Tích phân quyển01

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (645.27 KB, 44 trang )

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Chủ đề 1 : NGUYÊN HÀM ( TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH )
1) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) ⇔ ……………….
2) Họ nguyên hàm :

,

với C là hằng số

3) Bảng nguyên hàm :

Hàm cơ bản :

∫ dx=

Hàm chứa (ax + b)

x+C

x α +1
+C
.dx
∫ x=
α +1
α

dx
=

∫ x ln x + C
dx
1
=
−
∫ x2 x + C
dx
=
∫ x 2 x +C

ax
=
+C
∫ a dx
lna
x

x
x
e
dx
=
e
+C
∫

−cosx + C
∫ sinx.dx =

=

∫ cosx.dx

sinx + C

dx
tanx + C
2
∫ cos=
x
dx
−cotx + C
∫ sin 2 x =
dx
1
x −a
=
ln
∫ x 2 − a 2 2a x + a + C

dx
−1
=
∫ x n (n − 1)x n −1 + C
Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

1 (ax + b)α +1
+C
) dx
∫ ( ax + b=
a α +1

dx
1
=
∫ ax + b a ln ax + b + C
α

dx
1 1
=
−
∫ (ax + b)2 a . ax + b + C

∫

dx
2
=
ax + b + C
ax + b a

1 a ax + b
dx
+C
∫ a=
a lna
1 ax + b
ax + b
e
dx
e

=
+C
∫
a
ax + b

1
sin(ax
+
b).dx
=
−
cos(ax + b) + C
∫
a
1
+
=
cos(ax
b).dx
sin(ax + b) + C
∫
a

dx
1
=
∫ cos2 (ax + b) a tan(ax + b) + C
dx
1

=
−
∫ sin 2 (ax + b) a cot(ax + b) + C

dx
1
1
=
−
∫ (ax + b)n a (n − 1)(ax + b)n −1 + C
1

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thương, tổng, bạ bậc, khai triển lũy thừy, chia đa thức…..
m

m
1
n
m
−n x
n
x=
; n x=

; n x m−n
Căn thức thành lũy thừa=
: x
x
x

5) Công thức thường dùng :

1 + cos2u
2
1 − cos2u
sin 2 u =
2

1
= 1 + tan 2 u
2
cos u
1
= 1 + cot 2 u
2
sin u

cos 2 u =

3cosu + cos3u
4
3sinu − sin3u
sin 3 u =
4

cos3 u =

sin2u = 2sinu.cosu
cos2u
= cos 2 u − sin 2 u
cos2u
= 2cos 2 u − 1
cos2u = 1 − 2sin 2 u
Ví dụ : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:
a/ f(x)
= (2x 2 + 1)3

c/ f(x) =

; b/=
f(x) (tan x + cot x) 2 ;

2x 3 − 5x + 2
;
x2

d/ f(x) =

e 2x − 3e x + 2
ex − 1

♥ Giải :
a/ Ta có f(x) = 8x 6 + 12x 4 + 6x 2 + 1 ,
Suy ra : f(x) = 8∫ x 6 dx + 12 ∫ x 4 dx + 6 ∫ x 2 dx + ∫ 1dx =

8 7 12 5
x + x + 2x 3 + x + C
7
5

1
1
 1
  1

b/ Ta có f(x)
+ 2
2 
= tan 2 x + cot 2 x +=
− 1 +  2 − 1=
+2
2
2
cos x sin x
 cos x   sin x 

Suy ra: ∫ f(x)dx =

c/ Ta có f(x) = 2x −
Suy ra:

1

∫ cos

2

x

dx + ∫

1
dx = tan x − cot x + C
sin 2 x

5 2
+ .
x x2
1

∫ f(x)dx = 2∫ xdx − 5∫ x dx + 2∫ x

−2

dx = x 2 − 5ln x −

2
+C
x

e 2x − e x − 2(e x − 1) e x (e x − 1) − 2(e x − 1) (e x − 1)(e x − 2)
d/ Ta có f(x) =
=
= ex − 2
=

x
x
x
e −1
e −1
e −1
Suy ra: ∫ f(x)dx = ∫ e x dx − ∫ 2dx = e x − 2x + C

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

2

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Bài Tập 1 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
1/ f(x) = x 5 + 3x 2 − 5 −

