(
2
x
1
)
1
3
c)
b)
2
7
1
dx ;
2x 1
d) x 3dx ;
3
dx
;
25 3x
2
1
1
x 1
f) e 2 dx ;
2
h) sin( 2 x 2)dx ;
g) 212 x dx ;
1
2
0
3
i) cos( x)dx ;
3
0
1
1
j)
dx ;
2
cos (1 x)
0
2
k) (5 x 2 x e 0,5 x )dx ;
1
2
l) (2 cos x 2 sin 2 x)dx .
0
3. Tính tích của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Bài 1:
1
2
3
0
2
2
2
e) x 1 dx ;
0
d) x 2 2 x 3 dx ;
2
1
3
2
g) x x 2 dx ;
f) x x dx ;
2
2
c) x 2 dx ;
b) x 2 dx;
a) x 1dx ;
2
h) x 2 2 x 3 dx .
2
2
0
4
Bài 2:
1
2
a) I =
( x 1) 2 dx ;
b) J =
1
4 x 2 4 x 1dx ;
c) K =
5
0
0
1 2x x 2
dx .
1 x
4. Tính tích phân bằng phương pháp biến đổi:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
2
ln x
dx , đặt t = lnx;
x
1
2
a) A = x(1 x) dx , đặt t = 1 - x;
b) B =
5
1
e2
3
dx
, đặt t = lnx;
x
ln
x
e
d) D = xe x dx , đặt t = -x2;
2
2
c) C =
0
x
e dx
, đặt t = 2 + ex;
x
2
e
1
e) E =
2
f) E =
1
đặt t 2 x 3
dx
,
;
2x 3 (hoaëc t 2 x 3)
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
đặt t 1 x
;
(
hoặ
c
t
1
x
)
1
Bài 2: Tính các tích phân sau:
g) G = x3 1 x dx ,
1
a) x(x 1)
2
2007
dx ;
b)
2
1
1
h) H = (2 sin x 3) cos xdx , đặt t = 2sinx + 3.
0
3
x 2 .x dx ;
2
3
c)
0
0
d)
2
3
9
x2
x3 2
0
x 3 dx
x2 1
;
dx ;
2x 1
1
f)
e) x 2 8 1 xdx ;
0
x2 x 1
1
dx .
Bài 3: Tính các tích phân sau:
2
4
a) e cos 2 x sin 2 x dx;
b)
0
sin 2x
dx ;
2
4
cos
x
0
2
c)
tan xdx ;
4
2
d) sin 2 x cos 3 xdx ;
0
e
2
ln x
dx ;
x
1
Bài 4: Tính các tích phân sau:
e)
3
2
a)
f) sin 5 xdx ;
1
0
2
dx
;
2
1
x
0
1
2
g) 2 1 4 sin 3x cos x3xdx .
0
b))
1 x 2 dx ;
6
2
c) 4 x 2 dx ;
0
1
d)
0
dx
4 x2
dx .
5. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1
2
2
b) x 2 ln xdx . c) x cos xdx ;
a) xe x dx ;
0
1
2
0
1
3
e) (x 3)e dx ;
5
h) x 2 ln( x 1)dx .
g) (1 x ) ln xdx ;
0
1
1
e
f) 4x ln xdx ;
x
d) (2 x 1) ln xdx .
2
2
1
Bài 2: Tính các tích phân sau:
ln 2
2
a) A = x cos 2 xdx ;
b) B =
0
2 x
xe dx ;
0
1
c) C = ln( 2 x 1)dx ;
0
3
1
d) D = ( x 2)e dx ;
e) E = ( x 2 1)e 2 x dx ;
2x
0
0
2
f) F = ( x 2 2 x 3) sin xdx .