1
x

2/ f(x) =

3
7
9 20

+ 4− 3+ 2
5
x
x
x
x

x 5 + 4x 7 − 2x + 8 − 7x 9
3/ f(x) =
x2

4/ f(x) = x + 3 x + 4 4 x

5/ f(x) = ( x + 1)(x − x + 1)

6/ f(x) = e x (7 − 3e − x +


e− x 
7/ =
f(x) e x  2 + 2 
sin x 


8/ f(x)
=

(2

x

e− x
)
cos 2 x

+ 3x ) .22x −1

♥ Giải :
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

3

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Bài Tập 2 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
1/ f(x) = 2sinx − 3cosx +

7
x

4/ f(x) =

1
2
sin x.cos 2 x

8/ f(x) =

3x15 + 7x 4 − 2x + 8 − 10x 6
x3

9/ f(x) =

6
sin x.cos 2 x
2

2/ =
f(x) tan 2 x − 3cot 2 x

3/=
f(x) (2tanx + cotx) 2

5/ f(x) =
( x 5 − 3x ) ( x − 1)

6/ =
f(x) 3sinx − 7cosx

2

7/ f(x) = 2 x − 3e x + 4sin x − 8 / x 3
10/ f(x)
= e x (5 + 3e − x )

♥ Giải :
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

2/=
f(x) 2x(x 2 + 3x) 2

3/ f(x) = 4sin

4/ f(x) = 2sin x + 3cos x + 5e x

5/=
f(x) tan x 2 − 3

1
6/ f(x)= (2 − ) 2
x

8/ f(x) = 22x +1.33x + 2

9/ f(x)
= (3x − 2) 2

7/ f(x) =

( x − 2)3
x

♥ Giải :
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

5

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Ví dụ 2 : TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:
a/ f(x)
= (2x + 1)3

b/
=

f(x) cos ( 3x − 2 ) ;

;

d/ f(x) = e − x

c/ f(x) =

2
7x + 1

e/ f(x)= (7 − 3x)10

Giải : a/ sử dụng công thức

) dx
∫ ( ax + b=
α

1 (ax + b)α +1
+C
a α +1

1 (2x + 1) 4
3
=
+
=
+C
f(x)dx

(2x
1)
dx
.
∫
∫
2
4
b/ sử dụng công thức

=
∫ cos(ax + b).dx

1
.sin ( 3x − 2 ) + C
3

= ∫ cos ( 3x − 2=
)dx
∫ f(x)dx
c/ sử dụng công thức
2

dx

∫ ax =
+b
dx

dx 2 ∫ =

= ∫
=
∫ f(x)dx
7x + 1
7x + 1

d/ sử dụng công thức

∫ f(x)dx =∫ e

−x

1
sin(ax + b) + C
a

dx
∫e=
ax + b

1
ln ax + b + C
a
2
.ln 3x − 2 + C
7
1 ax + b
e
+C
a

1
dx = e − x + C =
−e − x + C
−1

( chú ý hệ số a trong bài này là -1 )

1 (7 − 3x)11
e/ giống bài a/ ∫ f(x)dx =
.
+C
∫ (7 − 3x) dx =
−3
11
10

Điền vào ô trống
a/ ∫ (7 − 4x)5dx =
dx

c/

∫ ( 4 x + 1)

e/

∫e

−x

5

=

dx =

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

dx

b/

∫ 2x + 7 =

d/

∫e

f/

∫ cos ( −π x ) =

8x + 7

dx =

dx

2

6

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Bài tập 4 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
1/ f(x) = sin 2 x

; 2 / f(x) = sin 2 7x

5/ f(x) = sin 4 2 x

; 6/ f(x) = 7 sin 2 x .cos 2 x

8/ f(x) = sin 4 x .sin 6x ;
10
/ f(x) cosx . ( 3 + cosx )
=

; 3/ f(x) = cos 2 4 x
;

; 4/ f(x) = cos 4 x

7 / f(x) = sin 2 x .cos x

9 / f(x) = cos 6 x .cos 2 x

;

11 / f(x) cosx . ( sin 3x + sinx ) ;
=

♥ Giải :
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

7

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Bài tập 5 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau
1 / f(x) =

4/ f(x) =

x 3 + 3x 2 − 6x + 5
;
x +1
3
π

cos 2  2x + 
4


;

1
x +9 − x

2/ f(x) =

5 / f(x) =

;

−6x + 5
2x − 5

3/ f(x) =

3x 2 − 6x + 5
2x + 1

6/=
f(x) cos 4 x − sin 4 x

♥ Giải :
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

sinx + cosx

 x −1 
5 / f(x) = 

 x+2

2

6 / f(x) = cos 5 x .cos 2 x .sinx

♥ Giải :
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

9

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh
Ví dụ 3 : a/ Tìm A, B sao cho
b/ Tính I = ∫

3x + 7
A
B
=
+
x + 4x + 3 x + 1 x + 3

( x ≠ −1; 3 )

2

3x + 7
dx
x + 4x + 3
2

3x + 7

A
B
7 A ( x + 3) + B ( x + 1)
=
+
⇔ 3x + =
x + 4x + 3 x + 1 x + 3

Giải :a/

2

A+B 3 =
=
A 2
⇔
+B 7 =
3A=
B 1

( A + B ) .x + 3A + B ⇔ 

⇔ 3x + 7 =

b/=
I

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

∫x

2

3x + 7
=
dx
+ 4x + 3

 2

1 

dx
∫  x + 1 + x + 3 =

2 ln x + 1 + ln x + 3 + C

Bài tập 7 : Tính các nguyên hàm số sau ( sử dụng pp …………….....… )
A=∫

3x + 4
dx
x + 4x − 5

;

B=∫

x+7
dx

x + 8x − 9

D=∫

dx
x ( x + 1)

;

E=∫

x2 −1
dx ;
( x + 2 )( x − 2 )( x − 3)

F=∫

−x
dx
x + x −6

;

2

2

2

G=∫

3
dx
x + 7x + 12
2

C=∫

;

; F=∫

1
dx
x −x−2
2

−8
dx
x + 10x + 9
2

♥ Giải :
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

B. −

C.

1
( ln x + 1 + 3ln x + 3 ) + C
2

D. (2 x + 3) ln x 2 + 4 x + 3 + C

( x 2 + 4 x + 3)

2

+C

TN2 : Xét các mệnh đề:
(I)

dx
cot x + C
2
∫ sin=
x

(II)

e3 x + 1
1 2x x
∫ e x + 1 dx= 2 e − e + x + C

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.(I) đúng , (II) sai

B. (I) sai, (II) đúng

C. Cả (I) và (II) đều đúng

D. Cả (I) và (II) đều sai

TN3 : Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) = cos 2x.

π

Khi đó, hiệu số F ( ) − F (0) bằng:
4
A. 15

B.

1
2

C. 2

D.

2
4

TN4 : Cho F(x) và G(x) là các nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a,b). Khi đó
(I) F(x) = G(x) + C

(II) G(x) = F(x) + C

Với C là một hằng số nào đó. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. (I) đúng, (II) sai

B. (I) sai, (II) đúng

C. Cả (I) và (II) đều đúng

D. Cả (I) và (II) đều sai

TN5 : Hàm số y =
A.

2x4 + 3
có một nguyên hàm là
x2

2 x3 3
− +3
3
x

B. −3 x3

3
+2

x

C.