0
Bài 3: Tính các tích phân sau:
3
a) I =
3
x
e dx
x ;
2
b) J =
e
x 1
. x 1dx ;
2
c) K = (x sin 2 x) cos xdx ;
0
0
Netschool.edu.vn
Netschool.edu.vn
3
e) M = [ln( x 1) ln( x 1)]dx .
d) L = (e cos x x) sin xdx ;
0
2
6. Tính tích phân của các hàm phân thức:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
2
a)
1
3
e)
2
1
x3 x
dx ;
x2
x 3
;
2x 1
3
4
b)
1
x2 2 x 3 x2
dx ;
x
1
4x 3
dx ;
2x 1
0
1
3
1
2
d)
0
2
x 1
dx ;
x 1
2
g)
f)
1
x2
dx ;
x3
2
4
c)
h)
1
2x 1
dx ;
x 1
2
x 2x 1
dx ;
x 3
0
x x 1
x 1
x3 2x 2 1
x x 1
;
j)
;
k)
;
l)
dx
dx
dx
1 x 1
x 2 1 dx .
0 x 1
x 1
1
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1
3
4
1
1
2
dx
a) (
b)
c)
dx ;
)dx ;
dx ;
( x 1)( x 2)
x 1 x 1
x ( x 1)
0
2
2
2
3
i)
0
4
d) 2
dx ;
x 2x 3
2
3
2
dx ;
2x x 3
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
0
1
a) I =
dx ;
3
1 ( x 1)
g)
2
1
d) L =
0
dx
;
x 2x 2
2
1
xdx
e) 2
;
x 5x 6
0
x 1
dx ;
x x2
1
0
h)
2
0
x
b) J = 4
dx ;
x 2x 2 1
1
1
e) M =
0
dx
;
x x2
2
Netschool.edu.vn
5
f)
4
4
i)
2
3x 1
dx ;
x 4x 3
2
2
dx .
3x x 2
2
2
c) K =
1
2
f) N =
0
1
dx ;
x 2x 1
2
6x 2
dx .
x x 1
2
Netschool.edu.vn
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
1. Tính diện tích hình phẳng:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x;
b) y = x2 - 2x + 3, y = 5 - x;
2
2
c) y = x - 2x + 2, y = -x - x + 3;
d) y = x3 - 3x, y = x;
e) y = x2 - 2x + 4, y - 4 = x;
f) y = 2x - x2, x + y = 2;
3
2
g) y = x - 12x, y = x ;
h) y = 2x3 - x2 - 8x + 1, y = 6.
2x 2 10x 12
Bài 2: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
và đường
x2
thẳng y = 0.
x2 x
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
và trục hồnh
x 1
Bài 4: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 + 3x2, trục hoành và các
đường thẳng x = -2, x = -1.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi giới hạn trục hoành , trục tung, đồ thị hàm số y = x3 - 3x
+ 1 và đường thẳng x = -1.
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi giới hạn trục hoành , trục tung, đồ thị hàm số y =
2x 1
.
x 1
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = ex, y = 2 và x = 1.
Bài 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x và y = x + sin2 x với x [0; ].
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cosx trên đoạn [0; 2], trục hoành,
trục tung và đường thẳng x = 2.
Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x3, x + y = 2, y = 0;
b) y = x, y = 0, y = 4 - x;
1
c) y = 2 x , y = e-x, x = 1;
d) x + y = 1, x + y = -1, x - y = 1, x - y = -1.
e
Bài 11: : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:
a) y = x3 - 1 và tiếp tuyến tại điểm (-1; -2).
b) (P): y = -x2 + 6x - 8, và tiếp tuyến của nó tại giao điểm với trục tung.
1
c) y = x3 - 3x và tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = - .
2
2. Thể tích vật thể trịn xoay:
Bài 1: Tính thể tích của hình trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay
quanh trục Ox.
a) y = x + 1, y = 0, x = -1, x = 2;
b) y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1.
Bài 2: Tính thể tích của hình trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay
quanh trục Ox.
a) y = 5x - x2, y = 0;
b) y = -3x2 + 3, y = 0.
Bài 3: Tính thể tích của hình trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay
quanh trục Ox.
a) y = 2 - x2, y = 1;
b) y = 2x - x2, y = x;
c) y = x3, y = 8 vaø x = 3.
Bài 4: Tính thể tích của hình trịn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đường (C) y = x2 + 1,
x = 0 và tiếp tuyến của (C) tại điểm (1; 2) khi quay quanh trục Ox.
Netschool.edu.vn