2 x3 3
+ +1
3
x

D.

x3 3
− + 2017
3 x

VD4 : Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp đổi biến số )
a/ A = ∫ esinx .cosxdx
c/ C = ∫

ln 5 x
dx
x

;

b/ B = ∫

;

2x + 4

dx
x + 4x − 5

d/ D = ∫

2

ex
dx
ex + 1

Giải : a/ A = ∫ esinx .cosxdx ; đặt t= sinx ⇒ dt= cosxdx
Vậy A = ∫ e t .dt = e t + C = esinx + C

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

11

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

b/ B = ∫

2x + 4
dx Đặt t = x 2 + 4x − 5 ⇒ dt =
x + 4x − 5

Vậy B=

∫

2

( 2x + 4 ) dx

dt
= ln t + C= ln x 2 + 4x − 5 + C
t

ln 5 x
dx
c/ C = ∫
dx ; đặt t = ln x ⇒ dt =
x
x
t6
ln 6 x
Vậy C = ∫ t .dt =
+C =
+C
6
6
5

ex
d/ D = ∫ x

dx
e +1

∫

Vậy : D=

; đặt t = e x + 1 ⇒ dt = e x dx

dt
= ln t + C= ln e x + 1 + C
t

CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ CẦN NHỚ
Dạng Tích Phân

Cách Giải
+ Nếu bậc tử ≥ bậc mẫu ta chia đa thức

f(x)
∫ g(x) .dx

+ Nếu bậc tử < bậc mẫu ta xem tử có phải là đạo hàm
của mẫu hay ko ? nếu có đặt t = mẫu số
+ Nếu ko có 2 trường hợp này ta sẽ làm theo dạng
khác sẽ trình bày ở phần khác

∫

n

........dx

dx

∫ f(lnx). x

Đặt=
t

n

....... ⇒ =
t n ....... sau đó lấy đạo hàm 2 vế
dx
x

Đặt t = lnx + C ⇒ dt =

∫ f(cosx).sinxdx

Đặt t =
cos x + C ⇒ dt =
− sin xdx

∫ f(sinx).cosxdx

Đặt =
t sin x + C ⇒ dt= cos xdx

dx
∫ f(tanx) cos2 x

Đặt =
t tan x + C ⇒ dt=

dx
∫ f(cotx) sin 2 x

Đặt t =
cot x + C ⇒ dt =
−

∫ f(e

x

).e x dx

dx
cos 2 x

dx
sin 2 x

Đặt t = e x + C ⇒ dt = e x dx

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

12

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh
dx
dx
∫ sin n x , ∫ cosn x

với n chẵn

∫ sin

n

xdx hay

∫ cos xdx
n

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Đưa về

n

xdx hay

∫ cos xdx

1
n−2

1
1
1
1
1
... 2 dx, ∫
.
...
dx
n−4
n−2
n−4
sin x
cos x cos x cos 2 x
x sin
.

Và Đặt =
t tan x + C ⇒ dt=

dx
cos 2 x

Dùng công thức hạ bậc
=
cos 2 u

với n chẵn

∫ sin

∫ sin

1 + cos2u
1 − cos2u
=
; sin 2 u
2
2

Tách ∫ sin n xdx = ∫ sin n −1x.sinxdx , đặt t = cosx

n

với n lẽ

∫ cos xdx = ∫ cos
n

n −1

x.cosxdx ,

đặt t = sinx

+ Nếu mẫu có 2 nghiệm x1 , x 2 , ta đưa về

Ax + B

∫ a(x − x )(x − x
1

2

)

dx

Sau đó dùng pp hệ số bất định
Ax + B
∫ ax 2 + bx + cdx

+ Nếu mẫu có nghiệm kép x 0 ,
ta đưa về

Ax + B
dx
2
0)

∫ a(x − x

+ Nếu mẫu vô nghiệm ,đưa về
Ax + B
dx
2
+ D2

∫X

 π π
và đặt X = D.tant t ∈  − ; 
 2 2

1/ R(x, a − x 2 )

thì đặt x = sint

2/ R(x, a + x 2 )

thì đặt x = atant

Bài tập 1 : Tính các nguyên hàm sau
=
A

D
=

∫ x(2 − x

∫ x.

G=∫

2 12

) dx

B=∫

x 2 + 1.dx

e x .dx
1 + ex

8xdx
x2 +1

=
E

I=∫

C
=

∫x .

3 4

x +1
dx
3x + 1

∫3

1 + 4sin x.cos x.dx

F=∫

1 − x.dx

J=∫

3dx
2x. 2 + ln x

x 2 dx
2x 3 + e

♥ Giải :

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

13

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
Bài tập 2 : Tính các nguyên hàm sau
=
K

=
R

5
3
∫ x 2 − x .dx

∫ 2x .(x
7

4

− 1)5 .dx

N = ∫ cos xdx
5

L=∫

O=∫

2 + 3ln x
dx
x

P=∫

xdx
2x + 1

M=∫

e tanx
W=∫
dx
cos 2 x

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

cos x
dx

sin 2 x

S=∫

14

xdx
(2x + 1)3

1
dx
x. ( 4lnx + 7 )

Q=∫

ecot x
.dx
sin 2 x

V=∫

dx
x −5

3

T = ∫ sin 3 xdx

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

♥ Giải :

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

E=∫

∫ ( 2 − sin x )

=
C

sinx − cosx
.dx
sinx + cosx

F
=

2

2

.sin2x.dx

∫ ( cos x + sin x ) .cos 2x.dx
4

4

♥ Giải :
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
Bài tập 4 : Tính các nguyên hàm sau
=
G

6
6
∫ 4 ( cos x + sin x ) .cos 2x.dx

M=∫

sin 3 x
.dx
cos 2 x

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

K=∫

N=∫

1
.dx
x
e +1

3sin 2 x
4

cos 2 x + 5sin 2 x

16

L=∫

sin 5 x
.dx
cos 7 x

.dx

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh
A = ∫ 10

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

dx
x
(ĐHQG Hà Nội – 1999)
.dx (HV CNBCVT – 1999) B = ∫ x
e − 4e − x
x +1

C = ∫ 6sin 2x.cos 4 xdx (ĐH Thủy Lợi– 2001)
♥ Giải :
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

17

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

π
Ví dụ 5 : a/ Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = tan 2 x , biết F( ) = 0
4
π  π
b/ Cho hàm số f=
( x) sin x + cos 2 x . Tìm nguyên hàm F ( x) của hàm số f ( x) biết F   =
2 2
Giải : a/ ∫ f(x)dx
=



1



∫ tan xdx= ∫  cos x − 1 dx=

2

2

tan x − x + =
C F(x)

π
π π
π
π
π
F( ) =tan − + C =1 − + C =0 ⇔ C = − 1 ; Vậy F(x)
= tan x − x + − 1
4
4 4
4
4
4

b/

∫ ( sin x + cos 2 x )dx=
π

π

π

F( ) = ⇔ C = .

2
2
2

1
sin 2 x − cos x + C
2

Vậy F ( x=
)

1
π
sin 2 x − cos x +
2
2

Bài tập tương tự
Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau
a/ f(x) =

x 3 + 3x 2 + 3x − 1
biết F(1) = 1/ 3 (TN THPT – 2003)
x 2 + 2x + 1

π
2 2
b/ f(x)= x + sin x biết F( ) =
4
3

d/ f(x) =

c/ f(x) =e 2x −1 + cos 2x + 3 biết F(0) =

1 + 2x 2
biết F( − 1) =
3
x

3
e

e/ f(x) cos x. ( 2 − 3 tan x ) biết F(π) = 1
=

♥ Giải :
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

18

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM PHẦN NGUYÊN HÀM
Câu 01 : Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) =
A. F ( x) =

2 23 3 43 4 54
x + x + x +C
3
4

5

B. F ( x) =

2 23 3 43 4 54
x + x + x +C
3
4
5

C. F ( x) =

2 23 4 43 5 54
x + x + x +C
3
3
4

D. F ( x) =

2 32 3 43 4 54
x + x + x +C
3
4
5

x+3 x+4 x

1
x+9 − x

Câu 02 : Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f ( x) =
A.

2
27

(

( x + 9)

3

)

− x3 + C

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

B.

2
27

(
19

( x + 9)

3

)

+ x3 + C

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh
2

C.
3(

( x + 9)

3

− x )

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
D. Đáp án khác

+C

3

Câu 03 : Nguyên hàm của hàm số f ( x) = tan 2 x là
sin x − x cos x
+C

cos x

tan 3 x
A.
+C
3

B.

C. tan x − 1 + C

D. Đáp án khác

Câu 04 : Hàm số F ( x) =
e x + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
A. f ( x=
) ex −

1
sin 2 x

B. f ( x=
) ex +


e− x 
C. f =
( x) e x 1 +

2

 cos x 

D. Đáp án khác

Câu 05 : Nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 −
A.

1
sin 2 x

3
+ 2 x là:
2
x

x4
− 3ln x 2 + 2 x.ln 2 + C
4

B.

x3 1
+ 3 + 2x + C
3 x

C.

x4 3 2x
+ +
+C

4 x ln 2

D.

x4 3
+ + 2 x.ln 2 + C
4 x

Câu 06 : Nguyên hàm của hàm số: y =

cos 2 x
là:
sin 2 x.cos 2 x

A. tanx − cotx + C
B. −tanx − cotx + C
C. tanx + cotx + C
D. cotx −tanx + C


e− x 
Câu 07 : Nguyên hàm của hàm số: y = e  2 +
 là:
cos 2 x 

x

A. 2e x − tan x + C

B. 2e x −

1
+C
cos x

C. 2e x +

1
+C
cos x

D. 2e x + tan x + C

Câu 08 : Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:
A.

1
cos3 x + C
3

B. − cos3 x + C

1
C. - cos3 x + C
3

D.

1 3
sin x + C .

3

Câu 09 : Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

20

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh
A. F(x) =

C.

11
1

 cos 6 x + cos 4 x 
26
4


NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
B. F(x) =

11
1


 sin 6 x + sin 4 x 
26
4


1
sin5x.sinx
5

1  sin 6 x sin 4 x 
D. − 
+

2 6
4 

Câu 10 : Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là:
1  cos 6 x cos 2 x 
A. − 
+

2 8
2 

C.

1  cos 6 x cos 2 x 
−



2 8
2 

B.

1  cos 6 x cos 2 x 
+


2 8
2 

D.

1  sin 6 x sin 2 x 
+

.
2 8
2 

1 3
sin 2 x + C
3

Câu 11 : ∫ sin 2 2 xdx =
A.

1
1

x + sin 4 x + C
2
8

B.

C.

1
1
x − sin 4 x + C
2
8

D.

Câu 12 :

∫ sin

2

1
dx =
x.cos 2 x

B. − 2 cot 2 x + C

A. 2 tan 2 x + C
Câu 13 :

∫

(x

2

1
1
x − sin 4 x + C
2
4

− 1)
x3

C. 4 cot 2 x + C

D. 2 cot 2 x + C

2

dx =

A.

x3
1
− 2 ln x + 2 + C
3

2x

B.

x3
1
− 2 ln x − 2 + C
3
x

C.

x3
1
− 2 ln x − 2 + C
3
2x

D.

x3
1
− 2 ln x − 2 + C
3
3x

B.

2 3
e 2017 x

x x+
+C
5
2017

D.

2 2
e 2017 x
x x+
+C
5
2017

Câu 14 :
A.
C.

∫(x

)

x + e 2017 x dx =

5 2
e 2017 x
x x+
+C
2
2017

3 2
e 2017 x
x x+
+C
5
2017

Câu 15 :

∫x

2

dx
=
+ 4x − 5

A.

1 x −1
ln
+C
6 x+5

B.

1 x+5
ln
+C
6 x −1

C.

1 x +1
ln
+C
6 x −5

D.

1
x −1
ln
+C
6 x+5

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

21

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
x3

Câu 16 : Một nguyên hàm của hàm số: y =

2 − x2

là:

A. F=
( x) x 2 − x 2

B. −

1 2
( x + 4) 2 − x2
3

1
C. − x 2 2 − x 2
3

D. −

1 2
x − 4) 2 − x2
(
3

Câu 17 : Một nguyên hàm của hàm số: f (=
x) x 1 + x 2 là:

(

A.=

F ( x)

1 2
x 1 + x2
2

C. =
F ( x)

x2
3

Câu 18 :

(

1 + x2

)

)
3

1
3

D.=
F ( x)

1 2

x
3

1 + x2

(

1
ln cos 2 x + C
2

Câu 19 : Nguyênhàmcủa (với C hằngsố) là ∫

1
ln cos 2 x + C
2

D.

1
ln sin 2 x + C
2

B.

C.

1+ x
+C
1− x

D. ln 1− x 2 + C

x
+C
1− x

của hàm f ( x)
Câu 20 : Nếu F ( x) là một nguyên hàm
=

B.

2
ln 3
3

)

3

−2 x
dx
1 − x2

1
+C
1− x

3

ln 3
2

1 + x2

B.

A.

A.

)

3

∫ tan 2 xdx =

A. 2 ln cos 2 x + C
C. −

(

B. F=
( x)

x −3
, F (0) 0 thì hằng số C bằng
=
2
x + 2x − 3

3
C. − ln 3
2
2
D. − ln 3
3

Câu 21 : Nguyênhàm F ( x) củahàmsố y =
A. ln 1 + sin x
2

sin 2 x
khi F (0) = 0 là
sin 2 x + 3

B.

ln 2 + sin 2 x

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

3

22

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

C. ln 1 +

sin 2 x
3

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
D. ln cos 2 x

Câu 22 : Nếu F ( x) là một nguyên hàm của hàm số y =
B. ln 2 + 1

A. ln 2

Câu 23: Nguyên hàm của hàm số: f ( x ) =
A.

1
và F (2) = 1 thì F (3) bằng
x −1

C. ln

D.

1
2

1
là:
3x + 1

1
B. ln 3 x + 1 + C
3

1
ln 3 x + 1 + C
2

3
2

C.

1
ln ( 3 x + 1) + C
3

D. ln 3 x + 1 + C

Câu 24 : Nguyên hàm của hàm số: =
f ( x ) cos ( 5 x − 2 ) là:
A.

1
sin ( 5 x − 2 ) + C
5

B. 5sin ( 5 x − 2 ) + C

C.

1
sin ( 5 x − 2 ) + C
5

D. −5sin ( 5 x − 2 ) + C

Câu 25 : Nguyên hàm của hàm số: f ( x ) = e−4 x +1 là:
A. e −4 x +1 + C

B. −4e −4 x +1 + C

1
C. − e −4 x +1 + C
4

D.

C. 2 tan x + C

D. tanx + x + C

1 −4 x +1
e
+C
4

Câu 26 : Nguyên hàm của hàm số: f ( x ) = tan 2 x là:
A. tan x + C

B. tanx − x + C

Câu 27 : Nguyên hàm của hàm số: f ( x ) =

A.

−1
+C
2x −1

B.

1

( 2 x − 1)

2

là:

−1
+C
2 − 4x

C.

1
+C
4x − 2

D.

−1

( 2 x − 1)

3

+C

Câu 28 : Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos3x.cos2x là:
A. sin x + sin 5 x
B.

1
1
sin x + sin 5 x
2
10

C.

1
1
cosx + co s 5 x
2
10

D.

1
1
cosx − sin 5 x
2
10

Câu 29 : Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ( x ) =
A. ln2

1
và f (1) = 1 thì f ( 5 ) bằng:
2x −1

B. ln3

Câu 30 : Nguyên hàm của hàm f ( x ) =

C. ln2 + 1

D. ln3 + 1

2
với F (1) = 3 là:
2x −1

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

23

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh
A. 2 2 x − 1

B.

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN
2x −1 + 2

C. 2 2 x − 1 + 1

D. 2 2 x − 1 − 1

Câu 31 =
: Để F ( x ) a.cos 2 bx ( b > 0 ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x thì a và b có giá trị lần
lượt là:
A. – 1 và 1
B. 1 và 1
C. 1 và –1
D. – 1 và – 1
Câu 32 : Cho f ( x) =
A. ∫ f =
( x)dx

ln x
. Khi đó:
x

(ln x) 2
+C
2

C. ∫ f (=
x)dx (ln x) 2 + C

B. ∫ f ( x)=
dx ln x + C
D. ∫ f ( x)=
dx

ln x
+C
2

Câu 33 : Hàm số F ( x ) =e x + e− x + x là nguyên hàm của hàm số:
A. f ( x ) = e− x + e x + 1

B. f ( x ) =e x − e− x +

1

C.=
f ( x ) e x − e− x + 1

D. f ( x ) =e x + e− x +

1

2
2

x2
x2

Câu 34 : Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = 4 x3 − 3 x 2 + 2 x − 2 thỏa mãn F (1) = 9 là:
A. f ( x ) = x 4 − x3 + x 2 − 2

B. f ( x ) = x 4 − x3 + x 2 + 10

C. f ( x ) = x 4 − x3 + x 2 − 2 x
Câu 35 : Nguyên hàm của hàm số: f ( x ) =

D. f ( x ) = x 4 − x3 + x 2 − 2 x + 10
e x − e− x
là:
e− x + e x

A. ln e x + e − x + C
C. ln e x − e − x + C
B.

1
+C
e − e− x

D.

1

+C
e + e− x

x

x

Câu 36 : Nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x )= x + s inx thỏa mãn F ( 0 ) = 19 là:
A. F ( x ) =
−cosx +
C. F ( x )= cosx +

x2
2

x2
+ 20
2

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

B. F ( x ) =
−cosx +

x2
+2
2

D. F ( x ) =
−cosx +

x2
+ 20
2

24

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

GV : ThS Nguyễn Vũ Minh

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

Câu 37 : Cho f ' ( x )= 3 − 5s inx và f ( 0 ) = 10 . Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng:
A. f ( x=
) 3x + 5cosx+2

 π  3π
B. f   =
2 2

C. f (π ) = 3π

D. f ( x=
) 3x − 5cosx+2

Câu 38 : Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là:
1
1

A. sin 3 x − sin 5 x + C
3
5
1
1
B. − sin 3 x + sin 5 x + C
3
5

C. sin3x− sin5x + C
D.Đáp án khác.
Câu 39 : Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là:
1
A. cos3 x + C
3

B. − cos3 x + C
1
C. sin 3 x + C
3

D. Đáp án khác.
Câu 40 : Một nguyên hàm của hàm số: y = cos5x.cosx là:
A. F(x) = cos6x
B. F(x) = sin6x
11
1

C.  sin 6 x + sin 4 x 
26

4

1  sin 6 x sin 4 x 
D. − 
+

2 6
4 

Câu 41 : Một nguyên hàm của hàm số: y = sin5x.cos3x là:
1  cos 6 x cos 2 x 
A. − 
+

2 8
2 
1  cos 6 x cos 2 x 
B. 
+

2 8
2 

C. cos8x + cos2x
D.Đáp án khác.
Câu 42 : Một nguyên hàm của hàm số: f (=
x) x 1 + x 2 là:
A. F=
( x)

1
2

(

1 + x2

)

2

Đt : 0914.449.230 (Zalo – Facebook)

25

BIÊN HÒA – ĐỒNG NAI

Tích phân quyển01

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về